线代习题答案(3)

要使可由线性表出，需b−a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).
11. 求下列向量组的秩与一个极大线性无关组. (1) α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7); (2) α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6， 22)，α4＝(7，1，0，-1，3)； (3) α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝ (1，-1，2，0),α5＝(2，1，5，6). 解：（1）把向量组作为列向量组成矩阵Α，应用初等行变换将Α化为最 简形矩阵B，则 可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列线性无关，由于Α的列向量组 与B的对应的列向量有相同的线性组合关系，故与B对应的Α的第1，2列 线性无关，即α1,α2是该向量组的一个极大无关组. （2）同理， 可知R(Α)=R(B)=4,Α的4个列向量线性无关,即α1,α2,α3,α4是该向量组的极
15. 已知向量组α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩为 3,试确定a的值. 解：以向量组为列向量，组成矩阵A，用行初等变换化为最简形式： 由秩A=3.可知a≠1,从而1+3a=0，即a=-.
16. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.
13. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价. 【解】设向量组 (1)
与向量组 (2)
的极大线性无关组分别为 (3)
和 (4)
由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而 （3）可以由（4）线性表出，即 因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由 （*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别
(1)；
(2).
【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;
(2) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为.
17. 集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么?
【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则
因为
所以,故是向量空间.
18. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.
【证明】把排成矩阵A=(),则
大无关组. (3)同理, , 可知R(Α)=R(B)=3,取线性无关组α1,α3,α5为该向量组的一个极大无关组.
12.求下列向量组的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性 表示. (1) α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7); (2) α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7). 解：(1)以向量组为列向量组成Α,应用初等行变换化为最简形式. , 可知,α1,α2为向量组的一个极大无关组. 设α3=x1α1+x2α2,即解得, 设α4=x3α1+x4α2,即解得, 所以 (2)同理, 可知, α1、α2可作为Α的一个极大线性无关组，令α3=x1α1+x2α2 可得：即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, 可得：即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, 可得：即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-α2 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α2
【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.
当k=1时，的秩为为其一极大无关组.
当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.
10. 确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),
=(1,2,1),=(1,0,−1)的秩相同，且可由线性表出.
【解】由于
而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a−2=0,即a=2,又
. 21. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基
下有相同的坐标.
【解】设在两组基下的坐标均为()，即
即
求该齐次线性方程组得通解
(k为任意实数)
故
22. 验证为R3的一个基，并把
用这个基线性表示.【解】设Fra bibliotek又设,
即
记作
B=AX.
则
因有,故为R3的一个基，且
即
.
（B类）
1.A
2.B
3.C
4.D
5.a=2，b=4
9. 设A是n×m矩阵,B是m×n矩阵,其中n＜m,E为n阶单位矩阵.若AB=E,证 明:B的列向量组线性无关. 证明：由第2章知识知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小结所给矩阵秩的性 质，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩为n， 即线性无关.
=(1,2,3,4) 3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）×
4. 判别下列向量组的线性相关性. （1）α1=(2,5), α2=(-1,3); (2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3); (3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2); (4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).
解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相 关.
5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设 即 由线性无关，有 所以即线性无关.
6.问a为何值时，向量组 线性相关，并将用线性表示. 解：当a=5时，
7. 作一个以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)为行向量的秩为4的方阵. 解：因向量(1,0,0,0)与（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)线性无关, 所以(1,0,0,0)可作为方阵的一个行向量，因（1,0,0,1）与(1,0,1,0)， （1，-1，0，0），（1，0，0，0）线性无关，所以(1,0,0,1)可作为方阵 的一个行向量.所以方阵可为.
,
所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.
19. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.
【解】因为矩阵
∴是一组基，其维数是3维的.
20. 设,证明:
.
【解】因为矩阵
由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由
习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以
同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.
14. 设向量组α1,α2,…,αs的秩为r1,向量组β1,β2,…,βt的秩为r2,向量组α1,α2, …,αs,β1,β2,…,βt的秩为r3,试证:
max{r1,r2}≤r3≤r1+r2. 证明：设αs1,…，为α1,α2,…，αs的一个极大线性无关组, βt1,βt2,…,为β1, β2,…,βt的一个极大线性无关组. μ1，…，为α1, α2，…，αs，β1，β2， …，βt的一个极大线性无关组，则αs1, …，和βt1，…，βtr2可分别由μ1， …，线性表示，所以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，可由αs1, …，αsr1，βt1，…，βtr2线性表示及线性无关性可知：r3≤r1+r2.
6.abc≠0
7.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问: (1) α1能否由α2,α3线性表示?证明你的结论. (2) α4能否由α1,α2,α3线性表示?证明你的结论. 解：(1)由向量组α1，α2，α3线性相关，知向量组α1, α2, α3的秩小于等于 2,而α2, α3, α4线性无关，所以α2, α3线性无关，故α2, α3是α1, α2, α3的极大线性无关 组，所以α1能由α2, α3线性表示.
k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0. 证明:因为α1，α2，…，αn，αn+1线性相关，所以存在不全为零的k1， k2，…，kn，kn+1使k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0 若k1=0，则k2α2+…+kn+1αn+1=0，由任意n个向量都性线无关，则k2=… =kn+1=0,矛盾.从k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1个全不为零 的数k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.
8. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性
无关组.
【证明】若
(1)
线性相关，且不妨设
(t<r)
(2)
是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩
为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.
9. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.
（2）不能.若α4可由α1，α2，α3线性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的极大线 性无关组,所以α4可由α2，α3线性表示.与α2，α3，α4线性无关矛盾.
8.若α1,α2,…,αn,αn+1线性相关,但其中任意n个向量都线性无关,证明:必存 在n+1个全不为零的数k1,k2,…,kn,kn+1,使
习题 三
（A类）
1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)= (0,1,2)