构建函数模型
构造函数的八种方法
构造函数的八种方法
1、响应式构造函数：响应式构造函数是指针对某种特定的对象实例而定义的构造函数，它能够根据参数的不同，生成不同的对象实例。
2、工厂模式构造函数：工厂模式构造函数是一种构造函数的实现方式，它使用一种工厂函数来简化创建对象的操作，使代码更加简洁，更容易维护。
3、函数构造函数：函数构造函数是指使用函数来构造对象实例的方式，它能够通过传入参数，创建出特定类型的对象实例。
4、构建对象构造函数：构建对象构造函数是指使用一个对象来构造另一个对象的方式，它可以动态地构造一个指定类型的实例，也可以复用已有的对象实例。
5、构造函数派生：构造函数派生是指从一个基础类型派生出另一个更加具体的子类型的方式，它可以使用基类的构造函数在子类中定义对象实例。
6、运行时参数构造函数：运行时参数构造函数是指在运行时传入参数，动态构造出一个指定类型的实例。
7、仿函数构造函数：仿函数构造函数是指使用仿函数的方式来构造对象实例，它可以更加简洁地实现一些比较复杂的对象构造操作。
8、多态构造函数：多态构造函数是指通过指定一个类型参数，在运行时执行特定的构造函数，从而实现多种类型的对象的。
高中数学6种构造函数法
高中数学6种构造函数法1、几何体构造法：几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构造的图形或者要求构造的几何体。
例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形的一条边等长。
2、用线段构造法：用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律来画出要构造的几何体或其他东西。
例如：依据给定的线段AB，在其上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。
3、从原点构造法：从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发，根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的几何体。
例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给定的点B、C。
4、标准图形构造法：标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的图形。
例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。
5、参数方程构造法：参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。
例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
构造函数模型解不等式恒成立问题
｜ （ ， 口 １ 一
Ｏ
√ ／ １
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（ ， ， ）
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口２ 一
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增
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减
极 值 一√ 增 小１ ÷
由可，）＝用 小 ２ ， ［ ）］ｉ≥０（ 口，］） 表知 ｆ ｎ ｉ 或 ｆ ∈［ ｂ ． ｌ
于 ＞ 对 意口 （ ＋ ） 成 ． 是０ 等 任 ∈０ ∞ 都 立 ，
十 二
２ ｌ， ）
即
．
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即 一 ＝ ， ＝± ／ １ ０解的 ＾ ．
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的取值范围为 ｛ Ｉ ２ Ｏ ． 一≤ ≤ ｝
一
列表 如下 ：
ｌ ｆ】 ａ ＼。 １ ， －一
解 法一 ： 由题 意 ， 知 一３ ｘ＋０＋１＞ 一 一口
戈∈［一１１ ， ，］ 总有 ｆ（ ）≥ ０成 立 ， 实 数 ａ 的取 求 值范 围． 解 ： ｌ ）＝似。 ３ 由ｆ 一 ｘ＋１ ，
得 厂（ ）＝ ａ ３ ｘ 一３＝ （ 一１ ． ３ｎ ） 所 以 ，。 口 １ 当 ≤０时 （ ）＜０ ０ ，
近 几年 恒成立 问题 成 为 高 考 的一 大 亮 点 ， 高 考 试 在
题中屡见不鲜． 对于 匿成立问题应如何求解 ， 本文通
过几 道例 题介 绍一些 解题 方法．
辅助函数 ｇ 口 ， （ ） 解法二属分 离参数 法， 而往下转 进 化 为解 不 等 式 的 问 题．ｍ ＞ｆ（ ）恒 成 立 甘 ｍ ＞ ［（ ］ ， 厂 ） 厂 ） ｍ＜ （ 恒成 立舒ｍ ＜［（ ］ｉ 当 厂 ） ） ． 的最值取不到时， 注意表 达式要规 范， 如 ） ， ＜１
导数构造函数
导数构造函数题型一、出现导函数，结构明显，模式固定。
常用模型如下：(1)条件：f ′(x )>a (a ≠0)：构造函数：h (x )＝f (x )－ax .(2)条件：f ′(x )±g ′(x )>0：构造函数：h (x )＝f (x )±g (x )．(3)条件：f ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝e x f (x )．(4)条件：f ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x e x .(5)条件：xf ′(x )＋f (x )>0：构造函数：h (x )＝xf (x )．(6)条件：xf ′(x )－f (x )>0：构造函数：h (x )＝f x x. 例1、已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1- B ．(1,4)- C ．(,4)(1,)-∞-+∞U D ．(,1)(4,)-∞-+∞U解：令()()x f x G x e =，则()()()23x f x f x G x x e'-'==+，可设2()3G x x x c =++(0)(0)1G f ==Q ，1c ∴= 所以2()()31x f x G x x x e ==++解不等式()5x f x e <，即()5x f x e <，解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1-例2、已知函数()f x 满足()()f x f x =-，且当(],0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<成立，若()()0.60.622a f =⋅，()()ln2ln2b f =⋅，118822log log c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )。
