利用图象法刍议函数整数解问题的解题策略
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所以原函数是以(－1,2)为中心，以直线x＝－1、y＝2为渐近线的反比例函数，其 图象如图4所示.
对于给定函数的图象，可从图象上下左右分布范围，变化趋势，特殊点的坐标等 方面进行判断，必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行判断，未必非要 写出函数的解析式进行判断．
【例2】回答下述关于图象的问题： (1)向形状如下图，高为H的水瓶注水，注满为止，若将注水量V看作水深h 的函数，则函数V＝f(h)的图象是下图中的( )
象大致为( )
③(2)讨证论明函由：数当于的a＞性容3质时器即，单上关调于小性x的、下方奇大程偶f性，(x)、＝∴周f(Δa期)V有性1三、＞个最Δ实值V数(甚2解＞至．变…化>趋Δ势V)；n，即当h愈大时，相等高度增加的水量
又∵f2(2)＝4，f3(2)＝－4＋a2＋ ，当a＞3时，
2．三种愈图象少变，换：∴平其移图变换象、呈对称“变上换和凸伸”缩变形换状． ，故选A.
2．利用函数的图象可研究函数的性质，可判断方程解的个数，可通过解方程，
1③．讨作论图函中方数法的的：性一描质点个即法单，和调利由性用、于基奇本前偶函性一数、图段周象期时变性换间、作最速图值；度(甚快至变，化后趋势一)；段时间速度慢，即 的值前大后小，故
象，而明确函数图象位置和形状的主要方法有：(1)图象的变换，例如y＝|x|＝
y＝
＝ ＋1等．(2)等价变形，如
y＝
，等价于(3)研究函数的性质．
【例1】 作出下列函数的图象：
解答：(1)解法一：函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，且函数为 偶函数，函数的递增区间为(－∞，－1)，(－1,0)，递减区间为(0,1)，(1，＋ ∞)． 可根据以上性质取值列表：
借助画图帮助学生分析理解题意——一以整数解决问题为例
借助画图帮助学生分析理解题意——一以整数解决问题为例摘要：在素质教育理念不断推行下，对小学教育也提出了更高要求。
其中，小学数学教师在日常教学中，除了要为学生传授丰富的数学知识，还要重视灵活多样学习方法的传授，为学生之后的数学学习发展奠定良好基础。
本文就着重该怎样引导学生借助画图来准确理解题意，从而高效解决整数问题作出深入探究。
关键词：画图能力；整数问题；培养策略前言：在小学数学问题分析、解决过程中，通过画图可以帮助学生将原本抽象、复杂的问题转化成更加直观、具体的问题，以此来快速的理清解题思路，引用更简便的解题方法。
因此，不论是为了进一步提升学生解决问题能力，还是给学生之后的数学学习发展奠定坚实基础，都要重视学生画图能力的培养，引导学生懂得借助画图来分析理解题意，快速解决问题。
一、合理创设画图解题情境通过画图解题情境的合理创设，能够从不同层面来激发、增强学生通过画图来解答问题的意识。
情境图可以为数学问题赋予更加鲜活的背景，同时繁多的信息也会干扰到学生的正确解题。
对此，在教学实践中，教师可以引导学生联系实际生活，将情境图合理转化成数量关系图，进而使得学生能够准确分析、理解题意，快速的理清数量关系[1]。
比如：学生解决“学校和小红、小明家在同一条路上，小红家与学校之间的距离为312米，小明与学校之间的距离为155米，小红、小明两家的距离是多少米?” 这一问题时，教师就可以引导学生联系实际生活，明确小红、小明两家与学校的位置一共有几种可能，然后鼓励学生尝试以“线段图”的形式来将各种位置关系清晰的表述出来。
之后，再通过对线段图的细致观察便能够明确两家之间的距离是不同的，在此基础上，再分析、解决问题就更容易了。
教师通过在日常习题解答中的有意识引导学生画图，能够培养学生养成借助画图形式来解答问题的意识与习惯。
二、重视学生画图过程指导通过对学生的画图过程作出科学指导，能够促进学生画图解答问题能力的显著提升，也能够为学生之后的数学学习发展奠定良好基础。
利用函数图象解决函数问题
利用函数图象解决函数问题《一次函数》复习课文海中学：汪小莲一、教学目标：1、知识与能力目标：初步学会从函数的角度提出问题、理解问题，使学生由回顾知识到运用知识、并能综合运用所学知识和技能解决问题，发展应用意识。
2、过程与方法：尝试用一次函数图象解决简单实际问题，渗透数形结合、转化等数学思想；发展学生的数形结合意识、合作交流意识，培养学生的发散思维能力和创新能力。
3、情感态度与价值观：使学生感受到数学与生活密切联系；培养学生细致、认真的学习习惯；让学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心。
二、重点与难点教学重点：利用一次函数图象，并综合运用所学一次函数知识解决函数问题。
教学难点：从已有图象中挖掘特有的、隐含的相关信息来解决问题，既是重点也是难点。
三、教学过程：（一）回顾反思1、首先进行课前5分钟的当堂检测，内容涉及第七章大部分与函数图象相关的重要知识点，主要目的是为了解学生对已学知识的遗忘程度，估计会形成大部分学生在规定时间完不成又有较多错误的局面，为本课的后续学习埋下伏笔。
2、教师点题：为什么我们大多数题目都没能很快找到解题思路？关键在于没把一次函数图象充分利用…从而引入课题。
3、给出一个具体的一次函数图象，通过图象复习一次函数解析式的求法、函数的增减性及K、b的符号与函数图象间的关系等知识点。
（二）实践应用⒈王老师晚饭后出去散步，从家走了20分钟，到了一个离家900米的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家。
下面哪个图象表示王老师离家时间与距离之间的关系？（图略）（把具体的生活实际问题所发生的整个过程通过函数图象清晰明了的表示出来，唤起学生的数学学习思维，调动学生学习的兴趣，使学生积极主动地投入到探索学习中去，为引出下一环节作好铺垫。
）2、王老师第二天晚饭后出去散步离家距离y (米)与时间x (分钟)之间的关系如图所示 .根据图象解答下列问题：（1）看图象后你能得到哪些结论？根据图象你还能提出哪些问题？（2）已知王老师返回途中速度为每分钟60米，求王老师返回途中距离y(米）与时间x （分钟）之间的关系式。
利用图像特征巧解高中数学函数题研究
利用图像特征巧解高中数学函数题研究余文（福建省宁德五中，福建宁德352000）摘要：图像与函数是密不可分的，通过图像可以将抽象的函数直观展现在学生面前，使函数问题具体化、清晰化。
文章通过对函数图像与函数问题的关联研究，提出如何利用函数图像解答高中数学函数问题，帮助学生轻松应对数学函数问题，使学生能够摆脱函数学习困境，获得学习自信，并提出函数教学的合理建议，以提高课堂教学质量。
关键词：高中函数；图像特征；解题技巧；对策建议中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2019）27-0057-02基金项目：本文系2018年5月福建省宁德市教师进修学院课题“高中数学图像问题的教学策略研究”的阶段性研究成果，项目编号：FJNDKY8—312作者简介：余文（1972－），男，福建宁德人，中学一级教师，从事数学教学与研究。
