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2019名师导学理数(教案)11

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2019名师导学理数(教案)1

2019名师导学理数(教案)1

(这是边文，请据需要手工删加)新课标·名师导学·高考第一轮总复习(理科数学)(这是边文，请据需要手工删加)第一章集合、常用逻辑用语、算法初步及框图(这是边文，请据需要手工删加)第一章集合、常用逻辑用语、算法初步及框图【p1】第1讲集合及其运算夯实基础【p2】【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义，能识别给定集合的子集，了解在具体情境中全集与空集的含义；3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．【基础检测】1．设集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}, B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，则A∩B＝( ) A．A B．B C．A∪B D．?【解析】集合A与B的代表元素不同，故交集为空集，应选D.【答案】D2．已知集合M＝{0，1}，则满足M∪N＝{0，1，2}的集合N的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．8【解析】由题意得{2}?{0，1，2}，因此集合N的个数是22＝4个，选C.【答案】C3．若集合A＝{y|0≤y<2}，B＝{x||x|>1}，则A∩(?RB)＝( )A．{x|0≤x≤1} B．{x|1≤x≤2}C．{x|－1<x≤0} D．{x|1<x<2}【解析】由集合B得B＝{x|x<－1或x>1}??RB＝{x|－1≤x≤1}，A∩(?R B)＝{x|0≤x≤1}，故选A.【答案】A4．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( ) A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}【解析】集合B＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0，1}，而A＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}，故选C.【答案】C5．已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A．A＝B B．A∩B＝?C．A?B D．B?A【解析】A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，结合数轴可得B?A.【答案】D【知识要点】1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素组成的总体叫__集合__，简称为集．(2)集合中的元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__．(3)集合的表示方法有：__列举法__、__描述法__、__图示法__、__区间法__．(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种，分别用“__∈__”与“__?__”来表示．(5)常用的数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.2．集合之间的关系(1)一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素__都是__集合B 中的元素，我们就说这两个集合有__包含__关系，称集合A为集合B的__子集__，记作__A?B(或B?A)__；若A?B，且A≠B，则A B，我们就说A是B的真子集．(2)不含任何元素的集合叫做__空集__，记作__?__，它是__任何一个集合的子集__，是任何一个__非空集合的真子集__，即??A，? B(B≠?)．3．集合的基本运算(1)并集：A∪B＝{x|x∈A__或__x∈B}；(2)交集：A∩B＝{x|x∈A__且__x∈B}；(3)补集：?UA＝__{x|x∈U且x?A}__．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A?A?B，A∩A＝A，A∩?＝?；(2)A∪B＝A?A?B，A∪A＝A，A∪?＝A；(3)A?B，B?C，则A?C；(4)?U(A∩B)＝?UA∪?UB，?U(A∪B)＝?UA∩?UB，A∩?UA＝?，A∪?UA＝U，?U(?UA)＝A；(5)A?B，B?A，则A＝B.典例剖析【p2】考点1 集合的基本概念(1)已知集合A＝，B＝，则集合C＝{a＋b|a∈A，b∈B}中元素的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【解析】由集合C的定义可得： C＝，集合C中元素的个数为5个．故选D.【答案】D(2)设集合P＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，Q＝{y|y＝2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则( )A．a∈P，b∈Q B．a∈Q，b∈PC．a∈P，b∈P D．a∈Q，b∈Q【解析】因为x0∈P，y0∈Q，所以可设x0＝2m0＋1，m0∈Z，y0＝2n0，n0∈Z，则a＝x0＋y0＝(2m0＋1)＋2n0＝2(m0＋n0)＋1∈P，b＝x0y0＝(2m0＋1)·2n0＝2[n0(2m0＋1)]，又n0∈Z，m0∈Z，所以n0(2m0＋1)∈Z，b∈Q，故选A.【答案】A(3)设a，b，c为实数，f(x)＝(x＋a)(x2＋bx＋c)，g(x)＝(ax＋1)(cx2＋bx＋1)．记集合S＝{x|f(x)＝0，x∈R}，T＝{x|g(x)＝0，x∈R}．若|S|，|T|分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是( )A．|S|＝1且|T|＝0 B．|S|＝1且|T|＝1C．|S|＝2且|T|＝2 D．|S|＝2且|T|＝3【解析】当a＝b＝c＝0时，|S|＝1且|T|＝0；当a≠0且b2－4c<0时，|S|＝1且|T|＝1；当a＝2，b＝2且c＝1时，|S|＝2且|T|＝2.故选D.【答案】D【点评】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．考点2 集合间的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－4x<0}，B＝{x|x<a}，若A?B，则实数a的取值范围是( )A．(0，4] B．(－∞，4)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)【解析】A＝{x|0<x<4}，若A?B，则a≥4，故选C.【答案】C(2)已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|－x2＋x＋2>0}，则下列结论正确的是( )A．A∪B＝R B．A∩B≠?C．A??RB D．A??RB【解析】A＝{x|x≥2或x≤－2}，B＝{x|－1<x<2}，?RB＝{x|x≥2或x≤－1}，则A??RB.【答案】C(3)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}. 若A∩B＝B，则实数m的取值范围为________．【解析】由A∩B＝B得B?A，当B＝?时，有m－1>2m＋1，则m<－2；当B≠?时，若B?A，如图．则解得0≤m≤.综上，m的取值范围为(－∞，－2)∪.【答案】(－∞，－2)∪【点评】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．考点3 集合的基本运算(1)(2017·北京)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}【解析】利用数轴可知A∩B＝，故选A.【答案】A(2)若集合A＝，B＝，则(?RA)∩B＝( )A.B.C.D．?【解析】由A＝{x||x|>1，x∈R}得?RA＝{x||x|≤1，x∈R}＝[－1，1]，又B ＝[0，＋∞)，所以(?RA)∩B＝[0，1]，选C.【答案】C(3)已知集合A＝{－1，1，2，3}，B＝{x∈R}，则右边韦恩图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1，1} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3}【解析】B＝{x∈R}，则A∩B＝{－1}，阴影部分表示的集合为{1，2，3}，选D.【答案】D(4)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(?UA)∩B＝?，则m的值是________．【解析】A＝{－2，－1}，由(?UA)∩B＝?，得B?A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠?.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.【答案】1或2【点评】(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况；(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．考点4 集合中的创新问题(1)S(A)表示集合A中所有元素的和，且A?，若S(A)能被3整除，则符合条件的非空集合A的个数是( ) A．10 B．11 C．12 D．13【解析】因为A?，所以符合条件的非空集合A可以是：，，，，，，，，，，，故选B.【答案】B(2)若集合A＝{(m，n)|(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋n)＝102 017，m∈N，n∈N*}，则集合A中的元素个数是( )A．2 016 B．2 017 C．2 018 D．2 019【解析】由题意知，(m＋1)＋(m＋2)＋…＋(m＋n)＝102 017?n(n＋2m＋1)＝22 018·52 017，所以n，n＋2m＋1，必为一奇一偶，当n为偶数时，n的取值为22 018，22 018·5，…，22 018·52 017共2 018种情况，又m∈N，n∈N*.故选C.【答案】C(3)某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20.则该班同学中只答对一道题的人数是________；该班的平均成绩是________分．【解析】设x、y、z分别是答对题a、题b、题c的人数，则有解得由已知条件可得，答对1题的人数为(17＋12＋8)－1×3－2×15＝4(人)，全班人数为4＋15＋1＝20(人)，所以全班的平均成绩为[17×20＋(12＋8)×25]÷20＝42(分)．【答案】4；42【点评】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．〔备选题〕已知集合M＝，若对于任意(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M＝；②M＝{(x，y)|y＝log2x}；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}；④M＝{(x，y)|y＝sin x＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是________．【解析】由题意可得：集合M是“垂直对点集”，即满足：曲线y＝f(x)上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．①M＝，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点，，满足·＝－1，化为x·x＝－1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”；②M＝{(x，y)|y ＝log2x}，x>0，取(1，0)，则不存在点(x2，log2x2)(x2>0)，满足1×x2＋0＝0，因此集合M不是“垂直对点集”；③M＝{(x，y)|y＝ex－2}，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”；④M＝，结合图象可知：集合M是“垂直对点集”．综上可得：只有③④是“垂直对点集”．故答案为：③④.【答案】③④方法总结【p3】1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．4．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算．5．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．6．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．7．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．走进高考【p3】1．(2017·江苏)已知集合A＝{1，2}，B＝{a, a2＋3}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．【解析】由题意1∈B，显然a2＋3≥3，所以a＝1，此时a2＋3＝4，满足题意，故答案为1.【答案】1【命题立意】本题主要考查集合的交集运算及一元二次不等式的解法，属容易题．(1)认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．(2)注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．(3)防范空集．在解决有关A∩B＝?，A?B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑?是否成立，以防漏解．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝?【解析】由3x<1可得3x<30，则x<0，即B＝{x|x<0}，所以A∩B＝{x|x<1}∩{x|x<0}＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}∪{x|x<0}＝{x|x<1}，故选A.【答案】A【命题立意】本题主要考查集合的交并集运算及指数函数的性质与不等式的解法，属容易题．集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．考点集训【p175】A组题1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A．4 B．2 C．0 D．0或4【答案】A2．已知全集U＝R，N＝，M＝，则图中阴影部分表示的集合是( )A.B.C.D.【解析】解得N＝{x|－3<x<0}，M＝{x|x<－1}，由图中阴影部分可知，表示的是N中不包括M集合的元素，即?UM∩N＝.【答案】C3．(2017·山东)设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1，2) B．(1，2] C．(－2，1) D．[－2，1)【解析】由4－x2≥0得－2≤x≤2，由1－x>0得x<1，故A∩B＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1}＝{x|－2≤x<1}，选D.【答案】D4．已知集合A＝，B＝，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2【解析】A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数等于集合{3，4}的子集的个数，为22＝4个．【答案】B5．设全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|2≤x<5}，则?UA＝______________．【答案】{x|1≤x<2或x＝5}6．含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a＋b，0}，则a2 019＋b2 018＝________．【解析】由两集合相等可得∴∴a2 019＋b2 018＝－1.【答案】－17．已知集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0} ，若A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，则a＋b的值等于________．【解析】因为A＝{x|x2－2x－3>0}＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，而A∪B＝R，A∩B＝{x|3<x≤4}，所以B＝{x|－1≤x≤4}，即－1，4是方程x2＋ax＋b＝0的根，因此－1＋4＝－a，－1×4＝b，a＋b＝－3－4＝－7.【答案】－78．设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【解析】∵A∩B＝B，∴B?A，∵A＝{0，－4}，∴B＝?，或B＝{0}，或B＝{－4}，或B＝{0，－4}．当B＝?时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数根，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，整理得a＋1<0，解得a<－1；当B＝{0}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两等根均为0，则解得a＝－1；当B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两等根均为－4，则无解；当B＝{0，－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根分别为0，－4，则解得a＝1.综上所述：a≤－1或a＝1.B组题1．已知集合A＝{a|关于x的方程＝1有唯一实数解，a∈R}，用列举法表示集合A＝________．【解析】由＝＝1，当x＋a＝x－1或x＋a＝x＋1时，方程有一解，当x＋a＝x2－1有一解时，Δ＝0，a＝－，所以答案应填：.【答案】2．设A，B是非空集合，定义A?B＝{x|x∈A∪B且x?A∩B}，已知M＝{y|y＝－x2＋2x，0<x<2}，N＝{y|y＝2x－1，x>0}，则M?N＝______________．【解析】M＝{y|y＝－x2＋2x，0<x<2}＝(0，1]，N＝{y|y＝2x－1，x>0}＝，M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝，所以M?N＝∪(1，＋∞)．【答案】∪(1，＋∞)3．已知A，B均为集合U＝的子集，且A∩B＝，(?UB)∩A＝，(?UA)∩(?UB)＝，则B∩(?UA)＝ ________．【解析】依题意及韦恩图得，A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，∴B∩(?UA)＝.【答案】4．已知集合U＝(n∈N*，n≥2)，对于集合U的两个非空子集A，B，若A∩B＝?，则称(A，B)为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”)．(1)写出f(2), f(3), f(4)的值；(2)求f(n)．【解析】(1)f(2)＝1，f(3)＝6，f(4)＝25.(2)解法一：设集合A中有k个元素， k＝1，2，3，…，n－1.则与集合A互斥的非空子集有2n－k－1个.于是f(n)＝C(2n－k－1)＝[C－C－C＝2n－2，所以f(n)＝＝(3n－2n＋1＋1)．解法二：任意一个元素只能在集合A, B, C＝?U(A∪B)之一中，则这n个元素在集合A, B, C中，共有3n种；其中A为空集的种数为2n, B为空集的种数为2n，所以A, B均为非空子集的种数为3n－2×2n＋1,又(A，B)与(B，A)为同一组“互斥子集”，所以f(n)＝(3n－2n＋1＋1)．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件夯实基础【p4】【学习目标】1．理解命题的概念及命题构成，了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；3．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；4．理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础检测】1．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x≠4，则x2－3x－4＝0”，为真命题。

2019九年级数学上册全册导学案

2019九年级数学上册全册导学案

第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋35；(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1)；(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：去括号，得3x 2－3x ＝5x ＋10.移项，合并同类项，得3x 2－8x －10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0，无论m 取何值，该方程都是一元二次方程． 证明：m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1， ∵(m －4)2≥0，∴(m －4)2＋1>0，即(m －4)2＋1≠0.∴无论m 取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 2－8m ＋17≠0即可． 2．下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x ＝－2或x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x 2＝0; (2)2(x 2－1)＝3y ； (3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2x＝0；(5)(x ＋3)2＝(x －3)2; (6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根，求a 的值． 解：∵x ＝2是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根， ∴4a ＋8－5＝0， 解得a ＝－34.3．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x 2＝25，4x 2－25＝0；(2)x(x －2)＝100，x 2－2x －100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2 解一元二次方程 21．2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想． 难点：通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n ≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟) 问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程： __10×6x 2＝1500__， 由此可得__x 2＝25__，根据平方根的意义，得x ＝__±5__， 即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm . 探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x －1＝，即将方程变为两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝2x 2＝2．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝±2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50； (3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2＝50， y 2＝4， (x －8)2＝25， y ＝±2， x －8＝±5，∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5， ∴x 1＝13，x 2＝3；(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2－4x ＋1＝0， (2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2＝0， ∴原方程无解； 2x －1＝0， ∴x 1＝x 2＝12.点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24； (3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113.点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5； (3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0； (5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25； (7)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2； (2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5； (3)x 1＝－1，x 2＝13；(4)x 1＝16，x 2＝－16；(5)x 1＝92，x 2＝－92；(6)x 1＝0，x 2＝－10；(7)x 1＝1，x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想．3．理解x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)中，为什么p ≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2； (2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2； (3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p2__)2.2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b2)2的形式，得__x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝±5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0； (3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52；(3)x 1＝－72，x 2＝－12.归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2； (2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12__)2；(3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0； (3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4， 由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5. (2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1， 配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54，由此可得x ＋32＝±52，即x 1＝52－32，x 2＝－52－32. (3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0， 移项得x 2＋4x ＝1， 配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6， 即x 2－14x ＋24＝0， (x －7)2＝25， x －7＝±5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式． 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0； (3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5.解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5； (2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174；(4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0. 解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？ 问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a.分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)x ＝－b±b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根． (5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ (1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0； (3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有一个实数根 D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14.3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0， Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况： (1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0；(3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0；(3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ； (5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0. 解：(1)x 1＝3，x 2＝－4； (2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；2a(b(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定．a，b，c的值，再算．出b2－4ac的值、最后代．入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x －1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0. 解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52.2．用因式分解法解下列方程： (1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72；(3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2； (3)(x ＋5)2＝3x ＋15. 解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12；(3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式． 2．用因式分解法解下列方程： (1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2； (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34；(4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6； (2)x 1＝43，x 2＝－2；(3)x 1＝12，x 2＝－12；(4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0； (3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0； (5)(x －4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x 1＝0，x 2＝－1； (2)x 1＝0，x 2＝23； (3)x 1＝x 2＝1； (4)x 1＝112，x 2＝－112；(5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为x m . 则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)． 答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”． 2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca .2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟) 自学1：完成下表：问题：你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项． ②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律. 答：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q. 自学2：完成下表：问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比． ②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a．x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0； (3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1； (2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52；(3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0； (3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3；(3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14.点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c.2．已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 解：另一根为32，k ＝3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β. 解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2； (3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15； (2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1； (3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8； (4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a ，b ，c.2．当且仅当b 2－4ac ≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a (比前面有负号)，x 1x 2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题． 难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟)问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x ＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x ＋1)(x ＋1)__人患了流感．则列方程：__(x ＋1)2＝121__，解得__x ＝10或x ＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x ，新两位数为__10x ＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x ＋(6－x)]＝1008__，解得 x 1＝__2__，x 2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A ．x(x ＋1)＝2550B ．x(x －1)＝2550C ．2x(x ＋1)＝2550D ．x(x －1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x －1)张相片，全班共送出x (x －1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(C)A．2和4B．6和8C．4和6D．8和102．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01)绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11月份的营业额为__5000(1＋x)__元，12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2；n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x·80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x·80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x·80%＋(1000＋2000x·80%)x·80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟)青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x，则有7200(1＋x)2＝8460，解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．。

3.2.2奇偶性(一)导学案高一上学期数学人教A版(2019)

3.2.2奇偶性(一)导学案高一上学期数学人教A版(2019)

【学习目标】1. 能结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义2. 能根据函数奇偶性的定义判断和证明函数的奇偶性3. 了解奇偶函数图象的特征，掌握奇偶性的简单应用 【重、难点】重点: 函数奇偶性的概念与判断 难点: 函数奇偶性的应用 【学习过程】导：前面我们学习了函数单调性的概念，利用函数图象在定义域的某个区间上“上升”或“下降”研究了函数的单调性和最值，函数是否还有其他性质呢？我们继续研究函数的其他性质—奇偶性。

思：问题1 我们首先观察()2f x x =和()2g x x =-的图像，你能发现这两个函数有什么共同特征吗？类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数关于y 轴对称”这一特征吗？ x ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ()2f x x = ... ... ()2g x x =- ... ...偶函数：一般地，设函数()f x 的定义域为D,如果∀x ∈D ，都有______，且 ，那么函数()f x 叫做偶函数，函数图象关于 对称。

结论：1、偶函数)(x f 满足两个条件：（函数定义域为D ）（1）∀x ∈D ，都有______⇔定义域关于 对称 （2）、=-)(x f2、函数()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于 对称 练习1.（1）()(1)(1),()y f x x R f f f x =∈-=函数，，是偶函数吗？ （2）[]2(),1,2f x x x =∈-函数是偶函数吗？为什么？问题 2 观察函数()f x x =和1()f x x=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？我们取一些特殊值，观察一下相应的函数值：x ... 3 2 1 0 1 2 3 ... ()f x x = ... ... 1()f x x= ......f x ，那么函数()f x 叫做奇函数，函数图象关于 对称。

结论：奇函数)(x f 满足两个条件：（函数定义域为D ）（1）∀x ∈D ，都有______⇔()f x 定义域关于 对称 （2）、=-)(x f（2）函数()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于 对称问题3判断函数奇偶性的一般步骤可归纳为： ① ；② 题型一 具体函数的奇偶性判断 例1.判断下列函数的奇偶性：(1) 21)(x x f =； (2) 1)(2+=x x f ； (3) ⎩⎨⎧<+->+=0,10,1)(x x x x x f题型二 抽象函数奇偶性判断例2.定义在[][]3113-，，上的函数(x f 是偶函数，且f(3)=3,f （1）=2，其部分图象如图所示：根据图像可知函数)(x f 的递增区间为 ；最大值= ；最小值= 题型三 奇偶函数图像及应用例 3.(1)已知)(x f y =是R 上的奇函数，且6)3(=f ，则)3-f 的值为________，f(0)= ______．(2)若函数b a x x f ++3)(2是偶函数，定义域为[]a a 2,1-，则b a +＝______ ______题型四 利用函数的奇偶性求解析式例(1) 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式.（2）已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .求出函数f (x )在R 上的解析式；题型五 利用函数的奇偶性与单调性比较大小例 （1）设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，则f (1)和f (－10)的大小关系为题型六 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 例3 (1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞f (－3)＝0，则f (x )x <0的解集为________. (2)已知函数f (xf (a －2)＋f (3－2a )<0，试求a 的取值范围. 奇偶性课时作业 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( ) 2．函数x x x f 1)(3+=的图象关于( ) A ．原点对称 B ．y 轴对称 C ．x y =对称 D ．x y -=对称 3.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A.6 B.－6 C.2 D.－2 3.已知奇函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x )<f (1)的x 的取值范围是( ） A.(－∞，1) B.(－∞，－1) C.(0,1) D.[－1,1)4.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )5.若函数f (x )是R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是( ) A.f (－3)>f (0)>f (1) B.f (－3)>f (1)>f (0) C.f (1)>f (0)>f (－3) D.f (1)>f (－3)>f (0)6.已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A.a ≤－2B.a ≥2C.a ≤－2或a ≥2D.－2≤a ≤27.已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )8.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x＜0的解集为( )A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(0,1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)D.(－1,0)∪(0,1)9（多选）．已知函数()f x 在[]5,5-上是奇函数，()f x 在[]0,5上是单调函数，且()()42f f -<-，则下列不等式一定成立的是（ ）11．已知)(x f 为奇函数，且当()().______1,102=-+=>f xx x f x 则时，12．若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a ＝________. 13.若函数f (x )＝(k －2)x 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则f (x )的单调递减区间是______.14已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________.15（1）.已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.(1)试求f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.16.已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值； (2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，12上的单调性并证明.。

2019名师导学理数(教案)

2019名师导学理数(教案)