微专题 常用构造函数的四种方法 2023高考数学二轮复习课件
所以 H(x0)＞H1e，即－x02－x0＋1＞－e12－1e＋1， 而－e12－1e＋1＞1e，所以－x02－x0＋1＞1e，即 F(x)min＝F(x0)＞1e＝G(x)max. 故当x＞0时，F(x)＞G(x)恒成立， 所以f(x)＞g(x)成立，得证． |技法点拨| 由本例知，将问题转化为证明 xln x＋x2＋1＞exx，构造双函数，即设 G(x) ＝exx(x＞0)，求导判断其单调性，求解最大值，再设 F(x)＝xln x＋x2＋1，求导 判断其单调性，求解最小值，从而可证明不等式．
目录
|技法点拨| 与ex和ln x相关的常见同构模型
(1)aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造f(x)＝xln x(或aea≤bln b⇔aea≤(ln b)eln b， 构造g(x)＝xex)；
(2)
ea a
＜
b ln b
⇔
ea ln ea
＜
b ln b
，
构
造
f(x)
＝
x ln x
目录
lnx－1a在 x∈12，1上恒成立．令 g(x)＝x－lnx－1ax∈12，1，则 g′(x)＝ x－x－1a－1a 1，又 x∈12，1，a＞2，所以 x－1a－1＜0，x－1a＞0，即 g′(x)＜0，故 g(x)在12，1上单调递减，所以 ln a≤g(x)min＝g(1)＝1－ln1－1a，故 ln a＋ ln1－1a≤1，即 ln(a－1)≤1，可得 a≤e＋1.综上，2＜a≤e＋1，故 a 的最大值 为 e＋1.故选 A．
目录
|技法点拨| 构造新函数的方法
题目中出现含f(x)，f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造 新函数，然后再逆用单调性等解决问题． (1)对于f′(x)＞a，构造h(x)＝f(x)－ax＋b； (2)对于xf′(x)＋f(x)＞0(＜0)，构造h(x)＝xf(x)；一般地，对于xf′(x)＋nf(x)＞ 0(＜0)，构造h(x)＝xnf(x)； (3)对于 xf′(x)－f(x)＞0(＜0)，构造 h(x)＝f（xx）；一般地，对于 xf′(x)－nf(x) ＞0(＜0)，构造 h(x)＝f（xxn）；
basemodel 对象构造函数
标题：深度解析basemodel对象构造函数的重要性和应用目录：1. 引言2. basemodel对象构造函数的定义和作用3. basemodel对象构造函数的使用场景4. 深入解析basemodel对象构造函数的实现细节5. 结论与展望1. 引言在软件开发领域，对象构造函数是一个非常重要的概念。
它不仅决定了对象的创建方式和初始化过程，还影响了整个软件系统的质量和性能。
而在本文中，我们将聚焦于讨论basemodel对象构造函数的重要性和应用。
2. basemodel对象构造函数的定义和作用basemodel是一个基础的数据模型，它通常包含一些通用的属性和方法，如id、createTime、updateTime等。
而basemodel对象构造函数则负责初始化这些属性，以及为实例对象添加一些通用的方法。
通过合理设计和使用basemodel对象构造函数，我们可以避免重复的初始化工作，提高代码的复用性和可维护性。
3. basemodel对象构造函数的使用场景在实际的软件开发中，basemodel对象构造函数通常被用于创建基础模型，如用户模型、商品模型等。
通过调用basemodel对象构造函数，我们可以快速创建具有统一标准的实例对象，而无需重复编写初始化代码。
这对于大型软件项目来说尤为重要，可以大大提高开发效率和降低错误率。
4. 深入解析basemodel对象构造函数的实现细节在实际的开发过程中，我们可以通过JavaScript、Python等编程语言来实现basemodel对象构造函数。
具体实现上，我们可以通过封装一个构造函数，并在其中定义实例属性和方法，以实现对basemodel对象的初始化和扩展。
在构造函数内部，我们通常会使用this关键字来指代当前实例对象，以便初始化属性和添加方法。
```JavaScript中的basemodel对象构造函数可以如下所示：function basemodel(id, createTime, updateTime) {this.id = id;this.createTime = createTime;this.updateTime = updateTime;}basemodel.prototype = {// 添加通用方法method1: function() {// do something},method2: function() {// do something}};```5. 结论与展望通过本文对basemodel对象构造函数的深度解析，我们不仅理解了其重要性和应用场景，也掌握了其实现细节。
中学数学模型构造的几种求解方法
＝￣－ ＝４ １ １ｏ＋ １９ ｏ ９
当 仅 且当 一 ， ￡１０ 取一号故 专 即 ＝０ 时 “， ， ０ ’
知 在 买 回机 器后 的 第 １ ０ ０ ０天 报 废 最 合 算 ．
— ｎ） 一 ｎ ２ ａ ＋ ａ ａ 一 （ ａ ２＋ … ＋ 口 ） ｎ＋ 口ｌ ａ ＋ … ＋ ＋ ２
口 ， 然 ，Ｙ 为 口 的 二 次 函 数 ，因 此 ，当 ａ 一 显
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加 上购买机器 的 ５ Ｏ万 元 ， 每 天 的 平 均 损 耗 为 Ｙ 设 元， ： 则
