(高二下数学期末10份合集)四川省成都市高二下学期数学期末试卷合集
成都数学高二下期末测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ）A ．66B ．66±C ．62D ．62± 2．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足BM 2MA =，则CM CA ⋅=( ) A ．32 B ．23 C ．6 D ．1523．在锐角ABC 中，4sin 3cos 5,4cos 3sin 23A B A B +=+=，则角C 等于（ ）A ．150B ．120C ．60D ．304．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．25．将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值为A ．2B ．1C ．12D ．146．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则|b ⋅c |的值一定等于 （ ）A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形面积C ．a ，b 为两边的三角形面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积7．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为 A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形8．已知复数1cos 2()z x f x i =+，()23cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x的最大值为（）A ．14-B ．14C ．12-D ．12 9．已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ= B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴10．若平面四边形ABCD 满足0,()0AB CD AB AD AC +=-⋅=，则该四边形一定是( ) A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．直角梯形11．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．33 B ．33- C ．539 D ．69- 12．若()2sinsin sin 777n n S n N πππ︒=+++∈，则在中，正数的 个数是（ ）A ．16B ．72C ．86D ．10013．已知函数2()3cos cos f x x x x =+，则（ ）A ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 的最小值为1- D ．()f x 的图象关于点(,0)12π-对称14．已知单位向量,OA OB 的夹角为60，若2OC OA OB =+，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形15．已知函数()sin(2)3f x x π=+，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．512πC ．6πD ．56π 二、填空题16．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____．17．已知sin76m ︒=，则cos7︒=________.（用含m 的式子表示）1821sin8+-_________.19．已知平面向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，|a ﹣b a 在b 方向上的投影是__________．20．将函数()2sin(2)6f x x π=-的图象向左平移(0)φφ>个单位，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为__________．21．仔细阅读下面三个函数性质：（1）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)p p ≠，使得1()2f x p f x p ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭． （2）对任意实数x ∈R ，存在常数(0)M M >，使得|()|f x M ≤．（3）对任意实数x ∈R ，存在常数，使得()()0f a x f a x -++=． 请写出能同时满足以上三个性质的函数（不能为常函数）的解析式__________．（写出一个即可）22．若向量(2,1)m =，(3,2)n λ=-，且(2)//(3)m n m n -+，则实数λ=__________．23．已知两个单位向量a 、b 的夹角为60，(1)c ta t b =+-，若b c ⊥，则实数t ＝__________.24．在矩形ABCD 中， 3AB =， 1AD =，若M ， N 分别在边BC ， CD 上运动（包括端点，且满足BM CNBC CD =，则AM AN ⋅的取值范围是__________．25．在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+,则H 点是三角形ABC 的___________.三、解答题26．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.27．已知3cos()(,)424x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求sin(2)3x π+的值.28．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数()()2sin cos sin f x x A x A =-+，且当512x π=时，()f x 取最大值.（1）若关于x 的方程()f x t =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解，求实数t 的取值范围；（2）若5a =，且sin sin B C +=，求ABC ∆的面积. 29．已知(1,2),(2,2),(1,5)a b c ==-=-．若a b λ-与b c +平行，求实数λ的值．30．已知集合()()()(){}21,A x x x x x R φφφφ=+=+-∈.（1）求证：函数()cos 3xf x A π=∈；（2）某同学由（1）又发现()cos 3xf x π=是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合A 中的元素都是周期函数；②集合A 中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设p 为非零常数，求()cos g x px A =∈的充要条件，并给出证明.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．D4．B5．B6．A7．D8．B9．C10．C12．C13．A14．C15．B二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力18．【解析】原式因为所以且所以原式19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟21．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：22．【解析】依题设由∥得解得23．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为224．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想三、解答题27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，()2OA OB OB λλ+=， ∴cos302λ︒=， ∴4λ=，则0λ>，∴λ=． 故选：C ．【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．2．D解析：D【解析】【分析】结合题意线性表示向量CM ，然后计算出结果【详解】 依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ． 【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单3．D解析：D【解析】【分析】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=，两式相加即可求出sin()A B +，进而求出A B +，角C 得解.【详解】由题：()()224sin 3cos 25,4cos 3sin 12A B A B +=+=， 2216sin 24sin cos 9cos 25A A B B ++=，2216cos 24cos sin 9sin 12A A B B ++=，两式相加得：()1624sin cos cos sin 937A B A B +++=，1sin()2A B +=，所以1sin sin(())2C A B π=-+=，且C 为锐角， 所以30C =.故选：D【点睛】此题考查同角三角函数基本关系与三角恒等变换综合应用，考查对基本公式的掌握和常见问题的处理方法.4．B解析：B【解析】【分析】【详解】构造函数，根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．则可知2()sin cos sin 4F x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，F（x ）取最大值2,故|MN|的最大值为2,故选B 5．B 解析：B 【解析】 将函数y =2sin （ωx +π6）（ω>0）的图象向右移2π3个单位后，可得y =2sin （ωx –2π3ω+π6）的图象，再根据所得图象关于y 轴对称，∴–2π3ω+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即ω=–31–22k ，∴当k =–1时，ω取得最小值为1，故选B ． 6．A解析：A【解析】【分析】【详解】记OA =a ，OB =b ，OC =c ，记a 与b ，b 于c 夹角分别为,αθ,因为这三向量的起点相同，且满足a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |=|c |，则cos sin θα=，利用向量的内积定义，所以|b c ⋅|=||b |•|c |cos ＜b ，c ＞|=||OB ||OC |cosθ|==||OB ||OA |sin α |，又由于12BOA S ∆=|OB ||OA |sin α，所以||OB ||OA |sin α |等于以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A7．D 解析：D【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D.考点：三角恒等变形公式. 8．B解析：B【解析】【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)23cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.9．C解析：C【解析】函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位，可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,() 2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-+=+, 0k =时可得5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==，()2f ϕ=-不正确，故选C. 10．C解析：C【解析】试题分析：因为0,AB CD AB DC +=∴=,所以四边形ABCD 为平行四边形，又因为()0,0AB AD AC DB AC -⋅=∴⋅=,所以BD 垂直AC ，所以四边形ABCD 为菱形. 考点：向量在证明菱形当中的应用.点评：在利用向量进行证明时，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行两条直线可能共线也可能平行.11．C解析：C【解析】【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<，3444πππα∴<+<，则sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．12．C解析：C【解析】【分析】【详解】令7πα=，则7n n πα=，当1≤n≤14时，画出角序列n α终边如图，其终边两两关于x 轴对称，故有均为正数， 而，由周期性可知，当14k-13≤n≤14k 时，Sn>0， 而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14个为0，其余 都是正数，即正数共有100－14＝86个，故选C.13．A解析：A【解析】【分析】利用三角函数恒等变换的公式，化简求得函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．【详解】由题意，函数2111()cos cos 2cos 2sin(2)22262f x x x x x x x π=+=++=++， 当6x π=时，113()sin(2)sin 6662222f ππππ=⨯++=+=，所以6x π=函数()f x 的对称轴，故A 正确；由sin(2)[1,1]6x π+∈-，所以函数()f x 的最大值为32，最小值为12-，所以B 、C 不正确；又由12x π=时，11()sin(2)6126222f πππ=⨯++=+，所以(,0)12π-不是函数()f x 的对称中心，故D 不正确， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的公式的应用，以及函数sin()y A wx b ϕ=++的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．C解析：C 【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB =+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB ∴===++⋅=，3,AC OA ∴=与OB 夹角为60，且1,1OA OB AB ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆为直角三角形，故选C.15．B解析：B 【解析】 【分析】由平移变换得到()sin(22)3g x x πϕ=-+，由偶函数的性质得到sin(22)13x πϕ-+=±，从而求min 512πϕ=. 【详解】由题意得：()sin[2())]sin(22)33g x x x ππϕϕ=-+=-+， 因为()g x 为偶函数，所以函数()g x 的图象关于0x =对称，所以当0x =时，函数()g x 取得最大值或最小值，所以sin(2)13πϕ-+=±，所以2,32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得：1,22k k Z ππϕ=--∈，因为0ϕ>，所以当1k =-时，min 512πϕ=，故选B. 【点睛】平移变换、伸缩变换都是针对自变量x 而言的，所以函数()f x 向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x ，不能错误地得到()sin (2)3g x x x πϕ=+-.二、填空题16．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的 解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.17．【解析】【分析】通过寻找与特殊角的关系利用诱导公式及二倍角公式变形即可【详解】因为即所以所以所以又【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用意在考查学生分析解决问题的能力解析：2【解析】 【分析】通过寻找76︒，7︒与特殊角90︒的关系，利用诱导公式及二倍角公式变形即可． 【详解】因为sin76m ︒=，即()sin 9014m ︒-︒=，所以cos14m ︒=， 所以22cos 71m ︒-=，所以21cos141cos 722m+︒+︒==，又cos 7ο==【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，意在考查学生分析解决问题的能力．18．【解析】原式因为所以且所以原式 解析：2sin 4-【解析】原式2cos42sin4cos4==+-，因为53442ππ<<，所以cos40<，且sin4cos4<，所以原式()2cos42sin4cos42sin4=---=-．19．【解析】分析：根据向量的模求出•=1再根据投影的定义即可求出详解：∵||=1||=2|﹣|=∴||2+||2﹣2•=3解得•=1∴在方向上的投影是=故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影 解析：12【解析】分析：根据向量的模求出a •b =1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵|a |=1，|b |=2，|a ﹣b ∴|a |2+|b |2﹣2a •b =3， 解得a •b =1， ∴a 在b 方向上的投影是a b b⋅=12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．20．【解析】分析：先根据图像平移得解析式再根据图像性质求关系式解得最小值详解：因为函数的图象向左平移个单位得所以因为所以点睛：三角函数的图象变换提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也常出现在题目中所以也必须熟 解析：12π【解析】分析：先根据图像平移得解析式，再根据图像性质求φ关系式，解得最小值. 详解：因为函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位得()2sin(2())6g x x πφ=+-，所以2()()6122k k k Z k Z πππφπφ-=∈∴=+∈因为0φ>，所以min .12πφ=点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.21．【解析】分析：由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数详解：由题目约束条件可得到的不同解析式由（1）得周期由（2）得最值（有界）由（3）得对称中心因此可选三角函数点睛：解析：4()sin π3f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】分析：由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数. 