((这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)第九章直线、平面、简单几何体和空间向量知识体系【p120】理解以下判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明之：如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行．垂直于同一个平面的两条直线平行．如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．第53讲空间几何体的结构，三视图和直观图夯实基础【p121】【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥等简单几何体的性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图．【基础检测】1．以下命题错误的是()A．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台B．将一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得圆锥的母线长等于斜边长C．棱台的相对侧棱延长后必交于一点D．用一平面去截球，所得截面圆的圆心和球心的连线一定与截面垂直【答案】A2．下列命题中正确的个数是()①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥．A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的几何体才是棱锥，所以选A.【答案】A3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，故其正视图为直角边长为2的等腰直角三角形，且中间有一虚线，故选C.【答案】C4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A ．3 2B ．2 3C ．2 2D ．2【解析】由三视图还原为如图所示的四棱锥A －BCC 1B 1，从图中易得最长的棱为AC 1＝AC2＋CC 21＝（22＋22）＋22＝23，选B. 【答案】B5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为__________．【解析】原图形是上底为1，下底为1＋2，高为2的直角梯形．∴S 原＝()1＋1＋22×2＝2＋ 2.【答案】2＋ 2【知识要点】 多面体棱柱 棱柱的侧棱都相互__平行__且__相等__，上下底面是__全等的__且__相互平行__的多边形.棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个__公共顶点__的三角形. 棱台 棱台可由一个__平行于棱锥底面的平面去截棱锥得到，其上下底面是__相互平行__且相似的多边形.旋转体圆柱 圆柱可由__矩形__绕其任意一边旋转得到.圆锥 圆锥可以由__直角三角形__绕其一条直角边旋转得到.圆台 圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下边的中点连线旋转得到，也可由__平行于__圆锥底面的平面截圆锥得到.球 球可以由半圆或圆绕其__直径__旋转得到.2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括__正视图__、__侧视图__、__俯视图__．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度__不变__，平行于y轴的线段，长度变为__原来的一半__．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于平面xOy，在直观图中对应的z′轴，也垂直于平面x′O′y′，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度__不变__．典例剖析【p122】考点1空间几何体的结构特征例1(1)给定下列四个命题：①圆锥是由正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体；②圆锥是由三角形绕其一边上的高旋转所形成曲面围成的几何体；③圆锥是角AOB绕其角平分线旋转一周所形成曲面围成的几何体；④底面在水平平面上的圆锥用平行于底面的平面所截得的位于截面上方的部分是圆锥．其中正确的命题为__________．(只填正确命题的序号)【解析】正方形绕对角线旋转所形成的曲面围成的几何体为两个圆锥，①错误；圆锥是由直角三角形绕其一条直角边旋转所形成曲面围成的几何体，②③错误；④正确；故答案为④.【答案】④(2)给出下列命题：①在正方体上任意选择4个不共面的顶点，它们可能是正四面体的4个顶点；②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确命题的序号是________．【解析】①正确，正四面体是每个面都是等边三角形的四面体，如正方体ABCD－A1B1C1D1中的四面体A－CB1D1；②错误，反例如图所示，底面△ABC为等边三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，则△VBC为等边三角形，△V AB和△VCA均为等腰三角形，但不能判定其为正三棱锥；③错误，必须是相邻的两个侧面．【答案】①(3)已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．【解析】因为在正三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体体对角线的中点．球心到截面ABC 的距离为球的半径减去正三棱锥P －ABC 在面ABC 上的高．已知球的半径为3，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥P －ABC 在面ABC 上的高为233，所以球心到截面ABC 的距离为3－233＝33. 【答案】33【点评】熟记柱、锥、台、球的简单几何性质，以便在以柱、锥、台、球为载体的综合问题中灵活准确地应用其性质进行推理与计算．考点2 空间几何体的三视图例2(1)如图所示，四面体ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤【解析】正视图为①，侧视图为②，俯视图为③，故选B.【答案】B(2)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列5个图形，其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】①②③⑤均可能，故选B.【答案】B(3)(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A．18＋36 5 B．54＋185C．90 D．81【解析】由三视图知该几何体是平行六面体，且底面是边长为3的正方形，侧棱长为35，所以该几何体的表面积为S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×35＝54＋185，故选B.【答案】B(4)在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【解析】由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.【答案】D【点评】观察利用三视图时，一定要准确把握“长对正，高平齐，宽相等”的原理．考点3空间几何体的直观图例3(1)利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形．以上正确结论的序号是________．【解析】由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．【答案】①(2)已知正△ABC的边长为a，那么它的平面直观图△A′B′C′的面积为__________．【解析】如图所示是实际图形和直观图，由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′×C′D′＝12×a×68a＝616a2.【答案】616a2(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()【解析】A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，答案选D.【答案】D方法总结【p123】1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度改变（减半），图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不变，与x轴平行的线段长度不变，相对位置不变.2．有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S之间的关系是S′＝24S.(2)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置．3．有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则．4．特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体．(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱．走 进 高 考 【p 123】1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16【解析】由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12，故选B. 【答案】B2．(2017·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1D.3π2＋3 【解析】由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12π×3＋13×12×2×1×3＝π2＋1，故选A. 【答案】A3．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【解析】解法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π. 解法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.【答案】B考 点 集 训 【p 250】A 组题1．下列四个几何体中，只有正视图和侧视图相同的几何体是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④【解析】由几何体分析知②④中仅正视图和侧视图相同．【答案】D2．已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边长为4，则此正方形的面积是( )A ．16B ．64C ．16或64D ．以上都不对【解析】设正方形的边长为a ，则由斜二测画法得到的平行四边形邻边长分别为a ，a 2，故a ＝4或a 2＝4，∴a ＝4或a ＝8，则正方形面积为16或64.故选C. 【答案】C3．一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】满足条件的四棱锥的底面为矩形，且一条侧棱与底面垂直，如图所示，易知该四棱锥四个侧面均为直角三角形．【答案】D4．一个正方体截去两个角后所得的几何体的正(主)视图，侧(左)视图如图所示，则其俯视图为()【解析】根据正(主)视图和侧(左)视图可知正方体截去的两个角是在同一个面上的两个相对的角，所以它的俯视图是一个正方形，正方形的右下角是以实线画出的三角形，左上角是一个实线画出的三角形，依题意可知该几何体的直观图如图，其俯视图应是C, 故选C.【答案】C5．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()【解析】选项C不符合三视图中“宽相等”的要求．【答案】C6．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )【答案】B7．已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB ＝AC ，四边形BCDE 为矩形，则该组合体的俯视图可以是________．【解析】①是正四棱锥与正四棱柱组合；②是正四棱锥与圆柱组合；③是圆锥与圆柱组合；④是圆锥与正四棱柱组合．【答案】①②③④B 组题1．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为________．【解析】几何体为一个圆柱和一个长方体的组合体，其体积为π⎝⎛⎭⎫122x ＋3(5.4－x)≈16.2－94x ＝12.6，解得： x ＝1.6.【答案】1.62．如图①，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，图②为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)在四棱锥P －ABCD 中，求PA 的长．【解析】(1)该四棱锥的俯视图为边长为6 cm 的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36 cm 2.(2)由侧视图可求得PD ＝PC 2＋CD 2＝62＋62＝6 2. 由正视图可知AD ＝6且AD ⊥PD ，所以在Rt △APD 中，PA ＝PD 2＋AD 2＝（62）2＋62＝6 3 cm.3．已知圆锥的底面半径为r ，高为h ，且正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．【解析】如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x ，则在轴截面中，正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x.∵△V A 1C 1∽△VMN ，∴2x 2r ＝h －x h ，∴x ＝2rh 2r ＋2h. 即圆锥内接正方体的棱长为2rh2r ＋2h.4．(1)如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?(2)某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？ (3)某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？【解析】(1)该三棱锥在侧(右)投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.(2)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA 、OB 、OC 两两垂直，∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是锐角三角形．设AO＝a，OC ＝c，OB＝b，则AC＝a2＋c2，BC＝c2＋b2，AB＝a2＋b2，∴cos∠BAC＝a2>0，∴∠BAC为锐角．同理，∠ABC、∠ACB也是锐角．a2＋b2·c2＋a2综上所述，该几何体的面中共有3个直角三角形．(3)该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，AB ⊥面BCD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，∴△ACD也是直角三角形．∴该几何体的面中共有4个直角三角形．第54讲 空间几何体的表面积与体积夯实基础 【p 124】【学习目标】熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单问题．【基础检测】1．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，8【解析】由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为6，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此其侧面积为12×（6）2－12×2×4＝45，其体积为13×22×2＝83.【答案】B2．如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.203 B ．7 C.223 D.233【解析】将三视图还原如下图：原图形为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1割去三棱锥A 1－AFE 和三棱锥D 1－DEC 1，所以体积为V ＝V 正方体－V A 1－AFE －VD 1－DEC 1＝8－13×12×2－13×1×2＝7.【答案】B3．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，E 为AB 的中点，则四面体P －BCE 的体积为________．【解析】S △EBC ＝32，V P －EBC ＝13×2×32＝33.【答案】334．已知正四棱锥的底边长和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为________．【解析】∵正四棱锥的底边长和侧棱长均为32，∴此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面，故外接球半径长是3，∴该正四棱锥的外接球的表面积为4π×32＝36π.【答案】36π5．已知一轴截面为锐角三角形的圆锥的母线长为4，若过该圆锥顶点的所有截面面积分布范围是(0，43]，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于________．【解析】过圆锥顶点的截面面积最大时该截面通过轴线，设轴截面三角形的顶角为θ，知θ<90°，且12·4·4·sin θ＝43，解得sin θ＝32，所以θ＝π3，所以圆锥底面半径r ＝2，故该圆锥侧面展开图的扇形圆心角α＝2πr 4＝2π·24＝π.【答案】π 【知识要点】棱长．典 例 剖 析 【p 124】考点1 空间几何体的表面积计算例1(1)已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm )，那么这个几何体的侧面积是( )A ．(1＋2)cm 2B ．(3＋2)cm 2C ．(4＋2)cm 2D ．(5＋2)cm 2【解析】由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以侧面积为(4＋2)cm 2.故选C. 【答案】C(2)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( )A.92B ．3C ．4 D.3102【解析】由三视图知几何体为正方体切去一个棱台，且切去棱台的下底面直角三角形的直角边长为1，其直观图如图．∴截面为等腰梯形，且两底边长分别为2，22，腰长为5，∴梯形的高为5－12＝322，∴截面面积S ＝2＋222×322＝92.故选A.【答案】A(3)某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm )，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2【解析】该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2.【答案】C考点2 空间几何体的体积计算例2(1)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()A.2π9B.π3C.16π3D.16π9【解析】由该几何体的三视图可知该几何体为一圆锥体从顶点处截去一部分后剩下的图形，如图所示：其底面为一半径为2的扇形，圆锥体高为4，扇形中心角为2π3，则该几何体的体积为13×2π32π×22π×4＝169π.【答案】D(2)湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为12 cm ，深2 cm 的空穴，则该球的体积是______cm 3.【解析】设球的半径为r ，画出球与水面的位置关系图，如图． 由勾股定理可知，r 2＝(r －2)2＋36，解得 r ＝10.所以体积为43πr 3＝4π3×1 000＝4 000π3.【答案】4 000π3【点评】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．例3在如图所示的多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AB ＝CD ＝1，AC ＝3，AD ＝DE ＝2，G 为AD 的中点．(1)在线段CE 上找一点F ，使得BF ∥平面ACD ，并加以证明； (2)求三棱锥G －BCE 的体积．【解析】(1)由已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.设F 是CE 的中点，H 是CD 的中点， 连接BF ，FH ，AH ，∴FH ∥ED ，FH ＝12ED.∵AB ＝1，DE ＝2，∴AB ＝12DE ，∴四边形ABFH 是平行四边形，∴BF ∥AH.∵AH 平面ACD ，BF 平面ACD ，∴BF ∥平面ACD. (2)∵DE ⊥平面ACD ，∴平面ABED ⊥平面ACD ，在平面ACD 内，作CP ⊥AD 于P ， ∵平面ABED ∩平面ACD ＝AD ， ∴CP ⊥平面ABED ，∴CP 为三棱锥C －BGE 的高．∵V G －BCE ＝V C －BGE ＝13S △BGE ·CP ，且S △BGE ＝S 梯形ABED －S △ABG －S △EDG ＝32.由三角形的等面积法得CP ＝32，∴V G －BCE ＝V C －BGE ＝13S △BGE ·CP ＝34.考点3 与球有关的切、接问题例4(1)已知棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，球O 与该正方体的各个面相切，则平面ACD 1截此球所得的截面的面积为( )A.8π3B.5π3C.4π3D.2π3【解析】因为球与各面相切，所以直径为2，且AC ，AD 1，CD 1的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为2的正三角形的外接圆，由正弦定理知R ＝63，所以面积S ＝2π3，选D.【答案】D(2)四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为( )A.815πB.2081πC.1015πD.10120π 【解析】如图所示，四棱锥P －ABCD.对角线AC ∩BD ＝F 点，取AD 的中点E ，设此四棱锥外接球的半径为r ，球心为O ，连接OP ，OF ，OB.设OF ＝x ，则x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋4222＝()32－22－x 2＋1，解得x ＝125.∴r ＝OB ＝⎝⎛⎭⎫1252＋()52＝10120. 该四棱锥的外接球的表面积为： 4πr 2＝101π5.【答案】C方 法 总 结 【p 125】1．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，其表面积为侧面积与底面积之和；2．组合体的表面积要注意重合部分的处理；3．三棱锥体积的计算用等体积法计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的，可以变换顶点和底面，使体积计算容易；4．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法．走 进 高 考 【p 125】1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【解析】该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r ＝2，底面圆的周长c ＝2πr ＝4π，圆锥的母线长l ＝22＋（23）2＝4，圆柱的高h ＝4，所以该几何体的表面积S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π，故选C.【答案】C2．(2017·江苏)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【解析】设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r 、高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr 3＝32.【答案】323．(2017·全国卷Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________．【解析】解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a>0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a>0，∴0<a<103，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5. 令t ＝25a 4－533a 5，则t′＝100a 3－2533a 4，由t′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415cm 3.解法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC ，易得OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x·3x·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×（5－x ）2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f′(x )＝100x 3－50x 4，令f′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x<2，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.【答案】415考 点 集 训 【p 252】A 组题1．(2017·天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．【解析】由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为4π3R 3＝4π3×278＝9π2.【答案】9π22．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为( )A ．48B ．64C ．80D ．120。

