电磁场与电磁波课件第5章 静态场的边值问题

1 2 ，
然后进行 证明.同样可得出结论,其解唯一.
设φ1φ2是同一有源区域的边值问题
2 的解。 | f1 ( S )
即在区域V内，φ1和φ2满泊松方程，即
1 2 2
2
在V的边界S上，φ1和φ2满足同样的边界条件， 即
5.3.1 导体平面镜像
设在无限大导体平面(z=0)附近有一点电荷与平面距离为z=h 。 若导体平面接地，则导体平面电位为零，如图所示。求上半 空间中的电场。 分析：上半空间任一点 P处的电位，应等于点 电荷q和无限大导体平 板上感应的负电荷产生 的的电位总和。因此， 上半空间的电位问题可 表示为 ：
2
C (常数)

0

1 2
C 0
5.3 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边
界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程 大为简化。
依据：惟一性定理。等效电荷的引入必须维持原来的边界 条件不变。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜 像电荷，而这种方法称为镜像法。

2 A ( A) A J
人为规定


A 0

这个规定被称为库仑规范
于是有
2 A J
此式即为矢量磁位的泊松方程。
在没有电流的区域有J 0

2 A0
此式即为矢量磁位的拉普拉斯方程。 (2) 磁场的标量位函数 在没有电流分布的区域内，恒定磁场的基本方程变为 H 0 B 0 这样，在无源区域内，磁场也成了无旋场，具有位场的性 质，因此，象静电场一样，我们可以引入一个标量函数， 即标量磁位函数
即φ1φ2是同一无源区域的边值问题
即有
2 0 | f1 ( S )的解。
1 0
2
2 0
2
1 | f1 ( S )
2 | f1 ( S )
由格林第一定理知：对任意标量函数
2

( )dV ds n V s

1 n

2 n
0

S曲面上
S曲面内 S曲面上
0 n
0 C

当 1 和 2 选择相同的参考点时, C 0
1 2 解唯一.
3.
1
三类边界问题
f1 ( s )
n
f 2 (s)
2
将格林第一恒等式的积分曲面写成
1 | f1 ( S ) 2 | f1 ( S )
令φ* =φ1-φ2，则在V内，▽2φ*=0，在边界面S上，φ*|S=0。 代入 格林第一恒等式有：

V
* * dV * dS S n
2
在S上φ* =0，因而上式右边为零，因而有

体积V内 S曲面上
V
* dV 0
重点：
1.静电场、恒定电场 、恒定磁场的基本方程。 2.静态场的位函数方程。 3.理论依据：唯一性定理、叠加原理。 4.镜像法 、分离变量法。
静态场的基本方程
静态场与时变场最基本的区别在于静态场的电场和磁场是 彼此独立存在的，即电场只由电荷产生，磁场只由电流产 生。没有变化的磁场，也没有变化的电场。
S n
因此，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
唯一性定理：满足三类给定边值之一的泊 松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。
换句话说，如果一个函数即满足泊松方程(或拉 普拉斯方程)又满足给定的边界条件，则该函数 是唯一的。
唯一性定理的证明： 1.设在体积V内，其满足边值 f1 ( s) 的拉普 1 拉斯方程的解不是唯一的，有 和2 两个解。

满足
上式即为在有电荷分布的区域内，或者说在有“源”的区
域内，静电场的电位函数所满足的方程，我们将这种形式 的方程称为 泊松方程。
如果场中某处有ρ=0，即在无源区域，则上式变为
0
我们将这种形式的方程称为 拉普拉斯方程。它 是在不存在电荷的区域内，电位函数 应满足的方程。
2 在不同的坐标系中有不同的表达形式： 拉普拉斯算符
2 2 2 2则源自 V 2 dV ds n S
又 ∵ ∴ 故
由边界条件有
1 2


在曲面边界上，
1 2

0

V
2
dV ds 0 n S
体积V内
即
0

C (常数)

S曲面上
C 0 0 1 2 故其解是唯一的。

f ( s ) 的拉普拉斯 2.设在体积V内，其满足边值 方程的解不是唯一的，有 和 两个解。
2
n
仍然采用反证法证明.设有两个解满足拉氏方程.
则 即 则
1 n




2 n


n

n
( )dV ds 0 n V S
1、静电场的基本方程 静电场是静止电荷或静止带电体产生的场，其基本方程为
s D d s q E dl 0
c
D E 0


上式表明：静电场中的旋度为0，即静电场中的电场不可 能由旋涡源产生；电荷是产生电场的通量源。 电介质的本构方程为
静电场可以用一个标量函数 即

的梯度来表示它:
E
式中的标量函数 电位函数。

称为
对于均匀、线性、各向同性的介质，ε为常数, 0 所以有 D ( E ) E
( )
即

2

静电场的位函数 的方程。
第5章 静态场的边值问题
5.1 引言
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。
对于某一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始 值与边界值，这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界 条件，两者又统称为该方程的定解条件。 静态场是指场量不随时间变化的场，静态场包括：静电场、 恒定电场及恒定磁场。静电场的场量与时间无关，位函数所 满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。 静电场的边值问题：给定边界条件下，求泊松方程或拉普拉 斯方程解的问题。
则有


＝0
2
这说明，在无电源区域，恒定电场的位函数满足拉普拉 斯方程。
3、恒定磁场的位函数分布
(1) 磁场的矢量位函数
恒定磁场是有旋场，即 B J ,但它却是无散场， 即 B 0 引入一个矢量磁位 A 后，由于 B＝ A ，可得

2 0 z 0 z0 0
P r
q
r1
P
介质
导体
q h
h
r2
边值问题的分类：
边值问题根据边界条件给出的形式不同可分为以下三 种类型。 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数求区域中位 函数的分布，这类问题又称为狄里赫利问题。
第二类边值问题：给定整个边界上位函数的法向导数 求区域中位函数的分布，这类问题又称为纽曼问题。
第三类边值问题：给定一部分边界上的位函数和其余部 分边界上的法向导数，求区域中位函数的分布，这类问 题混合问题。
完全用数学方法求解。在介绍具体的求解方法之前，我们 要先介绍几个重要的基本原理，这些原理将成为以后求解 方程的理论依据。
5.2.1 唯一性定理
在求解静态场问题时,我们希望其 解是唯一的,那么,在什么条件下, 其解才是唯一?
三类边值条件:
1. 给定边界上的位函数,即已知
S为边界

f1 ( s ) ，
c
ò E ?dl
c


eE
恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为
s J ds 0 E dl 0
c
J 0 E 0


导体中的本构方程为
J E
3、恒定磁场的基本方程 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在 磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体 中的传导电流为I，电流密度为 J ,则有
在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有 E 0 这时同样可以引入一个标量位函数 使得 E
根据电流连续性方程 J 0 及物态方程 J E 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
2、恒定电场的位函数分布
2 J ( E ) ( ) 0
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可
能确定其镜像电荷。
注意： 1、镜象电荷不能放在要讨论的区域中，放在被讨 论的区域中时将会改变所放置区域的电位分布，所 得出的位函数将不满足原来的拉普拉斯方程或泊松 方程。 2、所得位函数必须满足原来的边界条件。 3、镜像电荷周围的介质应该是与被讨论的区间一 致的。
s B ds 0 H dl I
c
B 0 H J



这是恒定磁场的基本方程。

磁介质中的本构方程为
B H

从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋 涡场的源，电流线是闭合的。
静态场的位函数
1、静电场的位函数分布
令

则有
( )dV ds n V S
2
令
1 2
2
并代入格林第一恒等式：

即
( )dV n ds V S
而
(1 2 ) 1 2 0

D E

2、恒定电场的基本方程 维持恒定电流的电场为恒定电场
+
A C B
-
恒定电流的形成 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬
到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。
若一闭合路径经过电源，则：
E 即电场强度的线积分等于电源的电动势 E 若闭合路径不经过电源，则： E dl 0
m
即令
H m
注意：标量磁位的定义只是在无电流源区才能应用。 以上所导出的三个静态场的基本方程表明：静态场可以用
位函数表示，而且位函数在有源区域均满足泊松方程，在
无源区域均满足拉普拉斯方程。因此，静态场的求解问题 就变成了如何求解泊松方程和拉普拉斯方程的问题。这两
个方程是二阶偏微分方程，针对具体的电磁问题，不可能
上的点。
2. 给定边界上的位函数的法向导数,即已知
n

f 2( s ) 。
3. 边界 1 2 ， 即已知

1
f1 ( s ) , n
f 2 (s)
2
静电场的边界通常是由导体形成的。 （1）若给定导体上的电位值就是第一类边界。 （2）若给定导体上的电荷就是第二类边界。 导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为
静电场问题
1. 由场求源：由微分方程求解。 2.由源求场：分布型问题和边值型问题。 (1)分布型
若源的分布具有某种对称性，从而判断场的分布也具有 某种对称性时，可用高斯通量定理求解电场或安培环路 定理来求磁场。
(2)边值型 已知确定区域中的源分布和其边界上的位函数或位函 数的法向导数分布，求解该区域中位函数的分布状况， 这类问题称为边值型问题或简称为边值问题。
2
在直角坐标系中
2 2 2 2 2 y 2 z 2 x
在圆柱坐标系中
2 2 2 1 (r ) 1 r r r 2 2 z 2 r
在球坐标系中
2 2 (sin 1 1 1 (R ) ) R R 2 R R 2 sin R 2 sin 2 2 2