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相 等 ． 当 ｚ ６０台 时 ， 接 销 售 的 利 润 大 于 间 接 销 而 ＞ ０ 直 售 的 利 润 ， 时 应设 立 门 市 部 ． 这 因此 ， 月 销售 ２０ 每 ０ ０台 时 ， 用 设 立 门 市 部 直 接 采 销售 的效益较好． 例 ４ 某 工 厂 制 定 明 年 一 种 新 产 品 的生 产 计 划 ， 人 事 部 门 提 出 该 厂 实 际 生 产 的 工 人 数 不 能 多 于 １ ０人 ， ３ 每 人 年工 时 为 ２ Ｏ 小 时 ； 售 科 预 测 明 年 的 销 售 量 至 ４Ｏ 销 少 是 ６０ ０件 ； 术 科 计 算 每 件 产 品 的 工 时 定 额 为 ４ ００ 技 小 时， 钢材 ２ 需 Ｏ千 克 ； 应 科 说 目前 库 存 钢 材 ７ ０吨 ， 供 ０ 而 今 年 尚需 用 去 ２ ０吨 ， 年 能 补 充 ９ ０吨 ． 根 据 以 ２ 明 ６ 试 上信息决定 明年可能生产量． 分 析 ： 据 题 设 条 件 ， 年 的 产 量 应 受 人 事 信 息 根 明 与技术定额 、 售 预测 、 材料供 应 等 因素 的制约 ， 销 原 各 种 因素 共 同决 定 了 明 年 的 生 产 量 ， 个 条 件 联 合 起 来 各 便产生一个不等式组 模型． ． 设 明年 的生 产 量 为 ｚ件 ， 从 总 工 时 考 虑 ， 需 要 则 共 ４ ， 时 完 成 ， 全 年 工 人 总 工 时 数 为 １ × ２ ０ ， 可 ｘ小 而 ３ ４０ 即 建 立 不 等 式 ：４ ≤ １０ ４ ０ 从 钢 材 数 量 考 虑 ， 需 ３ ×２ ０ 再 共 要 ２ ｘ千 克 ， 明 年 总 钢 材 数 量 为 （ ０ — ２ ０。 ６ ） ０ 而 ７０ ２Ｔ９０ × １０ ０ ０千 克 ， 可 建 立 不 等 式 ：２ ｘ （ ０ — ２０ ９ ０ 即 ０ ≤ ７０ ２ ＋ ６） ×１ ０ ． 而建 立 了 不 等 式 组 ００从 ｆｘ １ ０ ４ ０ 人 事 信 息 与 技 术 定 额 ） ４ ％ ３ ×２０ （ ｚ ００（ ≥６ ０ ０ 销售 预 测 ）
导数中的构造函数(最全精编)
导数中的构造函数(最全精编)导数小题中构造函数的技巧函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想。
在导数题型中，构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现。
下面我将分享导数小题中构造函数的技巧。
一）利用 $f(x)$ 进行抽象函数构造1、利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造；常用构造形式有 $xf(x)$ 和$\frac{f(x)}{x}$。
在数导数计算的推广及应用中，我们对 $u\cdot v$ 的导函数观察可得，$u\cdot v$ 型导函数中体现的是“加法”，$\frac{u}{v}$ 型导函数中体现的是“除法”。
由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“加法”形式时，优先考虑构造$u\cdot v$ 型；当导函数形式出现的是“除法”形式时，优先考虑构造 $\frac{u}{v}$ 型。
我们根据得出的“优先”原则，看一看例1和例2.例1】$f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，当$x0$ 的解集为？思路点拨：出现“加法”形式，优先构造 $F(x)=xf(x)$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=xf(x)$，则 $F'(x)=f(x)+xf'(x)$。
当$x0$ 的解集为 $(-\infty,-4)\cup(0,4)$。
例2】设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且$f(1)=2$。
当 $x0$ 恒成立。
则不等式 $f(x)>0$ 的解集为？思路点拨：出现“除法”形式，优先构造$F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可。
解析】构造 $F(x)=\frac{f(x)}{x-f(x)}$，则$F'(x)=\frac{xf'(x)-2f(x)}{(x-f(x))^2}$。
因为 $xf'(x)-f(x)>0$，所以 $F'(x)>0$，$F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。
高中数学二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造
二轮复习关于三角函数解题中常用数学模型构造构造数学模型是一种比较重要、灵活的思维方式，它没有固定的模式。
在解题中要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的联想、灵活的构思、创造性的思维等能力。
应用好构造思想解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是弄清条件的本质特点和背景，以便重新进行逻辑组合。
常用的有构造命题、构造表达式、构造几何体等，本文拟就通过介绍几种解三角函数的具体问题，对构造的各种思维方式作一些探讨。
1 构造直角三角形例1 设x ∈[4π，2π]，求证：cscx -ctgx ≥2-1 思路分析：由2、1联想等腰直角三角形，不仿构造一个等腰直角三角形来研究。
作Rt ⊿ABC ，令∠Ｃ=900，AC=1，在ＡＣ上取一点D ，记∠ＣＤＢ＝x ，则ＢＤ＝cscx ，ＣＤ＝ctgx ，ＡＤ＝１-ctgx ，利用ＡＤ＋ＤＢ≥ＡＢ＝2，可得cscx -ctgx ≥2-1，等号仅在x ＝4π时成立。
2 构造单位圆例 2若0<β<α<2π，求证：α-β<tg α-tg β 思路分析：构造单位圆，借助三角函数线与三角函数式的关系，把数的比较转化为几何图形面积的比较。
作单位圆O ，AP 1=β，AP 2=α，∴ P 1P 2=α-β，AT 1=tg β，AT 2=tg α，S ⊿AT O =21tg α，S ⊿AP O =21tg β，由于S 扇形OAP=21α，S 扇形OAP =21β。
∴S 扇形OP P =21（α-β），S ⊿OT Ｔ=21tg α－21tg β。
则S ⊿OT Ｔ>S 扇形OP P即 21（α-β）<21（tg α－tg β） 所以 α-β<tg α-tg β3 构造函数表达式例3已知x 、y ∈[-4π，4π]，a ∈R ，且⎩⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x ，求cos （x+2y ）思路分析：由x 3+sinx 与2（4y 3+sinycosy ），这两部分形式完全类似，由此可构造函数形式。
导数专题5：构造函数法ppt课件
