1.1.1正弦定理(1)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Hale Waihona Puke Baidu
这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.
二、基础知识讲解 正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
ab c. sin A sin B sin C
①正弦定理的叙述适合于任何三角形
C
a
b
②也可以利用三角形的面积证明。 B c
C
设边AB上的高是CD,
a
b
根据三角函数的定义,
CD a sin B， CD b sin A B
cD
A
得到 a sin A
b sin B
同理,在△ABC中, b sin B
c sin C
在锐角三角形中，等式 a b c 成立. sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?
例2、在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，
解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。
解： A 40 90且a b， A B
根据正弦定理，sin B b sin A 28sin 40 0.8999.
a
20
因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
形式3：a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的 对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
二、基础知识讲解 正弦定理
形式1： a b c 2R. sin A sin B sin C
即 a b c 2R(R为ABC外接圆半径) sin A sin B sin C
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c.
B
作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO 并延长交圆于B’，设BB’=2R. 则根据直径所对的圆周角是直角
.c
a
A
O
b
C
以及同弧所对圆周角相等可以得到:
B’
BAB' 90, C B'， sin C sin B' c
形式2： a b , b c , a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
形式3：a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
问题：由形式2可以得到，正弦定理可以解什么类型的 三角形问题?
每个等式可视为一个方程：知三求一
类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角
A
a
b
sinA= sinB=
c
c
c
b
Ba C
a b c sin A sin B ∠C= 90°, sinC 1
abc sin A sin B sin C
那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？
思考：在任意三角形中， a b c 是否成立？
sin A sin B sinC
当△ABC是锐角三角形时,
c
sin A
sin 40
13(cm).
练习: P5 2(1)
这两个角是否都符合要求呢?
四、课时小结
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
ab c. sin A sin B sin C
C
a
b
Bc
A
作业：课本P10 A组 1(1)、2(2)
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
A
S 1 ac sin B 1 ab sin C 1 bc sin A
2
2
2
③可以证明
a b c 2R. sin A sin B sin C
（R为△ABC外接圆半径）
二、基础知识讲解 正弦定理
形式1： a b c 2R. sin A sin B sin C
形式2： a b , b c , a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
类型2:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
三、正弦定理的应用举例
类型1: 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角
先确定第三个角，再用正弦定理确定剩下的两边
例1、在ABC中，已知A 32.0，B 81.8，
a 42.9cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 ,
a sin C 20sin 76
c
sin A
sin 40
30(cm).
(2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
a sin C 20sin 24
c 2R， 同理可得 a
2R, b
2R 2R
sin C
sin A
sin B
等式 a b c 2R成立. sin A sin B sin C
一、复习引入 三角形中的边角关系
1、三个角的关系： A B C
2、三条边的关系：任意两边和( 差)大于(小于)第三边 3、边与角的关系：大边对大角，小边对小角
C
A
B
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
a sin A
b sin B
c sin C
，是否成立?
初中学过锐角三角函数定义:
根据正弦定理，b
a sin B sin A
42.9 sin 81.8 sin 32.0
80.1(cm)
根据正弦定理，c
a sin C sin A
42.9 sin 66.2 sin 32.0
74.1(cm)
练习：P5 1(1)
类型2:已知两边和其中一边的对角，求三角形其他的边和角
可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角
当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?
过点C作CD⊥AB,
A
则CD b sin A a sin B a b sin A sin B
Dc b
E
Ca B
过点A作AE⊥BC,
则AE c sin B b sin( C) b sin C b c sin B sin C
在钝角三角形中，等式 a b c 也成立. sin A sin B sin C
这就是说，对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 来说，上面的关系式均成立.因此.我们得到下面的定理.