2019名师导学理数(教案)4

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((这是边文，请据需要手工删加)第四章三角函数知识体系【p43】第20讲任意角和弧度制及任意角的三角函数夯实基础【p43】【学习目标】1．了解任意角的概念与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；2．理解任意角三角函数(正弦，余弦，正切)的定义．【基础检测】1．与－30°终边相同的角是()A ．－330°B ．150°C ．30°D ．330°【解析】因为－30°＝k·360°＋(－30°)，k ∈Z ，所以依据题设中的单选题，应选答案D. 【答案】D2．一个扇形的圆心角为2π3，半径为3，则此扇形的面积为( )A ．π B.5π4 C.3π3 D.239π2【解析】由扇形的面积公式得， S ＝12αr 2＝12×2π3×3＝π，故选A.【答案】A3．设a <0，角α的终边经过点P (3a ，－4a )，则sin α＋2cos α的值等于( ) A.25 B ．－25 C.15 D ．－15 【解析】由题设可知r ＝9a 2＋16a 2＝5||a ＝－5a ，sin α＝－4a －5a ＝45，cos α＝3a －5a＝－35，sin α＋2cos α＝45－2×35＝－25，应选答案B.【答案】B4．下列命题中正确的是( )A ．终边在x 轴负半轴上的角是零角B ．三角形的内角必是第一、二象限内的角C ．不相等的角的终边一定不相同D ．若β＝α＋k •360°(k ∈Z )，则α与β终边相同【解析】对于答案A ，因为终边落在x 轴负半轴上的角可以表示为α＝2k π＋π，k ∈Z ，故说法不正确；对于答案B ，由于直角也是三角形的内角，但不在第一、第二象限，故也不正确；对于答案C ，由于30°≠－330°，但其终边相同，所以也不正确，应选答案D.【答案】D5．若α是第四象限的角，则下列函数值一定是负值的是( ) A ．sin α2 B ．cos α2 C ．tan α2D ．cos 2α【解析】∵2k π＋3π2<α<2k π＋2π，k ∈Z ，∴k π＋3π4<α2<k π＋π，k ∈Z ，∴α2在第二或第四象限，tan α2<0一定成立．【答案】C 【知识要点】1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad .(2)终边或反向延长线的交点．典 例 剖 析 【p 44】考点1 象限角及终边相同的角例1(1)已知α＝π6，角β的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称，则角β的集合为____________．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝2k π＋π3，k ∈Z (2)在－720°～0°范围内所有与45°角的终边相同的角为________________． 【解析】所有与45°角有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，令－720°<45°＋k ×360°<0°，得－765°<k ×360°<－45°，解得－765360<k <－45360，∵k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 【答案】－675°或－315°(3)若角θ是第三象限角，判定角2θ，θ2的终边所在位置．【解析】因为180°＋k ·360°<θ<270°＋k ·360°，k ∈Z ，所以360°＋2k ·360°<2θ<540°＋2k ·360°，k ∈Z ，所以2θ是第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的角．90°＋k ·180°<θ2<135°＋k ·180°，k ∈Z .若k 为偶数，则θ2是第二象限角，若k 为奇数，则θ2是第四象限角．所以θ2是第二象限角或第四象限角．【点评】1.终边在某直线上角的求法4步骤： (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点2 弧度制及其应用例2(1)如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6 cm ，求扇形的弧长及所含弓形的面积；(2)已知圆心角为60°的扇形的弧长为2π，求它的内切圆的半径； (3)已知扇形的周长为4，求扇形面积的最大值． 【解析】(1)扇形的弧长l ＝|α|r ＝2π3×6＝4π(cm )．因为S 扇形AOB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π(cm 2)，S △AOB ＝12r 2sin 120°＝93(cm 2)，所以S 弓形＝S 扇形AOB －S △AOB ＝(12π－93)cm 2.(2)如图，设内切圆半径为r ，则扇形的半径为3r ，扇形弧长l ＝π3·3r ＝πr ＝2π，解得r＝2.(3)设扇形的半径为r (0<r<2)，弧长为l ，由题意知l ＋2r ＝4，所以l ＝4－2r. S ＝12lr ＝12(4－2r )·r ＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，所以当r ＝1时，S max ＝1.即当扇形的半径r ＝1时，扇形的面积最大为1. 【点评】1.在解决扇形问题时要注意：(1)扇形的圆心角α、弧长、半径之间的关系：|α|＝l r.(2)扇形的面积S 与圆心角α、弧长l 、半径r 之间的关系：S ＝|α|2ππr 2＝12lr.(3)扇形的周长为C ＝2r ＋l.2．求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．考点3 三角函数的定义例3(1)已知角α的终边上一点P (m ，－3)(m ≠0)，且cos α＝2m4. (i )求m 的值；(ii )求出sin α和tan α.【解析】(i )由题设知x ＝m ，y ＝－3，∴r 2＝|OP|2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2.∴cos α＝m r ＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22，解得m ＝±5.(ii )当m ＝5时， cos α＝104， sin α＝－64， tan α＝sin αcos α＝－155；当m＝－5时，cos α＝－104，sin α＝－64，tan α＝sin αcos α＝155.(2)用单位圆证明角α的正弦的绝对值与余弦的绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sin α|＋|cos α|≥1.【解析】作平面直角坐标系xOy和单位圆．①当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox轴，设它交单位圆于A点，如图1，显然sin α＝0，cos α＝OA＝1，所以|sin α|＋|cos α|＝1.②当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP，设它交单位圆于A点，过A作AB⊥x 轴于B，如图2，则|sin α|＝BA，|cos α|＝OB.在△OAB中，|BA|＋|OB|＞|OA|＝1，所以|sin α|＋|cos α|＞1.综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.【点评】(1)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．方法总结【p45】1．(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．2．用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．3．应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．走 进 高 考 【p 45】(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝__________．【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以α＋β＝π＋2k π， 那么sin β＝sin α＝13，cos α＝－cos β，这样cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝－79.【答案】－79【命题立意】本题主要考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π ，若α与β关于x 轴对称，则α＋β＝0＋2k π ，若α与β关于原点对称，则α－β＝π＋2k π，k ∈Z .考 点 集 训 【p 200】A 组题1．已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3【解析】因为点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，则θ＝116π，故选C.【答案】C2．已知圆的半径为π cm ，则120°的圆心角所对的弧长是( ) A.π3 cm B. π23 cm C. 2π3 cm D. 2π23cm【解析】120°的圆心角为23π，∴l ＝|α|r ＝23π·π＝23π2 (cm)．【答案】D3．已知角α的终边过点P (－8m ，－6cos 60°)，且sin α＝－35，则m 的值为( )A ．－14B ．±12C ．－32D ．±32【解析】r ＝64m 2＋9，∴sin α＝－364m 2＋9＝－35，∴m 2＝14，m ＝±12，故选B.【答案】B4．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【解析】sin α＜0，α是第三、四象限角或终边落在y 轴的负半轴上．tan α＞0，α是第一、三象限角．则同时满足两个条件的角α是第三象限角．【答案】C5．点P 从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12【解析】根据题意得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3， 即Q ⎝⎛⎭⎫－12，－32.【答案】C6．θ是第二象限角，则θ2是第__________象限角．【解析】θ是第二象限角，则有2k π＋π2<θ<2k π＋π(k ∈Z )，于是k π＋π4<θ2<k π＋π2(k ∈Z )，因此θ2是第一、三象限角．【答案】一或三7．已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为__________． 【解析】按三角函数的定义，有sin α＋cos α＝－45＋35＝－15.【答案】－158．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 【解析】设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2 rad.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，∴AB ＝2sin 1(cm)．B 组题1．若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0【解析】由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.【答案】C2．已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( )A ．27 B.127 C ．9 D.19【解析】由正切函数的定义可得tan 7π3＝3m m ，即m 13－12＝3，也即m －16＝3，所以m＝()312－6＝3－3＝127，应选答案B.【答案】B3．已知sin α＋cos α＝1－32，α∈(0，π)，则tan α的值是( )A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 3 【解析】由题中已知条件，并考虑到sin 2α＋cos 2α＝1，联立可解得⎩⎨⎧sin α＝－32cos α＝12(舍去)，⎩⎨⎧sin α＝12cos α＝－32，故tan α＝sin αcos α＝－33. 【答案】A 4．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π]内角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎭⎫π，54π C.⎝⎛⎭⎫3π4，54π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π 【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α>0，tan α>0.解得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π. 【答案】D 5．如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以1 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．(1)求经过1 s 后，∠BOA 的弧度；(2)求质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间． 【解析】(1)经过1 s 后，∠BOA 的弧度为π3＋2.(2)设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋1)＋π3＝2π，所以t ＝5π6，即5π经过6s后质点A，B在单位圆上第一次相遇．第21讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式夯实基础 【p 46】【学习目标】1．能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式； 2．理解同角三角函数的基本关系式． 【基础检测】1．tan 690°的值为( )A .33 B . 3 C ．－33D ．－ 3 【解析】tan 690°＝tan (720°－30°)＝－tan 30°＝－33. 【答案】C2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2C .2316D ．－2316【解析】由原式可得sin αcos α－2cos αcos α3sin αcos α＋5cos αcos α＝tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.【答案】D3．已知f(α)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝⎛⎭⎫－253π的值为( ) A .12 B ．－12 C .32 D ．－32 【解析】f(α)＝－sin α（－cos α）－cos α（－tan α）＝cos α，f ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos ⎝⎛⎭⎫－253π＝cos 253π＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝cos π3＝12.【答案】A4．已知α是第一象限角，那么tan α·1sin 2α－1＝________． 【解析】tan α·1sin 2α－1＝tan α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·cos αsin α＝1. 【答案】15．若sin α＋cos α＝2，则sin 3α＋cos 3α＝________．【解析】sin αcos α＝12[(sin α＋cos α)2－(sin 2α＋cos 2α)]＝12，则sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝2×⎝⎛⎭⎫1－12＝22. 【答案】22【知识要点】1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α.典 例 剖 析 【p 46】考点1 同角三角函数关系的应用(含齐次式、知一求二)例1(1)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan α＝________．【解析】已知等式两边平方得：(sin α＋2cos α)2＝sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52，变形得：sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋4tan α＋4tan 2α＋1＝52， 整理得：3tan 2α－8tan α－3＝0， 即(3tan α＋1)(tan α－3)＝0， 解得： tan α＝－13 或tan α＝3.【答案】－13或3(2)已知tan x ＝2，则2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝________．【解析】2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x ＝2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －tan x ＋1tan 2x ＋1＝75. 【答案】75【点评】主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者当表达式中含有sin θ，cos θ的分式时利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切．例2已知sin θ，cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，且3π2<θ<2π，求θ的大小．【解析】因为sin θ，cos θ是方程4x 2－4mx ＋2m －1＝0的两个根，所以⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝m ，sin θcos θ＝2m －14，Δ＝16m 2－4×4（2m －1）>0.由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，得m 2＝1＋2×2m －14，解得m ＝1±32.又因为3π2<θ<2π，所以sin θcos θ＝2m －14<0，所以m ＝1－32，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝－34，所以⎩⎨⎧sin θ＝－32，cos θ＝12.又因为3π2<θ<2π，所以θ＝5π3.【点评】当表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ时，利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．考点2 诱导公式的应用例3已知α是第三象限角，且f (α)＝tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎫－α＋7π2cos （－α－3π）tan （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－1 920°，求f (α)的值．【解析】(1)f (α)＝tan （π－α）cos （2π－α）sin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋7π2cos （－α－3π）tan （－π－α）＝－tan αcos α（－cos α）－cos α（－tan α）＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝cos α＝－265.(3)∵α＝－1 920°＝－360°×5－120°，∴cos α＝cos (－1 920°)＝cos (－120°)＝cos 120°＝－12，∴f (α)＝－12.【点评】应用诱导公式时，注意符号的确定原则是视α为锐角，符号是变形前的原三角函数值的符号．考点3 同角三角函数的基本关系与 诱导公式的综合应用例4在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫3π2－A ·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．【解析】(1)∵sin A ＋cos A ＝15， ①∴(sin A ＋cos A )2＝125，即1＋2sin Acos A ＝125，∴sin Acos A ＝－1225.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A ＝(－cos A )·(－sin A )＝sin Acos A ＝－1225.(2)∵sin Acos A ＝－1225<0且0<A<π，∴A 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin Acos A ＝1＋2425＝4925，又sin A>0，cos A<0，∴sin A －cos A>0， ∴sin A －cos A ＝75， ②∴由①、②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.【点评】对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，若已知其中某一个式子的值，便可利用平方关系“sin 2α＋cos 2α＝1”，并灵活地运用方程思想，求出另两个式子的值，即(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α；(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.因此，我们把“sin α＋cos α”，“sin αcos α”，“sin α－cos α”称为三角函数中的“三剑客”，若出现某一个，则必须挖掘出另两个，方能顺利地解题．方 法 总 结 【p 47】1．化简过程中，利用同角三角函数的关系可将不同名的三角函数化成同名三角函数． 2．运用诱导公式，可将任意角的求值问题转化成锐角的求值问题． 3．注意“1”的灵活运用，如1＝sin 2θ＋cos 2θ等．4．化简三角函数式时，要注意观察式子的特征，如关于sin θ，cos θ的齐次式可转化为tan θ的式子，注意弦切互化．5．解题时要充分挖掘题目条件中隐含的条件，尽可能缩小角的范围．走 进 高 考 【p 47】1．(2013·广东)已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( )A ．－25B ．－15 C.15 D.25【解析】sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝15.【答案】C2．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋2cos α＝102sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎨⎧sin α＝－1010cos α＝31010或⎩⎨⎧sin α＝31010cos α＝1010，所以tan α＝－13或tan α＝3，当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－⎝⎛⎭⎫－132＝－34，当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝61－32＝－34.综上，tan 2α＝－34.【答案】C3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625【解析】由tan α＝34，得sin α＝35，cos α＝45或sin α＝－35，cos α＝－45，所以cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4×1225＝6425.【答案】A考 点 集 训 【p 201】A 组题1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45 B.45 C.35 D ．－35【解析】因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.【答案】B2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6 D.π3【解析】∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.【答案】D3．已知角α满足tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】分子分母同时除以cos α得，原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.【答案】C 4．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.35B.45 C ．－45 D ．－35【解析】由题意可知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－35.选D.【答案】D5．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34【解析】∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 【答案】B6．若cos α＝－23，则cos （4π－α）sin （－α）sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αtan （π－α）的值为________．【解析】先用诱导公式将原式化为cos α（－sin α）cos α（－tan α）＝sin αsin αcos α＝cos α＝－23.【答案】－237．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α＝________．【解析】方法一： 由已知可得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，即6sin α＝12cos α， 也就是sin α＝2cos α，所以tan α＝sin αcos α＝2.从而sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝sin2α－sin αcos αcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝tan2α－tan αtan2α＋1＝22－222＋1＝25.方法二：由已知可得sin α＋3cos α3cos α－sin α＝sin α＋3cos αcos α3cos α－sin αcos α＝tan α＋33－tan α＝5，整理得tan α＝2.从而sin2α－sin αcos α＝sin2α－sin αcos αsin2α＋cos2α＝sin2α－sin αcos αcos2αsin2α＋cos2αcos2α＝tan2α－tan αtan2α＋1＝22－222＋1＝25.【答案】258．(1)化简：f(α)＝sin⎝⎛⎭⎫α＋32πsin（－α＋π）cos⎝⎛⎭⎫α＋π2cos（－α－π）cos⎝⎛⎭⎫α－π2tan（α＋π）；(2)求值：tan 675°＋sin(－330°)＋cos 960°.【解析】(1)f(α)＝－cos α·sin α·（－sin α）－cos α·sin α·tan α＝－sin αtan α＝－cos α.(2)原式＝tan(675°－2×360°)＋sin(－330°＋360°)＋cos(960°－3×360°)＝tan(－45°)＋sin 30°＋cos(－120°)＝－tan 45°＋sin 30°－cos 60°＝－1＋12－12＝－1.B 组题1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．【解析】sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.【答案】9122．已知sin ⎝⎛⎫x ＋π3＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫2π3－x 的值为__________．【解析】sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝33. 【答案】333．若cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ－sin 2⎝⎛⎭⎫θ－π6＝________．【解析】由题意可知cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ－1＝－33－23.【答案】－33－234．已知f (x )＝cos 2（n π＋x ）·sin 2（n π－x ）cos 2[（2n ＋1）π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．【解析】(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2（2k π＋x ）·sin 2（2k π－x ）cos 2[（2×2k ＋1）π－x ] ＝cos 2x ·sin 2（－x ）cos 2（π－x ）＝cos 2x ·（－sin x ）2（－cos x ）2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[（2k ＋1）π＋x ]·sin 2[（2k ＋1）π－x ]cos 2{[2×（2k ＋1）＋1]π－x } ＝cos 2[2k π＋（π＋x ）]·sin 2[2k π＋（π－x ）]cos 2[2×（2k ＋1）π＋（π－x ）]＝cos 2（π＋x ）·sin 2（π－x ）cos 2（π－x ）＝（－cos x ）2sin 2x （－cos x ）2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π1 009＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.5．已知0<α<π2，若cos α－sin α＝－55，求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值．【解析】因为cos α－sin α＝－55， 所以1－2sin αcos α＝15.所以2sin αcos α＝45，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.因为0<α<π2，所以sin α＋cos α＝355.由cos α－sin α＝－55，sin α＋cos α＝355， 得sin α＝255，cos α＝55，所以tan α＝2.所以2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝5－95.第22讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式夯实基础 【p 48】【学习目标】1．掌握两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式；2．会应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式进行求值，化简，证明等． 【基础检测】1．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α等于( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425【解析】∵sin α＝35，α是第二象限角，∴cos α＝－45.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 【答案】A2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫35，45和⎝⎛⎭⎫－45，35，则cos (α＋β)的值为( )A ．－2425B ．－725C ．0 D.2425【解析】∵cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－2425 ，故选A.【答案】A3．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1【解析】cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.【答案】C4．以角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P (1，2)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝__________．【解析】由题意tan θ＝21＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tanπ41＋tan θtanπ4＝2－11＋2×1＝13.【答案】135．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________． 【解析】由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan (α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.【答案】π3【知识要点】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin (α±β)＝sin __αcos __β±cos __αsin __β； cos (α∓β)＝cos __αcos __β±sin __αsin __β； tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin __αcos __α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4.典 例 剖 析 【p 48】考点1 三角函数公式的基本应用例1已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ·sin x的值．【解析】(1)∵ sin x 2－2cos x 2＝0，则cos x2≠0.∴tan x2＝2.∴tan x ＝2tanx 21－tan2x 2＝2×21－22＝－43. (2)原式＝cos 2x －sin 2x2⎝⎛⎭⎫22cos x －22sin x sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）（cos x －sin x ）sin x＝cos x ＋sin xsin x＝1＋tan x tan x＝14. 【点评】(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．考点2 三角函数公式的逆用与变形用例2(1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40° cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，d ＝12(cos 80°－2cos 250°＋1)，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( ) A ．a>b>d>c B ．b>a>d>cC ．a>c>b>dD ．c>a>b>d【解析】a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37° ＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127° ＝sin (40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°； b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin (56°－45°)＝sin 11°；c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝cos 239°－sin 239°cos 239°cos 239°＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°； d ＝12(cos 80°－2cos 250°＋1)＝12cos 80°－12cos 100°＝cos 80°＝sin 10°. 故a>c>b>d. 【答案】C (2)已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x 等于( ) A ．－2425 B ．－45 C.2425 D.255【解析】cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos 2x －sin 2x2⎝⎛⎭⎪⎫cos xcos π4－sin xsin π4＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）（cos x －sin x ）＝cos x ＋sin x ＝15，平方得1＋sin 2x ＝125⇒sin 2x ＝－2425.【答案】A(3)在△ABC 中，若tan Atan B ＝ tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－12【解析】由tan Atan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan Atan B ＝－1，即tan (A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)， 所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.【答案】B【点评】(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．考点3 三角函数公式的综合应用例3已知函数f (α)＝sin α(cos α－3sin α)＋32. (1)化简f (α)；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，f ⎝⎛⎭⎫α2＋π3＝55，求f (α)的值．【解析】(1)f (α)＝sin αcos α－3sin αsin α＋32 ＝12sin 2α－3×1－cos 2α2＋32＝12sin 2α＋32cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π3＝－sin α＝55，∴sin α＝－55，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴cos α＝255.∴sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2α－1＝35，∴f (α)＝12sin 2α＋32cos 2α＝33－410.方 法 总 结 【p 48】1．对于任意一个三角公式，应从“顺、逆”两个方面去认识，尽力熟悉它的变式，以及能灵活运用．2．公式应用要讲究“灵活、恰当”，关键是观察、分析题设“已知”和“未知”中角之间的“和、差、倍、半”以及“互补、互余”关系，同时分析归纳题设中三角函数式的结构特征，探究化简变换目标．3．把握三角公式之间的相互联系是构建“三角函数公式体系”的条件，是牢固记忆三角公式的关键．走 进 高 考 【p 48】1．(2017·江苏)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16， 则tan α＝________．【解析】tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.故答案为75.【答案】75【命题立意】本题主要考查两角和正切公式．2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是__________．【解析】化简三角函数的解析式：f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，由自变量的范围：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可得：cos x ∈[0，1]，当cos x ＝32时，函数f (x )取得最大值1. 【答案】1【命题立意】本题主要考查三角变换，复合型二次函数的最值．本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．考 点 集 训 【p 202】A 组题1．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°＝( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32【解析】原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝－sin 30°＝－12.【答案】B2．若θ是第二象限角且sin θ＝1213，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A ．－177B ．－717C.177D.717【解析】由θ是第二象限角且sin θ＝1213知： cos θ＝－1－sin 2θ＝－513， tan θ＝－125.所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝－717.【答案】B3．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－310，则tan α＝( )A.12 B ．2 C. 5 D.55【解析】sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12(cos 2α－sin 2α)＝12×cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝12×1－tan 2α1＋tan 2α＝－310 ，因为tan α>0 ，得tan α＝2 ，故选B.【答案】B 4．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.3365 B ．－3365 C ．－1665 D.1665 【解析】α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π， β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝sin(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－cos(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×1213＝－3365，故选B. 【答案】B5．已知锐角α满足cos α＝55，则tan 2α＝________． 【解析】由题意可得： sin α＝1－cos 2α＝255，∴tan α＝sin αcos α＝2，由二倍角公式： tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×21－22＝－43. 【答案】－436．计算sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°的值等于__________．【解析】由sin 47°＝sin(30°＋17°)＝sin 30°cos 17°＋sin 17°·cos 30°知，原式＝sin 30°cos 17°cos 17°＝12，故填12. 【答案】127．(2015·四川)sin 15°＋sin 75°＝________．【解析】解法一：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝62. 解法二：sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 解法三：sin 15°＋sin 75°＝6－24＋6＋24＝62. 【答案】628．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 【解析】(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.B 组题1．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( ) A.32 B ．1 C.12D ．3 【解析】由题设中可知y ＝1－2sin 2x ＋2sin x ，令sin x ＝t ，t ∈[－1，1]，则y ＝－2t 2＋2t ＋1，t ∈[－1，1]，故结合二次函数的图象可知在对称轴x ＝12处取最大值，即y max ＝－2×14＋2×12＋1＝32，应选答案A. 【答案】A2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79【解析】∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79. 【答案】D3．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( )A.118B.1718C.89D.29【解析】由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin 2α＝19，解得sin 2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1＋892＝1718.【答案】B4．已知α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝513，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π12＝( )A ．－17226B ．－7226 C.7226 D.17226【解析】由题意可得： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1213，据此可得： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝7226.本题选择C 选项． 【答案】C5．若180°<α<270°，试化简12＋1212＋12cos 2α. 【解析】原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α∵180°<α<270°，∴cos α<0，从而上式＝12－12cos α＝1－cos α2＝sin 2α2∵90°<α2<135°，∴sin α2>0，从而上式＝sin α2.6．已知1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝12，求cos 2θ的值．【解析】∵1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ＝（1＋cos θ）＋sin θ（1－cos θ）＋sin θ＝2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝cosθ2sin θ2＝1tanθ2＝12，∴tan θ2＝2，∴tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－43，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－725.第23讲 简单三角恒等变换夯实基础 【p 49】【学习目标】1．能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换； 2．能利用上述公式及三角恒等变换的基本思想方法对三角函数式进行化简、求值及恒等式的证明．【基础检测】1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________．【解析】原式＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α.【答案】22cos α2．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________________________________________________________________________.【解析】tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）＝1－24＝12.【答案】123．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ＝( )A .15B .14C .13D .12【解析】∵tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝112sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝12.【答案】D4．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π，－π2，tan α＝34，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＋2sin 2α2＝( )A .65B .125C ．1D ．－25或125【解析】∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2，tan α＝34，∴sin α＝－35， cos α＝－45，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin 2α2＝－sin α＋(1－cos α)＝35＋⎝⎛⎭⎫1＋45＝125，故选B . 【答案】B5．化简tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)的值为( ) A ．1 B ．2C ．－1D ．－2 【解析】原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝cos 20°cos 10°sin 20°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°－cos 20°cos 20°＝cos 10°sin 20°×2sin (20°－30°)＝－sin 20°sin 20°＝－1. 【答案】C【知识要点】1．三角变换的一般方法(1)角的变换，一般包括角的分解和角的组合，如α＝(α＋β)－β，π4＋x ＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－x ，α＝2·α2等；(2)函数名称的变换，一般包括将三角函数统一成弦，以减少函数种类，对齐次式也可化成切；(3)注意结构的变换，如升幂与降幂，辅助角公式等；(4)角变换中以角的变换为中心；解题时，一看角，二看名称，三看结构． 2．三角变换的常见题型(1)化简：灵活选用和、差、倍、辅助角公式进行三角恒等变换是化简三角函数式的难点，解题时应注意降次，减少角的种类及三角函数的种类，注意角的范围及三角函数的正负．(2)求值：给值求值时，注意要求角与已知角及特殊角的关系． (3)证明：证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一．典 例 剖 析 【p 49】考点1 三角函数的化简问题例1(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.求3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋1tan x的值．【解析】(1)原式＝12（4cos 4x －4cos 2x ＋1）2 ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x · cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝（2cos 2x －1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x2cos 2x＝12cos 2x. (2)由sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin xcos x ＋cos 2x ＝125， 即2sin xcos x ＝－2425.∴3sin 2x 2－2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2tan x ＋1tan x ＝2sin 2x 2－sin x ＋1sin x cos x ＋cos xsin x＝sin xcos x (2－cos x －sin x )＝⎝⎛⎭⎫－1225×⎝⎛⎭⎫2－15 ＝－108125.【点评】①三角函数式的变形，主要思路为角的变换、函数变换、结构变换，常用技巧有“辅助角”“1的代换”“切弦互化”等，其中角的变换是核心．②三角函数式的化简原则：尽量使函数种类最少，次数相对较低，项数最少，尽量使分母不含三角函数，尽量去掉根号或减少根号的层次，能求值的应求出其值．考点2 三角函数的求值问题例2已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值；。

北师大版2019年高考高三数学一轮复习导学案教案理数 导数与函数的综合问题

北师大版2019年高考高三数学一轮复习导学案教案理数 导数与函数的综合问题

课时分层训练(十六) 导数与函数的综合问题A 组 基础达标一、选择题1．方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0C [设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10，f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)，由此可知函数的极大值为f (1)＝－6＜0，极小值为f (3)＝－10＜0，所以方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数为1.]2．若存在正数x 使2x(x －a )＜1成立，则实数a 的取值范围是( )【导学号：79140088】A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)D [∵2x(x －a )＜1，∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－xln 2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1， ∴实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．]3．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．0或1D ．无数个 A [因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．] 4．(2017·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若任意x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，存在x 2∈[2,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a ≥1 C ．a ≤2D ．a ≥2A [由题意知f (x )min ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2,3])，因为f (x )min ＝5，g (x )min ＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1，故选A.]5．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A ．3 B ．4 C ．6D ．5A [设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2，要使用料最省，只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小． 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R.∴S ′＝2πR －54πR2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A.]二、填空题6．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________． ①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x 2＋2.①④ [设g (x )＝e xf (x )． 对于①，g (x )＝e x·2－x(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·2－x －e x ·2－x ·ln 2＝(1－ln 2)·e x ·2－x >0，∴函数g (x )在R 上单调递增，故①中f (x )具有M 性质． 对于②，g (x )＝e x·3－x(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·3－x －e x ·3－x ·ln 3＝(1－ln 3)·e x ·3－x <0，∴函数g (x )在R 上单调递减，故②中f (x )不具有M 性质． 对于③，g (x )＝e x·x 3(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝(x ＋3)·e x ·x 2，当x <－3时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，故③中f (x )不具有M 性质． 对于④，g (x )＝e x·(x 2＋2)(x ∈R )，g ′(x )＝e x ·(x 2＋2)＋e x ·2x ＝(x 2＋2x ＋2)·e x＝[(x ＋1)2＋1]·e x>0，∴函数g (x )在R 上单调递增，故④中f (x )具有M 性质． 综上，具有M 性质的函数的序号为①④.]7．(2017·江苏高考)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140089】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.]8．若函数f (x )＝2x ＋sin x 对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －3)＋f (x )＜0恒成立，则x 的取值范围是________．(－3,1) [因为f (x )是R 上的奇函数，f ′(x )＝2＋cos x ＞0，则f (x )在定义域内为增函数，所以f (mx －3)＋f (x )＜0可变形为f (mx －3)＜f (－x )， 所以mx －3＜－x ，将其看作关于m 的一次函数， 则g (m )＝x ·m －3＋x ，m ∈[－2,2]， 可得若m ∈[－2,2]时，g (m )＜0恒成立． 则g (2)＜0，g (－2)＜0，解得－3＜x ＜1.]三、解答题9．已知函数f (x )＝e x＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2,1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围．[解] (1)由f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1.易知f (x )在[－2,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以当x ＝0时，f (x )在[－2,1]上取得最小值2. (2)f ′(x )＝e x＋a ，由于e x＞0. ①当a ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数， 当x ＞1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)＞0.当x ＜0时，取x ＝－1a，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＜1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－a ＜0.所以函数f (x )存在零点，不满足题意． ②当a ＜0时，f ′(x )＝e x＋a ， 令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )．在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 在(ln(－a )，＋∞)上，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值． 函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )＞0，解得－e 2＜a ＜0.综上所述，所求实数a 的取值范围是－e 2＜a ＜0. 10．(2018·合肥一检)已知函数f (x )＝2a －x2ex (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )＞－1恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝x 2－2x －2aex，当a ≤－12时，x 2－2x －2a ≥0，故f ′(x )≥0，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴当a ≤－12时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．当a ＞－12时，令x 2－2x －2a ＝0⇒x 1＝1－2a ＋1，x 2＝1＋2a ＋1，列表由表可知，当a ＞－2时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，1－2a ＋1)和(1＋2a ＋1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a ＋1，1＋2a ＋1)．(2)∵f (x )＞－1⇔2a －x 2ex ＞－1⇔2a ＞x 2－e x，∴由条件2a ＞x 2－e x，对任意x ≥1成立． 令g (x )＝x 2－e x ，h (x )＝g ′(x )＝2x －e x， ∴h ′(x )＝2－e x，当x ∈[1，＋∞)时，h ′(x )＝2－e x≤2－e ＜0， ∴h (x )＝g ′(x )＝2x －e x在[1，＋∞)上单调递减， ∴h (x )＝2x －e x≤2－e ＜0，即g ′(x )＜0， ∴g (x )＝x 2－e x在[1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )＝x 2－e x≤g (1)＝1－e ，故f (x )＞－1在[1，＋∞)上恒成立，只需2a ＞g (x )max ＝1－e ， ∴a ＞1－e 2，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－e 2，＋∞. B 组 能力提升11．(2018·山东省实验中学诊断)若函数f (x )在R 上可导，且满足f (x )－xf ′(x )＞0，则( )A ．3f (1)＜f (3)B ．3f (1)＞f (3)C ．3f (1)＝f (3)D ．f (1)＝f (3)B [由于f (x )＞xf ′(x )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0恒成立，因此f (x )x 在R 上是单调递减函数， 所以f (3)3＜f (1)1，即3f (1)＞f (3)．]12．方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝ln x 的“新驻点”为a ，那么a 满足( ) A ．a ＝1 B ．0＜a ＜1 C ．2＜a ＜3D ．1＜a ＜2D [∵g ′(x )＝1x ，∴ln x ＝1x.设h (x )＝ln x －1x，则h (x )在(0，＋∞)上为增函数．又∵h (1)＝－1＜0，h (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e ＞0，∴h (x )在(1,2)上有零点，∴1＜a ＜2.]13．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是________.【导学号：79140090】(－∞，－2) [当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意． 当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a ＞0时，2a＞0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f (0)＜0，即1＜0，不成立．当a ＜0时，2a＜0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1＞0，解得a ＞2或a ＜－2，又因为a ＜0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．]14．已知函数f (x )＝ex －m－x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0恒成立，求m 的取值范围； (2)当m ＞1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由． [解] (1)依题意，可知f ′(x )＝e x －m－1，令f ′(x )＝0，得x ＝m . 故当x ∈(－∞，m )时，e x －m＜1，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，ex －m＞1，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝m 时，f (m )为极小值也是最小值． 令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即对任意x ∈R ，f (x )≥0恒成立时，m 的取值范围是(－∞，1]． (2)f (x )在[0,2m ]上有两个零点，理由如下： 当m ＞1时，f (m )＝1－m ＜0.∵f (0)＝e －m＞0，f (0)·f (m )＜0，且f (x )在(0，m )上单调递减． ∴f (x )在(0，m )上有一个零点． 又f (2m )＝e m－2m ，令g (m )＝e m－2m ，则g ′(m )＝e m－2，∵当m ＞1时，g ′(m )＝e m－2＞0， ∴g (m )在(1，＋∞)上单调递增．∴g (m )＞g (1)＝e －2＞0，即f (2m )＞0. ∴f (m )·f (2m )＜0，∴f (x )在(m,2m )上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．。