函数是高中数学的重要内容，也是学生接受高层次学习的基础内容。
函数不仅在数学中涉及，还存在于其他学科和专业中。
因此，函数是高中生必须掌握和具备的数学知识。
利用函数图像将函数语言转化为图像，可以使函数更加直观，学生理解起来更容易。
本文对如何利用函数图像解答函数题进行论述。
一、高中函数及函数图像的特点和意义函数在高中数学中占有很重要的地位。
从内容上看，很多数学内容都涉及函数，函数属于解题的重要方式，具有很强的应用性和分析价值；从难易程度来看，函数的延展性比较强，既可以简化，又可以涉及较难的知识点；从题型来看，通过变化，函数题型十分丰富，既可以简单考查某一知识点，以填空和单选形式出现，又可以考查函数多个知识点以及和其他知识点的联系，以解答分析题出现在试卷最后；从函数的学习意义来看，函数不仅仅是独立的数学学科内容，还应用于物理、经济学等学科和专业，学生学习函数的过程不会只停留在高中阶段，当升入大学后，很多专业知识都会涉及函数。
由此可见，高中函数对学生数学学习、其他学科学习以及思维的培养有着重要的意义。
巧用图像特征解高中数学函数题
105神州教育巧用图像特征解高中数学函数题陈嘉铖河南省实验文博学校摘要：高中数学题目的抽象性导致其解题难度明显地增加了，在实际解题的过程中，多选择数形结合的方法，能够降低解题的难度。
结合函数图像来解题，不仅能够提高解题效率，还能够培养自身的逻辑思维能力。
本文以高中函数解题中图像特征的应用为主要研究内容，通过几个典型的例题分析，对其具体应用思想进行介绍，以期能够加深高中生对图像特征解题的认识。
关键词：图像特征；高中；数学；函数在高中阶段的函数解题过程中，为降低题目的难度，提高解题的效率，我们多采用数形结合这一方法解题，在此过程中，需要明确图像与函数之间的对应关系，从而保证解题过程的正确。
一、图像特征与函数定义区间内的根函数最为重要的参数就是定义区间，尤其是对于三角函数来说，为避免范围的扩大，多选择定义区间内的函数关系进行研究。
因此，在函数的定义区间内，通过数形转换的方式，结合图像特征对函数进行描述，能够有效地提高解题效率。
例1：方程sin2x=sinx，x ∈(-∞，+∞)，求在区间[0，2π]上，该方程的解的个数。
解析：通常来讲，我们求方程解的个数，除需要结合定义区间之外，还要通过判定公式确定其根的个数。
但是，这里的方程sin2x=sinx 并不是通用方程，因此，无法通过常规的判定公式来进行求解。
此时，我们就可以利用数形结合的方法，其中sin2x 与sinx 在同一平面直角坐标系中，通过判定区间[0，2π]内两者交点的个数，即可得sin2x=sinx 的解的个数。
解：令y 1=sin2x；y 2=sinx，在平面直角坐标系中绘制y 1、y 2在区间[0，2π]中的图像如图1所示：图1由此可以看出，在区间[0，2π]内，曲线y 1与y 2共有5个交点。
即：方程sin2x=sinx 在区间[0，2π]内解的个数为5。
二、图像特征在函数最值中的应用在众多的函数题目当中，能够通过图像特征解题的还有函数的最值，在实际解题的过程中，利用函数图像能够大大地减少解题的步骤，进而提高解题效率。
在画图中寻找解决数学问题的策略
在画图中寻找解决数学问题的策略在数学学习中，通过画图的方式可以帮助我们理解和解决各种问题。
画图不仅可以让我们更直观地看到问题，还可以帮助我们寻找解决问题的策略。
下面将介绍在画图中寻找解决数学问题的策略。
一、把问题可视化我们可以通过画图将问题可视化，更好地理解问题。
例如，在解决几何问题时，我们可以画出图形，观察图形的形状、边长、角度等属性，从而更好地理解问题。
二、刻画关系在问题中，各个变量之间的关系往往非常重要。
我们可以通过画出各个变量之间的关系，帮助我们更好地理解问题。
例如，在函数图像中，我们可以画出自变量和因变量之间的关系，这样可以帮助我们更好地理解函数的性质。
三、利用对称性对称性是数学中很重要的一个概念。
在解决各种问题时，我们可以利用对称性来简化问题。
例如，在解决几何问题时，我们可以观察图形的对称性质，从而得到一些重要结论。
四、利用类比在数学中，许多问题都具有相似的结构。
我们可以通过画图把类似的问题放在一起进行比较，从而找到解决问题的策略。
例如，在解决求面积问题时，我们可以把不同形状的图形放在一起比较，从而找到求面积的通用公式。
五、尝试反证法有时候，我们无法直接找到问题的解决方案。
这时，可以尝试使用反证法。
画图可以帮助我们更好地进行反证。
例如，在证明三角形内角和定理时，我们可以画出一些特殊的三角形，从而证明定理的正确性。
最后，我们还需要注意，在画图解决问题时，我们要抓住问题的本质。
有时候，我们画图的过程只是为了更好地理解问题，实际上解决问题可能需要用其他的数学工具。
因此，在使用画图解决问题时，我们需要灵活运用各种数学方法，找到最适合问题的解决方法。
图像解决一次函数问题的技巧
ｋ ｉ ｘ 和Ｙ ２ ＝ ｋ ｉ ｘ ＋ ｂ ， 根 据 图像 回答 下列 问题 ：
（ １ ）直 线ＡＢ 表示 — —
： 币 ． ． ：
的 图像 ， 直 线
行抑制 ， 会 出现什么情况 呢？ 在 我 们 的现 实 生 活 中有 着 重 要 作 用 呢 ？而 同样地 ， 此 时 会 出 现 需 求 线 向 左 平 移 且 这 种 作 用 ， 不 是 简 单 的 加 减 乘 除 就 能 解 的情 况 ， 也就是 说 ， 对 于同样 的价格 ， 消 费 决 的 ， 而 是 有 赖 于 我 们 综 合 运 用 数 学 知 识 者 愿 意 购 买 的量 减 少 了 ， 发 生 了变 化 ， 从 来 分 析 解 决 的 ． 怎 么样 ，是 不 是 觉 得 数 学 函 数 图像 我们 可 以 知 道 ： 还 是 非 常 神 奇 的 ？下 面 ，我 们 就 请 你 来 尝 此时 ， 供 给 线 与 需 求 线 会 有 新 的交 点 ， 试 解 决 我 们 开 头 提 到 的 问题 吧 ！ 也 就是说 ， 会 达 到 一 个 新 的平 衡 点 ． 通 过 统 计 研 究 发 现ｙ ２ ＝ 一 ０ ． ０ ０ ３ ｘ ＋ ２ ０ ， 那么 由’ ， ２ ， 得到 Ｏ ． Ｏ ０ ２ ｘ ＋ ｌ ５ ＝ － － ０ ． ０ ０ ３ ｘ ＋ ２ ０ ，
＝
一
。
２ ／
６ ８ 、 １ ０
Ｉ 一
： 一 ， ／
３
ｋ２ ｘ ＋ｂ．
ｆ ２ ）从 左 向 右 看 ， 函数Ｙ ． ＝ 随 的 增 大而增大 ， 函数 Ｙ ： ＝ ｋ ｇ ｘ ＋ ｂ 随 的增 大 而减 小 ， 但 是题 目问 的 是 随 的减 小 而 怎样 ， 审题 要仔细．
运用一次函数图像解决实际问题的方法探讨
运用一次函数图像解决实际问题的方法探讨作者：路梦绮林剑来源：《数码设计》2018年第07期摘要：一次函数图像在解决实际问题中具有广泛应用。
以工程问题为例，分析此类题型解题过程及思路，总结规律方法；探究数形结合等思想的运用。