·f(20.2), b=(logπ3)·f(logπ3),c=(log39)·f(log39), 则a,b,c的大小关系是( )
A.b>a>c B.c>a>b
C.c>b>a
D.a>c>b
8
12.已知f(x)是可导的函数，且f′(x)<f(x)对于x∈R恒成立， 则( ) A.f(1)<ef(0)，f(2 016)>e2 016f(0) B.f(1)>ef(0)，f(2 016)>e2 016f(0) C.f(1)>ef(0)，f(2 016)<e2 016f(0) D.f(1)<ef(0)，f(2 016)<e2 016f(0)
f (x) g(x) 0的解集是（
）
A3,0 U3,
B 3,0 U0,3
C , 3 U3, D , 3 U0,3
2
变题1：设f (x), g(x)是定义域为R的恒大于0的可导函数，
且f (x)g(x)-f (x)g(x) 0,则当a x b时有（
)
Af (x)g(x) f (b)g(b)Bf (x)g(a) g(a)g(x)
3 B 1C
2D 1
8
3
3
2
6
（2011辽宁理）函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2, 对任意x R，f ( x) 2,则f ( x) 2x 4的解集为（）
A1,1 B 1, C , 1 D ,
7
利用导数确定函数的单调性
(2014·武汉模拟)已知函数y=f(x)的图象关于y
轴对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立.a=(20.2)
专题：导数运算中构造函数解决抽象函数问题策略
导数运算中构造函数解决抽象函数问题在导数习题中经常会遇到一些只给出函数的性质，而并不提供具体解析式的问题，我们称之为抽象函数问题。
解决这类问题的策略是构造合适的函数，利用函数的性质解决问题。
下面着重介绍常见函数的构造模型。
模型一：关系式为“加”型 ()()()()()''()'f x g x f x g x f x g x =+⎡⎤⎣⎦()()1,[()]'['()()]x x x e g x e f x e f x f x =+用 替代则()()[]112,[()]'()'()'()()n n n n n x g x x f x nx f x x f x x xf x nf x --=+=+用 替代则()()[]113,()(),[()]'()()'()()'()()x n x n x n x n x n e g x f x f x e f x e f x e nf x f x e f x nf x f x --=+⋅=+用 替代替代则 模型二：关系式为“减”型 ()()()()()2'()'()['=]f x g x f x g x x g x g x f - ()()2()'()()'()()1,[]'x x xx x xf x f x e f x e f x f x eg x e e e --==用 替代则 ()()121()'()()'()()2,[]'n n nn n n f x f x x f x nx xf x nf x x g x x x x-+⋅-⋅-==用 替代则 ()()[]121()()'()()3,()(),[]'()'()()n x n x n xnx xn xf x e nf x f x e f x eg x f x f x e e f x nf x f x e --⋅-=-=用 替代替代则 模型三：当条件是导数与多项式时，构造函数可以采用求原函数的思想。
第7讲 构造函数解不等式(学生版)2023年高考数学重难突破之导数、数列(全国通用)
第七讲构造函数法解决导数不等式思维导图——知识梳理脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶考法一加减法模型构造函数思维导图-----方法梳理1.对于不等式()k x f >'()0≠k ，构造函数()()bkx x f x g +-=2.形如(x)g(x)f >或(x)g(x)f <的函数不等式，（1）.可以构造函数)(-)(x g x f x F =）（，然后求）（x F 的最大值和最小值；（2）.如果(x)0g >，我们也可以构造函数()(x)(x)f G xg =，求()G x 的最值.，且为且当A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．a c b>>围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·四川广元市·高三三模）已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是（）A．(,3)(0,3)-∞- B．()3,3-C．(3,0)(0,3)-⋃D．(,3)(3,)-∞-⋃+∞例2．（2022·广东·华南师大附中高三阶段练习）设函数()f x '是奇函数()(R)f x x ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 取值范围是（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．(1,0)(0,1)-⋃C ．(,1)(0,1)-∞-⋃D ．(1,0)(1,+)-⋃∞例3．（2022·西藏昌都市第四高级中学一模（理））已知函数()f x 是定义在−∞，∪，+∞的奇函数，当()0x ∈+∞，时，()()xf x f x '<，则不等式()()()52+25<0f x x f --的解集为（）A ．()()33-∞-⋃+∞，，B ．()()3003-⋃，，C ．()()3007-⋃，，D ．−∞，−∪，套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2021·安徽高二月考（理））设函数()f x 是定义在()0,∞+上的可导函数，其导函数为()'f x ，且有()()2'f x xf x >，则不等式()()()24202120212f x x f ->-的解集为（）A ．()2021,2023B ．()0,2022C ．()0,2020D ．()2022,+∞2．（2020·广州市育才中学高二月考）函数()f x 的导数为()'f x ，对任意的正数x 都有()()2'f x xf x >成立，则（）A ．()()9243f f >B ．()()9243f f <C ．()()9243f f =D ．()92f 与()43f 的大小不确定3.