2019名师导学理数(教案)10

2019名师导学理数(教案)10

((这是边文，请据需要手工删加)第十章直线与圆、圆锥曲线知识体系【p143】第62讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程夯实基础 【p 144】【学习目标】1．理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，掌握直线的斜率计算公式．2．掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能根据已知条件，选择恰当形式熟练地求出直线的方程．3．了解斜截式与一次函数的关系．【基础检测】1．直线3x －y ＋1＝0的倾斜角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【解析】根据直线的方程可知直线的斜率为3，tan 60°＝3，所以直线的倾斜角为60°，故选C.【答案】C2．过点P(－1，3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y ＋5＝0【解析】由题设可得所求直线的斜率是k ＝12，由点斜式方程可得y －3＝12(x ＋1)，即x－2y ＋7＝0，应选答案C.【答案】C3．已知直线ax ＋y ＋a ＋1＝0，不论a 取何值，该直线恒过的定点是( ) A ．(－1，－1) B ．(－1，1) C ．(1，1) D ．(1，－1)【解析】直线ax ＋y ＋a ＋1＝0化简为a(x ＋1)＋y ＋1＝0，因为不论a 取何值，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0y ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－1，故直线恒过定点(－1，－1)，选A. 【答案】A4．下列说法正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝k 表示过点P(x 1，y 1)的所有直线方程 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B(0，b)，其中截距b ＝|OB| C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线 【解析】选项A 中方程只表示斜率存在的直线；选项B 中纵截距是纵坐标而不是距离；选项C 是在a ≠0且b ≠0时的直线方程，故答案选D.【答案】D5．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________． 【解析】当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5， 所以直线方程为x ＋y －5＝0.综上，直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 【答案】3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0【知识要点】 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴__正向__与直线l__向上方向__之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围：__0°≤α<180°__． 2．直线的斜率及斜率计算公式(1)直线的倾斜角不等于90°时，其__正切值__叫做该直线的斜率，记作k ＝tan α(α≠90°)；直线的倾斜角等于90°时，其斜率__不存在__．(2)过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．(3)k ＞0α∈__(0°，90°)__，k<0α∈__(90°，180°)__．特别地：k ＝0时，α＝0°，k 不存在时，α＝90°.(4)直线的方向向量①若直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则其方向向量a ＝(－B ，A)． ②若直线方程为y ＝kx ＋b ，则其方向向量a ＝(1，k)．③若F 1(x 1，y 1)，F 2(x 2，y 2)是直线上不同的两点，则其方向向量为a ＝F 1F 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．12，且y 12__x ＝x 1__(2)当x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为__y ＝y 1__． 4．线段的中点坐标公式线段P 1P 2两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中点为M(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝ x 1＋x22，y ＝ y 1＋y22 Ｗ.典 例 剖 析 【p 145】考点1 直线的倾斜角与斜率例1直线y ＝x·cos θ＋4的倾斜角的范围是____________(θ为任意实数)．【解析】设倾斜角为α，k ＝cos θ∈[－1，1]，当－1≤k<0时，3π4≤α<π；当0≤k ≤1时，0≤α≤π4，故填⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π考点2 直线方程的求法例2根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点A (－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. 【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 因为tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.【点评】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．考点3 直线方程的综合应用例3(1)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．【解析】∵函数y ＝|x －a|－1的图象关于直线x ＝a 对称，且x ＝a 处为图象的最低点(a ，－1)，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a|－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12.【答案】－12(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P(x ，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．【解析】∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A(0，0)，B(1，3)．当点P 与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝102＝5，当且仅当|PA|＝|PB|时，上式等号成立．【答案】5方 法 总 结 【p 145】1．直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解．(1)要善于结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化．①由倾斜角α探究斜率k 须分α∈⎣⎡⎭⎫0，π2和α∈⎝⎛⎭⎫π2，π两类讨论．②由斜率k 探究倾斜角须分k ≥0和k<0两类讨论．(2)“截距”与“距离”是两个不同的概念．2．因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也需要两个独立条件，其方法一般有两种：(1)直接法：直接选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程．(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最后将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入．3．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，可能产生遗漏情况，尤其是选择点斜式、斜截式时一定要注意斜率不存在的情况．选择截距式时，注意截距为零的情况．走 进 高 考 【p 145】1．(2014·上海)已知P 1(a 1，b 1)与P 2(a 2，b 2)是直线y ＝kx ＋1(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1a 2x ＋b 2y ＝1的解的情况是( )A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解【解析】由题意，直线y ＝kx ＋1一定不过原点O ，且P 1，P 2是直线y ＝kx ＋1上不同的两点，则OP 1→与OP 2→不平行，因此a 1b 2－a 2b 1≠0，所以二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝1a 2x ＋b 2y ＝1一定有唯一解．选B.【答案】B考 点 集 训 【p 263】A 组题1．如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．【答案】C2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.【答案】D3．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0【解析】由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1.又因为tan α＝－ab，所以－ab＝－1.即a＝b，故应选D.【答案】D4．已知直线PQ的斜率为－3，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率为()A. 3 B．－ 3C．0 D．1＋ 3【解析】直线PQ的斜率为－3，则直线PQ的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.【答案】A5．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示(收支差额＝车票收入－支出费用)，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则()A．①反映了建议(Ⅱ)，③反映了建议(Ⅰ)B．①反映了建议(Ⅰ)，③反映了建议(Ⅱ)C．②反映了建议(Ⅰ)，④反映了建议(Ⅱ)D．④反映了建议(Ⅰ)，②反映了建议(Ⅱ)【解析】∵建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；也就是y增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议(Ⅰ)；∵建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，∴③反映了建议(Ⅱ)，故选B.【答案】B6．已知M(1，2)，N(4，3)，直线l 过点P(2，－1)且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】如图，直线l 的斜率k 的取值范围满足k ≥k PN 或k ≤k PM ，由已知可得k PN ＝3＋14－2＝2，k PM ＝2＋11－2＝－3，所以k ≤－3或k ≥2.【答案】(－∞，－3]∪[2，＋∞)7．若ab>0，且A(a ，0)、B(0，b)、C(－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 【解析】根据A(a ，0)、B(0，b)确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b)≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.【答案】168．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解析】(1)∵l 在x 轴上的截距为－3， ∴－2m ＋6≠0，即m ≠3，又m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0.令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3，由题意知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.(2)由题意知2m 2＋m －1≠0， 且－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.B 组题1．若直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】∵直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.【答案】C2．已知直线(6sin θ)x ＋3y －2＝0的倾斜角为θ(θ≠0)，则θ＝________． 【解析】由题意得，tan θ＝－2sin θ，∵θ≠0，∴cos θ＝－22，则θ＝3π4(或145°)．【答案】3π4(或145°)3．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎨⎧m ＋n 2＝12·m －3n2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)．当AB 斜率不存在时，A(1，1)，B ⎝⎛⎭⎫1，－33， 则点C ⎝⎛⎭⎫1，12－36不在直线y ＝12x 上，不合题意．故直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 4．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围； (3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程是k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1， ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1)．(2)当k ≠0时直线在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎨⎧k>0，1＋2k ≥0，解得k>0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上得k ≥0.(3)由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B(0，1＋2k)．依题意得⎩⎨⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0.∵S ＝12·|OA|·|OB|＝12·|1＋2k k|·|1＋2k|＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4) ＝4，“＝”成立的条件是k>0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.第63讲 两直线的位置关系与对称问题夯实基础 【p 146】【学习目标】 1．掌握两直线平行、垂直、相交的条件，能灵活运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题．2．掌握中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法．并能利用图形的对称性解决有关问题．【基础检测】 1．已知直线l 1：(m －4)x －(2m ＋4)y ＋2m －4＝0与l 2：(m －1)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，则“m ＝－2”是“l 1∥l 2”的( )条件．A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分又不必要【解析】m ＝－2 时，可得l 1：－6x －8＝0，l 2：－3x ＋1＝0，l 1∥l 2；l 1∥l 2时，可得 (m －4)(m ＋2)＋(2m ＋4)(m －1)＝0 ，解得m ＝2或m ＝－2.∴m ＝－2是l 1∥l 2的充分不必要条件，故选B.【答案】B2．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．2D ．－2 【解析】∵l 2、l 1关于y ＝－x 对称，∴l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32.∴l 2的斜率为12.【答案】A3．过点(0，1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x ＋2y －2＝0 D ．2x －y ＋1＝0 【解析】y′＝x －1－（x ＋1）（x －1）2＝－2（x －1）2， x ＝3时， y ′＝－2（3－1）2＝－12，因此所求直线方程为y －1＝2x ，即2x －y ＋1＝0，故选D.【答案】D4．若两直线ax ＋2y －1＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2＝0平行，则这两条直线间的距离为( )A.522B. 5C.924D.5或924【解析】两直线平行，则有a(a －1)＝2，解得a ＝－1或a ＝2；又2a 2≠－(a －1)，所以a ＝2.两直线为x ＋y －12＝0，x ＋y ＋4＝0，由两点间距离公式可得d ＝⎪⎪⎪⎪4＋1212＋12＝924.故选C.【答案】C5．不论k 为何实数，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是________．【解析】直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0，即k(2x －y －1)＋(－x －3y ＋11)＝0，根据k 的任意性可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0－x －3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3，∴不论k 取什么实数时，直线(2k －1)x －(k ＋3)y －(k －11)＝0都经过一个定点(2，3)．【答案】(2，3)【知识要点】1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2__k 1＝k 2__，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直①如果l 1，l 2的斜率存在，分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2__k 1k 2＝－1__．②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交方程组有__唯一解__，交点的坐标就是方程组的解；平行方程组__无解__；重合方程组有__无穷多组解__． 3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝__；(2)点P0(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝；(3)两平行线Ax ＋By ＋C1＝0，与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为．4．中心对称(1)设平面上的点M(a ，b)，P(x ，y)，P ′(x′，y ′)，若满足：x ＋x′2＝a ，y ＋y′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P(x ，y)关于M(x 0，y 0)的对称点P′的坐标是(x′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x 0－x y′＝2y 0－y . 5．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P(x ，y)，P ′(x′，y ′)，若满足下列两个条件：①__PP′⊥直线l__；②__PP′的中点在直线l 上__，则点P ，P ′关于直线l 对称．(2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解： ①关于x 轴对称(以__－y__代__y__)； ②关于y 轴对称(以__－x__代__x__)； ③关于y ＝x 对称(__x 、y__互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以__－x__代__y__，以__－y__代__x__)； ⑤关于x ＝a 对称(以__2a －x__代__x__)； ⑥关于y ＝b 对称(以__2b －y__代__y__)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系： 设点P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 2－y 1x 2－x 1＝ BA，A · x 1＋x 22 ＋B· y 1＋y22＋C ＝0. 6．直线系(1)与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为：Ax ＋By ＋λ＝0；与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为：Bx －Ay ＋λ＝0.(λ为待定系数，λ∈R )(2)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程可设为：(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R 且不包含直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)，其中A 1B 2≠A 2B 1.典 例 剖 析 【p 146】考点1 两条直线的平行与垂直问题例1已知直线l 1的方程为3x ＋4y －12＝0.(1)若直线l 2与l 1平行，且过点(－1，3)，求直线l 2的方程；(2)若直线l 2与l 1垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 2的方程． 【解析】(1)由直线l 2与l 1平行，可设l 2的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 将x ＝－1，y ＝3代入，得－3＋12＋m ＝0，解得m ＝－9，直线l 2的方程为3x ＋4y －9＝0.(2)由直线l 2与l 1垂直，可设l 2的方程为4x －3y ＋n ＝0， 令y ＝0，得x ＝－n 4，令x ＝0，得y ＝n3，故三角形面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪－n 4·⎪⎪⎪⎪n 3＝4， 化简得n 2＝96，即n ＝±46， 直线l 2的方程是4x －3y±46＝0.【点评】若直线l 1、l 2的方程分别为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2的必要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0；而l 1⊥l 2的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0.解题中为避免讨论，常依据上面结论结合淘汰法求解．考点2 两条直线相交例2(1)已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________．【解析】(1)方法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.方法二：如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4，0)，B (0，2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示过定点P (－2，1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12，∴－16＜k ＜12.【答案】－16＜k ＜12(2)如图，设一直线过点(－1，1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求该直线的方程．【解析】与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0.设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0，即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1，1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.考点3 距离公式的应用例3(1)直线l 过点P (－1，2)且点A (2，3)和点B (－4，5)到l 的距离相等，则直线l 的方程为________________．【解析】方法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 综上得直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1，4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 【答案】x ＋3y －5＝0或x ＝－1(2)正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程．【解析】点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离 d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离 d ＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 综上得正方形其他三边所在直线方程分别为x ＋3y ＋7＝0，3x －y －3＝0，3x －y ＋9＝0. 【点评】利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a|，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．例4已知定点P (－2，－1)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R )． (1)求证：直线l 过某个定点，并求出该点的坐标； (2)求证：不论λ取何值，点P 到直线l 的距离不大于13. 【证明】(1)方程(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0， 可整理为(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故x ＝1，y ＝1能使原方程左右两边相等恒成立， 所以直线l 过定点，且该点的坐标为(1，1)． (2)由(1)知直线l 过定点(1，1)，设该点为A ， 设P 与直线l 的距离为d ，而线段AP 为点P 与直线l 上一点的连接线段， 可知d ≤|AP|，而|AP|＝9＋4＝13，所以d ≤13，即不论λ取何值，点P 到直线l 的距离不大于13. (本题也可以建立以λ为自变量的目标函数来求解)考点4 对称问题例5(1)过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．【解析】设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4，0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.【答案】x ＋4y －4＝0(2)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A′的坐标为________．【解析】设A′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A′⎝⎛⎭⎫－3313，413.【答案】⎝⎛⎭⎫－3313，413 (3)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程．【解析】在直线m 上任取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4，3)．又∵m′经过点N (4，3)．∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0. 【点评】解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P′(x′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y ′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －bm －a×⎝⎛⎭⎫－AB ＝－1，A ·a ＋m 2＋B·b ＋n2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．方 法 总 结 【p 147】1．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．在两条直线斜率都存在的条件下，才有l 1∥l 2k 1＝k 2且b 1≠b 2与l 1⊥l 2k 1k 2＝－1.2．在运用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求平行直线间的距离时，一定要注意两直线的x ，y 项系数对应相等．3．求对称点的步骤：(1)设点——设对称点为(x ，y )；(2)列式——利用中点公式(中心对称情况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x ，y 的方程组；(3)求解——解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标． 4．求对称曲线的步骤：(1)设点——设所求曲线上的点为P (x ，y )；(2)求点——求出P 点的对称点为Q (x′，y ′)，即用x ，y 来表示x′，y ′；(3)代入——将Q 点坐标代入已知曲线的方程，所得的x ，y 的关系式就是所求对称曲线的方程．注意记住几种特殊的对称性结论：①对称中心是特殊点(如原点)；②对称轴是特殊直线(如x 轴，y 轴，y ＝x ＋b ，y ＝－x ＋b 等直线)，求对称点和对称曲线可采用代入法直接求解．5．对有关中点、角平分线、光线反射以及在直线上求一点使点到两个已知点的距离之和最小(或距离之差最大)等问题，通常将其转化为对称问题来处理．走 进 高 考 【p 147】1．(2015·广东)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0【解析】依题可设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，则有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选D.【答案】D【命题立意】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用点到直线距离求直线的方程及转化与化归思想的应用和运算求解能力．考 点 集 训 【p 265】A 组题1．直线l 1：kx ＋(1－k)y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( ) A ．1 B ．－3 C.54D ．－3或1【解析】由题意k(k －1)＋(1－k)(2k ＋3)＝0，解得k ＝1或k ＝－3.故选D.【答案】D2．已知过点A(m ＋1，0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4，3)，D(0，5)的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1【解析】由题意得k AB ＝m －0－5－（m ＋1）＝m －6－m，k CD ＝5－30－（－4）＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，所以m ＝－2.【答案】B3．若直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( ) A ．(0，4) B ．(0，2) C ．(－2，4) D ．(4，－2)【解析】直线l 1：y ＝k(x －4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l 1：y ＝k(x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，故直线l 2经过定点(0，2)．【答案】B4．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2和l 1关于直线l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0【解析】设A(x ，y)，A 1(x 1，y 1)分别是直线l 2，l 1上关于l 对称的点．则⎩⎨⎧y 1－yx 1－x·1＝－1，x ＋x 12－y ＋y12－1＝0，求得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1，①又点A 1(x 1，y 1)在直线l 1上，则2x 1－y 1－2＝0， ②将①代入②得2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即x －2y －1＝0，故选B. 【答案】B 5．已知M ＝{(x ，y)|y －3x －2＝3}，N ＝{(x ，y)|ax ＋2y ＋a ＝0}且M ∩N ＝，则a ＝________． 【解析】由题可知，集合M 表示过点(2，3)且斜率为3的直线，但除去(2，3)点，而集合N 表示一条直线，该直线的斜率为－a2，且过点(－1，0)，若M ∩N ＝，则有两种情况：①集合M 表示的直线与集合N 所表示的直线平行，即－a2＝3，解得a ＝－6；②集合N 表示的直线过点(2，3)，即2a ＋2×3＋a ＝0，解得a ＝－2.综上，a ＝－2或－6. 【答案】－2或－66．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________．【解析】由题意得⎩⎨⎧a ＋b （a －1）＝0，4a 2＋（－b ）2＝|b|（a －1）2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83.【答案】0或837．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A(5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A(5，0)到l 的距离的最大值．【解析】(1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y)＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.∵点A(5，0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P(2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤PA(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝PA ＝（5－2）2＋（0－1）2＝10.8．分别求出适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(－3，2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；(2)经过直线2x ＋7y －4＝0与7x －21y －1＝0的交点，且和A(－3，1)，B(5，7)等距离． 【解析】(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－3，2)代入所设方程，解得a ＝12，此时，直线方程为x ＋2y －1＝0；当直线过原点时，斜率k ＝－23，直线方程为y ＝－23x ，即2x ＋3y ＝0.综上可知，所求直线方程为x ＋2y －1＝0或2x ＋3y ＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋7y －4＝0，7x －21y －1＝0解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，27，当直线l 的斜率k 存在时，设l 的方程是y －27＝k(x －1)，即7kx －7y ＋(2－7k)＝0，由A 、B 两点到直线l 的距离相等得|－21k －7＋（2－7k ）|49k 2＋49＝|35k －49＋（2－7k ）|49k 2＋49，解得k ＝34，方程为21x －28y －13＝0；当斜率k 不存在时，即直线平行于y 轴，方程为x ＝1时也满足条件． 综上可知，所求直线方程为21x －28y －13＝0或x ＝1.B 组题1．已知三条直线2x －3y ＋1＝0, 4x ＋3y ＋5＝0, mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23【解析】因为三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23，或－43.直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D.【答案】D2．在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83 D.43【解析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为⎝⎛⎭⎫43，43.设P 点坐标为(m ，0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m ，0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4，4－m)，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴kP 1D ＝kP 2D ，即4343＋m ＝43－4＋m 43－4，解得m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去．∴m ＝43.【答案】D3．如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a ，－2)，C(b ，3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a2≥1272＋72＝6.【答案】64．在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和为PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝PB ＋PD ＋PA ＋PC ≥BD ＋AC ＝QA ＋QB ＋QC ＋QD ，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．∵A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得Q(2，4)． 【答案】(2，4)5．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．【解析】(1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即|a ＋12|＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)．若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或c ＝116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．第64讲 圆的方程夯实基础 【p 148】【学习目标】1．掌握圆的标准方程和一般方程，会用圆的方程及其几何性质解题．2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，解决与圆有关的问题．【基础检测】1．以点M(2，0)，N(0，4)为直径的圆的标准方程为______________________．【解析】由题设可知圆心坐标为C(1，2)，半径r ＝124＋16＝5，则圆的标准方程为(x－1)2＋(y －2)2＝5.【答案】(x －1)2＋(y －2)2＝52．方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a ∈RB ．a ≠1且a ∈RC ．a ≠0且a ∈RD ．a ∈(0，4]【解析】∵a ≠0时，方程为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2（a －1）a 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2a 2＝4（a 2－2a ＋2）a 2，由a 2－2a ＋2＞0恒成立，∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆．【答案】C3．圆C 是以直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0的定点为圆心，半径r ＝4的圆，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝16B ．(x －2)2＋(y －2)2＝16C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝16D ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16【解析】由(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＋2m ＝0有(2x ＋y ＋2)m ＋(x ＋y)＝0，所以直线过定点(－2，2)，则所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝16，故选A.【答案】A4．若点(1，1)在圆(x －a)2＋(y ＋a)2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±1 【答案】A5．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0所表示圆的圆心为(－a ，2a)，半径为2，所以满足⎩⎨⎧－a<0，2a>0，|－a|>2，|2a|>2，∴a>2.【答案】D 【知识要点】 1．圆的定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长为半径． 2．圆的方程(1)圆的标准方程圆心是(a ，b)，半径是r 的圆的标准方程是__(x －a)2＋(y －b)2＝r 2__． 当圆心在(0，0)时，方程为__x 2＋y 2＝r 2__．(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝__D 2＋E 2－4F 4__． 故有：①当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以__⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2__为圆心，以2为半径的圆；②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点__⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2__； ③当D 2＋E 2－4F<0时，方程不表示任何图形．(3)点P(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)的位置关系： ①若(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2，则点P 在圆外； ②若(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2，则点P 在圆上； ③若(x 0－a)2＋(y 0－b)2<r 2，则点P 在圆内．典 例 剖 析 【p 148】考点1 求圆的方程例1(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________________________________________________________________．【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝⎛⎭⎫32，0，半径为52. 【答案】⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254(2)根据下列条件，求圆的方程．①经过P (－2，4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； ②圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 【解析】①设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.②方法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋ (y －y 0)2＝r 2， 根据已知条件得。