关键词：一次函数图像；分析法；数形结合中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-9129（2018）07-0255-01Abstract：a function image has wide application in solving practical problems. Engineering problems， for example， analyzed such questions the problem solving process and thinking，summarizes rule method； To explore the use of several form combining ideas.Key words：a function image； Analysis method； Several form combining一次函数作为初中生接触的第一类函数，其概念内容、解题方法和数学思想是学生后续学习的重要基础。
灵活运用一次函數的图像可以为解决实际问题提供快捷简便的方法，教师应该通过一些典型问题的处理引导学生发现规律、归纳方法，形成数学建模意识，培养探索和创新精神，并通过相应的训练达到熟能生巧、举一反三、触类旁通的目的。
现以工程问题为例，分析解题方法：例甲车间使用2台A型设备和乙车间使用1台B型设备合作加工a个零件，合作一段时间后，甲车间的一台设备因出现了故障停止生产，修好后继续生产，直到完成任务。
每台设备加工零件速度不变，且相同型号的设备加工零件的速度相同，甲乙车间共同加工的零件数量y （件）与加工时间t（时）的函数图像如图所示。
如何利用图像特征以巧解高中数学函数题
如何利用图像特征以巧解高中数学函数题作者：李沐霏来源：《课程教育研究·学法教法研究》2016年第33期【摘要】函数知识是高中数学知识的重要组成部分，函数图像的合理性解析，可以提高函数题目的解题准确性，结合高中数学中相应的函数图像特征，对利用函数图像巧解高中数学函数进行分析。
【关键词】图像特征高中数学函数题巧解分析【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）33-0183-01高中函数的知识涉及面较广，在高中数学知识的应用中具有中的作用，函数中一部分是数学关系式，另一部分是函数图像，我们在日常数学函数学习中，可以充分利用函数图像的特征进行解题，可以提高高中函数的解题效率和准确性，促进高中生的函数的灵活应用。
一、高中函数图像的基本特征归纳高中函数知识在高中数学知识结构中占据较大的比重，也是高考数学考试中主要的考核点之一，合理应用函数图像进行解题，提高高中数学的习题做题效率，保障解题准确性，结合高中数学函数的相关知识，对高中函数图像的特征进行归纳。
其一，高中函数图像中体现函数因变量和自变量的关系[1]，例如：我们依据一次函数图像，总结直线表示自变量和因变量的关系，而二次函数中应用对称的曲线表示因变量和自变量之间的关系；其二，高中函数图像一般具有一定的规律性。
例如：三角函数的图像中自变量和因变量之间呈现有规律的波动图像，而二次函数图像则是应用对称的抛物线表示函数关系；其三，高中函数中一些函数图像中存在最值问题[2]，例如：我们解决二次函数中具有最大值和最小值的问题，为一次函数图像在毫无题目条件的前提下，不具有最值问题。
实现高中函数图像在函数题目中的综合应用，是实现函数知识灵活应用的基础。
二、高中函数图像的基本特征在解题中的巧用分析（一）通过函数图像确定丰富解题知识点高中函数图像的基本特征，是巧解高中题目的主要途径之一，有时，我们可以从函数图像的基本特征，判定函数题目的解题思路，丰富函数习题的解题知识点。
函数图像与应用题解法
函数图像与应用题解法函数图像是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们直观地理解和分析函数的性质。
在本文中，我们将探讨函数图像的意义以及如何应用函数图像进行问题解答的方法。
函数图像是指将函数的输入值和输出值绘制成一条曲线或者点的集合。
通过观察函数图像，我们可以获得关于函数的很多有用信息。
例如，函数图像的斜率可以告诉我们函数的变化趋势，曲线的凹凸性可以告诉我们函数的曲率，和交点的位置可以提供函数的零点等等。
因此，函数图像是分析函数性质的一个重要工具。
在应用题中，函数图像的使用尤为重要。
当我们遇到一个与函数有关的实际问题时，我们可以通过绘制函数图像来帮助我们更好地理解和解决问题。
例如，假设我们遇到一个求解方程的问题，我们可以通过函数图像的绘制来找到方程的解。
首先，我们可以将方程转化为函数的形式，然后绘制函数图像。
通过观察函数图像的交点和曲线的特征，我们可以找到方程的解。
另外，函数图像还可以帮助我们分析函数的最大值和最小值。
当我们需要求解一个函数的极值问题时，我们可以观察函数图像的走势，并找到函数的最大值和最小值所对应的输入值。
此外，函数图像还可以帮助我们分析函数的周期性。
当我们遇到一个周期性问题时，我们可以通过绘制函数图像来确定函数的周期和周期内的特征。
通过应用题解决方法中使用函数图像，我们可以更直观地理解问题，并且能够更清楚地看到问题的关键点。
这样，我们就能够更快速地找到问题的解决方法，并且可以更准确地回答问题。
在具体的问题解答过程中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要选择合适的函数绘制工具，如图形计算器或者数学软件。
这些工具可以帮助我们绘制函数图像，并提供一些附加的功能，如求解函数的零点、最大值和最小值等等。
其次，我们需要注意函数图像的缩放和坐标轴的设置。
合适的缩放和坐标轴设置可以让我们更清晰地观察函数图像，并帮助我们更好地分析问题。
总之，函数图像是解决数学问题的重要工具。
我们可以通过函数图像来直观地理解和分析问题，并且可以更快速地找到问题的解决方法。
在画图中寻找解决数学问题的策略
在画图中寻找解决数学问题的策略
在进行数学问题求解时，画图是一个非常有效的策略。
画图可以帮助我们更好地理解
问题，并找到解决问题的方法。
下面将介绍几种在画图中寻找解决数学问题的策略。
1. 将问题转化为几何问题：
有些数学问题可以通过将其转化为几何问题来解决。
在解决这种问题时，可以画出与
问题相关的图形，利用几何知识来解决问题。
对于一个关于概率的问题，可以画出试验的
样本空间，并利用几何概率来计算概率值。
2. 利用图形的属性和特点：
有些问题可以通过利用图形的属性和特点来解决。
有一个关于点、直线和平面的几何
问题，可以根据题目中所给的条件，画出相关的图形，再利用点、直线和平面的性质来推
导出解答。
3. 利用图形的变化过程：
有些问题可以通过画出图形的变化过程来解决。
对于一个关于函数的问题，可以画出
函数的图形，并观察函数在不同自变量取值下的变化。
从图形的变化中可以找到函数的性
质和规律，从而解决问题。
4. 利用图形的分割和重组：
有些问题可以通过对图形进行分割和重组来解决。
有一个关于几何区域的问题，可以
将几何区域进行分割，再进行重新组合，从而得到一个更易解决的问题。
通过分割和重组，可以简化问题的复杂性，找到解决问题的方法。
通过以上几种策略，我们可以在画图中寻找解决数学问题的方法。
画图不仅能够帮助
我们更好地理解问题，而且可以帮助我们发现问题的规律和性质，从而找到解决问题的途径。
在解决数学问题时，我们可以尝试使用画图的方法，打破思维的限制，从图形中寻找