详解：由题目约束条件可得到()f x 的不同解析式．由（1）得周期，由（2）得最值（有界），由（3）得对称中心，因此可选三角函数()4sin π3f x ⎛⎫=⎪⎝⎭. 点睛：正余弦函数是周期有界函数，既有对称轴也有对称中心，是一类有特色得函数.22．【解析】依题设由∥得解得解析：34-. 【解析】依题设，2(7,22),3(7,16)m n m n λλ-=-+=-+，由(2)m n -∥(3)m n +得，7(16)7(22)0λλ++-=，解得34λ=-. 23．【解析】由题意得即解得t=2；故答案为2 解析：12【解析】由题意得,1cos602a b a b ⋅=⨯⨯=， 0b c ⋅=,即()()()2111111022b ta t b ta b t b t t t ⎡⎤⋅+-=⋅+-=+-=-=⎣⎦， 解得t =2； 故答案为2.24．19【解析】设则也即是化简得到其中故填点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量它们的模长和夹角已知则其余的向量可以用基底向量去表示数量积也就可以通过基底向量解析：[1,9] 【解析】设,BM BC CN CD λλ==，则()()··AM AN AB BM AD DN =++，也即是()()··1AM AN AB BC AD DC λλ⎡⎤=++-⎣⎦，化简得到·98AM AN λ=-，其中[]0,1λ∈，故[]·1,9AM AN ∈，填[]1,9．点睛：向量数量积的计算有3个基本的思路：（1）基底法：如果题设中有一组不共线的向量，它们的模长和夹角已知，则其余的向量可以用基底向量去表示，数量积也就可以通过基底向量间的运算去考虑；（2）坐标法：建立合适的坐标系，把数量积的计算归结为坐标的运算；（2）靠边靠角转化：如果已知某些边和角，那么我们在计算数量积时尽量往这些已知的边和角去转化．25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想解析：垂心 【解析】 【分析】根据向量运算,用,,HA HB HC 表示出向量,,CA AB BC ,可得HC AB ⊥,从而可得. 【详解】因为BC HC HB =-,CA HA HC =-,AB HB HA =- 所以2222)(()HC HA HB HB HA HC +=--+ 整理得()0HC HB HA ⋅-=,0HC AB ⋅=,即AB HC ⊥; 同理可得AC HB ⊥,BC HA ⊥. 所以可知H 为垂心. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，三角形垂心的向量表示，考查转化化归思想.三、解答题 26． （Ⅰ）（Ⅱ）2，1-．【解析】 【分析】 【详解】（Ⅰ）因为()4cos sin f x x = 16x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭14cos cos 12x x x ⎫=⋅+-⎪⎪⎝⎭22cos 1cos22sin 26x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 最小正周期为π （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当ππ266x，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-．点睛：本题主要考查了两角和的正弦公式，辅助角公式，正弦函数的性质，熟练掌握公式是解答本题的关键.27．(1)45；(2). 【解析】【分析】 【详解】试题分析：（1）先判断4x π-的取值范围，然后应用同角三角函数的基本关系式求出sin()4x π-，将所求进行变形sin sin[()]44x x ππ=-+，最后由两角和的正弦公式进行计算即可；（2）结合（1）的结果与x 的取值范围，确定cos x 的取值，再由正、余弦的二倍角公式计算出sin 2x 、cos2x ，最后应用两角和的正弦公式进行展开计算即可. 试题解析：（1）因为3(,)24x ππ∈，所以(,)442x πππ-∈，于是sin()410x π-==sin sin[()]sin()cos cos()sin444444x x x x ππππππ=-+=-+-41021025=+=（2）因为3(,)24x ππ∈，故3cos 5x ===-2247sin 22sin cos ,cos 22cos 12525x x x x x ==-=-=-所以中sin(2)sin 2coscos 2sin333x x x πππ+=+= 考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角和与差公式；3.倍角公式；4.三角函数的恒等变换.28．（1）(,1]2-；（2. 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式整理()f x 可得：()sin(2)A f x x =-，再利用已知可得：522122A k πππ⨯-=+（k Z ∈），结合已知可得：3A π=，求得：(0,)2x π∈时，sin(2)123x π-<-≤，问题得解.（2）利用正弦定理可得：sin sin )+=+B C b c ，结合sin sin B C +=可得：8+=b c ，对a 边利用余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，结合已知整理得：13=bc ，再利用三角形面积公式计算得解.【详解】解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+--- sin cos()cos sin()x x A x x A =-+-sin(2)x A =-.因为()f x 在512x π=处取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k Z ∈, 即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以()sin(2)3f x x π=-.因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)123x π-<-≤，因为关于x 的方程()f x t =有解，所以t 的取值范围为(．（2）因为5a =，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin ()10+=+B C b c ．又sin sin B C +=，所以8+=b c . 由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，整理得：2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ， 所以13=bc ，所以1sin 2ABC S bc A ∆== 【点睛】本题主要考查了两角和、差的正弦公式应用，还考查了三角函数的性质及方程与函数的关系，还考查了正弦定理、余弦定理的应用及三角形面积公式，考查计算能力及转化能力，属于中档题．29．18【解析】 【分析】a b λ-与b c +用坐标表示，根据向量的平行坐标关系，即可求解.【详解】解：由题意得(12,22)a b λλλ-=-+，(1,3)b c +=， 因为a b λ-与b c +平行，所以(12)3(22)1λλ-⋅=+⋅， 解得18λ=． 因此所求实数λ的值等于18． 【点睛】本题考查平行向量的坐标关系，属于基础题.30．（1）见解析（2）命题①正确.见解析（3）充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈，见解析【解析】 【分析】（1）通过计算证明()()()21f x f x f x +=+-，即可得证；（2）根据函数关系代换()()()63f x f x f x +=-+=，即可证明周期性，举出反例()cos 34x h x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数；（3）根据充分性和必要性分别证明23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈.【详解】 （1）()()()()()2112coscoscos cos 333333x x x xf x f x ππππππ⎡⎤⎡⎤+++++=+=++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()112coscoscos1333x x f x πππ++===+∴()()()21f x f x f x +=+- ∴()cos3xf x A π=∈（2）命题①正确.集合A 中的元素都是周期函数. 证明：若()f x A ∈则()()()21f x f x f x +=+-可得()()()321f x f x f x +=+-+. 所以()()3f x f x +=-，从而()()()63f x f x f x +=-+=， 所以()f x 为周期函数，命题①正确；命题②不正确. 如()cos 34x h x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭不是偶函数，但满足()h x A ∈，这是因为 ()()11112cos cos 343343x x h x h x ππππππ⎡⎤⎡⎤++⎛⎫⎛⎫++=++++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()112cos 134x h x ππ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭∴()()()21h x h x h x +=+- ∴()h x A ∈（3）若()cos g x px A =∈则()()()21g x g x g x +=+-，()()()21g x g x g x ++=+∴()()cos 2cos cos 1p x px p x ++=+∴()()()cos 2cos 1cos 1p x p p x p p x ⎡⎤⎡⎤++++-=+⎣⎦⎣⎦ ∴()()2cos 1cos cos 1p x p p x +=+，可得∴2cos 1p = ∴23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈ 当23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈时()()()2cos 22cos 233g x g x k x k x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()cos 212cos 2123333k x k k x k ππππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()()2cos 21cos 2cos 211333k x k k x g x ππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴()cos g x px A =∈所以()cos g x px A =∈的充要条件是23p k ππ=+或()23p k k Z ππ=-+∈【点睛】此题考函数新定义问题，考查函数性质的综合应用，关键在于读懂题意，准确识别集合中函数的特征.。
2020-2021学年四川省成都市高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{x∈N*|x＜9}，集合A＝{3，4，5，6}U A＝（）A．{1，2，3，8}B．{1，2，7，8}C．{0，1，2，7}D．{0，1，2，7，8} 2．（5分）已知函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（ln4）＝（）A．2B．4C．6D．83．（5分）某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分．如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩（单位：分）（）A．20，88B．30，88C．20，82D．30，914．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣4B．0C．2D．45．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 6．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）x sin2x，则f′（0）＝（）A．2B．1C．0D．﹣17．（5分）已知M为圆（x﹣1）2+y2＝2上一动点，则点M到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值是（）A．B．2C．3D．48．（5分）已知直线l1：x+y+m＝0，l2：x+m2y＝0．则“l1∥l2”是“m＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，已知P A⊥平面ABC，P A＝AB＝BC＝2．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．10πC．12πD．48π11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx．若对任意x1，x2∈（0，2]，且x1≠x2，都有＞﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，8] 12．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，垂足为B，设C（2p，0），且△ACD的面积为2，则点F到准线l的距离是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上13．（5分）设复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．14．（5分）一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，看见不是红灯亮的概率为．15．（5分）已知关于x，y的一组数据：x1m345y0.50.6n 1.4 1.5根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为＝0.28x+0.16，则n﹣0.28m的值为．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝①函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增；②函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根；④记函数f（x）在[2k﹣1，2k]（k∈N*）k，则数列{a n}的前7项和为．其中所有正确结论的编号是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．若函数f（x）的图象在点（1，f（1）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．18．（12分）“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，75），[75，[80，85），90），[90，[95，100]（Ⅰ）求a的值，并估计这300名业主评分的中位数；（Ⅱ）若先用分层抽样的方法从评分在[90，95）和[95，100]的业主中抽取5人，求这2人中至少有1人的评分在[95，100]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，E为棱AP的中点，AB＝4（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，M是线段BP上的点，且BM＝2MP20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左1，F2，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C相交于A，B两点21．（12分）已知函数f（x）＝2ax﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，若x1，x2（0＜x1＜x2）满足f（x1）＝f（x2），证明：f（2ax1）+f（2ax2）＞4a2（x1+x2）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以O为极点，直线l的极坐标方程为＝0．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上任取一点（x，y），保持纵坐标y不变，将横坐标x伸长为原来的1.设直线l与曲线C1相交于M，N两点点P（﹣1，0），求|PM|+|PN|的值．2020-2021学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设全集U＝{x∈N*|x＜9}，集合A＝{3，4，5，6}U A＝（）A．{1，2，3，8}B．{1，2，7，8}C．{0，1，2，7}D．{0，1，2，7，8}【解答】解：∵U＝{1，2，7，4，5，7，7，8}，6，5，6}，∴∁U A＝{2，2，7，3}．故选：B．2．（5分）已知函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（ln4）＝（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（﹣2）＝log74＝2，f（ln7）＝e ln4＝4，∴f（﹣5）+f（ln4）＝2+2＝6．故选：C．3．（5分）某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分．如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩（单位：分）（）A．20，88B．30，88C．20，82D．30，91【解答】解：最大值为98，最小值为68．数据88出现3次，所以众数为88．故选：B．4．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣4B．0C．2D．4【解答】解：由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝经过点B（4，0）时x﹣，此时z最大，代入目标函数z＝x﹣2y，得z＝4﹣5×0＝4，故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a（）A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：因为双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a，所以焦点（c，0）到渐近线y＝＝2a，又c6＝a2+b2，所以b＝8a，所以＝2，所以双曲线的渐近线的方程为y＝±2x．故选：A．6．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）x sin2x，则f′（0）＝（）A．2B．1C．0D．﹣1【解答】解：f′（x）＝e x sin2x+2e x cos5x，∴f′（0）＝0+2＝3．故选：A．7．（5分）已知M为圆（x﹣1）2+y2＝2上一动点，则点M到直线x﹣y+3＝0的距离的最大值是（）A．B．2C．3D．4【解答】解：圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心坐标为（1，3），圆心（1，2）到直线x﹣y+3＝0的距离d＝，∴圆上的点M到直线x﹣y+3＝5的距离的最大值是．故选：C．8．（5分）已知直线l1：x+y+m＝0，l2：x+m2y＝0．则“l1∥l2”是“m＝1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由l1∥l2可得，3×m2﹣1×4＝0，解得m＝±1，∴“l5∥l2”是“m＝1”的必要不充分条件．故选：B．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝+的值，由于S＝++.....+++...+﹣＝．故选：C．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，已知P A⊥平面ABC，P A＝AB＝BC＝2．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．4πB．10πC．12πD．48π【解答】解：如图，由P A⊥平面ABC，求此类三棱锥外接球的问题，∵AB＝BC＝2，AC＝22+BC2＝AC5，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆的半径，锥高h＝P A＝2，设球的半径为R，由勾股定理2＝1+8＝3，∴三棱锥外接球的面积为S＝4πR6＝4π×3＝12π，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx．若对任意x1，x2∈（0，2]，且x1≠x2，都有＞﹣1，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，]D．（﹣∞，8]【解答】解：不妨设0＜x1＜x8≤2，可得g（1）+f（x2）＞x5﹣x2，因为g（）＝ln5﹣lnx1＝g（x2）﹣g（x3），所以g（x2）+f（x2）+x2﹣g（x1）﹣f（x1）﹣x2＞0，令h（x）＝f（x）+g（x）+x＝+lnx+x，所以h（x）在（5，2]上单调递增，所以h′（x）＝﹣++1≥4在（0，即a≤在（0，令m（x）＝，则m′（x）＝＝，所以当x∈（8，）时，m（x）单调递减，2]，m（x）单调递增，所以m（x）≥m（）＝，所以a≤，即实数a的取值范围是（﹣∞，】．故选：A．12．（5分）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，垂足为B，设C（2p，0），且△ACD的面积为2，则点F到准线l的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：抛物线y2＝2px（p＞6）的焦点F（，0），过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，又由C（2p，0）且|CF|＝|AF|，所以|CF|＝|AF|＝|AB|＝p，所以x A+＝，解得x A＝p，代入抛物线的方程，可得y A＝p，又由AB∥CF且AB＝CF，所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的中点，所以△ACD的面积为S△ACD＝S△ABC＝×××p＝8，解得p＝，所以点F到准线l的距离是，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上13．（5分）设复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：．14．（5分）一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，看见不是红灯亮的概率为．【解答】解：一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，绿灯的时间为40秒，由对立事件的概率可知，当到达路口时P＝1﹣．故答案为：．15．（5分）已知关于x，y的一组数据：x1m345y0.50.6n 1.4 1.5根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为＝0.28x+0.16，则n﹣0.28m的值为0.44．【解答】解：根据表格中的数据可得，，，∵线性回归直线方程为＝7.28x+0.16，∴，解得n﹣0.28m＝0.44．故答案为：4.44．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝①函数f（x）在（﹣6，﹣5）上单调递增；②函数f（x）的图象与直线y＝x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程[f（x）]2﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）恰有4个不相等的实数根；④记函数f（x）在[2k﹣1，2k]（k∈N*）k，则数列{a n}的前7项和为．其中所有正确结论的编号是①④．【解答】解：当x＝0时，f（0）＝0，若6＜x≤4，则0＜x﹣8≤2f（x﹣2）＝|x﹣3|﹣1），若6＜x≤6，则2＜x﹣3≤4f（x﹣2）＝|x﹣5|﹣1），作出函数x≥2的图象，如图所示：对于①，由图可知，6）上单调递增，由奇函数性质可知，函数f（x）在（﹣6，故①正确；对于②，可知函数在x＞8时的图象与直线y＝x有1个交点，结合函数的奇偶性可知，f（x）的图象与直线y＝x有3个不同的交点；对于③，设f（x）＝t4﹣（a+1）f（x）+a＝0（a∈R）的方程等价于t7﹣（a+1）t+a＝0，解得t＝a或t＝5，当t＝1时，即f（x）＝1对应一个交点为x3＝2，方程恰有4个不同的根（1）t＝a＝，即f（x）＝，且x2+x3＝8，x4＝4，此时3个实数根的和为8，（2）t＝a＝﹣，即f（x）＝﹣，且x5+x3＝﹣2，x7＝4，此时4个实数根的和为2，故③错误；对于④，函数f（x）在[1，即a1＝3，由函数解析式及性质可知，数列{a n}是首项为1，公比为，则数列的前7项和为＝，故④正确．故答案为：①④．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知函数f（x）＝，其中a∈R．若函数f（x）的图象在点（1，f（1）（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【解答】解：（I）f′（x）＝x2+ax﹣2，因为函数f（x）的图象在点（4，f（1））处的切线与直线2x+y﹣1＝7平行，所以f′（1）＝﹣2，即a﹣1＝﹣8．当a＝﹣1时，，所以函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为，即．满足题意，所以a＝﹣1．（II）由（I）可知，令f′（x）＝0，解得x＝﹣1或x＝4，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣4，2）2（7，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以当x＝﹣6时，f（x）取得极大值f（﹣1）＝2；当x＝3时，f（x）取得极小值．18．（12分）“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，75），[75，[80，85），90），[90，[95，100]（Ⅰ）求a的值，并估计这300名业主评分的中位数；（Ⅱ）若先用分层抽样的方法从评分在[90，95）和[95，100]的业主中抽取5人，求这2人中至少有1人的评分在[95，100]的概率．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：（0.025+0.035+a+8.050+0.030+0.020）×7＝1，解得a＝0.04．[70，80）的频率为（3.025+0.035）×5＝5.3，[80，85）的频率为0.04×7＝0.2，∴估计这300名业主评分的中位数为85．（Ⅱ）用分层抽样的方法从评分在[90，95）和[95，则从评分在[90，95）中抽取，从评分在[95，100）中抽取，∴从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，基本事件总数n＝，这2人中至少有1人的评分在[95，100]包含的基本事件个数m＝，∴这3人中至少有1人的评分在[95，100]的概率为P＝＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，E为棱AP的中点，AB＝4（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）若平面P AD⊥平面ABCD，M是线段BP上的点，且BM＝2MP【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点H，连接EH，在△P AB中，因为E，PB的中点，所以EH∥AB且EF＝，又DC∥AB且DC＝，所以EH∥DC且EH＝DC，故四边形CDEH为平行四边形，则DE∥CH，又DE⊄平面PBC，CH⊂平面PBC，故DE∥平面PBC；（Ⅱ）解：连接BD，因为DC∥AB，则BC⊥DC，在Rt△BCD中，因为DC＝BC＝2，所以BD＝，在直角梯形ABCD中，可得AD＝，在△ABD中，因为AD＝，所以AD2+BD2＝AB2，则BD⊥AD，取AD的中点O，连接PO，因为P A＝PD，则PO⊥AD，因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，取AB的中点N，ON⊥AD，所以PO，AD，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以，，设平面ADM的一个法向量为，则，可得，令z＝1，则，又平面ABD的一个法向量为，所以，故二面角M﹣AD﹣B的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左1，F2，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝，且椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆C相交于A，B两点【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，点P在椭圆C上1|＝2，由椭圆的定义，可得|PF5|＝2a﹣|PF1|＝2a﹣2，在△PF1F4中，由余弦定理可得4c2＝|PF4|2+|PF2|8﹣2|PF1|PF2|cos∠F1PF2，所以7c2＝4+（7a﹣2）2﹣6（2a﹣2）cos，化简得c2＝a2﹣3a+3，由椭圆C的离心率e＝＝，可得a＝2c，联立方程组，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝5，所以椭圆C的方程为+＝1．（Ⅱ）设A（x6，y1），B（x2，y4），联立，得（7k2+3）x4+8kmx+4m4﹣12＝0，由△＝16（12k2﹣7m2+9）＞6，可得4k2+2＞m2，则x1+x5＝，x1x6＝，所以|AB|＝|x1﹣x7|＝，因为坐标原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝••＝6•＝7•≤2•＝，当且仅当4k2+3﹣m2＝m2，即5k2+3＝2m2时，等号成立，满足4k8+3＝2m4＞m2，所以△OAB面积的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝2ax﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＞0时，若x1，x2（0＜x1＜x2）满足f（x1）＝f（x2），证明：f（2ax1）+f（2ax2）＞4a2（x1+x2）．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，①当a≤0时，在（0，f′（x）≤6恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减，②当a＞0时，则由f′（x）＝8，当x∈（5，）时，f（x）单调递减，当x∈（，+∞）时，f（x）单调递增，综上所述，当a≤0时，+∞）上单调递减，当a＞4时，f（x）在（0，，在（．（Ⅱ）证明：因为f（x3）＝f（x2），所以2ax2﹣lnx1＝2ax2﹣lnx2，所以＝2a，若证：f（2ax1）+f（8ax2）＞4a4（x1+x2），⇒3a（2ax1）﹣ln（4ax1）+2a（6ax2）﹣ln（2ax8）＞4a2（x3+x2），⇒ln（4a3x1x2）＜6，⇒4a2x7x2＜1，⇒（）2x1x2＜1，⇒（ln）2＜⇒（ln）5＜+﹣2，⇒（ln）2﹣﹣+2＜0，令t＝，t∈（0，则（lnt）4﹣t﹣+2＜6，所以t（lnt）2﹣t2﹣6+2t＜0，令g（t）＝t（lnt）5﹣t2﹣1+2t，t∈（0g′（t）＝（lnt）2+t•6lnt•﹣2t+3＝（lnt）2+2lnt﹣2t+2，t∈（0令h（t）＝（lnt）7+2lnt﹣2t+2，t∈（0h′（t）＝2lnt•+﹣2＝，令p（t）＝7lnt+2﹣2t，p′（t）＝﹣2＝，1）所以p′（t）＞0，所以p（t）在（4，1）上单调递增，所以p（t）＜p（1）＝2ln6+2﹣2×6＝0，所以h′（t）＜0，h（t）在（8，所以h（t）＞h（1）＝（ln1）2+5ln1﹣2×5+2＝0，所以g′（t）＞5，所以g（t）在（0，1）上单调递增，所以g（t）＜g（1）＝5×（ln1）2﹣22﹣1+5×1＝0，所以不等式f（8ax1）+f（2ax5）＞4a2（x8+x2）得证．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以O为极点，直线l的极坐标方程为＝0．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上任取一点（x，y），保持纵坐标y不变，将横坐标x伸长为原来的1.设直线l与曲线C1相交于M，N两点点P（﹣1，0），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（α为参数），得曲线C的普通方程x2+y2＝2，又由直线l的极坐标方程为＝2，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入；（Ⅱ）设曲线C上的任意一点（x，y）经坐标变换后对应的点为（x′，据题意，得，即，∵x2+y2＝3，代入可得1的普通方程为．∵直线l过定点P（﹣1，0）（t为参数），将直线l的参数方程代入曲线C1的普通方程，整理可得8t2﹣2t﹣2＝0．则，＜0且△＝84＞0，∴|PM|+|PN|＝|t7|+|t2|＝|t1﹣t6|＝＝．第21页（共21页）。
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）(2017·安庆模拟) 设集合U={1，2，3，4}，集合A={x∈N|x2﹣5x+4＜0}，则∁UA等于（）A . {1，2}B . {1，4}C . {2，4}D . {1，3，4}2. （2分） (2019高三上·浙江期末) 双曲线的焦点坐标为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·淮北模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A . 11B . 9C . 7D . 54. （2分）已知直线l∥平面α ，P∈α ，那么过点P且平行于直线l的直线A . 只有一条，不在平面α内B . 有无数条，不一定在平面α内C . 只有一条，且在平面α内D . 有无数条，一定在平面α内5. （2分）已知等边△ABC的两个顶点A（0，0），B（4，0），且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是（）A . y=﹣xB . y=﹣（x﹣4）C . y= （x﹣4）D . y= （x+4）6. （2分）已知，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2019高一上·平坝期中) 假如国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 200 km的某地，他应付的邮资是（）A . 5.00元B . 6.00元C . 7.00元D . 8.00元8. （2分） (2017高二上·集宁月考) 直线与椭圆相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）已知动点P在曲线上移动，则点与点P连线中点的轨迹方程是（）A .B .C .D .10. （2分）设，，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）以C（4，﹣6）为圆心，半径等于4的圆的方程为________．12. （1分）(2017·舒城模拟) 若三个非零实数：x（y﹣z）、y（z﹣x）、z（y﹣x）成等比数列，则其公比q=________．13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 若满足约束条件则的取值范围为________．14. （1分） (2019高一下·上海月考) 函数的最小正周期是________．15. （1分） (2019高一上·盘山期中) 已知，若，则实数的取值范围是________.16. （1分） (2019高三上·平遥月考) 已知正方形的边长为1，，，，则________.17. （1分） (2016高一上·虹口期末) 设f（x）=log2（2+|x|）﹣，则使得f（x﹣1）＞f（2x）成立的x取值范围是________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知2tanA=．（Ⅰ）若b2+c2﹣a2+mbc=0，求实数m的值；（Ⅱ）若a=，求△ABC周长L的最大值．19. （10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB 的中点．（Ⅰ）求证：AC1∥平面CDB1（Ⅱ）求证：AC⊥BC1（Ⅲ）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．20. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知Sn为等比数列{an}的前n项和•且S4=S3+3a3 ， a2=9．（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．21. （10分） (2017高二上·广东月考) 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过点，求实数的取值范围．22. （10分）已知函数，．（1）当时，证明：为偶函数；（2）若在上单调递增，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围，使在上恒成立．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分) 18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
四川省成都市2020年高二(下)数学期末联考试题含解析