2019名师导学理数(教案)

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((这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)第十二章 选修4－5不等式选讲第75讲 绝对值不等式夯实基础 【p 172】【学习目标】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： ①|a ＋b|≤|a|＋|b|；②|a －b|≤|a －c|＋|c －b|.2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ；|ax ＋b|≥c ；|x －a|＋|x －b|≥c.3．会用绝对值不等式、基本不等式证明一些简单问题；能够利用基本不等式求一些特定函数的最(极)值．【基础检测】1．不等式⎪⎪⎪⎪x －2x ＞x －2x 的解集是________．【解析】由绝对值的意义知，原不等式同解于x －2x ＜0，即x(x －2)＜0，∴0＜x ＜2.【答案】(0，2)2．设集合A ＝{x||x －a|＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }．若A B ，则实数a ，b 必满足________．【解析】由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2.∵A B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2， 即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3.【答案】|a －b |≥33．若a ，b ，c ∈R ，且满足|a －c |<b ，给出下列结论： ①a ＋b >c ；②b ＋c >a ；③a ＋c >b ；④|a |＋|b |>|c |. 其中错误的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】⎩⎨⎧a －c >－b ，a －c <b ， ⎩⎨⎧a ＋b >c ，b ＋c >a ，∴①、②都正确，③不正确．又|a －c |＝|c －a |≥|c |－|a |，∴|c |－|a |<b ，∴|c |－|a |<|b |，∴|a |＋|b |>|c |.④正确． 【答案】A4．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m 、n 之间的关系是( ) A ．m >n B ．m <nC ．m ＝nD ．m ≤n【解析】m ＝|a |－|b ||a －b |≤1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥1.故m ≤n .【答案】D5．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．【解析】|a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙成立能推出甲成立，但甲成立不一定能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．【答案】必要不充分 【知识要点】1．绝对值的概念和几何意义代数：|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.几何意义：|a |表示数轴上坐标为±a 的点A 到原点的距离．2．绝对值不等式性质|||a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时取等号； (2)|a －b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≤0时取等号．3．绝对值不等式的解法原则是转化为不含绝对值的不等式求解． 基本型：a ＞0，|x|＜a __－a ＜x ＜a__； |x|＞a __x ＜－a 或x ＞a__．(1)c ＞0，|ax ＋b|≤c __－c ≤ax ＋b ≤c__，|ax ＋b|≥c __ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c__． (2)c ＞0，|x －a|＋|x －b|≥c ，|x －a|＋|x －b|≤c.三种解法：图解法(数形结合)、零点分区法(定义)、绝对值的几何意义(数轴)．典 例 剖 析 【p 172】考点1 绝对值不等式的解法例1已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式：f (x )＋f (2x ＋1)≥6；(2)已知a ＋b ＝1(a ，b ＞0)，且对任意x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b 恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)f (x )＋f (2x ＋1)＝|x －2|＋|2x －1|＝⎩⎨⎧3－3x ，x <12，x ＋1，12≤x ≤2，3x －3，x >2，当x <12时，由3－3x ≥6，解得x ≤－1；当12≤x ≤2时，x ＋1≥6不成立； 当x ＞2时，由3x －3≥6，解得x ≥3.所以不等式f (x )≥6的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(2)∵a ＋b ＝1(a ，b ＞0)，∴4a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9， ∴对任意x ∈R ，f (x －m )－f (－x )≤4a ＋1b 恒成立等价于：对任意x ∈R ，|x －2－m |－|－x －2|≤9，即[|x －2－m |－|－x －2|]max ≤9，∵|x －2－m |－|－x －2|≤|(x －2－m )－(x ＋2)|＝|－4－m |， ∴－9≤m ＋4≤9，∴－13≤m ≤5.【点评】解含绝对值不等式的原则是去掉绝对值，转化为有理不等式再求解，一般有以下几种解法：①公式法：利用|x |>a (或<a )(a >0)去绝对值；②定义法：利用绝对值定义去绝对值；③平方法：利用不等式两边同时平方去绝对值；④几何法：利用绝对值的几何意义求解．考点2 含绝对值不等式的证明例2(1)已知|a|<1，|b|<1，求证：|1－aba －b|>1.(2)求实数λ的取值范围，使不等式|1－abλaλ－b |>1对满足|a|<1，|b|<1的一切实数a ，b 恒成立．【解析】(1)|1－ab|2－|a －b|2＝1＋a 2b 2－a 2－b 2 ＝(a 2－1)(b 2－1)．∵|a|<1，|b|<1，∴a 2－1<0，b 2－1<0. ∴|1－ab|2－|a －b|2>0，∴|1－ab|>|a －b|.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－ab a －b ＝|1－ab||a －b|>1. (2)∵|1－abλaλ－b|>1 |1－abλ|2>|a λ－b|2(a 2λ2－1)(b 2－1)>0.∵b 2<1，∴a 2λ2－1<0对于任意满足|a|<1的a 恒成立．当a ＝0时，a 2λ2－1<0成立；当a ≠0，只需λ2<1a 2对于任意满足|a|<1的a 恒成立，而1a 2>1，∴λ2≤1.∴λ的取值范围是－1≤λ≤1.【点评】证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法．考点3 绝对值不等式的综合应用例3设函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<－1；(2)设函数g (x )＝|x ＋a |－4，且g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)∵函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎨⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3，故由不等式f (x )<－1可得x >3或⎩⎪⎨⎪⎧2－2x <－1，－1≤x ≤3.解得32<x ≤3，故f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32.(2)函数g (x )≤f (x )在x ∈[－2，2]上恒成立，即|x ＋a |－4≤|x －3|－|x ＋1|在x ∈[－2，2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图象，如图所示．故当x∈[－2，2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f(x)的图象的下方，即g(x)≤f(x)在x∈[－2，2]上恒成立，故所求的实数a的取值范围为[－4，0]．【点评】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．含绝对值不等式的求解策略(1)解含有绝对值的不等式的指导思想是设法去掉绝对值符号．常用的方法是：①由定义分段讨论(简称零点分区间法)；②利用绝对值不等式的性质(题型法)；③平方法；④数形结合法等．(2)解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论．注意：①要考虑参数的总取值范围；②用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏．(3)含绝对值不等式的证明，要善于应用分析转化法．|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，特别注意等号(4)灵活运用绝对值不等式的两个重要性质定理||成立的条件．1．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．【解析】(1)f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32， 则y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的表达式及图象得，当f (x )＝1时，x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或1<x <3或x >5.考 点 集 训 【p 282】A 组题1．在实数范围内，求不等式||x －2|－1|≤1的解集． 【解析】由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥0，|x －2|≤2解得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0，4]．2．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.3．对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围．【解析】因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1，所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪⎪a －12≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝⎪⎪⎪⎪（3a －3b ）＋⎝⎛⎭⎫a －12＋52≤|3a －3b |＋⎪⎪⎪⎪a －12＋52≤3＋12＋52＝6， 即|4a －3b ＋2|的最大值为6，所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6.4．已知f (x )＝|x －3|，g (x )＝－|x －7|＋m ，若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．【解析】由题意，可得不等式|x －3|＋|x －7|－m >0恒成立，即(|x －3|＋|x －7|)min >m ，由于x 轴上的点到点(3，0)和点(7，0)的距离之和的最小值为4，所以要使不等式恒成立，则m <4.5．求不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1的解集．【解析】①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.6．已知关于x 的不等式|2x －m |≤1(m ∈Z )的整数解有且仅有一个值为2，求关于x 的不等式|x －1|＋|x －3|≥m 的解集．【解析】由不等式|2x －m |≤1，可得m －12≤x ≤m ＋12，∵不等式的整数解仅有一个值为2， ∴⎩⎨⎧1<m －12≤22≤m ＋12<3，解得3<m <5.又∵m ∈Z ，∴m ＝4.本题即解不等式|x －1|＋|x －3|≥4，当x <1时，不等式等价于1－x ＋3－x ≥4， 解得x ≤0，不等式解集为{x |x ≤0}．当1≤x ≤3时，不等式等价于x －1＋3－x ≥4， 解得x ∈ ，不等式解集为 ．当x >3时，不等式等价于x －1＋x －3≥4， 解得x ≥4，不等式解集为{x |x ≥4}．综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．B 组题1．设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由． 【解析】(1)记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2<x <1，－3，x ≥1.∴由－2<－2x －1<0解得－12<x <12，即集合M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12. ∴⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13³12＋16³12＝14. (2)由(1)得a 2<14，b 2<14，∵|1－4ab |2－(2|a －b |)2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0，∴|1－4ab |2>(2|a －b |)2，即|1－4ab |>2|a －b |.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0<x <1，g (x )＝af (x )－|x －2|，a ∈R .(1)当a ＝0时，若g (x )≤|x －1|＋b 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数b 的取值范围；(2)当a ＝1时，求函数y ＝g (x )的最小值．【解析】(1)当a ＝0时，g (x )＝－|x －2|(x >0)， g (x )≤|x －1|＋b －b ≤|x －1|＋|x －2|，|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，当且仅当1≤x ≤2时等号成立．∴－b ≤1， 故实数b 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x＋x －2，0<x <1，2x －2，1≤x ≤2，2，x >2.当0<x <1时，g (x )＝1x ＋x －2递减，g (x )>g (1)＝0；当x ≥1时，g (x )≥0，当且仅当x ＝1时等号成立； 故当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最小值0. 3．已知函数f ()x ＝||2x ＋3＋||2x －1. (1)求不等式f ()x ≤5的解集；(2)若关于x 的不等式f ()x <||m －1的解集非空，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)原不等式为：||2x ＋3＋||2x －1≤5， (能正确分成以下三类：)当x ≤－32时，原不等式可转化为－4x －2≤5，即－74≤x ≤－32；当－32<x <12时，原不等式可转化为4≤5恒成立，所以－32<x <12；当x ≥12时，原不等式可转化为4x ＋2≤5，即12≤x ≤34.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－74≤x ≤34.(2)由已知函数f ()x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －2，x ≤－324，－32<x <124x ＋2，x ≥12，可得函数y ＝f ()x 的最小值为4，由f ()x <||m －1的解集非空得：||m －1>4. 解得m >5或m <－3.4．设函数f (x )＝||x －a ，a ∈R .(1)当a ＝2时，解不等式：f (x )≥6－||2x －5；(2)若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[－1，7]，且两正数s 和t 满足2s ＋t ＝a ，求证：1s ＋8t≥6.【解析】(1)不等式可化为 ||x －2＋||2x －5≥6， 即 ①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥52x －2＋2x －5≥6或②⎩⎪⎨⎪⎧2≤x <52x －2＋5－2x ≥6或③⎩⎪⎨⎪⎧x <22－x ＋5－2x ≥6. 由①，得 x ≥133；由②，得 x ∈ ；由③，得 x ≤13；所以，原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪⎣⎡⎭⎫133，＋∞. (2)不等式f (x )≤4即－4≤x －a ≤4，∴a －4≤x ≤a ＋4，∴a －4＝－1且a ＋4＝7，∴a ＝3. ∴1s ＋8t ＝13⎝⎛⎭⎫1s ＋8t (2s ＋t )＝13⎝⎛⎭⎫10＋t s ＋16s t ≥13⎝⎛⎭⎫10＋2t s ·16s t ＝6. 5．已知a 和b 是任意非零实数． (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围． 【解析】(1)∵|2a ＋b |＋|2a －b ||a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤⎝⎛⎭⎫|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2，2]．第76讲 不等式证明的基本方法夯实基础 【p 174】【学习目标】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． 【基础检测】1．已知0<a<1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M>NC ．M ＝ND ．不确定【解析】由已知得0<ab<1， 故M －N ＝11＋a ＋11＋b －a 1＋a －b1＋b＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2（1－ab ）（1＋a ）（1＋b ）>0. 故M>N. 【答案】B2．已知a>0，b>0，则a a b b________(ab)a ＋b 2(填大小关系)．【解析】∵a ab b（ab ）a ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a b a －b 2，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b a －b 2＝1，此时a a b b ＝(ab)a ＋b 2； 当a>b>0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1，此时a a b b>(ab)a ＋b 2；当b>a>0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b2>1，此时a a b b>(ab)a ＋b 2.∴a a b b≥(ab)a ＋b 2.【答案】≥ 3．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2. 【解析】令a ＝b ＝1，排除②④；由2＝a ＋b ≥2ab ab ≤1，命题①正确；a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝4－2ab ≥2，命题③正确； 1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，命题⑤正确． 【答案】①③⑤4．设x>0，y>0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值．【解析】∵x>0，y>0，∴原不等式可化为－λ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋y)＝2＋y x ＋x y . ∵2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立． ∴⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x ＋1y （x ＋y ）min＝4，即－λ≤4，λ≥－4. ∴λ的最小值为－4. 【知识要点】 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0 a ＞b ．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．典 例 剖 析 【p 174】考点1 比较法证明不等式例1设a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )． 【证明】因为a 2＋b 2－ab (a ＋b )＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab )＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝()a 12－b12()a 32－b 32，因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以()a 12－b 12()a 32－b 32≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．【点评】作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．考点2 综合法证明不等式例2设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab>cd ，则a ＋b>c ＋d ；(2)“a ＋b>c ＋d ”是“|a －b|<|c －d|”的充要条件． 【解析】(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab>cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b>c ＋ d.(2)①若|a －b|<|c －d|，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab<(c ＋d )2－4cd. 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab>cd.由(1)，得a ＋b>c ＋ d.②若a ＋b>c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab>c ＋d ＋2cd. 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab>cd.于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab<(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b|<|c －d|. 综上，“a ＋b>c ＋d ”是“|a －b|<|c －d|”的充要条件． 【点评】1.综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．综合法证明时常用的不等式(1)a 2≥0. (2)|a|≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有：a 2＋b 2≥2|ab|；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.(4)a ＋b 2≥ab ，它的变形形式有：a ＋1a ≥2(a>0)；ab ＋ba ≥2(ab>0)； ab ＋ba≤－2(ab<0)．考点3 分析法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)例3(1)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1.(2)设a ，b ，c>0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 【解析】(1)要证a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1， 即证2ab ≤12，即证ab ≤14.而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14成立．∴原不等式成立．(2)要证a ＋b ＋c ≥3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )． 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca.而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立．【点评】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．方 法 总 结 【p 174】1．作差比较法是证明不等式最基本、最重要的方法，其关键是变形，通常通过因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断．2．综合法证明不等式时，主要利用基本不等式、函数的单调性以及不等式的性质，在严密的推理下推导出结论，综合法往往是分析法的逆过程，所以在实际证明时，用分析法分析，用综合法表述证明推理过程．3．某些不等式的条件与结论，或不等式的左右两边联系不明显，用作差法又难以对差进行变形，难以运用综合法直接证明，这时常用分析法，以便发现联系．分析的过程中，综合条件、定理等因素进行探索，把分析与综合结合起来，形成分析综合法．4．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法，凡是含有“至少”“唯一”或者含有其他否定词的命题，适宜用反证法．5．放缩法是一种常用的证题技巧，放缩必须有目标，而目标可以从求证的结论中和中间结果中寻找．常用的放缩技巧有添舍放缩，拆项对比放缩，利用函数的单调性和重要不等式放缩等．走 进 高 考 【p 174】1．(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.【解析】(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2 ≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3（a ＋b ）24(a ＋b )＝2＋3（a ＋b ）34，所以 (a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.考 点 集 训 【p 284】A 组题 1．若a ，b 均为正实数，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba ，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________．【解析】∵a ≠b ，∴a b ＋b ＞2a ，ba＋a ＞2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a ＞2a ＋2b ， ∴a b ＋ba＞a ＋b ，即M ＞N . 【答案】M ＞N2．设a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |b 取得最小值时，求a 的值．【解析】由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0， 所以b 4|a |＋|a |b≥2b 4|a |·|a |b＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b4|a |＝|a |b ，a <0，a ＋b ＝2 即a ＝－2.3．已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |. 【证明】|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2≤|a －b |（|a |＋|b |）1＋a 2＋1＋b 2<|a －b |（|a |＋|b |）a 2＋b 2＝|a －b |. 4．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 【证明】由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a >0，b >0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2， 即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1； 同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 5．已知x ，y ∈R ，且|x |<1，|y |<1. 求证：11－x 2＋11－y 2≥21－xy. 【证明】解法一：(分析法)∵|x |<1，|y |<1， ∴11－x 2>0，11－y 2>0， ∴11－x 2＋11－y 2≥2（1－x 2）（1－y 2）. 故要证明结论成立，只要证明2（1－x 2）（1－y 2）≥21－xy 成立．即证1－xy ≥（1－x 2）（1－y 2）成立即可． ∵(y －x )2≥0，有－2xy ≥－x 2－y 2，∴(1－xy )2≥(1－x 2)(1－y 2)， ∴1－xy ≥（1－x 2）（1－y 2）>0. ∴不等式成立．解法二：(综合法)∵211－x 2＋11－y 2≤1－x 2＋1－y 22＝2－（x 2＋y 2）2≤2－2|xy |2＝1－|xy |，∴11－x 2＋11－y 2≥21－|xy |≥21－xy， ∴原不等式成立．B 组题1．已知a n ＝1³2＋2³3＋3³4＋…＋n （n ＋1）(n ∈N *)，求证：n （n ＋1）2<a n <n （n ＋2）2.【证明】∵n （n ＋1）＝n 2＋n ，n ∈N *， ∴n （n ＋1）>n ，∴a n ＝1³2＋2³3＋…＋n （n ＋1）>1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.∵n （n ＋1）<n ＋（n ＋1）2，∴a n <1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋（n ＋1）2＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n （n ＋2）2. 综上得n （n ＋1）2<a n <n （n ＋2）2.2．已知a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)． (1)求x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2的最小值；(2)求证：(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2.【解析】(1)因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1， x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2≥3·3x 1a ·x 2b ·2x 1x 2＝3·32ab≥3·32⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝3³38＝6，当且仅当x 1a ＝x 2b ＝2x 1x 2且a ＝b ，即a ＝b ＝12，且x 1＝x 2＝1时，x 1a ＋x 2b ＋2x 1x 2有最小值6.(2)证明：因为a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ＝1，x 1，x 2∈(0，＋∞)， 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)＝a 2x 1x 2＋abx 22＋abx 12＋b 2x 1x 2 ＝x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (x 22＋x 12) ≥x 1x 2(a 2＋b 2)＋ab (2x 1x 2) ＝x 1x 2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝x 1x 2(a ＋b )2 ＝x 1x 2，当且仅当x 1＝x 2时，取得等号． 所以(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)≥x 1x 2. 3．已知x ＋y >0，且xy ≠0. (1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 恒成立，试求实数m 的取值范围或值． 【解析】(1)∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0. ∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x .(2)(i)若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 等价于 m2≥x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy， 又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－3xy xy <－3xy xy ＝－3，即x 3＋y 3xy （x ＋y ）<－3，∴m ≥－6； (ii)若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 等价于 m2≤x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy， 又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy （x ＋y ）≥1，∴m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是[－6，2]．2019’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十九) 【p 321】 (坐标系与参数方程，不等式选讲)时间：60分钟 总分：100分一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，将各小题的结果填在题中横线上．)1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝3sin θ－2(θ为参数)的圆心到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t －6，y ＝－3t ＋2(t 为参数)的距离是________．【解析】圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ＋1，y ＝3sin θ－2的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心为(1，－2)．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t －6，y ＝－3t ＋2的普通方程为3x ＋4y ＋10＝0，所以点(1，－2)到直线3x ＋4y ＋10＝0的距离为|3－8＋10|5＝1. 【答案】12．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x>0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝x ＋1x ≥2； 当x<0时，⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝(－x)＋1－x≥2. 综上得⎪⎪⎪⎪x ＋1x min＝2，∴只需|a －2|＋1<2，解之得1<a<3. 【答案】(1，3)3．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．【解析】2x ＋2x －a ＝2(x －a)＋2x －a ＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32.【答案】324．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ________． 【解析】由ρ＝2cos θ可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x (x －1)2＋y 2＝1，所以圆的圆心为(1，0)，半径为1，与x 轴垂直的圆的切线方程分别是x ＝0，x ＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝25．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】曲线C ：ρ＝2cos θ是以(1，0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x －1)2＋y 2＝1，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)6．已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|，若 x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】∵f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，x <－2－3x －1，－2≤x ≤12x －3，x >12， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－52. 若 x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2<4m ，只需－2m 2＋4m >－52，解之得－12<m <52.【答案】⎝⎛⎭⎫－12，52 7．若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，则1＋x y <2和1＋yx <2中________成立．(填“两个都”“两个都不”“只有一个”“至少有一个”“至多有一个”)．【解析】假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y ，且1＋y ≥2x . 两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ， 所以x ＋y ≤2.这与已知条件x ＋y >2矛盾，因此1＋x y <2和1＋y x <2中至少有一个成立．【答案】至少有一个8．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c 且m 为正数，则a a ＋m ＋b b ＋m ________c c ＋m (填“>”“<”“≥”“≤”“＝”)．【解析】由a ，b ，c ，m 都大于0可知，要比较a a ＋m ＋b b ＋m 与cc ＋m 的大小，只需比较a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )与c (a ＋m )(b ＋m )的大小，因为a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋bm 2－abc －acm －bcm －cm 2＝abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2，由于a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，故有a ＋b >c . ∵m >0，∴(a ＋b －c )m 2>0， ∴abc ＋2abm ＋(a ＋b －c )m 2>0， 因此a a ＋m ＋b b ＋m >c c ＋m成立．【答案】>二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)9．已知a>0，b>0，a ＋b ＝1.(1)求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 【证明】(1)∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥2⎝⎛⎭⎫2＋2b a ·a b ＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号，即原不等式成立．(2)∵⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8，∴1＋1a ＋1b ＋1ab≥9，即⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 10．已知函数f(x)＝|x －2|＋2，g(x)＝m|x|(m ∈R )．(1)解关于x 的不等式f (x )>5；(2)若不等式f (x )≥g (x )对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． 【解析】(1)由f (x )>5，得|x －2|>3， ∴x －2<－3或x －2>3，解得x <－1或x >5.故原不等式的解集为{x |x <－1或x >5}．(2)由f (x )≥g (x )，得|x －2|＋2≥m |x |对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，不等式|x －2|＋2≥0恒成立， 当x ≠0时，问题等价于m ≤|x －2|＋2|x |对任意非零实数恒成立， ∵|x －2|＋2|x |≥|x －2＋2||x |＝1， ∴m ≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]． 11．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． (1)求圆C 的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P (x ，y )是圆C 上的动点，试求x ＋2y 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【解析】(1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程，所以圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(θ为参数)．(2)解法一：设x ＋2y ＝t ，得x ＝t －2y ，代入x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，整理得5y 2＋4(1－t )y ＋t 2－4t ＋3＝0(*)，则关于y 的方程必有实数根．所以Δ＝16(1－t )2－20(t 2－4t ＋3)≥0，化简得t 2－12t ＋11≤0，解得1≤t ≤11，即x ＋2y 的最大值为11.将t ＝11代入方程(*)得y 2－8y ＋16＝0，解得y ＝4，代入x ＋2y ＝11，得x ＝3， 故x ＋2y 的最大值为11，此时点P 的直角坐标为(3，4)．解法二：由(1)可设点P (2＋5cos θ，2＋5sin θ)， 则x ＋2y ＝6＋5cos θ＋25sin θ ＝6＋5⎝⎛⎭⎫55cos θ＋255sin θ，设sin α＝55，则cos α＝255，所以x ＋2y ＝6＋5sin(θ＋α)， 当sin(θ＋α)＝1时，(x ＋2y )max ＝11， 此时，θ＋α＝π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝π2－α＋2k π(k ∈Z )，所以sin θ＝cos α＝255，cos θ＝sin α＝55，故点P 的直角坐标为(3，4)．12．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)A (ρ1，θ)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，θ＋π2是曲线C 1上的两点，求1ρ12＋1ρ22的值．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧x2＝cos φy ＝sin φ，两式平方相加得x 24＋y 2＝1，即曲线C 1的普通方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ，将点D ⎝⎛⎭⎫2，π3代入得2＝2R cos π3，解得R ＝2.∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1，∴ρ2＝44sin 2θ＋cos 2θ.∴ρ12＝44sin 2θ＋cos 2θ， ρ22＝44sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π2＋cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝4sin 2θ＋4cos 2θ，∴1ρ12＋1ρ22＝4sin 2θ＋cos 2θ4＋4cos 2θ＋sin 2θ4＝54.(这是边文，请据需要手工删加)2019’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题(一)理科数学 【p 323】时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3<0}，B ＝{x ∈R |－1<x <m }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为( )A ．(3，＋∞)B ．(－1，3)C ．[3，＋∞)D ．(－1，3]【解析】因为A ＝{x ∈R |x 2－2x －3<0}＝(－1，3)，又A B ，所以m >3，选A.【答案】A2．执行如图所示的程序框图，如果输入x ＝3，输出k 的值为10，则判断框内应填的条件为( )A ．x ≤100?B ．x ＞90?C ．x ＞100?D ．x ＞190?【解析】执行第1次，输入x ＝3，k ＝0，x ＝2x ＋3＝9，k ＝k ＋2＝2，不是输出结果，故不满足条件，循环；执行第2次，x ＝2x ＋3＝21，k ＝k ＋2＝4，不是输出结果，故不满足条件，循环； 执行第3次，x ＝2x ＋3＝45，k ＝k ＋2＝6，不是输出结果，故不满足条件，循环； 执行第4次，x ＝2x ＋3＝93，k ＝k ＋2＝8，不是输出结果，故不满足条件，循环； 执行第5次，x ＝2x ＋3＝189，k ＝k ＋2＝10，是输出结果，故满足条件，判断框内应填的条件为x >x 0，93≤x 0<189，故应选C.【答案】C3．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎝⎛⎭⎫23，1 C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫13，23 【解析】由题意得x ＝COCB ∈⎝⎛⎭⎫0，13，选C. 【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线x 2－2y 2＝1的右支上的一个动点，若点P到直线2x －2y ＋2＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为( )A ．2 B.32 C.63 D.263【解析】令P (x ，y )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2x －2y ＋2|6min>c ，而直线2x －2y ＋2＝0与渐近线2x －2y ＝0距离为|2|6＝63，因此⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2x －2y ＋2|6min>63，即c ≤63，实数c 的最大值为63，选C.【答案】C5．已知简单组合体的三视图如图所示，则此简单组合体的体积为( )A.10π3－4B.10π3－8C.16π3－4D.16π3－8【解析】该几何体由一个圆锥挖去一个长方体.∴该几何体的体积V ＝13³π³22³4－(2)2³2＝16π3－4.【答案】C6．若函数f ()x ＝a ()x －2e x ＋ln x ＋1x 在()0，2上存在两个极值点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－14e 2 B.⎝⎛⎭⎫－e ，14e 2∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1e D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1e ∪⎝⎛⎭⎫－1e ，－14e 2 【解析】 f ′()x ＝a ()x －1e x ＋x －1x2＝()x －1⎝⎛⎭⎫a e x ＋1x 2， 令f ′()x ＝0，得x ＝1或a ＝－1x 2e x ，设g ()x ＝－1x 2e x ，则g ′()x ＝e x ()x 2＋2x ()x 2e x2，当x >0时，g ′()x >0，∴g ()x 在()0，2上递增，当x →0时， g ()x →－∞，又g ()2＝－14e 2，∴g ()x ∈⎝⎛⎭⎫－∞， －14e 2，∴a <－14e 2， 又a ≠g ()1，∴a ≠－1e，∴a ∈⎝⎛⎭⎫－∞， －1e ∪⎝⎛⎭⎫－1e ， －14e 2. 【答案】D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤4f （x －2），x>4，则f(7)的值为________．【解析】f(7)＝f(5)＝f(3)＝⎝⎛⎭⎫123＝18. 【答案】188．已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离为5，则△PFO(O 为坐标原点)的面积为________．【解析】由题意得x P ＝5－1＝4 y P ＝±4，因此△PFO 的面积为12³4³1＝2.【答案】29．若⎝⎛⎭⎫x ＋2x n的展开式所有的系数之和为81，则直线y ＝nx 与曲线y ＝x 2所围成的封闭区域面积为________．【解析】由题意得3n＝81 n ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x y ＝x2 x ＝0或x ＝4，解得封闭区域面积为⎠⎛04(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33|04＝323. 【答案】32310．如图，将绘有函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋5π6(ω＞0)部分图象的纸片沿x 轴折成直二面角，若AB 之间的空间距离为15，则f(－1)＝____________．【解析】作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，连接CB ，则CD ＝T2， 则AB 2＝AC 2＋BC 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2，即(15)2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎫T 22＋(3)2, 即15＝3＋3＋⎝⎛⎭⎫T 22，即⎝⎛⎭⎫T 22＝9，即T 2＝3，即T ＝6＝2πω， ∴ω＝π3，即f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6，则f(－1)＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝3sinπ2＝ 3.【答案】 3三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围．【解析】(1)∵A n ＝n 2，∴a 1＝1，n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也成立，∴a n ＝2n －1.∵对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立． ∴b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1.b 1＝2，∴数列{b n }是等差数列，公差为1，首项为2， ∴B n ＝2n ＋n （n －1）2³1＝12n 2＋32n .(2)由B n ＋1－B n ＝a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，可得b n ＋1＝2b n ，∴数列{b n }是等比数列，公比为2. ∴b n ＝b 1·2n －1，a n ＝B n ＝b 1（2n －1）2－1＝b 1(2n －1)．∴b n ＋1a n a n ＋1＝b 1·2n b 12（2n －1）（2n ＋1－1）＝1b 1⎝⎛⎭⎫12n －1－12n 1－1， ∴b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1－1 ＝1b 1⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－1＜13成立， ∴b 1＞3⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1－1，∴b 1≥3.12．(16分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M 、N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB .(1)求证：BC ⊥平面P AB ；(2)求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ，A 四个点在同一个平面内； (3)当P A ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为π3时，求PN 的长．【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中，AB ⊥BC ，因为P A ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，所以P A ⊥BC . 因为AB ∩P A ＝A ，且AB ，P A 平面P AB ， 所以BC ⊥平面P AB .(2)证明：因为BC ⊥平面P AB ，PB 平面P AB ， 所以BC ⊥PB .在△PBC 中，BC ⊥PB ，MN ⊥PB ，所以MN ∥BC .在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，所以MN ∥AD ， 所以MN ，AD 可以确定一个平面，记为α， 所以M ，N ，D ，A 四个点在同一个平面α内．(3)因为P A ⊥平面ABCD ，AB ，AD 平面ABCD ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .又AB ⊥AD ，如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ， 所以C (2，2，0)，D (0，2，0)，B (2，0，0)，P (0，0，2)． 设平面DAN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 平面CAN 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 设PN →＝λPC →，λ∈[0，1]，因为PC →＝(2，2，－2)，所以AN →＝(2λ，2λ，2－2λ)， 又AD →＝(0，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧AN →·n ＝0AD →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2λx ＋2λy ＋（2－2λ）z ＝02y ＝0，取z ＝1，得到n ＝⎝⎛⎭⎫λ－1λ，0，1. 因为AP →＝(0，0，2)，AC →＝(2，2，0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧AP →·m ＝0AC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝02a ＋2b ＝0，取a ＝1，得到m ＝(1，－1，0)．因为二面角C －AN －D 的大小为π3，所以|cos 〈m ，n 〉|＝cos π3＝12，所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n|m ||n ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1λ2⎝⎛⎭⎫λ－1λ2＋1＝12， 解得λ＝12，所以PN ＝ 3.13．(18分)给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知点A (2，1)是椭圆G ：x 2＋4y 2＝m 上的点．(1)若过点P (0，10)的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆G 1所截得的弦长；(2)椭圆G 上的B ，C 两点满足4k 1²k 2＝－1(其中k 1，k 2是直线AB ，AC 的斜率)，求证：B ，C ，O 三点共线．【解析】(1)因为点A (2，1)是椭圆G ：x 2＋4y 2＝m 上的点，∴22＋4·12＝m ，∴m ＝8，即椭圆G ：x 28＋y 22＝1.∴a 2＝8，b 2＝2，∴伴随圆G 1：x 2＋y 2＝10.当直线l 的斜率不存在时，显然不满足l 与椭圆G 有且只有一个公共点．当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋10与椭圆G ：x 2＋4y 2＝8联立得(1＋4k 2)x 2＋810kx ＋32＝0.由直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点得Δ＝(810k )2－4·(1＋4k 2)·32＝0， 解得k ＝±1，由对称性取直线l ：y ＝x ＋10，即l ：x －y ＋10＝0.圆心到直线l 的距离为d ＝|0＋0＋10|1＋1＝5，直线l 被椭圆G 的伴随圆G 1所截得的弦长＝210－5＝2 5.(2)设直线AB ，AC 的方程分别为y －1＝k 1(x －2)，y －1＝k 2(x －2)． 设点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立y －1＝k 1(x －2)与x 2＋4y 2＝8，得(1＋4k 12)x 2－(16k 12－8k 1)x ＋16k 12－16k 1－4＝0， 则2x 1＝16k 12－16k 1－41＋4k 12，得x 1＝8k 12－8k 1－21＋4k 12.同理x 2＝8k 22－8k 2－21＋4k 22.斜率k OB ＝y 1x 1＝k 1（x 1－2）＋1x 1＝－4k 12－4k 1＋18k 12－8k 1－2，同理k OC ＝－4k 22－4k 2＋18k 22－8k 2－2.因为4k 1·k 2＝－1，。