解决问题的灵感。
初中数学教案探索解决函数问题的方法
初中数学教案探索解决函数问题的方法初中数学教案：探索解决函数问题的方法引言:数学中的函数问题是中学数学教学中重要的部分。
掌握解决函数问题的方法，不仅能够巩固和扩充数学知识，还有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
本文将从图像分析、方程求解、函数性质等方面，探索初中数学教学中解决函数问题的有效方法。
一、图像分析法图像分析法是解决函数问题的常用方法之一。
通过观察函数图像的特点，可以得到一些重要的信息，进而解决与函数相关的问题。
以一元一次函数为例，我们可以通过以下几个步骤进行图像分析：1. 根据函数表达式，确定函数的斜率和截距，进而确定图像在坐标系中的位置；2. 分析图像的增减性，找出函数的单调区间；3. 寻找图像与坐标轴的交点，进而求解函数的零点；4. 判断函数的奇偶性，从而确定对称性及其它性质。
二、方程求解法在解决函数问题中，方程求解法是一种常用的方法。
通过运用方程求解的技巧，我们可以确定函数的未知数的值，进而解决与函数相关的问题。
以一元二次函数为例，我们可以通过以下几个步骤进行方程求解：1. 根据函数的表达式，列出相应的二次方程；2. 使用因式分解、配方法等技巧，将二次方程化简为一次方程；3. 求解一次方程，得到函数的未知数的值；4. 将所得结果代入原方程中进行验证。
三、函数性质分析法函数的性质是解决函数问题的关键。
理解函数的特性，对于解决函数问题非常重要。
常见的函数性质包括：1. 定义域和值域：确定函数的取值范围，以避免出现无解的情况；2. 奇偶性：通过判断函数的奇偶性，可以确定函数的对称性及其它性质；3. 单调性：分析函数的增减性，找到函数的单调区间；4. 对称性：通过判断函数的对称性，可以得到一些重要的信息；5. 零点和极值：寻找函数的零点和极值，确定函数的特殊点。
结论:初中数学教学中，探索解决函数问题的方法很多，本文只介绍了图像分析法、方程求解法和函数性质分析法三种常用方法。
在实际中，我们需要根据具体的函数问题选择适用的方法，并在教学中引导学生灵活运用这些方法。
A045高中数学技巧方法突破-例析函数图象经典题型与解题策略
例析函数图象经典题型与解题策略函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来函数图象的及其应用常见的命题角度有：做函数图像；识别函数图像；研究函数的性质；确定方程根的个数；求参数的取值范围；求不等式的解集等. 【知识扫描】一、作函数图像 画函数图象的一般方法1．直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出； 2.描点法作函数图象的基本步骤：列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)； 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； 最后：描点，连线．3．图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出．变换包括：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等．(1)平移变换：y ＝f (x )――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . (2)对称变换：y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )； y ＝f (x )――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )． (3）翻折变换：y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|. 二、识图与辨图识图常用的方法(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象； (2)利用间接法排除筛选错误与正确的选项，可以从如下几个方面入手： ①从函数的定义域判断图象的左右位置；从函数的值域判断图象的上下位置； ②从函数的单调性判断图象的变化趋势； ③从函数的奇偶性判断图象的对称性； ④从函数的周期性判断图象的循环往复； ⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 【题型示例】一、运用图像变换画出函数的图象例1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. 解析：(1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ≥0)的图象，再将y ＝⎝⎛⎭⎫12x (x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如右图中实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如右图．(3)∵y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图．(4)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2－2|x |－1的图象，如下图．点评：变换发作函数图像时，应注意把图像的关键点做好（即与xy 轴的交点或具有特殊意义的点），这样作出的图形才较为准确，（2）对于含绝对值符号的函数，可利用“零点分区间”法去掉绝对值号，变为一个分段函数，再描点连线，画出函数的图像；（3）若函数图像可有某个基本函数的图像经过烦着、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序.【变式训练1】作出下列函数图像：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1.解析：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1.图象如图1.(2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图2.(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0.图象如图3.二、识别函数图像例2．（1）已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )（2）如图，不规则四边形ABCD 中：AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：（1）选D 先在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，再将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度即可得到y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )的值域是[0,2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，C 正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1,1]，且是一个偶函数，当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，相应这部分图象不是一条线段，因此选项D 不正确．