选修常用逻辑用语全章复习专用
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精心整理基础典型题归类与解析
C.π是有理数D.x2-5x=0的根是自然数
解析:选D.x2-5x=0的根为x1=0,x2=5,均为自然数.
二、题型二:复合命题的结构
例3将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假:
(1)6是12和18的公约数;
(2)当a>-1时,方程ax2+2x-1=0有两个不等实根;
(3)已知x、y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
解析:(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若a>-1,则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根,是假命题.
因为当a=0时,方程变为2x-1=0,此时只有一个实根x=.
(3)已知x、y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
变式练习:指出下列命题的条件p与结论q,并判断命题的真假:
(1)若整数a是偶数,则a能被2整除;
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形;
(3)相等的两个角的正切值相等.
解析:(1)条件p:整数a是偶数,
结论q:a能被2整除,真命题.
(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”,
即“若一个四边形的对角线相等且互相平分,则该四边形是矩形”.
条件p:一个四边形的对角线相等且互相平分,
结论q:该四边形是矩形,真命题.
.
例
求使p
q是假
例
A
B
C
D.与原命题同为真命题
解析:选D.原命题显然为真,
原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列,则△ABC有一内角为”,它是真命题.故选D.
例6.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )
A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数
B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数
C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数
D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数
答案: B
例7.若“x>y,则x2>y2”的逆否命题是( )
A.若x≤y,则x2≤y2B.若x>y,则x2 C.若x2≤y2,则x≤y D.若x 解析:选C.由互为逆否命题的定义可知,把原命题的条件的否定作为结论,原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题. 例8..给出下列命题: ①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; y,则非x 例 ∴原命题“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真命题. 又因原命题与它的逆否命题等价,所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”的逆否命题也为真命题. 六、题型六:判断条件关系及求参数范围 例10.“x=2kπ+(k∈Z)”是“tan x=1”成立的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:当x=2kπ+时,tan x=1, 而tan x=1得x=kπ+, 所以“x=2kπ+”是“tan x=1”成立的充分不必要条件.故选A. 例11、设A是B的充分不必要条件,C是B的必要不充分条件,D是C的充要条件,则D是A 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析:由题意得: 故D是A的必要不充分条件 例12.已知条件p:-1≤x≤10,q:x2-4x+4-m2≤0(m>0)不变,若非p是非q的必要而不充分条件,如何求实数m的取值范围? 解:p:-1≤x≤10. q:x2-4x+4-m2≤0 ⇔[x-(2-m)][x-(2+m)]≤0(m>0) ⇔2-m≤x≤2+m(m>0). 因为非p是非q的必要而不充分条件, 所以p是q的充分不必要条件, 即{x|-1≤x≤10}{x|2-m≤x≤2+m}, 故有或, 解得m≥8. 所以实数m的范围为{m|m≥8}. 变式练习1:已知条件:p:y=lg(x2+2x-3)的定义域,条件q:5x-6>x2,则q是p的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析:选A.p:x2+2x-3>0,则x>1或x<-3; q:5x-6>x2,即x2-5x+6<0, 由小集合⇒大集合, ∴q⇒p,但p q.故选A. 变式练习2已知p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1,若p的必要不充分条件是q,求实数a的取值范围. 解析:q是p的必要不充分条件, 则p⇒q但qp. ∵p:≤x≤1,q:a≤x≤a+1. ∴a+1≥1且a≤,即0≤a≤. ∴满足条件的a的取值范围为. 七、充要条件的论证 例13求证:0≤a<是不等式ax2-ax+1-a>0对一切实数x都成立的充要条件.