2019名师导学理数(教案)3

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((这是边文，请据需要手工删加)第三章导数及其应用知识体系【p32】第15讲 导数的概念及运算夯实基础 【p 32】【学习目标】1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．3．能根据导数定义求函数y ＝C(C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【基础检测】1．一质点的运动方程为s ＝20＋12gt 2(g ＝9.8 m /s 2)，则t ＝3 s 时的瞬时速度为( )A ．20 m /sB ．29.4 m /sC ．49.4 m /sD ．64.1 m /s【解析】由题意，求导函数可得s′＝gt ，当t ＝3 s 时， s ′＝3g ＝3×9.8＝29.4, 故选B .【答案】B2．设函数f(x)可导，则f （1－k ）－f （1）3k等于( )A ．f ′(1)B .13f′(1)C ．－13f′(1) D ．－3f′(1)【解析】f （1－k ）－f （1）3k ＝－13 f （1－k ）－f （1）－k＝－13f′(1)，故选C .【答案】C3．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0，0)B ．(2，4)C .⎝⎛⎭⎫14，116D .⎝⎛⎭⎫12，14 【解析】依题意y′＝2x ＝tan π4＝1，x ＝12，此时y ＝⎝⎛⎭⎫122＝14，故选D .【答案】D 4．函数y ＝ln xe x的导函数为________________． 【答案】y′＝1－x ln xx e x5．已知直线y ＝－x ＋1是函数f(x)＝－1a ·e x图象的切线，则实数a ＝________．【解析】设切点为(x 0，y 0)，则f′(x 0)＝－1a ·e x 0＝－1，∴e x 0＝a ，又－1a ·e x 0＝－x 0＋1，∴x 0＝2，a ＝e 2.【答案】e 2 【知识要点】1．平均变化率及瞬时变化率(1)函数y ＝f(x)从x 1到x 2的平均变化率用__Δy Δx __表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(2)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率是：Δy Δx ＝ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx. 2．导数的概念(1)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f′(x 0)或y′|x ＝x 0，即f′(x 0)＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx.(2)函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数f′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x)是x 的一个函数，称f ′(x)为f(x)的导函数(简称导数)，即f ′(x)＝f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.3．导数的几何意义和物理意义几何意义：函数y ＝f(x)在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f(x)上__点(x 0，f(x 0))处切线__的斜率k ，即k ＝__f′(x 0)__；切线方程为__y －f(x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)__．物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f(t)，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的__瞬时速度__．4．基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数①(C)′＝__0__(C 为常数); ②(x)′＝__1__；③(x 2)′＝__2x__； ④⎝⎛⎭⎫1x ′＝__－1x 2__； ⑤(x)′＝．(2)初等函数的导数公式①(x n )′＝__nx n －1__； ②(sin x)′＝__cos _x__； ③(cos x)′＝__－sin _x__； ④(e x )′＝__e x __； ⑤(a x )′＝__a x ln _a__； ⑥(ln x)′＝__1x __；⑦(log a x)′＝__1x ln a __．5．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__f ′(x)±g ′(x)__；(2)[f(x)·g(x)]′＝__f ′(x)·g(x)＋f(x)·g ′(x)__；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝__f ′（x ）·g （x ）－f （x ）·g ′（x ）[g （x ）](g(x)≠0)__． 6．复合函数的导数(1)对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f(u)和u ＝g(x))的复合函数为y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为__y′x ＝y′u ·u′x __，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．典 例 剖 析 【p 33】考点1 导数的运算法则及应用例1求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝x 2sin x ；(3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1.【解析】(1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， ∴y ′＝18x 2－10x －4.(2)y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2xsin x ＋x 2cos x. (3)y′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e )x －2x ln 2.(4)y′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2xln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.【点评】求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．考点2 复合函数的导数例2求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)5； (2)y ＝1（1－3x ）4；(3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(4)y ＝xsin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2；(5)y ＝x 1＋x 2.【解析】(1)设u ＝2x ＋1，则y ＝u 5，∴y ′＝y′u ·u ′x ＝(u 5)′u ·(2x ＋1)′x ＝5u 4·2＝5(2x ＋1)4·2＝10(2x ＋1)4.(2)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y ′x ＝y′u ·u ′x ＝(u －4)′u ·(1－3x )′x ＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12（1－3x ）5.(3)y′＝⎣⎡⎦⎤sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2sin⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·⎝⎛⎭⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3·2＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋2π3.(4)∵y ＝xsin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12xsin (4x ＋π)＝－12xsin 4x ，∴y ′＝－12sin 4x －12x·4cos 4x ＝－12sin 4x －2xcos 4x.(5)y′＝(x 1＋x 2)′＝x′·1＋x 2＋x·(1＋x 2)′＝1＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋2x 21＋x 2.【点评】求复合函数的导数，关键在于分析函数的复合关系，适当确定中间变量，然后“由外及内”逐层求导．考点3 导数运算的应用例3(1)f (x )＝x (2 018＋ln x )，若f′(x 0)＝2 019，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2 D ．e【解析】f′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019得2 019＋ln x 0＝2019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.【答案】B(2)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0【解析】f′(x )＝4ax 3＋2bx ，∵f ′(x )为奇函数，且f′(1)＝2，∴f ′(－1)＝－2.【答案】B(3)在直角坐标系xOy 中，点A (2，1)，B (3，0)，E (x ，0)(x ≥0)，过点E 作OB 的垂线l.记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象为下图中的( )【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，当x ∈[0，2]时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越大，即斜率f′(x )在[0，2]内大于0且越来越大，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是下凸的；当x ∈(2，3)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 大于0且越来越小，即斜率f′(x )在(2，3)内大于0且越来越小，因此，函数S ＝f (x )的图象是上升的，且图象是上凸的；当x ∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx 内面积变化量ΔS 为0，即斜率f′(x )在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x 轴的射线．【答案】D【点评】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．考点4 导数的几何意义例4(1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0【解析】f′(x )＝⎝⎛⎭⎫1x －2x －（ln x －2x ）x 2＝1－ln xx 2，∴f ′(1)＝1，且f (1)＝－2，∴C 正确．【答案】C(2)已知函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程是x ＋y －3＝0，则f (－1)＋f′(－1)的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题设可知函数y ＝f (x )在点A (－1，f (－1))的切线的斜率是k ＝f′(－1)＝－1，又直线x ＋y －3＝0经过点A (－1，f (－1))，所以f (－1)＝3－(－1)＝4，所以f (－1)＋f ′(－1)＝4＋(－1)＝3，应选答案C.【答案】C(3)设点P 、Q 分别是曲线y ＝xe －x (e 是自然对数的底数)和直线y ＝x ＋1上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为( )A.22⎝⎛⎭⎫2－1e B.2⎝⎛⎭⎫2－1eC.22D.2 【解析】y′＝e －x －xe －x ＝(1－x )e －x ，令(1－x )e －x ＝1，即e x ＝1－x ，e x ＋x －1＝0，令h (x )＝e x ＋x －1，显然h (x )是增函数，且h (0)＝0，即方程e x ＋x －1＝0只有一解x ＝0，曲线y ＝xe －x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x ，两平行线x －y ＝0和x －y ＋1＝0间的距离为d ＝12＝22，即为P 、Q 两点间距离的最小值．【答案】C【点评】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f′(x 1)＝k.(3)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f′（x 1）（x 0－x 1）求解即可．考点5 应用导数探究函数的切线例5已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，ln x ，x>0，其中a 是实数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1<x 2.(1)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，证明：x 2－x 1≥1； (2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．【解析】(1)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f′(x 2)．故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f′(x 1)·f′(x 2)＝－1. 结合f (x )的单调性可知，x 1<－1，x 2∈(－1，0)或(0，＋∞)． 当x<0时，对函数f (x )求导，得f′(x )＝2x ＋2.因为x 1<x 2<0，所以(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1，所以2x 1＋2<0，2x 2＋2>0，因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＋2]≥[－（2x 1＋2）]（2x 2＋2）＝1.当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即x 1＝－32且x 2＝－12时等号成立．(2)当x 1<x 2<0或x 2>x 1>0时，f ′(x 1)≠f′(x 2)，故x 1<0<x 2.当x 1<0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 21＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 21＋a.当x 2>0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1x 2＝2x 1＋2， ①ln x 2－1＝－x 21＋a. ②由①及x 1<0<x 2知，0<1x 2<2.由①②得，a ＝ln x 2＋⎝⎛⎭⎫12x 2－12－1＝－ln 1x 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2－22－1. 令t ＝1x 2，则0<t<2，且a ＝14t 2－t －ln t.设h (t )＝14t 2－t －ln t (0<t<2)．则h′(t )＝12t －1－1t ＝（t －1）2－32t<0.所以h (t )(0<t<2)为减函数．则h (t )>h (2)＝－ln 2－1，所以a>－ln 2－1，而当t ∈(0，2)且t 趋近于0时，h (t )无限增大，所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)． 【点评】本题考查分段函数、导数的几何意义及两直线垂直的条件，考查转化化归思想、函数与方程思想及推理论证能力，属难题．〔备选题〕例6若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．【解析】易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(i )当O (0，0)是切点时，由y′＝3x 2－6x ＋2，得y′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x.由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(ii )当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，(*) 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，(**)联立(*)(**)，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ， 得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.方 法 总 结 【p 34】1．应用基本初等函数的导数公式进行导数计算时应注意：①公式(x n )′＝nx n－1中，n 为有理数；②公式(a x )′＝a x ln a ，(log a x )′＝1xln a 与(e x )′＝e x ，(ln x )′＝1x ，清楚地区分和熟记．2．复合函数的导数计算关键是联想基本初等函数，准确地通过中间量对复合函数进行分拆，同时最后结果是关于x 的函数解析式．3．导数的几何意义是高考考查的热点问题，应特别注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”意义完全不一样，前者点P 不一定是切点，而后者点P 一定是切点，且在曲线上．走 进 高 考 【p 34】(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．【解析】(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，h ′(x )<0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )<h (0)＝0，即f′(x )<0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.【命题立意】(1)f′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，如果y＝f (x )在x ＝x 0处可导，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；(2)设函数y ＝f (x )在[a ，b ]上连续，且在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最值，可分两步进行：先求f (x )在(a ，b )内的极值，再将f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考 点 集 训 【p 190】A 组题1．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝13t 3－52t 2(单位：米)，则在时刻t ＝3秒的瞬时速度为( )A ．－13.5米/秒B ．13.5米/秒C ．－6米/秒D ．6米/秒【解析】s ′(3)＝(t 2－5t )|t ＝3＝－6，选C.【答案】C2．已知函数f (x )＝(x 3－2x )e x ，则 f （1＋Δx ）－f （1）Δx的值为( )A ．－eB ．1C ．eD ．0 【解析】f （1＋Δx ）－f （1）Δx＝f ′(1)，∵f (x )＝(x 3－2x )e x ，∴f ′(x )＝(x 3＋3x 2－2x －2)e x ，有f ′(1)＝0，故选D.【答案】D3．若函数f (x )＝x 2由x ＝1至x ＝1＋Δx 的平均变化率的取值范围是(1.975，2.025)，则增量Δx 的取值范围为( )A ．(－0.025，0.025)B ．(0，0.025)C ．(0.025，1)D ．(－0.025，0)【解析】Δy Δx ＝（1＋Δx ）2－1Δx ＝Δx ＋2，因为函数f (x )＝x 2由x ＝1至x ＝1＋Δx 的平均变化率的取值范围是(1.975，2.025)，所以1.975<Δx ＋2<2.025，－0.025<Δx <0.025，增量Δx 的取值范围为(－0.025，0.025)，故选A.【答案】A4．若曲线f (x )＝x 3－ax 2＋b 在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－1【解析】f ′(x )＝3x 2－2ax ，所以f ′(1)＝3－2a ＝－1，解得a ＝2，故选A.【答案】A5．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．cos x ·sin x B ．cos 2x ＋sin 2x C ．2cos x ·sin x D ．cos 2x －sin 2x【解析】因为y ＝sin x ·cos x ，所以y ′＝(sin x )′·cos x ＋sin x ·(cos x )′＝cos 2x －sin 2x . 【答案】D6．已知函数f (x )＝x ln x ，若存在x ∈[]e ，e 2，使得f (x )－mx －12＋m ≤0成立，则m 的取值范围为______________．【解析】f (x )－mx －12＋m ≤0，即x ln x －m (x －1)≤12，令φ(x )＝x ln x－m (x －1)，x ∈[]e ，e 2，则∃x ∈[]e ，e 2，使f (x )－mx －12＋m ≤0成立，即φ(x )min ≤12，φ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－m ＝－⎝⎛⎭⎫1ln x 2＋1ln x －m ＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－m .①当m ≥14时，φ′(x )≤0，φ(x )在[]e ，e 2上为减函数，于是φ(x )min ＝φ(e 2)＝e 22－m (e 2－1)，由e 22－m (e 2－1)≤12得m ≥12，满足m ≥14，所以m ≥12符合题意． ②当m <14时，由y ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14－m 及t ＝1ln x 的单调性知φ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫1ln x －122＋14－m 在[]e ，e 2上为增函数，所以φ′(e)≤φ′(x )≤φ′(e 2)，即－m ≤φ′(x )≤14－m .a ．若－m ≥0，即m ≤0，则φ′(x )≥0，所以φ(x )在[]e ，e 2上为增函数，于是φ(x )min ＝φ(e)＝e －m (e －1)≥e>12，不合题意；b ．s 若－m <0，即0<m <14，则由φ′(e)＝－m <0，φ′(e 2)＝14－m >0及φ′(x )的单调性知存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使φ′(x 0)＝0，且当x ∈(e ，x 0)时，φ′(x )<0，φ(x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，φ′(x )>0，φ(x )为增函数，所以φ(x )min ＝φ(x 0)＝x 0ln x 0－m (x 0－1)， 由x 0ln x 0－m (x 0－1)≤12，得m ≥1x 0－1⎝⎛⎭⎫x 0ln x 0－12>1x 0－1⎝⎛⎭⎫x 02－12＝12>14， 这与0<m <14矛盾，不合题意．综上可知，m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 【答案】⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 7．求下列函数的导数： (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln （2x ＋1）x.【解析】(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎡⎦⎤ln （2x ＋1）x ′＝[ln （2x ＋1）]′x －x ′ln （2x ＋1）x 2＝（2x ＋1）′2x ＋1·x －ln （2x ＋1）x 2＝2x2x ＋1－ln （2x ＋1）x 2＝2x －（2x ＋1）ln （2x ＋1）（2x ＋1）x 2.8．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R )．(1)若曲线g (x )＝f (x )＋x 上点(1，g (1))处的切线过点(0，2)，求函数g (x )的单调减区间； (2)若函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，求a 的最小值． 【解析】(1)∵g (x )＝(3－a )x －(2－a )－2ln x ， ∴g ′(x )＝3－a －2x，∴g ′(1)＝1－a ，又g (1)＝1，∴1－a ＝1－21－0＝－1，解得：a ＝2，由g ′(x )＝3－2－2x ＝x －2x ＜0，解得：0＜x ＜2，∴函数g (x )在区间(0，2)递减．(2)∵f (x )＜0在⎝⎛⎭⎫0，12恒成立不可能， 故要使f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12无零点， 只需任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，f (x )＞0恒成立， 即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，a ＞2－2ln x x －1恒成立， 令l (x )＝2－2ln xx －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则l ′(x )＝2ln x ＋2x－2（x －1）2，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则m ′(x )＝－2（1－x ）x 2＜0，故m (x )在⎝⎛⎭⎫0，12递减，于是m (x )＞m ⎝⎛⎭⎫12＝2－2ln 2＞0， 从而l ′(x )＞0，于是l (x )在⎝⎛⎭⎫0，12递增， ∴l (x )＜l ⎝⎛⎭⎫12＝2－4ln 2，故要使a ＞2－2ln x x －1在⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，只要a ∈[2－4ln 2，＋∞)，综上，若函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上无零点，则a 的最小值是2－4ln 2. B 组题1．已知f (x )在R 上可导， F (x )＝f (x 3－1)＋f (1－x 3)，则F ′(1)＝__________．【解析】由题知F ′(x )＝3x 2f ′(x 3－1)－3x 2f ′(1－x 3)，则F ′(1)＝3f ′(0)－3f ′(0)＝0.故本题应填0.【答案】02．曲线f (x )＝f ′(2)ln x －f (1)x ＋2x 2在点(1，f (1))处的切线方程为________________． 【解析】f (x )＝f ′(2)ln x －f (1)x ＋2x 2，得f (1)＝f ′(2)ln 1－f (1)＋2，∴f (1)＝1，∵f ′(x )＝f ′(2)1x －f (1)＋4x ，∴f ′(2)＝12f ′(2)－1＋4×2，∴f ′(2)＝14，∴f ′(1)＝f ′(2)－1＋4＝14－1＋4＝17，所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝17(x －1)，即17x －y －16＝0.【答案】17x －y －16＝0 3．已知M ，N 分别是曲线y ＝e x 与直线y ＝e x －1上的点，则线段MN 的最小值为________． 【解析】设曲线y ＝e x 在某点处的切线为l ，当切线l 与直线y ＝e x －1平行时，这两条平行直线间的距离就是所求的最小值．因为切线l 与直线y ＝e x －1平行，所以切线l 的斜率为e.设切点坐标为M (a ，b )，又曲线y ＝e x 在点M (a ，b )处的切线的斜率为y ′|x ＝a ＝e a ，所以e a ＝e ，得a ＝1，所以切点M 的坐标为(1，e)， 故切线l 的方程为y －e ＝e(x －1)，即e x －y ＝0. 又直线y ＝e x －1，即e x －y －1＝0，所以d ＝1e 2＋1＝e 2＋1e 2＋1，即线段MN 的最小值为e 2＋1e 2＋1.【答案】e 2＋1e 2＋14．已知函数f (x )＝－x 3＋1＋a ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 是自然对数的底数与h (x )＝3ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．【解析】根据题意，若函数f (x )＝－x 3＋1＋a ⎝⎛⎭⎫1e ≤x ≤e ，e 是自然对数的底数与h (x )＝3ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程－x 3＋1＋a ＝－3ln x 在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解， －x 3＋1＋a ＝－3ln x ⇔a ＋1＝x 3－3ln x ， 即方程a ＋1＝x 3－3ln x 在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解， 设函数g (x )＝x 3－3ln x ，其导数g ′(x )＝3x 2－3x ＝3（x 3－1）x，又由x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，g ′(x )＝0在x ＝1有唯一的极值点， 分析可得：当1e ≤x <1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当1<x ≤e 时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， 故函数g (x )＝x 3－3ln x 有最小值g (1)＝1，又由g ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e 3＋3，g (e)＝e 3－3；比较可得：g ⎝⎛⎭⎫1e ＜g (e)， 故函数g (x )＝x 3－3ln x 有最大值g (e)＝e 3－3，故函数g (x )＝x 3－3ln x 在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的值域为[1，e 3－3]； 若方程a ＋1＝x 3－3ln x 在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有解，必有1≤a ＋1≤e 3－3，则有0≤a ≤e 3－4， 即a 的取值范围是[0，e 3－4]． 