（2015新课标Ⅱ）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=当0x >时，'()()xf x f x -0<，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞- B ．()()1,01,-+∞ C ．()(),11,0-∞-- D ．()()0,11,+∞ 题型二：构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型思维导图-----方法梳理类型一：构造可导积函数1])([)]()(['=+'x f e x nf x f e nx nx 高频考点1：])([)]()(['=+'x f e x f x f e x x 类型二：构造可商函数①])([)()('=-'nxnx ex f e x nf x f 高频考点1：])([)()('=-'xx ex f e x f x f 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1.（2021·内蒙古锡林郭勒盟）设函数()'f x 是函数()f x 的导函数，x R ∀∈，()()0f x f x '+>，且(1)2f =，则不等式12()x f x e ->的解集为（）A．(1,)+∞B．(2,)+∞C．(,1)-∞D．(,2)-∞例2.（2022·陕西榆林·三模）已知()f x 是定义在R 上的函数，()'f x 是()f x 的导函数，且()()1f x f x '+>，(1)2f =，则下列结论一定成立的是（）A ．12(2)f +<e eB ．1(2)f +<e eC ．12(2)f +>e eD ．1(2)f +>e e例3．（2021·赤峰二中高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x >-'，()06f =，则不等式()51x f x e>+(e 为自然对数的底数)的解集为（）A．()0,∞+B．()5,+∞C．()(),05,-∞⋃+∞D．(),0-∞套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2020·贵州贵阳·高三月考（理））已知()f x '是函数()f x 的导数，且满足()()0f x f x '+>对[]0,1x ∈恒成立，A ，B 是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A ．()()sin sin sin sin e eB A f A f B <B ．()()sin sin sin sin e e B A f A f B >C ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B <D ．()()sin cos cos sin e e B Af A f B >2．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（文））设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，()02018f =，则不等式()e e 2017x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(),0∞-B ．()(),02017,-∞⋃+∞C ．()2017,+∞D ．()0,∞+3．（2022·陕西渭南·高二期末（理））已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，对任意R x ∈满足()()0f x f x '+<，则下列结论一定正确的是（）A ．()()23e 2e 3f f >B ．()()23e 2e 3f f <C ．()()32e 2e 3f f >D ．()()32e 2e 3f f <围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹例1．（2021·全国高三）定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x '>，且()2022f x +为奇函数，则不等式()20220xf x e +<的解集是（）A．(),0-∞B．−∞,l BC．()0,∞+D．()2022,+∞例2．（2020·吉林高三月考（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足'()()f x f x <，且(2)f x +为偶函数，(4)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．()4,e-∞D ．()4,e +∞例3．（河南省多校联盟2022）已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞例4．（2021·全国高三）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()()0f x f x '->，2021(2021)f e =，则不等式31(ln )3f x x <的解集为（）A．6063(,)e +∞B．2021(0,)e C．2021(,)e +∞D．6063(0,)e 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫1．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）设()f x '是定义在R 上的连续的函数()f x 的导函数，()()2e 0xf x f x '-+<（e 为自然对数的底数），且()224e f =，则不等式()2e x f x x >的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()e,+∞C ．()2,+∞D ．()(),22,∞∞--⋃+2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列不等式成立的是（）A ．e (1)(2)f f >B ．()()e 10f f -<C ．()()e 21f f ->-D ．()()2e 11f f ->3．（2022·江西省信丰中学高二阶段练习（文））若定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '为，且满足()()f x f x '>，则(2017)f 与e (2016)f ⋅的大小关系为（）A ．(2017)f ＜e (2016)f ⋅B ．(2017)f =e (2016)f ⋅C ．(2017)f ＞e (2016)f ⋅D ．不能确定4．（2022·江苏·涟水县第一中学高三阶段练习）()f x 是定义在R 上的函数，()f x '是()f x 的导函数，已知()()f x f x '>，且(1)e f =，则不等式()2525e 0x f x --->的解集为（）A ．(),3-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,+∞D ．()3,+∞5．（2021·江苏高二月考）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '->，若()()2211x ax e f ax ef x +>-恒成立，则实数a 的取值范围为___________.2．（2022·吉林·长岭县第三中学高三阶段练习）已知奇函数()f x 的定义域为,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其导函数是'()f x ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()sin ()cos 0f x x f x x -<，则关于x 的不等式()2sin 6f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,0,266πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,,2662ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,66ππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．,0,662πππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数()f x 定义域为()(),00,ππ-⋃，其导函数是()f x '.当0πx <<时，有()()sin cos 0f x x f x x '-<，则关于x 的不等式()2sin 4f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．（4π，π）B ．,,44ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ． ,0,44πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．（2021·甘肃省武威第二中学高二期中（理））对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式()()sin cos x f x x f x ⋅⋅'＜恒成立，则下列不等式错误的是（）A ．234f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞B ．()2cos113f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＞C ．()2cos114f f π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＜D ．6426f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜op上的奇函数，且套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫。
构造函数模型“桥”解立体几何最值
Ｂ ＝ｓＯ Ｅ １ １ ｎｎｃ０竿ｓ２≤了 ，当且 １ ａｎ Ｂ・ ２Ｏｏ ＝ ｉ ａ Ｆ ｉ． Ｂ ｓ ｓ ｉ ｎ ｚ
仅 当 ｓ ２ ＝１即 ＝ ５ 时 等 号 成 立 ，从 而 Ｓ ，≤ ａ ｉ ０ ｎ ４。 ， －
（ 下 略 ）． 以
２在正 四棱柱 Ａ Ｃ － 。。Ｄ 中，顶 点 曰 到 ｌ Ｂ Ｄ ＡＢＣ 。
一
透 ，紧密结合的． 体几何题 中经常会涉及 到距离最 立
短 、面 积 与体 积 最 大 或最 小 等 问题 ，我 们 可 引入 适 当
．
曰。
：一 １
． 而得 出 Ｐ关 于 ． ， 从 ｓ
变量 ，运用立体几何 中的公式法则 ，写 出 目标 函数 ， 通过 函数搭桥 ，利用 函数性质或不等式理论 ， “ ” 桥 解出最值． 下面举例说明．
点评Ｉ 空间图形 中含 有一些 “ 态” 因素 （ 对 动 如
距 离、角度 、面积 等 ）的 问题 ，可考虑能否把 这一
“ 态 ” 因素 作 为 自变量 ，构 造 目标 函数 ， 用 函数 的 动
【 解析Ｉ（） （ Ｉ 证略 ）．
（Ｉ Ｉ）在 长 方体 内选 取 一 点 是 随 机 的 ，概 率 尸只
圈 设 面 长 。 高＝鲋 （ 。 底 边 为， ／一 则 、 ） 、２ 所 体 ＿ —－ 设： ／ 手， 积＝。３ ｔ ￣６ ｙ １ 以 １ ＝√ａ ａ 一 ＿ －ｚ ． Ｖ
， ｙ＝ ８３３ ￣当 Ｙ 则 ４ ａ－ ａ， 取最值 时， ４ 一 ： ｙ＝ ８ ３
１ａ ２４ 一
匿 结合选项可以看出， 的 取值范围 决定于
侧 棱 长 与 底 面边 长 的 大小 关 系 ， 因此 侧 棱 长 与 底 面 边 长 可 作 为 动 源 ． 为侧 棱 长 与 底 面 边 长 未 知 ， 分 别 假 因 可 设 出 来 用 于 联 系 ｈ ｄ两 个 变 量 ．不 妨 设 底 面边 长 为 １ ， ， 侧 棱 长 为 Ａ （ ＞ ）这 样 假 设 避 免 了产 生 两 个 未 知 量 ， Ａ０（
构造函数解不等式
构造函数解不等式高考常以导数为工具来证明不等式或求参数的范围，然在导数小题中常以压轴形式出现，这类试题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解导数问题的最基本方法，怎样合理构造函数，就尤为重要！本文教你如何用“四则运算”轻松搞定！！！（声明：F(x)‒构造函数，f（x）‒原函数，f'(x)‒导函数；g（x）‒原函数，g'(x)‒导函数;）常见的构造函数模型:模型一“加减法”：题设中给出“导函数± 常数”时，往往需要构造以下两个抽象函数。
(b为常数可忽略，原因读者自己考证)1.f′(x)+a⇒ F(x)=f(x)+ax+b2.f′(x)−a⇒ F(x)=f(x)−ax+b例题1. 已知f(x)定义域为 R，若x < 0时，f( ‒ 1) = 2，且对任意x∈ R，f'(x)>2,则 f（x）>2x+4 的解集为（）A．（-1,1） B.（-1，+∞） C.（-∞，-1） D.（-∞，+∞）模型二“乘法”：题设中给出“ U′V+U V′”时，往往需要构造以下抽象函数。