四川省成都市2020年高二(下)数学期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹. 古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如 8455 用算筹表示就是，则以下用算筹表示的四位数正确的为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意直接判断即可.【详解】根据“各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示”的原则，只有D符合，故选D.【点睛】本题主要考查合情推理，属于基础题型.2．为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14）内的频数为（）A ．780B ．680C ．648D ．460【答案】B 【解析】试题分析：频率分布直方图中每个小方块的面积就是相应的频率，因此所求结论为1000(0.0240.0342)1000680-⨯+⨯⨯⨯=.考点：频率分布直方图.3．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（ ） A ．435B ．635C ．1235D ．1835【答案】C 【解析】 【分析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是48C ，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得． 【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是4870C =，以A 为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：111111111111,,,,,A A D C A A B C A BB C A BCC A DCC DD C A ------共6个．同理以1111,,,,,,B C D A B C D 为顶点的也各有6个， 但是，所有列举的三棱锥均出现2次，∴四个面都是直角三角形的三棱锥有186242⨯⨯=个， ∴所求的概率是24127035= 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型问题，解题关键是掌握将问题转化为从正方体中任选四个顶点问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.4．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（ ） A ．二升 B ．三升C ．四升D ．五升【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案． 【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升， 则中三节容量为4232+=，故选B ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 5．已知复数32i4iz x +=-，若z ∈R ，则实数x 的值为( ) A ．6- B ．6C ．83D ．83-【答案】D 【解析】 【分析】 根据题目复数32i4iz x +=-，且z ∈R ，利用复数的除法运算法则，将复数z 化简成a bi +的形式，再令虚部为零，解出x 的值，即可求解出答案． 【详解】2232i 12238i 4i 1616x x z x x x +-+==+-++， ∵z ∈R ，∴380x +=，则83x =-．故答案选D ．【点睛】本题主要考查了利用复数的除法运算法则化简以及根据复数的概念求参数． 6．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3- B ．4ln3+C ．4ln3-D ．329【答案】C【详解】由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1111331131(31)323ln |2S dx x x x ⎛⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln3S =-，故选C.7．设a b c >>，且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是() A ．ab bc > B ．ac bc > C ．a b c b > D ．ab ac >【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析选项，得到正确答案. 【详解】由已知可知0,0a c ><，b 可以是正数，负数或0， A.不确定，所以不正确；B.当a b >时，两边同时乘以c ，应该ac bc <，所以不正确；C.因为b 有可能等于0，所以a b c b ≥，所以不正确；D.当b c >时，两边同时乘以a ，ab ac >，所以正确. 故选D. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属于简单题型.8．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大 D ．()D ξ先增大后减小【答案】D先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+Q ， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++，1(0,1)2∈Q ，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().n n ni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑9．在101)x的展开式中，x 的幂指数是整数的共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项【答案】D 【解析】 【分析】根据题目，写出二次项展开式的通项公式，即可求出x 的幂指数是整数的项的个数。
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·上高模拟) 在复平面中，复数对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A . m与n重合B . m与n平行C . m与n交于点（，）D . 无法判定m与n是否相交3. （2分）利用数学归纳法证明“，（a ≠1，n N）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a34. （2分） (2015高二下·周口期中) 函数F（x）= t（t﹣4）dt在[﹣1，5]上（）A . 有最大值0，无最小值B . 有最大值0，最小值C . 有最小值，无最大值D . 既无最大值也无最小值5. （2分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A . 18B . 36C . 72D . 1086. （2分）抛掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·中原模拟) 已知，若曲线上存在不同两点，使得曲线在点处的切线垂直，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·长春模拟) 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A . 图1B . 图2C . 图3D . 图410. （2分）设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f''(x),若在(a,b)上,f''(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当时,在(-1,2)上是“凸函数”.则f(x)在(-1,2)上（）A . 既有极大值,也有极小值B . 既有极大值,也有最小值C . 有极大值,没有极小值D . 没有极大值,也没有极小值11. （2分）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·孝感期末) 设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A . （﹣1，0）∪（1，+∞）B . （﹣1，0）∪（0，1）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·上海理) 在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π +8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．14. （1分）(2018·中山模拟) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与与的卡片不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15. （1分） (2018高二下·晋江期末) 已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．16. （1分） (2018高三上·福建期中) 函数，，若函数，且函数的零点均在内，则的最小值为________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高三上·莆田期中) 已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为 80,90 、 90,100 、 100,110 、 110,120 、 120,130 ，由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：附：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5. 024 6.6357.87910.828（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5 的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班50乙班50合计100（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？19. （5分）设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求+的最小值．20. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C2 ．（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= 与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．21. （10分）(2017·滨州模拟) 春节期间商场为活跃节日气氛，特举行“购物有奖”抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，每次中奖可以获得20元购物代金券，方案乙的中奖率为，每次中奖可以获得30元购物代金券，未中奖则不获得购物代金券，每次抽奖中奖与否互不影响，已知小明通过购物获得了2次抽奖机会．（1）若小明选择方案甲、乙各抽奖一次，记他累计获得的购物代金券面额之和为X，求X≤30的概率；（2）设小明两次抽奖都选择方案甲或都选择方案乙，且都选择方案乙时，已算得，累计获得的购物代金券面额之和X1的数学期望E（X1）=24，问：小明选择这两种方案中的何种方案抽奖，累计获得的购物代金券面额之和的数学期望较大？22. （10分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程。
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·辽宁模拟) 已知集合，，则A .B .C .D .2. （2分）设 a 是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上，则 a 的值为（）A . -1B . 0C . 1D . 23. （2分）(2016·四川文) 已知正三角形ABC的边长为2 ，平面ABC内的动点P，M满足| |=1，= ，则| |2的最大值是（）A .B .C .D .4. （2分）用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗（）A . 3次B . 4次C . 5次D . 5次以上5. （2分） (2019高三上·清远期末) 从1名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A . 0.3B . 0.4C . 0.5D . 0.66. （2分）若函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）的图象，则下列说法错误的是（）A . y=g（x）的最小正周期为πB . y=g（x）的图象关于直线x= 对称C . y=g（x）在[﹣， ]上单调递增D . y=g（x）的图象关于点（，0）对称7. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 在中，“ ” 是“ 为钝角三角形”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）设,当实数x,y满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则m的值是（）A . 2B . 3C .D .10. （2分） (2019高三上·安徽月考) 设函数，下列四个结论：① 的最小正周期为；② 在单调递减；③ 图像的对称轴方程为；④ 在有且仅有2个极小值点.其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2018高二上·河北月考) 过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n满足的关系式是（）A . (m－2)2＋n2＝4B . (m＋2)2＋n2＝4C . (m－2)2＋n2＝8D . (m＋2)2＋n2＝812. （2分）定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则（）A . f(sin)<f(cos)B . f(sin1)>f(cos1)C . f(cos)<f(sin)D . f(cos2)>f(sin2)二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5 ，其中a0 ， a1 ，a2 ，…，a5为实数，则a2=________．14. （1分）(2018·栖霞模拟) 若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为________．15. （2分）如图，过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线与圆（x﹣2）2+y2=4于A，B，C，D四点，则|AB|•|CD|=________．16. （2分） (2018高一下·珠海月考) 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为________.三、解答题 (共6题；共52分)17. （5分） (2016高一下·锦屏期末) 在等差数列{an}中，前n项和为Sn ，若a10=18，S5=﹣15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求S3﹣S4的值．18. （10分） (2017高二上·中山月考) 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．19. （15分） (2018高一下·贺州期末) 为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天的PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）是监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度的频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表.甲地20天PM2.5日平均浓度频率分布直方图乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）（2）求甲地20天PM2.5日平均浓度的中位数；（3）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：记事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为不满意”。
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷1.若集合，，则集合B的真子集个数为（）A．5B．6C．7D．82.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．44.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．726.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．众数7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数是（）A．8B．6C．4D．29.如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为10.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A．B．C．D．11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（）A．服从超几何分布B．服从二项分布C．D．若，则12.已知函数，则__________.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．14.若不等式恒成立，则的最小值为______________________．15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：036912151821242 1.51 1.52 1.51 1.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？16.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.(1)求证：平面；(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.18.已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.(1)若，求的坐标；(2)若，求的坐标（用表示）；(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求的取值范围.。
2022届四川省成都市高二下数学期末考试试题含解析
