(完整版)平面向量知识点总结(精华)

平面向量基础知识复习

必修4 平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.

举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r

按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r

，规定：零向量的方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r

共线

的单位向量是||

AB AB ±u u u r

u u u r ）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向

量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r

、b r 叫

做平行向量，记作：a r

∥b r ，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r )；

④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔u u u r u u u r

、共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r

的相反向量记作a -r

.

举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r

r .

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

（3）若AB DC =u u u r u u u u r

，则ABCD 是平行四边形.

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r

.

（5）若a b =r

r ，b c =r r ，则a c =r r .

（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r

.其中正确的是 . 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r

，注意起点在前，终点在后；

平面向量基础知识复习

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r ，c r

等；

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同

的两个单位向量,i j r r 为基底，则平面内的任一向量a r

可表示为

(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r

的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

三、平面向量的基本定理

定理 设12,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r

是该平面内任一向量，

则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r

.

（1）定理核心：11

22

a λe λe =+r r r

；

（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成.

（3）向量的正交分解：当1

2

,e e r r 时，就说11

22

a λe λe =+r r r

为对向量a r 的正交分

解．

举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：1322

a b -r

r . （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B

A.1

(0,0)e =r ，2

(1,2)e =-r B.1

(1,2)e =-r ，2

(5,7)e =r C.1

(3,5)e =r ，2

(6,10)e =r D.1

(2,3)e =-r

，2

13,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC

u u u r

可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433

a b +r

r . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r

，则r s +=的值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积

实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr

，它的长度和方向规定如下：

（1）模：||||||a a λλ=⋅r r

；

（2）方向：当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，a λr

的

方向与a r

的方向相反，当0λ=时，0a λ=r r ，

注意：0a λ≠r .

五、平面向量的数量积

1.两个向量的夹角：对于非零向量a r

，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则把

(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r

，b r 的夹角.