3.f′(x)g(x)+f(x)g′(x)⇒ F(x)=f(x)g(x)+b特别地：xf′(x)+f(x)⇒ F(x)=xf(x)+bf′(x)+f(x)⇒F(x)=e x f(x)+例题2.已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数，偶函数，若x < 0时，f'(x)g(x) + f(x)g' (x) > 0，且g( ‒ 3) = 0，则不等式f(x)g(x) < 0的解集是。
例题3.已知函数f(x)是定义在(0, + ∞)上的非负可导函数，且满足xf'(x) + f(x) ≤ 0，对任意正数a, b，若a < b，则必有（）A.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af (b)C. af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f (a)模型三“除法”：题设中给出“U V′−U′V时，往往需要构造以下抽象函数。
专题3-4 构造函数解不等式(选填)(原卷版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型
例题 2．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知定义在 R 上的偶函数 f (x)
满足：当 x 0 时，恒有 xf (x) 2 f (x) 0 ．若 a 2 f ( 2) ，b 9 f (3) ，c f (1) ，则 a ，b ，
c 的大小关系为（
）
A． b a c
例题 3．（2022·福建省诏安县桥东中学高三期中）已知函数 f x 的定义域和值域均为 0, ，
f
x 的导函数为
f ¢(x) ，且满足 2 f
x
f
x 3f
x ，则
f f
2021 2022
的范围是______．
构造可导积（商）函数模型：
① enx[ f ( x) nf ( x)] [enx f ( x)]
2．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中（文））设定义域为 R 的函数 f x 满足 f x f x ， 则不等式 ex1 f x f 2x 1 的解集为
A． ,1
B． 1,
C． 1,1
D． 1,
3．（2022·黑龙江·虎林市高级中学高三开学考试）定义域为 R 的可导函数的导函数 y f x 为 f x ，满足 f x f x ，且 f 0 1，则不等式 f x ex 的解集为（ ）
x
x2
f
x
0 ，若 a
f
2 ,b
2
f
π
,c
π
f
5 ，则 a,b, c 的大小关系是（
5
）
A． c b a
B． c a b
C． b a c
D． a b c
2．（2022·江苏连云港·高三期中）设函数 f x 的导函数为 f x ，对任意 x R ，都有 xf x f x 成立，则（ ）
构造函数模型(对勾函数)解实际问题
一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知 当航速为每小时a 海里时，每小时所耗燃料费为b 元；此外， 该海轮航行中每小时的其他费用为c (与航速无关)．若该海轮 匀速航行d 海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的 总费用最省？此时总费用是多少？
解：由“航速为每小时a 海里时，每小时所消耗燃料费 用为b 元”得“燃料费与其航速的平方成正比”的比例系数 是 ． 2 b a 设航速为每小时x 海里，则航行的总费用
2 222 2 2 b d dc bd dc bd dc d s x x x bc a x x a x a x a
=×+=+³×=
等号成立的条件是: ，即 ， 2 bd dc x a x = a x bc b
= 所以航速为每小时 海里时，航行的总费用最省， 为 . a bc b 2d bc a 本题中的函数模型是 ,图象如下 b y ax x
=+ (a <0,b <0) (a <0,b >0) (a >0,b >0) (a >0,b <0)
文件名。
导数构造函数
导数构造函数导数构造函数常用的导数构造函数模型如下：1) 条件：f′(x)>a(a≠0)。
构造函数：h(x)＝f(x)－ax。
2) 条件：f′(x)±g′(x)>0.构造函数：h(x)＝f(x)±g(x)。
3) 条件：f′(x)＋f(x)>0.构造函数：h(x)＝exf(x)。
4) 条件：f′(x)－f(x)>0.构造函数：h(x)＝fx/ex。
5) 条件：xf′(x)＋f(x)>0.构造函数：h(x)＝xf(x)/fx。
6) 条件：xf′(x)－f(x)>0.构造函数：h(x)＝x/fx。
例1：已知f(x)的导函数为f′(x)=ex(2x+3)+f(x)，且f(x)/x<5e。
求不等式的解集。
解：由f′(x)-f(x)=2x+3ex>0，可得G(x)=f(x)/ex单调递增。
设G(x)=x+3/(x+c)，则G(0)=f(0)=1，解得c=1.所以f(x)=x2+3x+1.代入不等式得e<5，解得-4<x<1.所以不等式的解集为(-4,1)。
例2：已知函数f(x)满足f(x)=f(-x)，且当x∈(-∞,0]时，f(x)+xf′(x)<1/(8log2)(2f(2ln2))，若f(log2)=1/(8log2)(2f(2))，则a，b，c的大小关系是()。
解：令h(x)=xf(x)，则h(x)为奇函数。
当x∈(-∞,0]时，h′(x)=f(x)+xf′(x)<0，所以h(x)在(-∞,0]上为减函数，又由函数h(x)为奇函数，则h(x)在(-∞,+∞)上为减函数。
所以a=(2/0.6)·f(2/0.6)=h(2/0.6)，b=ln2·f(ln2)=h(ln2)，c=(1/log2(8))·f(log2(8))=h(8)=h(-3)·f(-3)·log2(111)<h(log2(2))·f(log2(2))·log2(28)，所以c<a<b。
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《义务教育数学课程标准》要求学生：体会函数思想在实际问题中的应用，体验从实际问题中抽象数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题。
因此，以函数为模型的数学应用问题成了当前热点问题。