2022届四川省成都市高二(下)数学期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设0x 为方程28x x +=的解.若0(,1)()x n n n N +∈+∈，则n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22xn-2y =1的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且112PF F F ⊥，那么椭圆M 和双曲线N 的离心率之积为（ ）A ．2B ．1C ．22D ．123．设集合，，则（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知函数1()ln xf x x ax-=+，若函数()f x 在[1∞,+）上为增函数，则正实数a 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．[1,)+∞C ．()0,1D ．(01]，5．设随机变量ξ～N （μ，σ2），函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5，则μ等于（ ） A ．1B ．4C ．2D ．不能确定6．定义函数()g x 为不大于x 的最大整数，对于函数()()f x x g x =-有以下四个命题：①(2018.67)0.67f =；②在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数；③1155f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1).其中真命题的序号是（ ） A ．③④B ．①③④C ．②③④D ．①②④7．在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ） A ．36种B ．24种C ．22种D ．20种8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．13B ．2C ．-3D ．12-9．已知复数满足，则的虚部为（ ）A ．-4B ．C ．4D ．1052，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，则P 点到SA 所在直线的距离的最大值是（ ） A 25B 45C ．3D ．411．在“新零售”模式的背景下,自由职业越来越流行，诸如:淘宝网店主、微商等等.现调研某自由职业者的工资收入情况.记x 表示该自由职业者平均每天工作的小时数，y 表示平均每天工作x 个小时的月收入.x （小时）2 3 4 5 6 y （千元）2.5344.56假设y 与x 具有线性相关关系，则y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点( ) A ．()3,3B ．()3,4C ．()4,4D ．()4,512．己知变量x ，y 的取值如下表： x 3 4 5 6 y2.5344.5由散点图分析可知y 与x 线性相关，且求得回归方程为$ˆ0.7y x a =+，据此预测：当9x =时，y 的值约为 A ．5.95B ．6.65C ．7.35D ．7二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设向量()1,2,a λ=v ，()2,2,1b =-v ，若4cos ,9a b =v v ，则实数λ的值为________.14．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车应是____台． 15．若随机变量ξ的分布列如表所示，则()21D ξ-=______.16．已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()1x f x e x =--（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围． 18．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（θ为参数），M 为曲线1C 上的动点，动点P 满足OP aOM =u u uv u u u u v（0a >且1a ≠），P 点的轨迹为曲线2C . （1）求曲线2C 的方程，并说明2C 是什么曲线；（2）在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为(2,)3π，射线θα=与2C 的异于极点的交点为B ，已知AOB ∆面积的最大值为4+a 的值.19．（6分）已知函数()1212xxa f x -⋅=+是R上的奇函数(a 为常数)，()22g x x x m =-+，m R ∈. （1）求实数a 的值；（2）若对任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()()ln ln 22ln 2f t f t t +->-成立，求证实数t 的取值范围.20．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是1 x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3sin cos 0m ρθρθ-+=．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点(,0)P m ，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且||||2PA PB ⋅=，求实数m 的值．21．（6分）如图，1l ,2l 是经过小城O 的东西方向与南北方向的两条公路，小城P 位于小城O 的东北方向，直线距离52OP km =.现规划经过小城P 修建公路AB (A ,B 分别在1l 与2l 上)，与1l ,2l 围成三角形区域AOB .(1)设BAO θ∠=，02πθ<<,求三角形区域AOB 周长的函数解析式()L θ;(2)现计划开发周长最短的三角形区域AOB ，求该开发区域的面积.22．（8分）如图所示，在边长为8的正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD BC ⊥，EH BC ⊥，FG BC ⊥，D 、H 、G 为垂足，若将ABC ∆绕AD 旋转180o ，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】由题意可得0028xx +=，令()28xf x x =+-，由()()20,30f f <>，可得0(2,3)x ∈，再根据0(,1)x n n ∈+，即可求解n 的值.【详解】有题意可知0x 是方程28x x +=的解，所以0028xx +=，令()28xf x x =+-，由()()220,330f f =-=，所以0(2,3)x ∈，再根据0(,1)()x n n n N +∈+∈，可得2n =，故选B.【点睛】本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及函数的零点的判定定理的应用，其中解答中合理吧方程的根转化为函数的零点问题，利用零点的判定定理是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题. 2．B 【解析】 【分析】根据题意得到21||||,||||PF m n PF m n =+=-，根据勾股定理得到2||mn c =，计算得到答案.【详解】12F F 为椭圆M:22x m +22y =1和双曲线N:22x n-2y =1的公共焦点 故21212||,2||PF PF m PF PF n +=-=，故21||||,||||PF m n PF m n =+=-112PF F F ⊥，故()222||||(||||)4m n m n c +=-+即2||mn c =2121||||||c c c e e m n mn =⋅==故选：B 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力. 3．D 【解析】 【分析】根据交集定义求解． 【详解】 由题意．故选D ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题．4．B 【解析】 【分析】求f （x ）的导数f ′（x ），利用f ′（x ）判定f （x ）的单调性，求出f （x ）的单调增区间，即得正实数a 的取值范围． 【详解】∵f （x ）1xax -=+lnx （a ＞0）， ∴f ′（x ）21ax ax -=（x ＞0），令f ′（x ）＝0，得x 1a =，∴函数f （x ）在（0，1a ]上f ′（x ）≤0，在[1a ，+∞）上f ′（x ）≥0，∴f （x ）在（0，1a ]上是减函数，在[1a，+∞）上是增函数；∵函数f （x ）在区间[1，+∞）内是增函数， ∴1a≤1，又a ＞0，∴a ≥1， ∴实数a 的取值范围是[1，+∞）； 故选：B ． 【点睛】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题． 5．B 【解析】试题分析：由题中条件：“函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点”可得ξ＞4，结合正态分布的图象的对称性可得μ值．解：函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点， 即二次方程x 2+4x+ξ=0无实根得ξ＞4， ∵函数f （x ）=x 2+4x+ξ没有零点的概率是0.5， ∴P （ξ＞4）=0.5，由正态曲线的对称性知μ=4， 故选B ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 6．D 【解析】【分析】画出函数()()f x x g x =-的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假. 【详解】画出()()f x x g x =-的图象，如图所示，可知()f x 是最小正周期为1的函数，当[0,1)x ∈时，()f x x =，可得(201867)(0.67)0.67f f ==.，①正确； 由图可知，在每一个区间[,1)k k +，k Z ∈上，()f x 都是增函数，②正确； 由图可知，()y f x =的定义域是R ，值域是[0,1)，④正确； 由图可知，141555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③是错误的. 真命题的序号是①②④，故选D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 7．B 【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有3232A A =12种推荐方法；②、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有222322C A A =12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法，故选B ．8．A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到i 、S 的值，可得答案 【详解】第1次执行循环体后：3S =-，2i =； 第2次执行循环体后：12S =-，3i =； 第3次执行循环体后：13S =，4i =； 第4次执行循环体后：2S =，5i =； 经过4次循环后，可以得到周期为4，因为20205054=，所以输出S 的值为13，故选A ． 【点睛】本题考查程序框图的问题，本题解题的关键是找出循环的周期，属于基础题． 9．D 【解析】 试题解析：设∴，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念 10．C 【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解P 的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为5，高为2，SA 是一条母线，P 点是底面圆周上一点，P 在底面的射影为O ；543SA =+=，OA SO >，过SA 的轴截面如图：90ASQ ∠>︒，过Q 作QT SA ⊥于T ，则QT QS <，在底面圆周，选择P ，使得90PSA ∠=︒，则P 到SA 的距离的最大值为3，故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题． 11．C 【解析】分析：先求均值，再根据线性回归方程性质得结果. 详解：因为23456 2.534 4.564,455x y ++++++++====，所以线性回归方程ˆˆˆybx a =+必经过点()4,4, 选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求$,a b$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y . 12．B 【解析】 【分析】先计算数据的中心点，代入回归方程得到ˆa，再代入9x =计算对应值. 【详解】34564.54x +++==2.534 4.53.54y +++==数据中心点为(4.5,3.5)代入回归方程ˆˆ3.50.7 4.50.35a a =⨯+⇒= $0.70.35y x =+当9x =时，y 的值为6.65 故答案选B 【点睛】本题考查了数据的回归方程，计算数据中心点代入方程是解题的关键，意在考查学生的计算能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2或1227-. 【解析】 【分析】由公式4cos ,9a b a b a b ⋅==⋅r rr r r r 结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数λ的方程，解出该方程可得出实数λ的值. 【详解】()1,2,a λ=r Q ，()2,2,1b =-r ，246a b λλ⋅=+-=-r r ，25a λ=+r ，3b =r ，24cos ,953a b a b a b λ⋅===+⨯⋅r rr r r r ，则606λλ->⇒<，解得2λ=或1227-.故答案为2或1227-. 【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 14．30； 【解析】 【分析】根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例，与总体中乙种型号的吊车的比例相等. 【详解】抽到乙种型号的吊车台，则，解得：.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样. 15．114【解析】 【分析】先由分布列，根据概率的性质求出a ，再求出期望，根据方差的计算公式，即可得出结果. 【详解】由分布列可得：2114a a ++=，解得12a =， 所以()11111012444E ξ=-⨯+⨯+⨯=-，因此()22211111191251110142444432646416D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯++⨯=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()()2112124D D ξξ-=⋅=. 故答案为：114.【点睛】本题主要考查求离散型随机变量的方差，熟记计算公式即可，属于常考题型.16．52【解析】【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p ，然后求解准线方程，即可推出结果。
2023学年成都市蓉城高二数学(下)期末考试卷附答案详析
2023学年成都市蓉城高二数学（下）期末考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若1122S =，则6a =（）A ．2B ．3C ．10D ．42．若()665432165432101x a x a x a x a x a x a x a +=++++++，则654321a a a a a a -+-+-0a +=（）A ．1-B ．1C ．64D ．03．已知在四面体O ABC -中，,,3,,1a OA OB OC OM MA N b c ==== 为BC 的中点，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=（）A ．3B ．34C ．12D ．134．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5761322a a a ，，成等差数列，则10482a a a a ++（）A ．3B ．6C ．9D ．185．若函数()2ln (0,0)f x ax b x a b =+>>在点()()1,1f 处的切线的斜率为1，则11a b+的最小值为（）A ．12B．2+C．3+D．6．某市人民政府新招聘进5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则不同的方案数为（）A ．52B ．60C ．72D ．3607．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》中，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列{}n a 的前四项分别为:2,3,8,17，则下列说法错误的是（）A ．0n a >B ．11192a =C ．数列{}n a 是单调递增数列D ．数列n a n ⎧⎫⎨⎩⎭有最大项8．已知直线y kx =与双曲线()2222:10x yC b a a b-=>>分别相交于A B ，两个不同的点，P 是双曲线上不同于A B ，的一点，设直线AP BP ，的斜率分别为12k k ，，则当)3ee 2.7b a≈取得最小值时，双曲线C 的离心率为（）A ．72BC ．53D ．2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．等差数列{}n a 的前n 项和为1214,0,0n S a a a >+=，则（）A ．80a =B ．1n na a +<C ．79S S <D ．当0n S <时，n 的最小值为1610．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，现给出定义:设()f x '是函数()f x 的导数，()''f x 是()f x '的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()(),x f x 为函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数()321132f x x x =+，则（）A ．函数()f x 有三个零点B ．函数()f x 有两个极值点C ．点11,212⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心D ．方程()1010f x -=有三个不同的实数根11．已知数列{}n a的通项公式为n a =，前n 项积为n S ，则下列说法正确的是（）A ．在数列{}n a 中，10a 是最大项B ．在数列{}n a 中，9a 是最小项C ．数列{}n S 单调递减D ．使n S 取得最小值的n 为9三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为13．已知数列{}n a 满足()()1221122,n n n a n a a a a n +⎧+⎪===⎨⎪⎩，为奇数，，，为偶数，若n S 为数列{}n a 的前n项和，则10S =14．