图形的位似变换

22．4图形的位似变换

第1课时位似图形

1．了解位似多边形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别；(重点)

2．掌握位似图形的性质，会画位似图形；(重点)

3．会利用位似将一个图形放大或缩小．(难点)

一、情境导入

生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察图中有相似的多边形吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？

二、合作探究

探究点一：位似图形的识别

观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？

图27.3-2

学生活动：学生通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

如图所示，指出下列图中两个图形是否是位似图形？

解：(1)(2)(4)三图中的两个图形都是位似图形．

方法总结：解决此类题的关键是首先要判断两个图形是不是相似图形，然后再找出对应点，作出几对对应点所在的直线，观察是否经过同一个点，若两个图形是相似图形，且所作的直线经过同一个点，则这两个图形是位似图形，据此可判断(1)(2)(4)是位似图形，(3)不是位似图形．

探究点二：位似图形的性质

如图所示，△ABC 与△A ′B ′C ′关于点O 位似，BO ＝3，B ′O ＝6.

(1)若AC ＝5，求A ′C ′的长；

(2)若△ABC 的面积为7，求△A ′B ′C ′的面积．

解：(1)∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，位似比为OB ∶OB ′＝3∶6＝1∶2，

∴AC A ′C ′＝12

，得A ′C ′＝10； (2)根据题意，得S △ABC S △A ′B ′C ′＝(AC A ′C ′

)2＝14， 即7

S △A ′B ′C ′＝14，所以S △A ′B ′C ′＝7×4＝28. 方法总结：位似图形是一种特殊的相似图形，图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比，可利用相似三角形的性质解决有关问题．

探究点三：位似图形的画法

(1)如图甲，在位似中心O 的异侧，作出已知四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，使四边形A ′B ′C ′D ′与四边形ABCD 的相似比为2∶3；

(2)如图乙，已知五边形ABCDE ，在位似中心O 的同侧作五边形ABCDE 的位似图形A ′B ′C ′D ′E ′，使五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比为1∶3.

解：(1)画法如下：

①分别连接OA ，OB ，OC ，OD 并反向延长；

②分别在AO ，BO ，CO ，DO 的延长线上截取OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，使OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC

＝OD ′OD ＝23

； ③顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′.

四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的四边形；

(2)画法如下：

①分别连接OA ，OB ，OC ，OD ，OE ；

②分别在AO ，BO ，CO ，DO ，EO 上截取OA ′，OB ′，OC ′，OD ′，OE ′使OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC

＝OD ′OD ＝OE ′OE ＝13

； ③顺次连接A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′E ′，E ′A ′.

五边形A ′B ′C ′D ′E ′就是所求作的五边形．

方法总结：(1)画位似图形时，要注意相似比，即分清楚是已知原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比；(2)画位似图形的关键是画出图形中顶点的对应点，画图的方法大致有两种：一是每对对应点都在位似中心的同侧；二是每对对应点都在位似中心的两侧；

(3)若没有指定位似中心，则画图时位似中心的取法有多种，对画图而言，以多边形的一个顶点为位似中心时，画图最简便．

三、小结：谈谈你这节课学习的收获．

四、板书设计

位似图形及其性质⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧定义：如果两个相似多边形任意一组对应顶点

P ，P ′所在的直线都经过同一点O ，且有 OP ′＝k ·OP （k ≠0），那么这样的两个图

形叫做位似图形性质：⎩⎪⎨⎪⎧①两个图形相似②对应点的连线相交于一点，对应边互 相平行或在同一条直线上

③任意一对对应点到位似中心的距离

之比等于相似比作位似图形：关键是确定位似中心、相似比和 找关键点的对应点

五、作业：

• 1、必做题：自己任意画一三角形，将它放大2倍。

• 2、合作题：（部分学生）

如图：有一边长为30m 的正五边形草地ABCDE,想在草地中间搞一个边长为5m

的正五边形花圃，请你利用位似把图形画出来。

六、教学反思:

位似是相似图形的延伸和深化．经历位似图形的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手操作的能力，体验学习的乐趣．位似图形在实际生产和生活中有着广泛的应用，通过现实情境，进一步发展学生从数学角度提出问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的联系．