二、基础知识讲解 正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
ab c. sin A sin B sin C
①正弦定理的叙述适合于任何三角形
C
a
b
②也可以利用三角形的面积证明。 B c
C
设边AB上的高是CD,
a
b
根据三角函数的定义,
CD a sin B， CD b sin A B
cD
A
得到 a sin A
b sin B
同理,在△ABC中, b sin B
c sin C
在锐角三角形中，等式 a b c 成立. sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?
例2、在△ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，
解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。
解： A 40 90且a b， A B
根据正弦定理，sin B b sin A 28sin 40 0.8999.
a
20
因为0 B 180 , 所以B 64 , 或B 116
形式3：a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的 对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
二、基础知识讲解 正弦定理
形式1： a b c 2R. sin A sin B sin C
即 a b c 2R(R为ABC外接圆半径) sin A sin B sin C
在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c.
B
作△ABC的外接圆，O为圆心，连接BO 并延长交圆于B’，设BB’=2R. 则根据直径所对的圆周角是直角
.c
a
A
O
b
C
以及同弧所对圆周角相等可以得到:
B’
BAB' 90, C B'， sin C sin B' c
形式2： a b , b c , a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
形式3：a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
问题：由形式2可以得到，正弦定理可以解什么类型的 三角形问题?
每个等式可视为一个方程：知三求一
类型1:已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角
A
a
b
sinA= sinB=
c
c
c
b
Ba C
a b c sin A sin B ∠C= 90°, sinC 1
abc sin A sin B sin C
那么，在任意三角形中，这一关系式是否成立呢？
思考：在任意三角形中， a b c 是否成立？
sin A sin B sinC
当△ABC是锐角三角形时,
c
sin A
sin 40
13(cm).
练习: P5 2(1)
这两个角是否都符合要求呢?
四、课时小结
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
ab c. sin A sin B sin C
C
a
b
Bc
A
作业：课本P10 A组 1(1)、2(2)
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
A
S 1 ac sin B 1 ab sin C 1 bc sin A
2
2
2
③可以证明
a b c 2R. sin A sin B sin C
（R为△ABC外接圆半径）
二、基础知识讲解 正弦定理
形式1： a b c 2R. sin A sin B sin C
形式2： a b , b c , a c . sin A sin B sin B sin C sin A sin C
类型2:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形 的其他的边和角。
三、正弦定理的应用举例
类型1: 已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角
先确定第三个角，再用正弦定理确定剩下的两边
例1、在ABC中，已知A 32.0，B 81.8，
a 42.9cm，解三角形。
解：根据三角形内角和定理，
C 180 ( A B) 180 (32.0 81.8 ) 66.2
(1)当B 64时，C 180 ( A B) 180 (40 64 ) 76 ,
a sin C 20sin 76
c
sin A
sin 40
30(cm).
(2)当B 116时，C 180 ( A B) 180 (40 116 ) 24 ,
a sin C 20sin 24
c 2R， 同理可得 a
2R, b
2R 2R
sin C
sin A
sin B
等式 a b c 2R成立. sin A sin B sin C
一、复习引入 三角形中的边角关系
1、三个角的关系： A B C
2、三条边的关系：任意两边和( 差)大于(小于)第三边 3、边与角的关系：大边对大角，小边对小角
C
A
B
已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
a sin A
b sin B
c sin C
，是否成立?
初中学过锐角三角函数定义:
根据正弦定理，b
a sin B sin A
42.9 sin 81.8 sin 32.0
80.1(cm)
根据正弦定理，c
a sin C sin A
42.9 sin 66.2 sin 32.0
74.1(cm)
练习：P5 1(1)
类型2:已知两边和其中一边的对角，求三角形其他的边和角
可先求另一边的对角，再确定剩下的边和角
当△ABC是钝角三角形时,以上等式仍然成立吗?
过点C作CD⊥AB,
A
则CD b sin A a sin B a b sin A sin B
Dc b
E
Ca B
过点A作AE⊥BC,
则AE c sin B b sin( C) b sin C b c sin B sin C
在钝角三角形中，等式 a b c 也成立. sin A sin B sin C