综上所述，选D.（2）选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢，故选C.【变式训练2】(1))在同一坐标系中画出函数y ＝logax ，y ＝ax ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )解析：当a >1时，A 中的直线位置错误；排除A ；D 中的三个函数图象都正确；当0<a <1是，B 中的直线位置错误；排除B ；C 中的直线与指数函数的图象都错误，排除C ．故选D ．(2)(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( B )解析：(2)当P 与C ，D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得P A ＋PB ＝2P A ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C ，D 选项错误．又当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B ． 三、函数图像的应用 3.1研究函数的性质例3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．点评：利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．【变式训练3】(2020·江苏模拟)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_____________．解析：(1)如图，要使f (x )≥g (x )恒成立，则－a ≤1，∴a ≥－1.3.2 确定方程根（函数零点）的个数例4．(2020·日照一模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.答案：5点评：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．【变式训练4】若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4解析：由f(x ＋2)＝f(x)，知函数f(x)是周期为2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出y ＝log3|x|和y ＝f(x)，x ∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为4.（2）(2020·湖北华师一附中检测)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，ln x ，x >1，则函数y ＝f (x )－33x ＋12的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：(2)分别作出y ＝f (x )与y ＝g (x )＝33x －12的图象，如图显然直线y ＝g (x )与曲线y ＝1－x 2(x ≤1)有两个交点；对于直线y ＝33x －12与曲线y ＝ln x (x >1)是否有交点以及交点的个数，由幂函数与对数函数的增长趋势来看，当x →＋∞时，直线y ＝g (x )的图象肯定在y ＝ln x (x >1)的上方，f (3)＝ln 3，g (3)＝12，有f (3)＝ln 3＝12ln 3>12ln e ＝12，∴f (3)>g (3)，故两图象有4个交点．3.3 求参数的取值范围例5．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选B 在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.点评：有关方程解（函数零点）的含参数问题，常常转化为两个熟悉的函数的图象，看它们图象的交点有几个，由解的个数确定参数（范围）．【变式训练5】(2020·北京东城二模)对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析：令g (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x (x ≤－2或x ≥3)，x 2－1 (－2<x <3)，其图象如图所示：f (x )＝g (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个交点即y ＝g (x )与y ＝－k 的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k ≤2，即－2≤k <1，故选D ．3.4 求不等式的解集例6.(2020·成都模拟)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0化为f (x )x <0，即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．点评：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解【变式训练6】如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1<x ≤0}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1<x ≤2}。
巧用图象分析,提高解题能力
巧用图象分析，提高解题能力【摘要】用图象表达数学实质，具有形象、直观、简捷、准确的特点。
利用图象解题，确实简明、快捷，让我们很快发现其间的相互关系，把握其数学的本质和问题的关键，从而提高我们的分析能力和解题能力。
【关键词】数形结合分析能力解题能力高考数形结合思想是一种非常重要的思想方法，是高考中重点考察的方法之一。
用图象表达数学实质，具有形象、直观、简捷、准确的特点。
巧用图象解题，能直观地反映出问题的本质，使复杂的问题简单明了，从而帮助你寻找解题的突破口，往往收到妙不可言的效果。
下面就例析一下几种常见题型的解法。
1 利用图象判断方程根的情况解法：将方程的两边视作两个函数，找出这两个函数图象的交点。