【答案】[0，e 3－4]5．定义F (x ，y )＝(1＋x )y .(1)令函数f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))的图象为曲线C ，若log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0且存在实数b 使得曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；(2)令函数g (x )＝F (1，log 2[(ln x －1)e x ＋x ])，是否存在实数x 0∈[1，e]使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)f (x )＝F (1，log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1))＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，设曲线C 在x 0(－4<x 0<－1)处有斜率为－8的切线，又由题设知log 2(x 3＋ax 2＋bx ＋1)>0，令φ(x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，则φ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴存在实数b 使得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋2ax 0＋b ＝－8，①－4<x 0<－1，②x 30＋ax 20＋bx 0>0 ③有解．由①得b ＝－8－3x 20－2ax 0，代入③得－2x 20－ax 0－8<0， ∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x 20＋ax 0＋8>0，－4<x 0<－1有解，得2×(－4)2＋a ×(－4)＋8>0或2×(－1)2＋a ×(－1)＋8>0， ∴a <10或a <10，∴a <10. (2)∵g (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，∴g ′(x )＝(ln x －1)′e x ＋(ln x －1)(e x )′＋1 ＝e xx ＋(ln x －1)e x ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1. 设h (x )＝1x ＋ln x －1.则h ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，h (x )为增函数，因此h (x )在区间[1，e]上的最小值为ln 1＝0， 即1x＋ln x －1≥0； 当x 0∈[1，e]时，e x 0≥e>0，1x 0＋ln x 0－1≥0，∴g ′(x 0)＝⎝⎛⎭⎫1x 0＋ln x 0－1e x 0＋1≥1>0.曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g ′(x 0)＝0有实数解．而g ′(x 0)>0，即方程g ′(x 0)＝0无实数解．故不存在实数x 0∈[1，e]使曲线y ＝g (x )在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直．第16讲 导数与函数的单调性夯实基础 【p 35】【学习目标】了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围．【基础检测】1．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f′(x )的图象是( )【解析】函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0，根据函数f (x )在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A 满足条件．【答案】A2．函数f (x )＝xsin x ＋cos x 在下列区间内是增函数的是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，2π3 B ．(π，2π)C ．(2π，3π) D.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2【解析】f′(x )＝sin x ＋xcos x －sin x ＝xcos x ，根据选项显然当x ∈⎝⎛⎭⎫3π2，5π2时，f ′(x )>0，此时f (x )递增．故选D.【答案】D3．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a ＞0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.【答案】A4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．k >32B ．k <－12C ．－12<k <32D ．1≤k <32【解析】因f ′(x )＝4x －1x ，故由题设f ′(x )＝4x －1x 在区间(k －1，k ＋1)内有零点，即x ＝12∈(k－1，k ＋1)，所以0≤k －1<12且k ＋1>12，即1≤k <32，故选D.【答案】D5．已知函数f (x )＝ln x －x 1＋2x .若f [x (3x －2)]＜－13，则实数x 的取值范围为________．【解析】由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f (x )＝ln x －x 1＋2x，∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x（1＋2x ）2＝4x 2＋3x ＋1x （1＋2x ）2.∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0.∴当x ＞0时，f ′(x )＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．∴⎩⎨⎧x （3x －2）＞0，x （3x －2）＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1.∴实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫23，1. 【答案】⎝⎛⎭⎫－13，0∪⎝⎛⎭⎫23，1 【知识要点】函数的单调性：在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减．典 例 剖 析 【p 35】考点1 利用导数判断和证明函数的单调性例1设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx.(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 【解析】(1)f′(x )＝m (e mx －1)＋2x.若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1≤0，2x<0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1≥0，2x>0，f ′(x )>0.若m<0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx －1>0，f ′(x )<0； 当x ∈(0，＋∞)时，e mx －1<0，f ′(x )>0.所以，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎨⎧f （1）－f （0）≤e －1，f （－1）－f （0）≤e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e －1，e －m ＋m ≤e －1. ①设函数g (t )＝e t －t －e ＋1，则g′(t )＝e t －1.当t<0时，g ′(t )<0；当t>0时，g ′(t )>0.故g (t )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e<0，故当t ∈[－1，1]时，g (t )≤0.当m ∈[－1，1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立；当m>1时，由g (t )的单调性，g (m )>0，即e m －m>e －1；当m<－1时，g (－m )>0，即e －m ＋m>e －1. 综上，m 的取值范围是[－1，1]． 【点评】 应用导数法判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的三步骤：(1)一求．求f′(x )；(2)二定．确认或推导f′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．考点2 利用导数求函数的单调区间例2已知函数f (x )＝(x －a )sin x ＋cos x ，x ∈(0，π)． (1)当a ＝π2时，求函数f (x )的值域；(2)当a>π2时，试求函数f (x )的单调区间．【解析】(1)当a ＝π2时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －π2sin x ＋cos x ，x ∈(0，π)，f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x －π2cos x.由f′(x )＝0得x ＝π2.f (x )，f因为f (2)f′(x )＝(x －a )cos x ，①当π2<a<π时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫π2，a ，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，π2和(a ，π)．②当a ≥π时，f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：所以函数f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫π2，π，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，π2.【点评】1.应用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f′(x )；(3)解不等式f′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2．研究含参数的函数的单调性：(1)要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(f′(x )＝0在x ＝0时取到)，f (x )在R 上是增函数．考点3 已知函数的单调性求参数的取值范围例3已知函数f (x )＝(2x ＋b )e x ，F (x )＝bx －ln x ，b ∈R .(1)若b <0，且存在区间M ，使f (x )和F (x )在区间M 上具有相同的单调性，求b 的取值范围；(2)若b >0，且g (x )＝bx 2－2x －F (x )在区间[1，e]上的最小值为－2，求b 的取值范围． 【解析】(1)f ′(x )＝e x (2x ＋b ＋2)，由f ′(x )<0得x <－b ＋22，由f ′(x )>0得， x >－b ＋22，F (x )的定义域为(0，＋∞)，且F ′(x )＝b －1x ＝bx －1x ，∵b <0，∴F ′(x )<0，即F (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵f (x )和F (x )在区间M 上具有相同的单调性，∴－b ＋22>0，得b <－2，即b 的取值范围是(－∞，－2)．(2)函数g (x )＝bx 2－(b ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)， 当b >0时，g ′(x )＝2bx －(b ＋2)＋1x ＝2bx 2－（b ＋2）x ＋1x(x >0)，令g ′(x )＝0，即g ′(x )＝2bx 2－（b ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（bx －1）x ＝0，所以x ＝12或x ＝1b.当0<1b≤1，即b ≥1时， g (x )在[1，e]上单调递增，所以g (x )在[1，e]上的最小值是g (1)＝－2；当1<1b<e 时， g (x )在[1，e]上的最小值是g ⎝⎛⎭⎫1b <g (1)＝－2，不合题意． 当1b ≥e 时，g (x )在[1，e]上的最小值是g (e)＝b e 2－(b ＋2)e ＋1，令g (e)＝－2，得b ＝2e －3e 2－e >1e ，矛盾，舍去． 综上， b ≥1.【点评】已知函数单调性求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．〔备选题〕例4已知函数f (x )＝ln x ＋x 22－kx ，其中常数k ∈R .(1)求f (x )的单调增区间与单调减区间；(2)若f (x )存在极值且有唯一零点x 0，求k 的取值范围及不超过x 0k 的最大整数m .【解析】(1)f ′(x )＝1x ＋x －k ＝x 2－kx ＋1x (x >0)．①当k ≤2时，f ′(x )＝1x＋x －k ≥21x·x －k ＝2－k ≥0，函数f (x )为增函数. ②当k >2时，令f ′(x )＝（x －x 1）（x －x 2）x ，其中0<x 1＝k －k 2－42<x 2＝k ＋k 2－42.x ，f ′(x )，f (x )的取值变化情况如下表：当k >2时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，k －k 2－42与⎣⎢⎡⎭⎪⎫k ＋k 2－42，＋∞，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －k 2－42，k ＋k 2－42. (2)由(1)知当k ≤2时，f (x )无极值；当k >2时，0<x 1＝k －k 2－42＝2k ＋k 2－4<1，f (x )的极大值f (x 1)＝ln x 1＋x 1⎝⎛⎭⎫x 12－k <0，f (x )的极小值f (x 2)<f (x 1)<0，故f (x )在(0，x 2]上无零点，f (2k )＝ln(2k )＋4k 22－2k 2＝ln(2k )>0，又1<x 2＝k ＋k 2－42<k ，故函数f (x )有唯一零点x 0，且x 0∈(x 2，2k )．又f (k )＝ln k ＋k 22－k 2＝ln k －k 22，记g (k )＝ln k －k 22(k >2)，g ′(k )＝1k －k ＝1－k 2k <0，则g (k )<g (2)＝ln 2－222＝ln 2－2<0，从而f (k )<0，k <x 0<2k ，1<x 0k<2.故k 的取值范围是(2，＋∞)，不超过x 0k的最大整数m ＝1.方 法 总 结 【p 36】1．函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f ′(x )≥0(个别点取等号)⇔f (x )在此区间上为增函数． 在一个区间上，f ′(x )≤0(个别点取等号)⇔f (x )在此区间上为减函数．2．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．3．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 4．根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．走 进 高 考 【p 36】1．(2017·山东)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x ；②f (x )＝3－x ；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.【解析】①e xf (x )＝e x·2－x＝⎝⎛⎭⎫e 2x在R 上单调递增，故f (x )＝2－x具有M 性质； ②e xf (x )＝e x·3－x＝⎝⎛⎭⎫e 3x在R 上单调递减，故f (x )＝3－x 不具有M 性质； ③e x f (x )＝e x ·x 3，令g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝e x ·x 3＋e x ·3x 2＝x 2e x (x ＋3)，∴当x >－3时，g ′(x )>0，当x <－3时，g ′(x )<0，∴e x f (x )＝e x ·x 3在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，故f (x )＝x 3不具有M 性质；④e x f (x )＝e x (x 2＋2)，令g (x )＝e x (x 2＋2)，则g ′(x )＝e x (x 2＋2)＋e x ·2x ＝e x [(x ＋1)2＋1]>0，∴e x f (x )＝e x (x 2＋2)在R 上单调递增，故f (x )＝x 2＋2具有M 性质．【答案】①④【命题立意】本题主要考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．2．(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数. 若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ≥0，所以函数f (x )在R 上单调递增，又f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即f (2a 2)≤f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12. 【答案】⎣⎡⎦⎤－1，12 【命题立意】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．考 点 集 训 【p 192】A 组题1．函数f (x )＝(2x －1)e x 的递增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 D.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 【解析】f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，由于e x >0恒成立，所以当f ′(x )>0时， x >－12，则增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，故选D. 【答案】D2．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )【解析】设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．故选A.【答案】A 3．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎫－∞，52D.⎝⎛⎦⎤－∞，52 【解析】∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x 2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴m ≤2＋12＝52，故选D.【答案】D4．已知函数f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2，则使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1，3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3，3)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】∵函数f (x )＝ln(e x ＋e －x)＋x 2，∴f ′(x )＝e x －e －x e x ＋e－x ＋2x ，当x >0时， f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x <0时， f ′(x )<0，f (x )单调递减； ∵f (x )＝ln(e x ＋e －x )＋x 2是偶函数，∴f (2x )>f (x ＋3)等价于|2x |>|x ＋3|，整理，得x 2－2x －3>0，解得x >3或x <－1，所以使得f (2x )>f (x ＋3)成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故选D.【答案】D5．定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f (x )，若f (x )的导函数存在且满足f （x ）f ′（x ）>x ，则下列不等式成立的是( )A ．3f (2)<2f (3)B ．3f (4)<4f (3)C ．2f (3)<3f (4)D ．f (2)<2f (1)【解析】∵f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f ′(x )<0，又f （x ）f ′（x ）>x ，∴f (x )<xf ′(x )，令g (x )＝f （x ）x ，∴g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (3)>g (2)，即f （3）3>f （2）2，故选A. 【答案】A6．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎨⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <⎝⎛⎭⎫x ＋2x max＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．7．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4. (1)求a ，b 的值；(2)证明：f (x )是R 上的单调递增函数．【解析】(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ， 所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，⎩⎨⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎨⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x ，f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)，由e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )是R 上的单调递增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，其中函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴．(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性． 【解析】(1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b .由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得：g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝（2ax －1）（x －1）x .∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x .由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1；当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ， 由g ′(x )<0，得12a<x <1；若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，函数g (x )在(0，1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．B 组题1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )【解析】依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )．【答案】C2．已知函数f (x )＝e x 2－ae x ，若对任意的x 1，x 2∈[1，2]，且x 1≠x 2时， [|f (x 1)|－|f (x 2)|](x 1－x 2)>0，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－e 24，e 24 B.⎣⎡⎦⎤－e 22，e 22 C.⎣⎡⎦⎤－e 23，e 23 D.[]－e 2，e 2 【解析】由题意得y ＝|f (x )| 在[1，2] 上单调递增；当a ≥0 时， f (x ) 在[1，2] 上单调递增，所以由f (1)≥0⇒0≤a ≤e 22 ；当a <0 时，|f (x )|＝f (x )，由f ′(x )＝e x 2＋ae x ＝0⇒x ＝ln －2a ，因此f (x )的单调增区间为[ln －2a ，＋∞) ，所以由ln －2a ≤1⇒－e 22≤a <0 ；综上，实数a的取值范围为⎣⎡⎦⎤－e 22，e22，选B. 【答案】B3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )>0。

2019年新人教版七年级数学下册导学案全册

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授课班级：姓名：七年级数学下册导学案目录第五章相交线与平行线 (1)课题：5.1.1 相交线 (1)课题：5.1.2 垂线 (2)课题：5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 (5)课题：5.2.1 平行线 (7)课题：5.2.2 平行线的判定 (9)课题：5.3.1 平行线的性质 (11)课题：平行线的判定及性质习题课 (13)课题：5.3.2命题、定理 (15)课题：5.4平移 (17)课题：相交线与平行线全章复习 (19)第六章实数 (21)课题：6.1平方根（第1课时） (21)课题：6.1平方根（第2课时） (24)课题：6.1平方根（第3课时） (26)课题：6.2立方根（第1课时） (28)授课班级：姓名：课题：6.2立方根（第2课时） (31)课题：6.3 实数（第1课时） (33)课题：6.3 实数（第2课时） (35)课题：实数复习（一） (37)课题：实数复习（二） (39)第七章平面直角坐标系 (41)课题：7.1.1 有序数对 (41)课题：7.1.2 平面直角坐标系 (42)课题：7.1平面直角坐标系习题课 (44)课题：7.2.1用坐标表示地理位置 (47)课题：7.2.2用坐标表示平移 (48)课题：平面直角坐标系全章复习 (51)第八章二元一次方程组 (53)课题：8.1 二元一次方程组 (53)课题：8.2.1消元——解二元一次方程组（代入法） (56)课题：8.2.2消元——解二元一次方程组（代入法2） (57)课题：8.2.3消元——解二元一次方程组（加减法1） (59)课题：8.2.4消元——解二元一次方程组（加减法2） (61)课题：8.3.1实际问题与二元一次方程组（1） (62)课题：8.3.2实际问题与二元一次方程组（2） (64)课题：8.3.3实际问题与二元一次方程组（3） (65)课题：8.4.1三元一次方程组 (67)第九章不等式与不等式组 (69)课题：9.1.1不等式及其解集 (69)课题：9.1.2不等式的性质 (71)课题：9.2实际问题与一元一次不等式 (73)授课班级：姓名：课题：9.3一元一次不等式组（1） (75)课题：9.3一元一次不等式组（2） (77)章末复习 (79)第十章数据的收集、整理与描述 (84)课题：10.1 统计调查（第1课时） (84)课题：10.1 统计调查（第2课时） (85)课题：10.2 直方图（第1课时） (87)课题：10.2 直方图（第2课时） (88)授课班级：姓名：第五章相交线与平行线课题：5.1.1 相交线【学习目标】了解邻补角、对顶角, 能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些问题.【学习重点】邻补角、对顶角的概念,对顶角性质与应用.【学习难点】理解对顶角相等的性质.【学习过程】一、学前准备各小组对七年级上学过的直线、射线、线段、角做总结．每人写一个总结小报告，并编写两道与它们相关的题目，在小组交流，并推出小组最好的两道题在班级汇报．二、探索思考探索一：完成课本P2页的探究，填在课本上．你能归纳出“邻补角”的定义吗？．“对顶角”的定义呢？．练习一：1．如图1所示，直线AB和CD相交于点O，OE是一条射线．（1）写出∠AOC的邻补角：____ _ ___ __；图1（2）写出∠COE的邻补角： __；（3）写出∠BOC的邻补角：____ _ ___ __；（4）写出∠BOD的对顶角：____ _．2．如图所示，∠1与∠2是对顶角的是（）探索二：任意画一对对顶角，量一量，算一算，它们相等吗？如果相等，请说明理由．请归纳“对顶角的性质”：．练习二：1．如图，直线a，b相交，∠1=40°，则∠2=_______∠3=_______∠4=_______授课班级： 姓 名：2．如图直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE=30°，那么∠BOE=_______，∠BOF=_______3．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=_____. 三、当堂反馈 1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图(1),三条直线AB,CD,EF 相交于一点O, ∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______，若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______，∠AOE+∠DOB+∠COF=_____。

