解析几何第四版复习重点第五章二次曲线的一般理论

第五章 二次曲线一般的理论

§5.1二次曲线与直线的相关位置

1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .

（1）22221x y a b +=；（2）22

221x y a b

-=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.

解：（1）2

2100100001a A b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =；221(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）2

2100100001a A b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；

（4）51

20

305022A ⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35(,)22F x y x =+； （5）1

232171227342A ⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪

⎪-- ⎪⎝

⎭；11(,)232F x y x y =--；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342

F x y x y =-+-.

2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.

（1）550x y --=；

（2）220x y ++=；

（3）410x y +-=；

（4）30x y -=；

（5）2690x y --=.

解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略

（1）1

5(,),(1,0)22

-；

（2）⎝⎭，⎝⎭

； （3）二重点(1,0)；

（4）11,26⎛⎫ ⎪⎝⎭

； （5）无交点.

3. 求直线10x y --=与二次曲线22

2210x xy y x y -----=的交点.

解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点.

4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线230x x y k -+-=交于两不同的实点； （2）直线1,{x kt y k t

=+=+与二次曲线22430x xy y y -+-=交于一点； （3）10x ky --=与二次曲线22(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点；

（4）1,{1x t y t

=+=+与二次曲线222420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点. 解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924k >

. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线

6. 求下列二次曲线的渐进线.

（1）226310x xy y x y --++-=；

（2）2232340x xy y x y -++-+=；

（3）2222240x xy y x y ++++-=.

解：（1）由1360,2211022

x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩得中心坐标13(,)55-. 而由2260X XY Y --=得渐进方向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线方程分别为210x y -+=与30x y +=

（2）由310,22332022

x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩得中心坐标13(,)55-. 而由22320X XY Y -+=得渐进方向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线方程分别为20x y -+=与210x y --=

（3）由10,10x y x y ++=⎧⎨++=⎩

知曲线为线心曲线，. 所以渐进线为线心线，其方程为10x y ++=.

§5.3二次曲线的切线

1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.

（1）曲线22

3457830x xy y x y ++---=在点（2，1）；

（2）曲线曲线223457830x xy y x y ++---=在点在原点；

（3）曲线22430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）；

（4）曲线225658x xy y ++=

经过点；

（5）曲线222210x xy y x y -----=经过点（0，2）.

解：（1）910280x y +-=；

（2）20x y -=；

（3）10,30y x y +=++=；

（4）1150,0x y x y +-=-+=；

（5）0x =.

2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.

（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=；

（2）曲线223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴.

解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-；

（2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--.

4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的二次曲线方程.

解：利用（5.3-5）可得226320x xy y x y +-+-=

§5.4二次曲线的直径

2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入(2)(21)0X x Y y -+-=

得:1:6X Y =，再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=，其共轭直径为122230x y --=.

3.已知曲线2

2310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.

解：直径方程为10x -=，其共轭直径方程为230x y -+=.

7．求下列两条曲线的公共直径.

（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=；

（2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=.

解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=. §5.6二次曲线方程的化简与分类