关键：分析出关键点，如例1中的点（10，1）例1.方程lgx=sinx的根的个数为( )A.1B.2C.3D.4分析：本题用常规思路是无法求解的，但利用图象则很容易.如图1，当x=10时，lgx=1，x>10时，lgx>1（即x>10后，y=lgx与y=sinx就不可能再有交点），根据对数函数的单调性可知，y=lgx的图象大致如下；而x=10≈3.2π，根据正弦函数的周期性可以判断，y=sinx的图象大致如图.从图象很容易看出，两函数的图象有三个交点，所以，本方程有三个解，选择答案C。
例2.方程sin2x=sinx在［0，2π］上的根的个数为()A.2B.3C.4D.5解：在［0，2π］上，函数y=sin2x和y=sinx的图象有五个交点，所以，方程sin2x=sinx在［0，2π］上的根有五个，应选D。
(请自己画草图，把握端点与形状)2 利用图象解不等式解法：将不等式的两边视作两个函数，根据图象的上下位置确定不等式的解集。
关键：把握交点与端点。
例3.解不等式：2x+1>ｘ－１分析：令ｙ＝2x+1，它的图象是顶点在（－12，０），以ｘ轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分（如图４）（ｙ＝2x+1等价于ｙ ２＝２ｘ＋１，其中ｘ≥－12，ｙ≥０）令ｙ＝ｘ－１，这是一条直线。
解函数图像题的常用方法与策略
解函数图像题的常用方法与策略函数图像题是数学中常见的一种题型，它要求我们通过给定的函数表达式来绘制函数的图像。
解函数图像题需要运用一定的方法和策略，下面将介绍一些常用的解题方法。
首先，我们需要了解函数的基本性质和特点。
常见的函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
对于线性函数来说，它的图像是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度；对于二次函数来说，它的图像是一个抛物线，顶点坐标和开口方向是关键信息；对于指数函数来说，它的图像是一个递增的曲线，底数决定了曲线的陡峭程度；对于对数函数来说，它的图像是一个递减的曲线，底数决定了曲线的陡峭程度。
其次，我们可以通过函数的性质与图像之间的关系来解题。
例如，函数的增减性、奇偶性、周期性等性质都会对图像产生影响。
如果函数是递增的，那么它的图像会从左到右逐渐上升；如果函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称；如果函数是周期函数，那么它的图像会在一个周期内重复出现。
另外，我们还可以通过函数的变换来解题。
函数的变换包括平移、伸缩、翻转等操作。
如果我们对函数进行平移，那么它的图像会在坐标平面上沿着某个方向移动；如果我们对函数进行伸缩，那么它的图像会在某个方向上变得更陡峭或更平缓；如果我们对函数进行翻转，那么它的图像会关于某条直线或某个点进行翻转。
此外，我们还可以通过函数的导数来解题。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，从而帮助我们确定函数的图像。
如果函数的导数在某一点大于0，那么函数在该点递增；如果函数的导数在某一点小于0，那么函数在该点递减；如果函数的导数在某一点等于0，那么函数在该点取得极值。
最后，我们还可以通过函数的特殊点来解题。
函数的特殊点包括零点、极值点、拐点等。
如果我们找到了函数的特殊点，那么我们可以通过这些点来确定函数的图像。
例如，如果函数在某一点取得了零值，那么这个点就是函数的零点，函数的图像会与x轴相交；如果函数在某一点取得了极值，那么这个点就是函数的极值点，函数的图像会在该点处达到最大值或最小值；如果函数在某一点取得了拐点，那么这个点就是函数的拐点，函数的图像会在该点处发生转折。
初二数学利用图像解学会利用图像解决数学问
初二数学利用图像解学会利用图像解决数学问在初二数学的学习中，图像是一种非常重要的工具。
它能够帮助我们更直观地理解数学问题，找到解题的思路和方法。
学会利用图像解决数学问题，对于提高我们的数学思维能力和解题能力具有重要的意义。
图像可以将抽象的数学概念和关系转化为直观的视觉形式，让我们更容易把握问题的本质。
比如说，在学习一次函数的时候，通过画出函数的图像，我们能够清晰地看到函数的增减性、截距等特征，从而更好地理解函数的性质。
那么，如何学会利用图像来解决数学问题呢？首先，我们要掌握常见数学函数的图像特点。
以一次函数 y ＝ kx ＋ b 为例，当 k ＞ 0 时，函数图像是上升的，意味着函数值随着自变量 x 的增大而增大；当 k＜ 0 时，函数图像是下降的，函数值随着 x 的增大而减小。
而 b 则决定了函数图像与 y 轴的交点。
在实际解题中，我们可以通过构建图像来解决方程和不等式的问题。
比如，对于方程 2x 3 ＝ 0 ，我们可以将其转化为一次函数 y ＝ 2x 3 ，然后画出函数图像。
函数图像与 x 轴的交点，就是方程的解。
再来看不等式的问题。
比如 2x 3 ＞ 0 ，同样将其转化为函数 y ＝2x 3 ，通过观察图像在 x 轴上方的部分，就能得到不等式的解集。
在几何问题中，图像的作用也不可小觑。
例如，在求解三角形的面积问题时，如果已知三角形的三个顶点坐标，我们可以通过画出图形，然后利用相关的几何知识和公式来计算面积。
还有行程问题，这是初二数学中常见的应用题类型。
假设一辆汽车以恒定的速度行驶，我们可以用图像来表示汽车行驶的路程与时间的关系。
通过图像，我们能够清晰地看到汽车行驶的速度、行驶的时间以及行驶的路程之间的关系，从而轻松解决相关的问题。
在利用图像解题的过程中，我们要注意以下几点：一是要准确地画出图像，注意坐标轴的刻度和单位；二是要仔细观察图像的特征，比如交点、顶点、趋势等；三是要结合数学知识和公式进行分析和计算。
【案例】例说“图像法”破解函数问题本质
例说“图像法”破解函数问题本质德化六中 陈春祝图象法是利用图象这种形象且直观的数学语言工具，来表达各种现象的过程和规律。
函数图象是直观的、形象的，是抽象的函数表达式直观的表达形式，在函数图象中可以观察到函数的所有性质。
函数图象是初中生学习函数的有效切入点，通过函数图象可以直观地理解函数的性质。
在解题过程中借助图象法能使一些抽象隐性的问题变得直观、思路清晰明了；借助图象也能破解函数一些难题的本质问题。
本文以自己教学的两个实例来说明“图象法”如何轻松破解问题的本质。
一、利用图象求“一元二次不等式”(一)问题背景定义：一元二次不等式，是指含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式。
它的一般形式是：0(0)ax bx c a ++>≠20(0)ax bx c a ++<≠20(0)ax bx c a ++≥≠20(0)ax bx c a ++≤≠2 这样的问题，就初中书本的表面知识是无法解答的，会认为是超纲，但把问题换个角度来思考：把它看成是二次函数的图象当自变量x 取什么值的范围内，图象在x 轴的上方或x 轴的下方，这样二次函数的图象给我们解一元二次不等式提供了直观的认识，借助图象可以找到方程、不等式与函数知识间的融合点。
(二)问题探究：问题1：根据“一元二次函数的图象”，大家能求出一元二次函数22-+=x x y 与x 轴的交点吗？其实就是y 坐标为零时，x 的值．于是令0y =，即022=-+x x 求得交点坐标为)0,1(1p ，)0,2(2-p ，从而得出：二次函数图象与x 轴交点的横坐标就是其对应的一元二次方程的根。