已知关于x 的不等式()()2e xx ax a x -<-∈R (其中1a <)的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足54219S a =+，12,,a a 7a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .16．某家会员足够多的知名水果店根据人的年龄段办理会员卡，“年龄在20岁到34岁之间的会员”为1号会员，占比20%，“年龄在35岁到59岁之间的会员”为2号会员，占比50%，“年龄在60岁到80岁之间的会员”为3号会员，占比30%，现对会员进行水果质量满意度调查.根据调查结果得知，1号会员对水果质量满意的概率为122，号会员对水果质量满意的概率为335，号会员对水果质量满意的概率为23.(1)随机选取1名会员，求其对水果质量满意的概率;(2)从会员中随机抽取2人，记抽取的2人中，对水果质量满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.17．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，O D ，分别是1AB CC ，的中点.(1)证明://OD 平面11AC B ;(2)若1160AC OA BAA ∠⊥=，，且12,AB AA AC BC ====，求直线11B C 与平面11AA C 所成角θ的正弦值.18．已知点P 为椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>上任一点，椭圆的短轴长为，离心率为2.(1)求椭圆W 的标准方程;(2)若点Q 是抛物线2:4C x ay =的准线上的任意一点，以PQ 为直径的圆过原点O ，试判断2211OPOQ+是否为定值?若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.19．已知函数()()()e ln 1ln 0xf x x x a a =-++->.(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程；(2)若()()1f x a x ≥+恒成立，求a 的取值范围；(3)求证:()()()*111tan11tan 1tan 1tan 1ln 123f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++->+∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N 1．A【分析】先根据等差数列求和公式化简即得.【详解】{}n a 是等差数列，可得()1111611101111511222dS a a d a ⨯=+=+==,所以62a =.故选：A.2．D【分析】利用赋值法，将=1x -代入可求得结果.【详解】令=1x -，则()6654321011a a a a a a a -+=-+-+-+，所以65432100+-++=--a a a a a a a ，故选：D 3．B【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解.【详解】111111224422MN ON OM OC OB OA a b c =-=+-=-++，又MN xa yb zc =++ ，所以141212x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以34x y z ++=.故选：B4．C【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.【详解】若等比数列{}n a 的各项均为正数，所以公比0q >，且57613,,22a a a 成等差数列，可得654765765111122323232a a a a a a a q a q a q ⨯=+=+=+，，,即得()()2223230310,q q q q q q =+--=-+=，，可得3q =，932104117182119a a a q a q q a a a q a q++===++.故选：C.5．C【分析】根据题意，(1)21f a b '=+=，结合基本不等式求最值.【详解】根据题意，()2ln (0,0)f x ax b x a b =+>>，则2()bf x a x'=+，(1)21f a b '=+=，因为0,0a b >>，所以()1111223332b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即1a ==-时，等号成立,所以11a b +的最小值为3+.故选：C 6．B【分析】先分人数分组，再结合要求应用排列分部门即可.【详解】5名应届大学毕业生，分配给教育、卫生、医疗、文旅四个部门，每人只去一个部门，人数分配为2,1,1,1,可得111223215533C C C C =C A ,若教育部门必须安排2人，其余部门各安排1人，则可得2353C A =60.故选：B.7．D【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列{}1n n a a +-的通项公式，从而可得数列{}n a 是单调递增数列，则0n a >，A 、C 不符合题意；再利用累加法计算可判断B ；借助基本不等式判断D.【详解】设该数列为{}n a ，则12342,3,8,17a a a a ====；由二阶等差数列的定义可知，2132431,5,9a a a a a a -=-=-=⋅⋅⋅，所以数列{}1n n a a +-是以211a a -=为首项，公差4d =的等差数列，即143n n a a n +-=-，所以10n n a a +->，即数列{}n a 是单调递增数列，10a >，则0n a >，A 、C 不符合题意；所以21324311,5,943n n a a a a a a a a n +-=-=-=⋅⋅⋅-=-，，，将所有上式累加可得2211222n a a n n n n +=+-=-+，所以11192a =，即该数列的第11项为11192a =，B 不符合题意；由于2255n a n n =-+，则52555n a n n n =+-≥=，当且仅当52n n =，即n =但由于*n ∈N ，2132,22a a ==即数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最小值为32，而当1n >时，na n单调递增，所以无最大值，D 符合题意.故选：D.8．C【分析】联立方程求出,A B 的坐标，通过运算得到2122b k k a =)3e e 2.7ba≈，令(),1b x x a =>，设()3e ,11xy x x =>-，利用导数研究函数最值，从而得b a 的值，即可求解.【详解】将y kx =代入双曲线方程22221x ya b-=中，整理得()222222b a kx a b -=，得222222a b x b a k=-，设()()1100,,,A x y P x y ，则()222111222,,a b B x y x b a k --=-，()222222022102222,b x a a b k y y b a k a -==-，所以()()()()()222222022222201010112222220101010222b x a a b k y y y y y y a b a k k k a b x x x x x x x b a k ---+--===-+---，()()()22222242202242222b x a b a k a b k a x a bb a k-----=()()2222222220022222002222b b x a k x a b b aa x ba x a kb --==--33e e1bb a ab a=-，令(),1b x x a =>，设()3e ,11x y x x =>-，则()()()()333223e 1e e 3411x xx x x y x x ---'==--，当413x <<时，0'<y ，所以函数单调递减，当43x >时，0'>y ，所以函数单调递增，则当43x =时，函数取得最小值，此时43b a =，所以2222221619b c a e a a-===-，解得2259e =，所以53e =.故选：C ．【点睛】关键点点睛：直线方程与曲线方程联立后通过运算得到2122b k k a =，从而令(),1b x x a =>，设()3e ,11xy x x =>-，利用导数研究最值.9．ABD【分析】对于A ，由等差数列性质即可判断；对于B ，由公差的定义即可判断；对于C ，作差结合公差小于0即可判断；对于D ，只需注意到178********a a a a a a a a >>>=>=->>=->> ，由此即可判断.【详解】对于A ，由题意214802a a a +==，故A 正确；对于B ，8111077n n a a ad a a +-=-==-<，其中d 为等差数列的公差，即1n n a a +<，故B 正确；对于C ，()()7989820S S a a a d d -=-+=-+=->，即79S S >，故C 错误；对于D ，由题意178********a a a a a a a a >>>=>=->>=->> ，从而当*15,N n n ≤∈，0n S ≥，且()1611680S a a =+<，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】利用导数研究()f x 的单调性，根据零点的定义与存在性定理即可判断A ；根据极值点的定义即可判断B ；根据拐点的定义即可判断C ；根据数形结合的思想即可判断D.【详解】由()321132f x x x =+得()()2,21f x x x f x x ''='=++，令()()010,01f x x f x x ''<⇒-<⇒<-或0x >，所以()f x 在(1,0)-单调递减，在(,1)-∞-、(0,)+∞单调递增.A ：因为12(1)0,(0)0,(2)063f f f -=>=-=-<，所以()f x 在(2,1)--存在1个零点，故()f x 在R 上有2个零点，故A 错误；B ：()f x 的极大值点为=1x -，极小值点为0x =，所以()f x 有2个极值点，故B 正确；C ：令()210f x x '+'==，得12x =-，11212f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以11,212⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的拐点，进而是()f x 的对称中心，故C 正确；D ：因为()f x 的极大值为1(1)6f -=，极小值为(0)0f =，作出直线110y =与函数()f x 的图象，如图，由图可知，直线110y =与函数()f x 的图象有3个交点，所以方程1()10f x =有3个不同的实根，故D 正确.故选：BCD 11．ABD【分析】判断数列{}n a 的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B 选项，再根据项与1的大小关系判断n S 的单调性及最值判断C ，D 选项即可.【详解】1n a =+9n ≤时n a 随着n 的增大越来越小且小于1，当10n ≥时n a 随着n 的增大越来越小且大于1，则前n 项中最大项为10a ，最小项为9a ，故A ，B 选项正确；当19n ≤≤时，*011,,n a n <=<∈N当10n ≥时，*10911,,n a n S S =+∈>N ,所以数列{}n S 不是单调递减，C 选项错误；前n 项积n S 取得最小值时n 为9，故D 选项正确.故选：ABD.12．20【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解.【详解】二项式61(x x+展开式的通项公式为662166C C r r r r rr T x x x ---+=⋅=，令620r -=，解得3r =，所以61()x x+展开式的常数项为36C 20=.故答案为：2013．77【分析】根据等差数列及等比数列求和公式分组求和计算即可.【详解】因为当n 为奇数时21n n a a +=+为等差数列，公差为1，11a =,1357954511152a a a a a ⨯++++=⨯+⨯=;当n 为偶数时22n n a a +=为等比数列，公比为2，22a =,()52468102126212a a a a a -++++==-;所以()()101392410156277S a a a a a a =+++++++=+= .故答案为：77.14．3234,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】不等式2()e x x ax a -<-可转化为()2e (1)()x f x x a x g x =<-=，利用导数研究函数()f x 的性质，数形结合分析当不等式()()f x g x <解集中恰有两个整数时a 应满足的条件，列不等式组求解即可.【详解】不等式2()e x x ax a -<-可转化为2e (1)x x a x <-，设()2e x f x x =（x ∈R ），则)e ()2(1x f x x =+'，令()01,()01f x x f x x '<⇒<>'-⇒>-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且()21ef --=，()00f =，且当x →-∞时，()f x →-∞，作出()f x图象，如图所示，令()()1g x a x =-，()10g =，则直线()g x 恒过定点(1,0).要使()()1f x a x <-恰有两个整数解，由图可知0a ≤不合题意，所以01a <<，两个整数解为1,2--，则()()()()()()2211334e 2234e 31122e 2e 3346e 3e 2a g f a g f a a g f a a ------⎧<⎪⎧⎧->-->-⎪⎪⎪->-⇒->-⇒<⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≤--≤-⎩⎩⎪≥⎩，解得3234,2e 3e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即实数a 的取值范围为3234,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3234,2e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数()f x 的性质，数形结合分析当不等式()()f x g x <解集中恰有两个整数时满足()()()()()()221133g f g f g f ⎧->-⎪->-⎨⎪-≤-⎩，即为所求.15．(1)43n a n =-(2)41n n T n =+【分析】（1）由已知条件利用等差数列的前n 项和公式和通项公式以及等比数列的性质，求出首项和公差，由此能求出43n a n =-.（2）利用裂项相消法求出数列{}n b 前n 项和n T .【详解】（1）等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足54219S a =+，12,,a a 7a 成等比数列，依题意得()()112111545261926a d a d a d a a d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪+=+⎩，化简得1134194a d a d +=⎧⎨=⎩，解得114a d =⎧⎨=⎩，43n a n ∴=-.（2）1111()(43)(41)44341n b n n n n ==--⨯+-+，则1111111111111(1)(()()(1)4545949134434144141n nT n n n n =-+-+-++-=-=-+++ .16．(1)35(2)分布列见解析；()65E X =【分析】（1）由题意，根据全概率公式计算即可求解；（2）由题意知3(2,5X B ，利用二项分布求出对应的概率，列出X 的分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）设事件A ：随机选取1名会员，其对水果质量满意.则1323()0.20.50.32535P A =⨯+⨯+⨯=；（2）X 的可能取值为0,1,2，则3(2,5X B ，0022324(0)C ()()5525P X ===，11123212(1)C (()5525P X ===，2202329(2)C ()()5525P X ===，所以X 的分布列为X012P4251225925所以36()255E X np ==⨯=.17．(1)证明见解析(2)427【分析】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，可得四边形1OEC D 为平行四边形，则有1//OD C E ，利用线面平行的判定定理可证得//OD 平面11AC B ；（2）可证得1A O ⊥平面ABC ，以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线11B C 与平面11A AC 所成的角正弦值.【详解】（1）连接1A B 交1AB 于点E ，连接OE ，1C E ，∵O ，E 分别是AB ，1AB 的中点，D 为1CC 的中点，∴11111////,2OE BB DC OE BB DC ==，∴四边形1OEC D 为平行四边形，则1//OD C E ．∵OD ⊄平面11AC B ，1C E ⊂平面11AC B ，∴//OD 平面11AC B ．（2）连接OC ，∵160BAA ∠=︒，12AB AA ==,∴1BAA 为正三角形，∴1A O AB ⊥，∵1A O AC ⊥，且AC AB A ⋂=都在面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ，而OC ⊂面ABC ，故1A O CO ⊥，由2,AB AC BC ===，易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CO AB ⊥，1A O CO⊥以O 为原点，OA ，1OA ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，12,AB AA AC BC ====()1,0,0A ，()1A ，()0,0,1C ，()1,0,0B -，由11BC B C =，可得()111,0,1B C = ，且()111,0,1AC AC ==-，()1AA =- ，设平面11A AC 的法向量为(),,m x y z =，∴11100A C m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z x -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令x =m =，设直线11B C 与平面11A AC 所成的角为θ，则1111sin m B C m B C θ⋅==，即直线11B C 与平面11A AC 所成的角正弦值为427．18．(1)22112y x +=(2)2211OPOQ+为定值，且定值为2．【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆的焦点坐标求出m 的值，代入即可求出椭圆的标准方程；（2）设(),P P P x y ，(),1Q Q x -，因为以PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，得到PQ Py x x =，再利用两点间的距离公式代入2211OPOQ+化简计算即可.