以下摘取几例，略作赏析，更为抛砖引玉。
一、在规律探索性问题中构建函数模型。
问题1：图1是用长度相等的火柴棒拼成的由三角形组成的图形，如果从左向右将各图形依次称作第1个、第2个、第3个、第4个．．．那么拼成第n个图形需要的火柴棒的根数是。
分析：当n=1时，火柴根数S=3；当n=2时，S=5．．．可建立一次函数模型予以解决，设S=kn+b，容易求得k=2 ，b=1。
∴S=2n+1。
问题2：观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字：
两条直线相交，三条直线相交，四条直线相交，……
最多有1个交点；最多有3个交点；最多有6个交点；……
像这样，十条直线相交，最多交点的个数是（）
A.40个
B.45个
C.50个
D.55个
分析：当直线条数n=2时，交点个数S=1；当直线条数n=3时，交点个数S=3；当直线条数n=4时，交点个数S=6．．．因此，可建立二次函数模型予以解决，设S=an2+bn+c，容易求得a=1/2,b=-1/2,c=0。
∴S=1/2 n2—1/2 n，当n=10时，S=45，应选B。
点评：此类探索性问题，可通过一一对应联想函数模型，求得函数解析式后另找一组对应值予以验证，较容易解决。
二、来源于生活中数学问题的函数模型。
问题3：某农场要建长方形的养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墻，墻长为18米，另三边用篱笆围成，如果篱笆的长为35米。
（1）鸡场的面积能达到150平方米吗？
（2）鸡场的面积能达到180平方米吗？
如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。
分析：设与墻垂直的一边长为x米，则与墻平行的一边长为35—2x米，令y表示该长方形的面积，则有y=x(35—2x)，即y= —2(x—8.75)2+153.125。
当y=150时，2(x—8.75)2=3.125，解得x=7.5或10，当x=7.5时，35—2x =20>18，（应舍去）∴x＝10米。
当y=180 时，2(x—8.75)2= —26. 875，方程无解，∴面积不能达到180平方米。
问题4：某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池（平面如图所示），由于受地形限制，三级污水处理池的长、宽都不能超过16米，已知池的外围墻建造单价为每米400元，中间两条隔墻建造单价为每米300元，池底建造单价为每平方米80元（池墻的厚度忽略不计）（1）当三级污水处理池的总造价为47200元时，求池长x；
（2）如果规定总造价越低就越合算，那么根据题目提供的信息，以47200元为总造价来修建三级污水处理池是否最合算？
请说明理由。
分析：可令总造价为y元，根据题意可得y=800(20+x+350/x)，若以47200元为总造价来修建三级污水处理池不是最合算，则有y≤47200，那么800(20+x+350/x)≤47200，即x2-39x+350≤0，解之可得14≤x≤16。
不妨设x为整数，则x可取的值为14、15、16。
当x=14时，y=47200元，即为（1）的情况；当x=15时，y=46667<47200元，当x=16时，y=46300<47200元。
由此可知，以47200元为总造价来修建三级污水处理池不是最合算。
点评：运用变量思想，通过构建函数模型，能够使得一些看来比较棘手的问题迎刃而解。
三、在动点型几何问题中构建函数模型。
问题5：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P是BC上的动点，直线l过P 点且平行于DC与AB（或AD）交于E点，若BP=x，梯形位于直线l左侧部分的面积为S。
分别求出当点E位于BA、AD上时，S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围。
分析：当点E在BA边上时，l左侧部分是三角形，只要找出三角形的底边、高与x之间的关系，就可写出三角形的面积S与x之间的函数关系式：S=1/3 x2，0≤x≤6。
当点E在AD边上时，l左侧部分是一梯形，只要求出梯形的上底、下底、高与x之间的关系，就可写出梯形的面积S与x之间的函数关系式：S=4x—12，6≤x≤10。
问题6：如图，在△ABC中，∠C=90°，其周长为24cm，内切圆半径为2cm，若AC=8cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿线段CA向点A运动（不运动至A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求⊙O的半径。
分析：这是动点型几何问题，当点P由点C向点A运动时⊙O始终与线段CA及BA相切，按常理应作出过切点的半径，但必先求出Rt△ABC中未知两边BC、AB的长．．．．．．设BC为xcm，则AB=24―8―x=16－x （cm），利用勾股定理可列方程：x^2+8^2=(16-x)^2，解得x=6cm。
即BC=6cm，AB=10cm。
⊙O内切于Rt△ABC时，切点分别为H、I、J，倘使连接OH、OI、OJ、OA、OC，四边形OICJ是一个正方形，内切⊙O的半径为2cm。
Rt△ABC内切⊙O的圆心O是个定点，它到边CA、CB的距离为2cm，当点P由点C向点A运动时⊙O始终与边CA及BA相切，也就是说圆心O到这两边的距离始终相等，而内切圆心（不妨设为点O′）到这两边的距离也始终相等，因此O′、O、A三点共线，笛卡儿通过数与形的结合把几何图形的性质问题转化为数量关系问题来进行研究，那就是建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题来解决，本题也可以借助平面直角坐标系来解决。
以点C为坐标原点、CA所在直线（向右为正方向）为x轴即可。
设Rt△ABC内切圆圆心设为O′（2，－2）。
由点O′、A得直线：y=x/3-8/3，∵点O在直线y=x/3-8/3上，设此时⊙O的半径为r，∴-r=
，得x=8-3r，即点O坐标为（8－3r，
x/3-8/3
－r）。
作OM⊥x轴于点M，则有OM∥BC，∴OM/BC=PM/PC，其中BC=6，OM=r，PC=4，PM=4－(8－3r)=3r－4，解得r=12/7。
点评：动点型问题一般集代数与几何的多个知识点于一题，通过变量之间的对应关系建构函数模型是解决此类问题的关键。
总之，通过观察、分析、归纳、综合、概括、抽象和绘图等能力的检测，分析每个量的变化过程，构
建函数模型解决实际问题是中学阶段一个重要的内容。