直线的极坐标方程

OP 1 , xOP 1 ,
设直线L与极轴交于点A。则在
MOP
M P x
1 由正弦定理得 sin[ ( 1 )] sin( )
OMP , OPM ( 1 )

o
sin( ) 1 sin( 1 )

4
则上述直线MN的极坐标方程是什么？ 5 ( R) 或 ( R) 4 4 ( 0)表示极角为的一条射线。
＝ ( R)表示极角为的一条直线。
过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l的极坐标
方程是什么？
ρ M O θ
A
Mρ
故所求直线方程为 sin 2

A

M(， )
O
B
x
思 考：设点P的极坐标为 ( a, ) ，直线 l过点P且与极轴
所成的角为
,求直线 l 的极坐标方程。

o

M x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线 上异于P的点. 连接OM， 在 MOP 中有
l
﹚ p
a , 即 sin( ) a sin sin( ) sin( )
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的 最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？过极点

4 的极坐标方程是 作射线OM的反向延长线ON，则射线ON
什么？直线MN的极坐标方程是什么？
射线OM:

4
( 0)
O
M x
45°
5 射线ON： ；N 4
5 和 4 4
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1； 由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1， )． 2
本节课在学习极坐标系中求曲线方程的基本步骤和
) 1 sin( ． 1 )
1.两条直线 cos( ) a 与 sin(
置关系是（ B ） A、平行 B、垂直
) a 的位
C、重合
D、平行或重合
2.在极坐标系中，与圆
程是（ B ）
A、 sin 2 C、 cos 4
4sin
A
x
O
θ
x
当a＞0时，ρcosθ＝a；
当a＜0时，ρcosθ＝a.
小结：当直线l过点M(a,b)且垂直于极轴时， l的方程为ρcos θ＝a .
小结：当直线l过点M(a,b)且垂直于极轴时， l的方程为ρcos θ＝a .
思考：求过点A(a,b)，且平行于极轴的直线L的极
坐标方程。
小结：当直线l过点M(a,b)且平行于极轴时， l的方程为 ρsinθ＝b .
1.3.2 直线的极坐标方程
1.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：
(1) x 4; (3) 2 x 3 y 1 0;
(2) y 2 0; (4) x y 16.
2 2
2. 8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程： 把下列极坐标方程化成直角坐标方程：
(1) sin 2; (2) (2 cos 5 sin ) 4 0; (3) 10 cos ; (4) 2 cos 4 sin .
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条
( B ) 直线的方程是 A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
2 3.已知直线的极坐标方程为 sin( ) 4 2 7 求点A（2， ）到这条直线的距离. 4

在极坐标系中求曲线方程的基本步骤： 1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)； 2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点； 3、连结OP，寻找OP满足的几何条件(列式)； 4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简； 5、检验并确定所得方程即为所求。

和前面的直角坐标系里直线方程的表
示形式比较起来，极坐标系里的直线 表示起来很不方便，要用两条射线组
M
O

45°
合而成。原因在哪？
0 N
5 和 4 4
x
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关 于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是什么？
5 ( R ) 或 ( R) 4 4
显然P点也满足上方程。
例4：设点P的极坐标为 ( 1 , 1 ) ，直线 过点P且与极轴所 成的角为
,求直线 l 的极坐标方程。

o
l
M P
1
﹚ 1 ﹚

x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除点P外的任意一点，
连接OM.
则 OM , xOM ,由点P的极坐标知
相切的一条直线的方
B、 cos 2 D、 cos 4
3.求过A(2,3)且斜率为2的直线的极坐标方程。
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
1 4.极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是( A ) 3
A、两条相交的直线 C、一条直线 B、两条射线 D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
π 例3.求过点A(2, )平行于极轴的直线。 4
解：如图，设M ( , )是直线l上除点A外的任意一点
A(2, ) MB 2 sin 2 4 4


在Rt OMB中， MB OM sin ,即 sin 2 可以验证，点A的坐标(2, )满足上式， 4
圆的极坐标方程的基础上学习直线的极坐标方程，直线
在平面解析几何中是最基础的曲线方程，在极坐标方程 的地位也是相当的重要，教学过程中让学生体会直线在 极坐标系中的方程的不同和对其限制，以及不同位置的 直线的极坐标方程的求法和方程的表示，感受课本的递 进研究方法。 在极坐标和平面直角坐标的转化过程中可以顺便复 习在平面直角坐标系中直线的五种表示形式及运用。
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐 标方程： sin a
7、曲线＝0，＝ 面积 _________ .

3
( 0)和＝4所围成的
A
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 8 即S 4 2 6 3
O
B
X
1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定的角度
在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
1.会在极坐标系中求出任意直线的方程。 2.理解直线的极坐标方程的推导过程。 3.感受课本在研究时的层层推进的思想。
几种特殊的直线的极坐标方程：
1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的极坐标方程：
Байду номын сангаас
cos a
2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直线的极坐 标方程： cos a
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐 标方程： sin a
目标：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直（平行） 于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接 MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求。
5.直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线方程为( B ) 4 A、 cos 2 C、 sin 2 B、 sin 2 D、＝2sin

解：此题可以变成求直 线x 2关于y x 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
显然点P的坐标也是它的解。
﹚ 1 ﹚
1
4.直线的极坐标方程
(1)当直线l过极点，极角是α，则l的方程 为：θ＝α(ρ∈R) 为 ρcos θ＝a 为 ρsinθ＝b ．
(2)当直线l过点M(a,b)且垂直于极轴时，l的方程
.
(3)当直线l过点M(a,b)且垂直于极轴时，l的方程 . (4)若直线经过点M ( 1 , 1 ) ，且直线与极轴所成角为α， 则直线l的极坐标方程为： sin(
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关 于极点对称，
射线OM:

4
( 0)
M
N O 45 ° x
5 射线ON: 4
( 0)
( 0)
射线ON: