迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用

郑州师范学院

毕业论文

题目迭代法及其在数值求解

线性方程组中的应用姓名陈丹丹

学号************

院系数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级班级B12数应2班

指导教师王明建

2016年 5 月20 日

毕业论文作者声明

本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。

本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定，同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。同意省级优秀毕业论文评选机构将本毕业论文通过影印、缩印、扫描等方式进行保存、摘编或汇编；同意本论文被编入有关数据库进行检索和查阅。

本毕业论文内容不涉及国家机密。

论文题目：迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用

作者单位：郑州师范学院

作者签名：

目录

摘要 (1)

引言 (3)

1.预备知识 (3)

1.1迭代法的基本形式 (3)

1.2Jocabi迭代法 (4)

1.2.1分量形式的Jacobi迭代法 (4)

1.2.2矩阵形式的Jacobi迭代法 (5)

1.2.3Jacobi迭代法的算法实现步骤 (6)

1.3Gauss-Seidel迭代法 (6)

1.3.1分量形式的Gauss-seidel迭代法 (6)

1.3.2矩阵形式的Gauss-seidel迭代法 (6)

1.3.3Gauss-Seidel迭代法的算法实现步骤 (7)

1.4超松弛迭代法（SOR迭代法） (7)

1.4.1分量形式的SOR方法 (7)

1.4.2矩阵形式的SOR方法 (8)

1.4.3SOR迭代法的算法实现步骤 (9)

1.5迭代法的收敛性 (9)

2. 数值求解线性方程组 (10)

2.1用Jacobi迭代法求解 (10)

2.2用Gauss-Seidel迭代法求解 (11)

2.3用超松弛迭代法求解 (12)

小结 (13)

参考文献 (15)

致谢 (16)

迭代法及其在数值求解线性方程组中的应用

摘要：迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到的近似解的方法。而线性方程组的求解问题是科学研究及工程计算中最常出现的问题，如结构分析、网络分析、数据分析、大地测量等，都需求解线性方程组。由于从不同的问题而导出的线性方程组的系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵(零元素很多的多阶矩阵，一般

410>n )所对应的线性代数方程组，用迭代法求解，在某些精度要求比较高的问

题中，经常用迭代法求解。其基本思想为：从某一初始向量()()()()

()002

010,,n x x x X =出发，按照某种迭代规则，不停地对上一次的近似值进行修正，得到近似解的向

量(){}k X 。当近似解()()()()

()002

010,,n x x x X =收敛于方程组的精确解向量()

*

***=n x x x X ,,21时，满足给定精度要求的近似解向量()k X 就可看作是*X 的数值

解。

关键词：线性方程组；迭代法；Jacobi 法；Gauss -Seidel 法；逐次超松弛法

Iterative Method and Its Application to Numerical Solution of

Linear Equations

Abstract：Iterative method is the approximate solution obtained by successive iteration. The problem of solving linear equations is the most common problems in scientific research and engineering calculation, such as structural analysis, network analysis, data analysis, geodetic survey, etc., all need solution of linear equations. Due to the different problems of different and the coefficient matrix of the linear equations derived from, so for large sparse matrix corresponding to the system of linear algebraic equations, is solved by iterative method. In certain accuracy requirement is relatively high, often solved by iterative method. The basic idea is as follows: starting from a certain initial vector, according to some kind of iterative rule, the last time approximation is corrected, and the approximate solution is obtained. When the approximate solution converges to the exact solution of the equation, the approximate solution vector which satisfies the given accuracy requirement can be regarded as the numerical solution.

Keywords：linear equations; iterative method; Jacobi method; Gauss-Seidel method; successive over relaxation method