【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为2.，所以222222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，所以1c b a ==，所以椭圆W 的标准方程为22112y x +=；（2）由（1）知抛物线C 的标准方程为24x y =，其准线方程为：1y =-，设(),P P P x y ，(),1Q Q x -，因为以PQ 为直径的圆过原点，所以OP OQ ⊥，所以0P x ≠，所以0P Q P x x y -=，即PQ Py x x =，所以222222222111111P P P P P PPx y x y x y OP OQ x ++=+=+++，又因为2221PPx y +=，22122PPx y =-，所以222222221112112222PP PP PP PP x x x x x x y x +++===++-+，所以2211OPOQ+为定值，且定值为2．【点睛】方法点睛：两点间距离公式中点的坐标应用椭圆方程转化为一个未知量即可得出定值.19．(1)10x y -+=(2)(]0,1(3)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；（2）构造函数()ln g t t t =+（0t >），将原不等式转化为e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++，即g(e )((1))x g a x ≥+，利用导数研究()g t 的单调性可得e ()1xa h x x ≤=+在(1,)-+∞上恒成立，结合导数求出min ()h x 即可；（3）根据不等式11tan i i >、111ln(1)2n n+++>+ ，对不等式11(tan 1)ni f i =-∑进行放缩，即可证明.【详解】（1）当1a =时，()e ln(1)x f x x x =-++，则1()e 1(1)1x f x x x '=-+>-+，所以(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=；（2）不等式()(1)f x a x ≥+等价于e ln(1)(1)ln x x x a x a -++≥++，即e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++，设()ln g t t t =+（0t >），则1()10g t t'=+>，所以()g t 在(0,)+∞上单调递增，由e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++，得g(e )((1))x g a x ≥+，则e (1)xa x ≥+，即e 1xa x ≤+在(1,)-+∞上恒成立，设e ()(1)1xh x x x =>-+，则2e ()(1)x x h x x '=+，令()010,()00h x x h x x ''<⇒-<<>⇒>，所以()h x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)1h x h ≥=，即实数a 的取值范围为(0,1]；（3）先证：11tan n n>①和111ln(1)2n n+++>+ ②，①：设函数π()tan (0)2v x x x x =-<<，则21()10cos v x x'=->，所以函数()v x 在π(0,)2上单调递增，且()00v =，所以()0v x >，即tan 0x x ->，得tan x x >，令1x n=，得11tan n n >；②：设函数1()u x x=，在区间(,1)k k +上的面积可以通过矩形近似估计，即111d k kx x k+<⎰，所以2311211111d d d 12n nx x x x x x n++++<+++⎰⎰⎰，又()111d ln 1n x n x +=+⎰，所以111ln(1)2n n+++>+ .11tan 1tan 11111(tan 1)e ln(tan 11)tan 1ln e ln(tan )tan 1ln nn f a a n n n n n--=--++--=-+--，所以()111tan11tan 1tan 1tan 123f f f f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1tan 111111111(tan 1)[e ln(tan )tan 1ln ][tan ln(tan )1]nn n i i i i f a i i i i i -====-=-+-->--∑∑∑，又11tan i i>，所以11111111[tan ln(tan )1](ln 1)(ln 1)nnni i i i i i i i i ===-->--=+-∑∑∑11(1ln11)(ln 21)(ln 1)2n n =+-++-+++- 11(1)(ln1ln 2ln )2n n n =+++++++- 1112n >+++ ，又111ln(1)2n n+++>+ ，所以()1111[tan ln(tan )1ln ]ni i n i =-->+∑，即()()()*111tan11tan 1tan 1tan 1ln123f f f f n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++->+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键是根据不等式e (1)ln[(1)]x x a x a x +≥+++构造函数()ln g t t t=+（0t >），利用导数导数研究()g t 的单调性解决恒成立问题；第（3）问的关键是根据11tan n n>、111ln(1)2n n+++>+ ，对不等式11(tan 1)ni f i =-∑巧妙放缩.。
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·琼海期中) 已知集合 ,那么 =（）A . {2,4}B . {0,2,4}C . {1,2,3,4,5}D . {2,4,6}2. （2分） (2019高二上·衡阳月考) 是虚数单位，复数的虚部（）A . 2B . -2C .D .3. （2分） (2020高二下·宜宾月考) 从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图．根据茎叶图，下列描述正确的是（）A . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B . 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D . 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐4. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知数列是等比数列，为其前n项和，若，a4＋a5＋a6＝6，则S12等于（）A . 45B . 60C . 35D . 505. （2分） (2018高二上·湖南月考) 已知实数满足，则的最大值与最小值之和为（）A . -21B . -2C . -1D . 16. （2分）(2020·福建模拟) 中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（páo）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·新课标Ⅰ·理) 函数的图像在点处的切线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·银川模拟) 执行如图所示的程序框图，则当输入的分别为3和6时，输出的值的和为（）A . 45B . 35C . 147D . 759. （2分）若，则A . a>b>cB . a>c>bC . b>a>cD . c>b>a10. （2分）(2017高一上·济南月考) 如图所示，在三棱锥中，，下列结论不正确的是（）A . 平面平面B . 平面平面C . 平面平面D . 平面平面11. （2分） (2019高一上·四川期中) 已知，那么=（）A . 3B .C . 4D .12. （2分） (2020高二上·桂平期末) 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且，则的面积是（）A . 5B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·拉萨期末) 已知向量 =（2，1）， =（x，2），若∥ ，则x=________．14. （1分）(2020·河南模拟) 已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，且，，成等比数列，，则 ________．15. （1分）(2018·吕梁模拟) 中，、、角的对边为、、，其中，若，，，则等于________．16. （1分） (2017高二上·如东月考) 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为________.三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2020高一下·上海期末) 如图，我国的海监船在D岛海域例行维护巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东方向与它相距16海里的处有一外国船只，且D岛位于海监船正东海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行，为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船航向，并求其速度的最小值．18. （10分） (2017高二下·深圳月考) 近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式: ，其中．19. （10分） (2020高二下·上海期中) 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面， , , 分别为的中点，点M在线段上．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若M为的中点，求证：平面；（Ⅲ）当时，求四棱锥的体积．20. （10分）(2017·漳州模拟) 已知椭圆的左，右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为时，AF2与x轴垂直．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．21. （10分）(2020·陕西模拟) 已知函数， .（1）证明：当时，；（2）存在，使得当时恒有成立，试确定k的取值范围.22. （10分）(2017·邯郸模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 ， C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）= ．（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23. （10分） (2019高三上·新疆月考) 已知定义在R上的函数f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（1）求实数m的值；（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求证：≥3．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、17-2、18-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
四川省成都市2019-2020年下学期高二数学(理)期末试卷【含答案】
四川省成都市2019-2020年下学期高二数学（理）期末试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则（ ）【答案】A【解析】由题意得：，，所以.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意,得.则,其在复数平面内对应的点的坐标为.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍=⋂B A }3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D {1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A []2{|-40}1,4B x x x =≤==⋂B A }3,2,1{z (3425z i i i ⋅-=+z 21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭525z i ⋅=+25z i =+2,15⎛⎫⎪⎝⎭4．解析：选C.设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A的等腰直角三角形,高为2..故外接球表面积.故选：A 5.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是( ) . A ．B ．C ．D ．【答案】D解析 由已知，，则，所以为上的奇函数.8π6π4π823π2222+2=2222224482S R πππ⎛=== ⎝⎭()11122x x f x -+=-e xy =(2ln 1y x x =+2y x =tan y x =()111=22x x f x -+-x ∈R ()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-()f x R设，.易判断为上的增函数，也为上的增函数，所以为上的增函数.A 选项中的不是奇函数，排除A ；B 选项中令，则，所以为奇函数.设为增函数，而也为增函数，由复合函数的单调性知为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与的奇偶性、单调性相同；C 选项中不是奇函数，排除C ；D 选项中在上不是单调函数.排除D. 故选B.5．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. B. C. D.()112x f x -=()2112x f x +=-()1f x R ()2f x R ()()()12f x f x f x =+R e x y =()(2ln 1f x x x =+()()(2ln 1f x x x -=-+-+2ln1x x ==++(()2ln 1x x f x -+=-()f x ()21u x x x =+()u x ln y u =(2ln 1y x x =++()111=22x x f x -+-2y x =tan y x =R ()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++()f x ()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++i v vx a =+()i v v x a =+i v a x v =+()i v a x v =+解析 秦九韶算法的过程是.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入.故选A.7．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点，且，，则的值为（ ） A B C D 【答案】A【解析】因为，，所以，若，，所以不符合， 所以， 所以. 是结束输出vi ≥0?i =i -1i =n -1输入n ，a n ，x开始v =a n输入a i否()011,2,,nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩i v vx a =+xOy α00(,)P x y (,0)2απ∈-3cos()65πα+=0x 334-433-334±433±(,0)2απ∈-3cos()65πα+=(,)636πππα+∈-(0,)66ππα+∈33cos()65πα+>>(,0)63ππα+∈-4sin()65πα+=-03341334cos cos ()66552x ππαα-⎡⎤==+-=-⨯=⎢⎥⎣⎦8． 已知，给出下列四个命题：； ；； ； 其中真命题的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D解析 画出的可行域如图所示.对于命题,在点处, ,则是假命题; 对于命题,在点处, 取最大值为,,故是真命题; 对于命题,点到的斜率最小值在点处取到为,,故是假命题; 对于命题,在点处,,故是真命题.故选D.9.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷
四川省成都市高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共18题；共36分)1. （2分）设A={x|x>0}，B={x|x<1}，则=A . {x|0<x<1}B . {x|x<1}C . {x|x<0}D . R2. （2分） (2018高二上·北京月考) 直线与圆相交于两点，则弦长（）A .B .C .D .3. （2分）已知，，若，且,平面则实数分别为（）A .B .C .D .4. （2分）下列各组函数中表示同一函数的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与5. （2分）函数的最小正周期为（）A . 4B . 2C .D .6. （2分）(2018高二下·辽宁期末) 已知全集，集合，，那么（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·韶关期末) 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，（）A . 若l⊥β，则α⊥βB . 若α⊥β，则l⊥mC . 若l∥β，则α∥βD . 若α∥β，则l∥m8. （2分） (2018高二下·南宁月考) 设，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）下列函数中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A . y=x3B . y=|x|+1C . y=﹣x2+1D .10. （2分）在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的取值范围是（）A .B . k<0或C .D . 或11. （2分） (2015高二下·营口期中) 已知x、y满足条件则2x+4y的最小值为（）A . 6B . ﹣6C . 12D . ﹣1212. （2分）一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为（）A .B .C .D .13. （2分）函数,则下列关系中一定正确的是（）A .B .C .D .14. （2分）称为两个向量间的“距离”.若向量满足:①;②;③对任意的,恒有,则（）A .B .C .D .15. （2分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为2πB . 函数f（x）的图象关于点（﹣ .0）对称C . 将函数f（x）的图象向左平移个单位得到的函数图象关于y轴对称D . 函数f（x）的单调递增区间是[kx+ ，kπ+ ]，（k∈Z）16. （2分）设min ，若定义域为R的函数f（x），g（x）满足f（x）+g（x）= ，则min{f（x），g（x）}的最大值为（）A . 1B .C .D .17. （2分）已知、是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A .B .C .D .18. （2分）(2016·桂林模拟) 已知函数是Ｒ上的偶函数，当x0时，则的解集是（）A . （－1，0）B . （0，1）C . （－1，1）D .二、填空题 (共4题；共4分)19. （1分） (2017高二下·金华期末) 已知点A（4，0），抛物线C：y2=2px（0＜p＜4）的焦点为F，点P 在C上，△PFA为正三角形，则p=________．20. （1分）已知向量=（1，），=（3，m）．若向量在方向上的投影为3，则实数m=________21. （1分）(2018·河北模拟) 已知数列满足，，若，则数列的前项和 ________．22. （1分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点（含端点），且满足BM=C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的序号为________．①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A1﹣DMN的体积为定值；③平面DMN⊥平面BCC1B1；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0， ]．三、解答题 (共3题；共30分)23. （5分） (2017高一下·淮北期末) 已知角α终边上一点P（4，3 ），求．24. （10分） (2016高二上·江北期中) 已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣k=0表示图形为圆．（1）若已知曲线关于直线x+y﹣4=0的对称圆与直线6x+8y﹣59=0相切，求实数k的值；（2）若k=15，求过该曲线与直线x﹣2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．25. （15分） (2016高一上·西湖期中) 函数f（x）=loga（3﹣ax）（a＞0，a≠1）（1）当a=3时，求函数f（x）的定义域；（2）若g（x）=f（x）﹣loga（3+ax），请判定g（x）的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f（x）在[2，3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共18题；共36分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、二、填空题 (共4题；共4分) 19-1、20-1、21-1、22-1、三、解答题 (共3题；共30分) 23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、25-3、第11 页共11 页。
四川省成都市数学高二下学期文数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 集合A={y|y=x2﹣2x，x∈R}，B={x|y= }，则A∩B=（）A . [﹣1， ]B . （﹣1， ]C . [1，+∞）D . （﹣∞，）2. （2分）(2012·全国卷理) 复数 =（）A . 2+iB . 2﹣iC . 1+2iD . 1﹣2i3. （2分）从三个红球、两个白球中随机取出两个球，则取出的两个球不全是红球的概率是（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）tan120°=（）A .B . ﹣C . ﹣D .6. （2分） (2016高一下·揭阳期中) 已知| |=| |=2，向量与的夹角为60°，则| ﹣ |等于（）A .B .C . 2D . 47. （2分） (2018高二上·合肥期末) 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）已知函数满足，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .10. （2分）下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A . i>8B . i>9C . i>10D . i>1111. （2分）直线y﹣1=k（x﹣3）被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的最短弦长等于（）A .B . 2C . 2D .12. （2分）(2018·中原模拟) 已知函数，若在区间上存在，使得，则的取值不可能为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·河北月考) 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，，则实数的取值范围为________．14. （1分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的交点个数有________ 个．15. （1分）(2017·桂林模拟) 若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为________．16. （1分） (2016高一下·临川期中) 在△ABC中，AB=8cm，BC=7cm，AC=5cm，内心为I，则AI的长度为________ cm．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）(2017·黑龙江模拟) 已知数列{an}满足，（n∈N+）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，数列{bn}的前n项和Sn ，求证：．18. （10分） (2017高三上·徐州期中) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a+2c=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若b=2 ，a+c=4，求△ABC的面积．19. （15分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求证：AF∥平面BCE；（3）求四棱锥C﹣ABED的体积．20. （10分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）线性回归直线方程；（2）根据回归直线方程，估计使用年限为20年时，维修费用是多少？回归直线方程 = x+ 的系数为：．21. （10分） (2017高二上·靖江期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px （p＞0），若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．（1）求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；（2）求p的取值范围．22. （10分） (2015高二下·射阳期中) 如图，在半径为3m的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm，圆柱的体积为Vm3 ．（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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高二下学期期末数学试卷卷一张共4页一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，将正确答案的代号填涂在答题卡相应位置上）1. 已知复数z 满足(2)43z i i +=-，则(1)i z +=（ ）2. 设随机变量ξ服从正态分布(,9)N u ，若(4)(2)P P ξξ>=<，则u =( )A.0B.2C.3D.93. 已知函数()cos xxe f x x=的导函数为'()f x ，则'(0)f =（ ）A.0B.1C.12e D. e 4. 用1、2、3、4、5、6这6个数字，可以组成没有重复数字的四位奇数的个数为（ ）A ．60B ．120C ．180D ．2405. 用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（ ）A ．三角形中有两个内角是钝角B ．三角形中有三个内角是钝角C ．三角形中至少有两个内角是钝角D ．三角形中没有一个内角是钝角 6. 已知*111()()123f n n N n n n=+++∈++，则下列结论正确的是（ ） A ．1(1)2f = B ．111(1)()313233f k f k k k k +-=+++++C ．11(2)36f =+ D ．112(1)()313233f k f k k k k +-=+-+++ 7.甲、乙两人向目标各射击一次（甲、乙相互没有影响），甲命中目标的概率为12，乙命中目标的概率为710.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为（ ） A ．1017B ．12 C ．320D ．17208. 已知函数2()mf x x x x=++在[1,)+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A.3m ≤ B. 3m ≤- C. 3m ≥ D. 3m ≥-9. 从5位志愿者中选派4位到三个社区参加公益活动，每个社区至少需要1位志愿者，但其中甲、乙两位志愿者不能到同一社区参加公益活动，则不同安排方法的种数为( ) A ．108B ．126C ．144D ．16210. 设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()2'0f x xf x +<，下面的不等式在R 上恒成立的是（ ）A.()0f x >B.()0f x <C. ()f x x >D.()f x x <二、填空题（本题共5小题，共25分，将答案写在答题卡相应位置上） 11.211(2)x dx x-=⎰.12. 3位男生和2位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端且2位女生相邻，则不同排法的种数是 . 13. 已知0>x ，由不等式3,,启发我们可以得到推广结论：，则a = . 14. 已知直线1y kx =+与曲线ln y x =有公共点，则实数k 的取值范围是 .15. 甲、乙、丙三人从5门课程中各选修2门，则只有1人选择了其中A 课程的概率为 . 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答题写出问题说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数2()(1)x f x e x x -=++.(Ⅰ)求函数()f x 的单调递减区间； (Ⅱ)求函数()f x 在[1,1]-上的最值.17. 已知2012(12)n n n x a a x a x a x -=++++，且35:1:4a a =.(Ⅰ)求012n a a a a ++++;(Ⅱ)求(nx +中的常数项.18. 某项选拔共有两轮考核，当第一轮考核合格方可进入第二轮考核，第一轮考核不合格则被淘汰，如果进入第二轮考核并考核合格，则选拔成功，且两轮考核相互独立.已知甲、乙两位选手第一轮考核合格的概率依次为0.6、0.8，第二轮考核合格的概率依次0.5、0.6. (Ⅰ)求甲、乙两位选手在第一轮考核中只有甲合格的概率； (Ⅱ)求甲、乙两位选手至少有一人选拔成功的概率.19. 已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.(Ⅰ)若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1x =垂直，求实数a 的值； (Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性.20. 某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：(Ⅱ)从40人中任选两名学生，求这两人参加培训次数之差的绝对值的分布列及数学期望.21. 已知函数1()ln a x f x x -=+在(2,)+∞内有极值．(Ⅰ) 求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若(0,1)x ∈，(1,)y ∈+∞，求证：2()4ln 22()3f x f y +<- 参考答案此时，()'(),f x f x 随x 的变化情况如下表：x1-(1,0)-0 (0,1)1 '()f x－ 0 ＋ 0()f xe↘极小值1↗3e…………….4分由上表可知函数()f x 在[1,1]-上的最小值为(0)1f =，最大值为(1)f e -=.……….1分17.解：(Ⅰ) ∵3514a a =，∴3355(2)1(2)4n n C C -=-，…………….2分 ∴35n n C C =，解之得8n =…………….3分∴80120128(121)1n a a a a a a a a ++++=++++=-⨯=……………….…2分(Ⅱ)由(Ⅰ)知8n =，∴4883188r r rr rr T C x C x --+==，…………….3分 令4803r-=，得6r =，∴(n x +中的常数项为67828T C ==.…………….3分 18.解：(Ⅰ)设事件i A =“甲第i 轮考核合格”， 事件i B =“乙第i 轮考核合格”， 则()10.6P A =，()20.5P A =，()10.8P B =，()20.6P B =，…………...2分 ∴1111()()()0.60.20.12P A B P A P B ==⨯=∴甲、乙两位选手在第一轮考核中只有甲合格的概率为0.12. ……….4分 (Ⅱ)设事件A =“甲选拔成功”， 事件B =“乙选拔成功”， 则12()()()0.60.50.3P A P A P A ==⨯=，12()()()0.80.60.48P B P B P B ==⨯=，………………...3分∴()1()()10.70.520.636P A B P A P B +=-=-⨯=，∴甲、乙两位选手至少有一人选拔成功的概率为0.636. …………….4分 19.解：(Ⅰ) 1(21)(1)'()22x ax f x ax a x x--+=-+-=，…………….2分 ∵曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线1x =垂直， ∴'(1)0f =，同理可得1111(),22f x a a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭在减，在(0,),(,+)增；…………….2分（iii ）当2a =-时，2(21)()0x f x x-'=≥，∴()f x ∞在(0,+)增. ………………..…….2分20.解：(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为：111515203404191494C C C P C =-= ，…………….5分 (Ⅱ)设这两人参加培训次数之差的绝对值为X ，由题意知X =0,1,2，∴2225152024061(0);156C C C P X C ++===1111515152024075(1);156C C C C P X C +=== 115202405(2).39C C P X C ===…………….3分∴随机变量X 的分布列为：∴6175511501215615639156EX =⨯+⨯+⨯=， ∴这两人参加培训次数之差的绝对值的数学期望为115156.…………….2分∴当(0,1)x ∈时，111()()ln 1af x f x x x ≤=+-； 当(1,)y ∈+∞时，222()()ln 1af x f x x x ≥=+-； ∴21()()()()f y f x f x f x -≥-…………….3分 又∵121x x =，122x x a +=+， ∴1212212121212122()()(ln )(ln )ln ln 1111x x x x a af x f x x x x x x x x x +-+--=+-+=-+----- 22212ln x x x =+-………………….2分 记1()2ln h x x x x =+-，则221'()1h x x x=++， ∴当(0,)x ∈+∞时，'()0h x >， ∴()h x 在(0,)+∞上单调递增， 由22x >，知23()(2)2ln 22h x h >=+，即222132ln 2ln 22x x x +->+， ∴213()()2ln 22f x f x ->+， ∴3()()2ln 22f y f x ->+，即2()4ln 22()3f x f y +<-.…………….3分高二下学期期末数学试卷一、选择题 本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}2,0,2-=A ,{}022=--=x x x B ，则B A ⋂= A 、φ B 、{}2 C 、{}0 D 、{}2- 2、下列函数为偶函数的是A 、1)(-=x x fB 、x x x f +=2)( C 、xxx f --=22)( D 、xx x f -+=22)(3、函数2lg x y =的单调减区间为A 、RB 、()),0(,0,+∞∞-C 、()0,∞-D 、),0(+∞4、已知函数）（＜R a x x x a x f x ∈⎩⎨⎧≥⨯=-0,20,2)(，若()[]11=-f f ，则a= A 、41 B 、21C 、1D 、2 5、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A 、π318B 、π320C 、18πD 、20π6、过点)1,3(--p 的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是 A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛6.0π B 、⎥⎦⎤ ⎝⎛3.0π C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π， D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π， 7．函数1log 12-=x x f ）（的定义域为A 、)2,0(B 、(]2,0C 、),2(+∞D 、[)∞+，2 8、已知x 、y 的取值如下表所示：从散点图分析、y A 、6.4 B 、6.5 C 、6.7 D 、6.89、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，x x x f 3)(2-=，则函数3)()(+-=x xf xg 的零点的集合为A 、{}3,1 B 、{}3,1,1-3-， C 、{}3,1,72- D 、{}3,17-2-，图510、若函数0(1>=a x og y a ，且1≠a ）的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是二、填空题。