有两个不相等的实数根，则有两个不同的交点；有两个相等的实数根则有一个交点；没有实数根则没有交点．这揭示了二次函数图象与x 轴的交点与二次方程的根的联系。
问题2：大家能画出这个二次函数的草图吗？由列表、描点、连线可知二次函数的图象是一条抛物线，其开口方向由二次项系数决定，对称轴和最值由顶点坐标决定。
(完整版)函数图象题解题思路与方法
函数图象题解题思路与方法简述：要解决以行程问题为背景的一次函数应用题，并用图象给出了相关信息类问题，简单来说有以下几种思路与解决方法：第一，必须读懂图象：1.两坐标轴表示的实际意义分别是什么。
2．图象的每一段的实际意义是什么。
3．图象的交点或拐点的实际意义是什么。
4．图象与两坐标轴的交点的实际意义是什么。
第二，借助行程图，是解决此类问题的关键：只有借助行程图，才能弄清每一过程中y与x的函数关系，从而各个击破．第三，应注意图象的各段对应的函数解析式中自变量的取值范围。
下面以具体题目来说明这几种方法的运用：例：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为(Km)，出租车离甲地的距离为(Km)，客车行驶的时间为x (h)，与的函数关系如图1所示．（1）根据图象直接写出，与x的函数关系式；（2）分别求出当x＝3，x＝5，x＝8时，两车之间的距离；（3）若设两车之间的距离为s (Km)，请写出s关于x的函数关系式；（4）甲乙两地间有M、N两个加油站，相距200 Km，若客车进入M站加油时，出租车恰好进入N站加油，求M加油站到甲地的距离．解析：（1）由图1知，客车离甲地的距离与时间x成正比例函数关系（直线AB过原点），出租车离甲地的距离与时间x成一次函数关系（直线CD不过原点）．故设＝x （0≤x≤10），＝x＋（0≤x≤6），将点（10，600）代入＝x，点（6，0）和（0，600）代入＝x＋，易求得，与x的函数关系式为：＝60x（0≤x≤10）①，＝－100x＋600（0≤x≤6）②；（2）由图象知，点E的实际意义是：点E表示客车与出租车到甲地的距离相等（＝），即它们在此时相遇．联立①与②，解得，，所以点E的坐标为（，225），即两车同时出发后（＝3．75）小时相遇．借助行程图知：当x＝3时，如图2，＝60×3＝180，＝－100×3＋600＝300，此时两车之间的距离是－＝12 (Km)；当x＝5时，如图3，＝60×5＝300，＝－100×5＋600＝100，此时两车之间的距离是－＝200 (Km)；当x＝8时，如图4，＝60×8＝480，因出租车已经到达了甲地，所以＝0，此时两车之间的距离是－＝＝480 (Km) ．（3）由（2）知：两车相遇前，s关于x的函数关系式为s＝－＝－160x＋600（0≤x≤）；两车相遇后，s关于x的函数关系式为s＝－＝160x－600（≤x≤6）；（注：当x＝时，－＝0，即相遇时s＝0．）出租车到达甲地后，s关于x的函数关系式为s＝＝60x（6≤x≤10）．（注：在此时间段，出租车到达甲地后没有再行驶．）（4）由题意，知s＝200，当0≤x≤时，－160x＋600＝200，∴x＝，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x＝60×＝150(Km)；当≤x≤6时，s＝160x－600＝200，∴x＝5，此时，A加油站到甲地的距离为＝60x ＝60×5＝300(Km)；当6＜x≤10时，s＝60x＝200，∵60x＞360，不合题意．最后预祝大家学业有成！。
活用图象法,巧解初中函数题
活用图象法，巧解初中函数题摘要：为了培养学生的创新精神和实践能力，充分运用所学知识解决实际问题，本文提出了图象法在初中函数题中的几种应用：借助函数图象，在同一函数中比较自变量或函数值的大小；借助函数图象，在同一函数中，根据条件确定自变量或函数值的取值范围；借助函数图象，在不同的函数中，根据条件确定自变量的取值范围；借助函数图象，判断一元二次方程的根的情况；借助函数图象，解决其它相关函数题。
关键词：图象法；巧解；初中函数题新课程改革要培养学生的信息收集和整理能力、发现问题和思考问题的能力、分析问题和解决问题的能力、创新能力和发展的能力。
因此我们在实际教学过程中不仅要学生学会数学课本中的知识，也要培养他们学会切实有效的解题方法。
图象法就是一种很实用数学解题的方法。
图象法其解题实质是通过运用数形结合的思想，使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而直观地发现解题途径，简化解题过程。
著名数学家华罗庚说：“数形结合无限好,割裂分家万事休。
”在初中数学学习中，坐标系的建立是代数进入数形结合阶段的转折点。
利用数形结合的思想解决函数问题，能起到直观、准确的作用。
因此图象法是研究函数的重要手段。
下面笔者就从以下五个方面谈谈自己的看法。
一、借助函数图象，在同一函数中比较自变量或函数值的大小二、借助函数图象，在同一函数中，根据条件确定自变量或函数值的取值范围三、借助函数图象，在不同的函数中，根据条件确定自变量的取值范围四、借助函数图象，判断一元二次方程的根的情况五、借助函数图象，解决其它相关函数题以上是笔者通过多年教学实践总结出来的一点浅陋的见解，有不妥之处，望各位同仁批评指正。
作者单位：浙江省慈溪市掌起中学邮政编码：315313。
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3
33
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A. − , 1 B. − ,
C. ,2e2e 4来自2e 4[) 3
D. , 1 2e
分析 问题转化为 ex(2x − 1) < a(x − 1) 有唯一整数解, 由表达式可知 a 的几何意义 为斜率, 因此考虑从直线与曲 线的位置关系求解. 令 g(x) =
图1
ex(2x − 1), h(x) = a(x − 1), 则
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中学数学研究
2019 年第 4 期 (上)
利用图象法刍议函数整数解问题的解题策略*
福建省南平市高级中学 (353000) 江智如
一、问题提出
在高三函数复习过程中, 基于整数条件, 求解参数取值 范围的题型是教师和考生比较头疼的复习难点. 此类问题以 不等式知识为依托, 结合导数运算和性质, 考查函数相关知 识, 内容涵盖范围广, 综合性强, 难度大, 是近些年高考和各 类模拟考试的热点, 在试卷中常以选填压轴题的形式出现. 一方面, 这类问题可以考查考生的综合数学思想能力和数学 素养, 体现试卷的区分与选拔功能; 另一方面, 由于问题抽象, 计算量大, 大部分考生的数学阅读能力水平薄弱, 难以正确 理解和提取题干的关键要素, 无从下手, 不得不选择放弃, 导 致失分率很高, 甚为可惜. 因此, 探究解决函数整数解问题的 有效对策, 成为函数复习的急迫课题. 为此, 笔者从教学实际 出发, 归纳整理, 探究解决此类问题的有效策略.
二、概念界定
本文所探究的函数整数解问题是指:“基于已知函数或 不等式满足的相关整数条件, 求解参数变量取值范围的题 型”. 它是函数性质的综合应用, 对考生的函数基础知识和应 用技能要求较高. 《普通高中数学课程标准 (2017 年版)》[1] 提出了解决此类问题的思路:“借助函数的图象, 引导学生通 过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用”. 《2018 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明 (理
x
x2, x ̸= 0. 构 造 函 数 g(x) = f (x)eu(x), 其 中 u(x) 满
足 u′(x) =
2 , x ̸=
0.
因 为 (2 ln |x|)′
=
2 , 所以令
x
x
u(x) = 2 ln |x|, 故 g(x) = f (x)e2 ln |x| = x2f (x). 所以构造函
科)》[2] 进一步明确解题的方法:“会运用基本初等函数的图
象分析函数的性质”. 因此, 笔者利用图象法, 从直观想象的
角度进行探究.
三、方法探析
根据问题的条件及参数的的形式, 笔者归纳整理为四种
类型, 每种类型基于典例与变式, 依托导数研究函数图象的
知识, 通过实例总结利用图象法进行求解的思路与方法, 帮
例 9 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 2f (x)+xf ′(x) > x2,
则下列不等式在 R 上恒成立的是 ( )
x2
x2
x
x
A. f (x) > B. f (x) < C. f (x) > D. f (x) <
4
4
2
2
[
]
解析 由已知可得 f (0) > 0 和 x f ′(x) + 2 · f (x) >
调性解决问题.
*此文为福建省教育科学“十三五”规划 2018 年度立项课题《新高考背景下高中数学阅读能力培养的校本研究》(立项批准号: FJJKXB18-192) 阶段 性成果.
2019 年第 4 期 (上)
中学数学研究
11
g(x) < h(x() 有唯一整)数解. 容易求得 g′((x) = ex(2x)+ 1), 可
数 g(x) = x2f (x), x ∈ R, 求导得 g′(x) = x[2f (x) + xf ′(x)].
由 2f (x) + xf ′(x) > x2 得 x[g′(x) − x3] > 0, x ̸= 0. 构
造函数 h(x)
=
g(x) −
x4 ,
求导得 h′(x)
=
g′(x) − x3.
1
1
知 g(x) 在 −∞, − 上单调递减, 在 − , +∞ 上单调
2
2
递增, 且直线 h(x) 过点 (1, 0), 由图 1 知 g(1) = e > h(1) = 0,
所 以 有 唯 一 整 数 解 x = 0 满 足 条 件, 从 而 问 题 等 价 于
g(0) < h(0), g(−1) h(−1),
助考生有效解决此类问题, 提高考生数学思想能力水平, 实
现渗透数学素养教育的目标.
(一) 函数型问题
典 例 1 (2015 年 高 考 课 标 卷 I 理 科 第 12 题) 设 函 数 f (x) = ex(2x − 1) − ax + a, 其中 a < 1, 若存在唯一的整数
x0, 使得 f (x0) < 0, 则 a 的取值范围是 ( )
任意 x ̸= 0, g(x) > , 所以任意 x ̸= 0, f (x) > . 又因为
4
4
x2 f (0) > 0, 所以 f (x) > 恒成立, 故选 A.
4
与导数有关的不等式问题属于综合性比较强的问题, 本
文通过探索, 找到了构造函数解决与导数有关的不等式问题
的通法, 即利用条件构造对应的函数, 然后利用新函数的单
解得 3 2e
a < 1, 故选 D.
评析 本题利用不等式作差比较法, 把参数 a 转化为直
线的斜率, 从直线与曲线的位置关系入手求解. 考查考生化
归与转化思想, 函数与方程思想, 特殊与一般思想, 数形结合
始终贯穿解题过程, 逐层递进, 实现对考生数学抽象素养、直
观想象素养、数学运算素养的渗透与培养.
变式 1 (2017 年河北唐山高三摸底卷理科第 12 题) 设
函数 f (x) = 1 x3 − 3x2 + (8 − a)x − 5 − a, 若存在唯一的正 3
整数 x0, 使得 f (x0) < 0, 则 a 的取值范围是 ( )
由
4
x[g′(x) − x3] > 0, x ̸= 0 得: 当 x < 0 时, h′(x) < 0; 当
x > 0 时, h′(x) > 0. 所以 h(x) 在 (−∞, 0) 上单调递减, 在
(0, +∞) 上单调递增. 于是任意 x ̸= 0, h(x) > h(0) = 0, 则
x4
x2