导数及其应用(教学案)-2019年高考理数二轮复习精品资料+Word版含解析+

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高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(x m)′＝mx m－1；③(sin x)′＝cos x; ④(cos x)′＝－sin x；⑤(e x)′＝e x; ⑥(a x)′＝a x ln a；⑦(ln x)′＝1x；⑧(log a x)′＝1x ln a.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[f xg x ]′＝f′x g x－f x g′xg2x.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′u u′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a<b)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f (x )>0时，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；②当f (x )<0时，S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；③当x ∈[a ，c ]时，f (x )>0；当x ∈[c ，b ]时，f (x )<0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .高频考点一 导数的几何意义及应用 例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】-3 【解析】，则所以【变式探究】(1)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________. 解析：基本法：由题意可得f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1，又f (1)＝a ＋2，∴f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝(3a ＋1)(2－1)，解得a ＝1.速解法：∵f (1)＝2＋a ，由(1，f (1))和(2,7)连线斜率k ＝5－a1＝5－a ，f ′(x )＝3ax 2＋1，∴5－a ＝3a ＋1，∴a ＝1.答案：1(2)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析：基本法：令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x ，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，∴a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 20＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程， ∴x 0＝－12，此时a ＝8.速解法：求出y ＝x ＋ln x 在(1,1)处的切线为y ＝2x －1由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝ax 2＋a ＋2x ＋1得ax 2＋ax ＋2＝0，∴Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8或a ＝0(显然不成立)．答案：8【变式探究】设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：基本法：y ′＝a －1x ＋1，当x ＝0时，y ′＝a －1＝2，∴a ＝3，故选D. 答案：D高频考点二 导数与函数的极值、最值 例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1). (1,4) (2). 【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

2019名师导学理数(教案)5

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((这是边文，请据需要手工删加)第五章平面向量、复数知识体系【p59】1．平面向量2．复数第28讲 平面向量的概念及线性运算夯实基础 【p 60】【学习目标】1．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示； 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义；3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 4．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【基础检测】1．下列说法正确的是( ) A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等C ．任何向量的模都是正实数D ．共线向量又叫平行向量【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，∴A 错误；对于B ，单位向量的模长相等，方向不一定相同，∴B 错误；对于C ，零向量的模长是0，∴C 错误；对于D ，共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，∴D 正确．故选D .【答案】D2．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →等于( )A .23BC →B .32BC →C ．－23BC →D ．－32BC →【解析】因为点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，所以AC →＝35(AC →＋CB →)，25AC →＝35CB →，所以AC →＝－32BC →，故选D .【答案】D3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解析】依据向量加法的交换律及结合律可知，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A. 【答案】A4.AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋F A →＝( ) A ．0 B ．0 C ．2AD → D ．－2AD →【解析】由向量加法的运算法则可知AB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FA →＝0. 【答案】B5．设e 1，e 2是两个不共线的向量，且a ＝e 1＋λe 2与b ＝－13e 2－e 1共线，则实数λ＝( )A ．－1B ．3C ．－13 D.13【解析】∵a ＝e 1＋λe 2与b ＝－13e 2－e 1共线，∴存在实数t ，使得b ＝t a ，即－13e 2－e 1＝t (e 1＋λe 2)，即－13e 2－e 1＝t e 1＋tλe 2，∴t ＝－1，t λ＝－13，即λ＝13，故选D.【答案】D【知识要点】3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .典 例 剖 析 【p 60】考点1 平面向量的概念例1给出下列结论：①两个单位向量是相等向量； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ④若||a ＝||b ，则a ＝b ；⑤若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． 其中正确结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，①错误；若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ，向量相等具有传递性，②正确；一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，③正确；若||a ＝||b ，则a ＝b ，还要方向相同才行，④错误；a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线，当b 为零向量时不成立，⑤错误．【答案】B【点评】向量有关概念的5个关键点 (1)向量：方向、长度．(2)非零共线向量：方向相同或相反． (3)单位向量：长度是一个单位长度． (4)零向量：方向没有限制，长度是0. (5)相等向量：方向相同且长度相等．考点2 平面向量的线性运算例2(1)平面直角坐标系中， O 为原点， A ，B ，C 三点满足OC →＝34OA →＋14OB →，则||BC →||AC →＝( )A ．1B ．2C ．3 D.32【解析】∵BC →＝OC →－OB →＝34OA →＋14OB →－OB →＝34BA →， AC →＝OC →－OA →＝34OA →＋14OB →－OA →＝14AB →，∴||BC →||AC→＝3，故选C.【答案】C(2)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝－32a －32b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【解析】由a ＋b ＝23PQ →，知PQ →＝32a ＋32b ，①正确；由PT →＝32a －32b ，从而②错误；PS →＝PT→＋b ，故PS →＝32a －12b ，③正确；PR →＝PT →＋2b ＝32a ＋12b ，④错误．综上，正确的为①③，故选C.【答案】C(3)如图，△ABC 中， CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b ，则DE →＝__________(用a 和b 表示)．【解析】DE →＝DC →＋CB →＋BE →＝－13b －a ＋23(a ＋b )＝13(b －a ).【答案】13(b －a )(4)如图，在△ABC 中， D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD, E 为线段AD 的中点，若CE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________．【解析】CE →＝12(CD →＋CA →)＝12⎝⎛⎭⎫23CB →－AC →＝13CB →－12AC →＝13(AB →－AC →)－12AC →＝13AB →＋⎝⎛⎭⎫－56AC →，又CE →＝mAB →＋nAC →，∴⎩⎨⎧m ＝13n ＝－56，m ＋n ＝13－56＝－12，故答案为－12. 【答案】－12【点评】本题主要考查向量的几何运算及平面向量基本定理，属于中档题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：①平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；②三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础．对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握．考点3 共线向量定理的应用例3已知非零向量a 和b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)若k a ＋b 和a ＋k b 共线，求实数k 的值．【解析】(1)因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB →与BD →共线． 又AB →，BD →有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为a ，b 是两个不共线的非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2－1＝0， 所以k ＝±1.经检验，k ＝±1均符合题意．【点评】利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这两个向量的公共点．例4在△ABC 中，已知AB →＝a ，AC →＝b ，对于平面ABC 上任意一点O ，动点P 满足OP →＝OA →＋λa ＋λb ，则动点P 的轨迹为______________．【解析】依题意， 由OP →＝OA →＋λa ＋λb ， 得OP →－OA →＝λ(a ＋b )， 即AP →＝λ(AB →＋AC →)．如图，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABDC ，对角线交于点M ，则AP →＝λAD →， 所以A ，P ，D 三点共线，即点P 的轨迹是AD 所在的直线，即BC 边上的中线所在直线．【答案】BC 边上的中线所在直线【点评】共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB →＝λAC →，则A ，B ，C 三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．方 法 总 结 【p 61】1．向量线性运算技巧(1)用已知向量表示与其相关的另外一些向量时，在运用向量的加法、减法、数乘运算的同时，应充分利用平面几何的一些基本定理．(2)在求向量时尽可能转化到某平行四边形或三角形内，以便运用平行四边形法则和三角形法则，涉及到线段比时，一方面考虑平行线定理，另一方面充分运用数乘运算的几何意义．2．向量共线问题(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．走 进 高 考 【p 61】1．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →【解析】由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A. 【答案】A【命题立意】本题以三角形为载体考查了平面向量的加法、减法及实数与向量的积的法则与运算性质，是基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量AD →表示为AC →＋CD →，再用已知条件和向量减法将AD →用AB →，AC →表示出来．2．(2015·全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．【解析】因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.【答案】12【命题立意】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．考 点 集 训 【p 211】A 组题1．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等【解析】A 项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故A 项错误；B 项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故B 项错误；C 项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故C 项错误；D 项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故D 项正确．故本题正确答案为D.【答案】D2．在△ABC 中， AB ＝AC, D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )A.AB →与AC →共线B.DE →与CB →共线 C.AD →与AE →相等 D.AD →与BD →相等【解析】本题考查的是共线向量和相等向量的概念，根据概念，选B. 【答案】B3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【解析】由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形． 【答案】C4．如图，已知△OAB ，若点C 满足AC →＝2CB →，OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则1λ＋1μ＝( )A.13B.23C.29D.92【解析】∵AC →＝2CB →，即OC →－OA →＝2(OB →－OC →)，∴OC →＝13OA →＋23OB →，∴λ＝13，μ＝23，故1λ＋1μ＝92，应选D. 【答案】D5．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC → 2＝16，|AB →＋AC → |＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________．【解析】由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|可知，AB →⊥AC →， 则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线， 因此|AM →|＝12|BC →|＝2.【答案】26．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2与直线y ＝－12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则|M 1M 12|等于________．【解析】由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝2cos x sin x ＝sin 2x ＝－12，得2x ＝2k π＋7π6或2k π＋116π，k ∈N ，x ＝k π＋7π12或k π＋11π12，k ∈N ，∴M 1⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，M 2⎝⎛⎭⎫1112π，0，M 3⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋π，0，M 4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π，0… M 12⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋5π，0，M 1M 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16π3，0，|M 1M 12|＝16π3.【答案】16π37．如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【解析】(1)延长AD 到G ， 使AD →＝12AG →.连接BG ，CG ，得到ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )，BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →，又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．8．如图，O ，A ，B 三点不共线，OC →＝2OA →，OD →＝3OB →，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)试用a ，b 表示向量OE →；(2)设线段AB ，OE ，CD 的中点分别为L ，M ，N ，试证明L ，M ，N 三点共线． 【解析】(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴OE →＝xOC →＋(1－x )OB →＝2x a ＋(1－x )b ，① 同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得OE →＝y a ＋3(1－y )b ，②比较①，②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝y1－x ＝3（1－y ），解得x ＝25，y ＝45，∴OE →＝45a ＋35b .(2)∵OL →＝a ＋b 2，OM →＝12OE →＝4a ＋3b 10，ON →＝12(OC →＋OD →)＝2a ＋3b 2，∴MN →＝ON →－OM →＝6a ＋12b 10，ML →＝OL →－OM →＝a ＋2b10，∴MN →＝6ML →，∴L ，M ，N 三点共线．B 组题1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A ．a 与λa 的方向相反 B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a【解析】对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．【答案】B2．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0【解析】依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.【答案】D3．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 的形状是__________．【解析】因为a ＋c ＝b ＋d ，所以OA →＋OC →＝OB →＋OD →，BA →＝CD →，故边BA 和CD 平行且相等，所以四边形ABCD 是平行四边形．【答案】平行四边形4．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．【解析】由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →. ∵点E 在线段CD 上， ∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，∴2μλ＝1，即μ＝λ2. ∵0≤λ≤1， ∴0≤μ≤12.即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 【答案】⎣⎡⎦⎤0，125．如图，将两个直角三角形拼在一起，当E 点在线段AB 上移动时，若AE →＝λAC →＋μAD →，当λ取最大值时，λ－μ的值是__________．【解析】如图所示，设AM ∥BN ，且AM ＝BN ，由题意知，当λ取最大值时，点E 与点B 重合．Rt △ABC 中，设AB ＝4，则AC ＝8，BC ＝43，DB ＝4.又∵AE →＝λAC →＋μAD →，∴λ＝AM AC ＝DB DC ＝44＋43＝3－12，μ＝AN AD ＝CB CD ＝434＋43＝3－32，λ－μ＝3－2.【答案】3－26．已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.【解析】(1)因为GA →＋GB →＝2GM →，2GM →＝－GO →， 所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →， 所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.第29讲 平面向量的基本定理及坐标运算夯实基础 【p 62】【学习目标】1．了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件．【基础检测】1．设向量a ＝(1，2), b ＝(－3，5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值为( )A ．－112 B.112 C ．－292 D.292【解析】由已知可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x )⎩⎪⎨⎪⎧4λ＝－2xλ＝7⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12x ＝－14λ＋x ＝－292 ，故选C.【答案】C2．如图，正方形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( )A ．2 B.83C.65D.85【解析】设正方形边长为2，以A 为原点建立平面直角坐标系，则M (2，1)，N (1，2)，B (2，0)，C (2，2)，BN →＝(－1，2)，依题意，AC →＝λAM →＋μBN →，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝2λ＋2μ＝2，解得λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85. 【答案】D3．设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .【解析】由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)＝(m －n )e 1＋ (2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.【答案】23 －134．已知点O (0，0), A (－1，3), B (2，－4), OP →＝2OA →＋mAB →，若点P 在y 轴上，则实数m ＝__________．【解析】依题意设P (0，a )，代入OP →＝2OA →＋mAB →有(0，a )＝(－2，6)＋(3m ，－7m )＝(3m －2，6－7m )，所以3m －2＝0，m ＝23.【答案】235．已知向量a ＝(4，3)，b ＝(－2，1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则|2a －λb |的值为________． 【解析】由题可知(a ＋λb )·b ＝0，即(4－2λ，3＋λ)·(－2，1)＝0，解得λ＝1，所以2a －λb ＝(10，5)，|2a －λb |＝5 5.【答案】5 5 【知识要点】1．平面向量基本定理如果e 1和e 2是一个平面内的两个__不共线__向量，那么对于该平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上任一向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，把a ＝(x ，y )叫做向量的坐标表示，|a |＝x 2＋y 2叫做向量a 的长度(模)．4.两向量平行和垂直的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b x 1y 2－y 1x 2＝0. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥bx 1x 2＋y 1y 2＝0.典 例 剖 析 【p 62】考点1 平面向量基本定理的应用例1如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1【解析】选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．【答案】D例2如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【解析】(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则得，OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ， DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝153，∴λ＝45. 【点评】用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．考点2 平面向量的坐标运算例3已知点A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (3)求点M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解析】由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点．因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， 所以点M 的坐标为(0，20)． 又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以点N 的坐标为(9，2)， 所以MN →＝(9，－18)．【点评】(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．考点3 平面向量共线的坐标表示例4已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 【解析】(1)∵a ＝(1，0)，b ＝(2，1)， ∴k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)， ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB →＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →∥BC →，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.【点评】向量共线充要条件的2种形式： (1)a ∥b a ＝λb (b ≠0)； (2)a ∥b x 1y 2－x 2y 1＝0(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))．当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方便．考点4 向量问题坐标化例5如图，平面内有三个向量OA →、OB →、OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ、μ∈R )，则λ＋μ的值为________．【解析】由条件可知，∠COB ＝90°，以O 为原点，OC 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．则OC →＝(23，0)，OB →＝(0，1)，OA →＝⎝⎛⎭⎫32，－12，因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以(23，0)＝λ⎝⎛⎭⎫32，－12＋μ(0，1)，所以⎩⎨⎧23＝32λ，0＝－12λ＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.【答案】6例6在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 上变动(如图所示)．若AP →＝λED →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则2λ－μ的取值范围是________．【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，依题意得D ()0，1，E ()1，0，C (1，1)，B ()2，0，F ⎝⎛⎭⎫32，12，ED →＝()－1，1，AF →＝⎝⎛⎭⎫32，12，设P ()cos θ，sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，依题意AP →＝λED →＋μAF →，即()cos θ，sin θ＝⎝⎛⎭⎫－λ＋32μ，λ＋12μ，⎩⎨⎧cos θ＝－λ＋32μsin θ＝λ＋12μ，两式相减得2λ－μ＝sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，θ－π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4∈[]－1，1. 【答案】[－1，1]【点评】(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等．(2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化． (3)注意如下结论的运用：①当向量的起点在原点时，P 点的坐标就是向量OP →的坐标； ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．方 法 总 结 【p 63】1．向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理，平面向量――→对应实数对(x ，y )，任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一．也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系，即实数对(x ，y )错误!错误!一一对应,)点A (x ，y )．2．已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时，一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标．本讲易忽略点有二：一是易将向量的终点坐标误认为是向量坐标；二是向量共线的坐标表示易与向量垂直的坐标表示混淆．3．向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，可以使向量运算完全代数化，把关于向量的代数运算与数量的代数运算联系起来，从而把数与形紧密结合起来，这样很多几何问题，特别像共线、共点等较难问题的证明，就转化为熟知的数量运算，也为运用向量坐标运算的有关知识解决一些物理问题提供了一种有效方法．走 进 高 考 【p 63】1．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ), 则m ＋n ＝________．【解析】由tan α＝7可得sin α＝7210，cos α＝210，根据向量的分解，易得⎩⎪⎨⎪⎧n cos 45°＋m cos α＝2n sin 45°－m sin α＝0，即⎩⎨⎧22n ＋210m ＝222n －7210m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋m ＝105n －7m ＝0，即得m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝3.【答案】3 【命题立意】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．2．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5 D ．2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系设A (0，1)，B (0，0)，C (2，0)，D (2，1)，P (x ，y )，根据等面积公式可得圆的半径r ＝25，即圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝45，AP →＝(x ，y －1)，AB →＝(0，－1)，AD →＝(2，0)，若满足AP →＝λAB →＋μAD →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2μy －1＝－λ，μ＝x 2，λ＝1－y ，所以λ＋μ＝x 2－y ＋1，设z ＝x 2－y ＋1，即x 2－y ＋1－z ＝0，点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝45上，所以圆心到直线的距离d ≤r ，即|2－z |14＋1≤25，解得1≤z ≤3， 所以z 的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3，故选A.【答案】A【命题立意】本题主要考查平面向量的坐标运算，平面向量基本定理．(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．考 点 集 训 【p 213】A 组题1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( ) A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4) 【解析】a ∥b1－2＝2m m ＝－4，所以2a ＋3b ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．【答案】B2．已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23，12) C ．(7，0) D ．(－7，0)【解析】由题意可得3a －2b ＋c ＝(23＋x ，12＋y )＝(0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)． 【答案】A3．已知a ，b 是互相垂直的单位向量，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则c 的取值范围是( ) A ．[2－1，2＋1] B ．[2－1，2＋2] C ．[1，2＋1] D ．[1，2＋2]【解析】以a 和b 分别为x 轴和y 轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1，1)为圆心，1为半径的圆上的点， 而|c |＝x 2＋y 2，所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ， 即|c |∈[2－1，2＋1]．故选A. 【答案】A4．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，其中M (－1，3)，N (1，3)，则x ＝________． 【解析】MN →＝(1，3)－(－1，3)＝(2，0)，因为向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与MN →相等，所以(x ＋3，x 2－3x －4)＝(2，0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2x 2－3x －4＝0，故x ＝－1.【答案】－15．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，||BC →||＝2AC →，则向量OB →的坐标为__________．【解析】由所给条件知BC →＝－2AC →，可令B (x ，y )，由向量的坐标运算可得⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－23－y ＝－4，解得x ＝4，y ＝7.则OB →＝(4，7)．【答案】(4，7)6．设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 【解析】由(a ＋c )⊥b 得(a ＋c )·b ＝0，3(m ＋1)＋3m ＝0，m ＝－12，a ＝(1，－1)，所以|a |＝ 2.【答案】 27．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k AC ＋1k BC＝________．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，∵F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，∴由FA →＋FB →＋FC →＝0，得y 1＋y 2＋y 3＝0， ∴1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝x 1－x 2y 1－y 2＋x 1－x 3y 1－y 3＋x 2－x 3y 2－y 3 ＝y 122p －y 222py 1－y 2＋y 122p －y 322p y 1－y 3＋y 222p －y 322py 2－y 3 ＝（y 1＋y 2）＋（y 1＋y 3）＋（y 2＋y 3）2p ＝0.【答案】08．已知向量a ＝(m ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.(1)若向量a 与向量b 平行，求实数m 的值； (2)若向量a 与向量b 垂直，求实数m 的值；(3)若a ⊥b ，且存在不等于零的实数k ，t 使得[a ＋(t 2－3)b ]⊥(－k a ＋t b )，试求k ＋t 2t的最小值．【解析】(1)∵a ＝(m ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且a ∥b ，∴12×1－32m ＝0， m ＝33. (2)∵a ＝(m ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且a ⊥b ，∴12m ＋32×1＝0， m ＝－ 3.(3)由条件[a ＋(t 2－3)b ]⊥(－k a ＋t b )得： [a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，所以k ＝（t 2－3）t 4，故k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，所以，当t ＝－2时，k ＋t 2t 的最小值为－74.B 组题1．已知在ABCD 中，AD →＝(2，8)，AB →＝(－3，4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM →＝( )A.⎝⎛⎭⎫－12，－6B.⎝⎛⎭⎫－12，6 C.⎝⎛⎭⎫12，－6 D.⎝⎛⎭⎫12，6 【解析】因为在ABCD 中，有AC →＝AB →＋AD →，AM →＝12AC →，所以AM →＝12(AB →＋AD →)＝12×(－1，12)＝⎝⎛⎭⎫－12，6，故选B. 【答案】B2．如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD . 若动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，若AP →＝λAB →＋μAE →，则下列叙述正确的是( )A ．满足λ＋μ＝2的点P 必为BC 的中点B ．满足λ＋μ＝1的点P 有且只有一个C ．λ＋μ的最大值为3D ．λ＋μ的最小值不存在【解析】由题意，不妨设正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，则B (1，0)，E (－1，1)，故 AB →＝(1，0)，AE →＝(－1，1)，AP →＝(λ－μ，μ)，当λ＝μ＝1时， AP →＝(0，1)，此时点P 与D 重合，满足λ＋μ＝2，但P 不是BC 的中点，故A 错误；当λ＝1，μ＝0时， AP →＝(1，0)，此时点P 与B 重合，满足λ＋μ＝1；当λ＝12，μ＝12时， AP →＝⎝⎛⎭⎫0，12，此时点P 为AD 的中点，满足λ＋μ＝1，故满足λ＋μ＝1的点不唯一，故B 错误；当P ∈AB 时，有0≤λ－μ≤1，μ＝0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ＋μ≤1；当P ∈BC 时，有λ－μ＝1，0≤μ≤1，所以0≤λ－1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ＋μ≤3；当P ∈CD 时，有0≤λ－μ≤1，μ＝1，所以0≤λ－1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ＋μ≤3；当P ∈AD 时，有λ－μ＝0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ＋μ≤2.综上可得0≤λ＋μ≤3，故C 正确，D 错误．应选答案C.【答案】C3．向量a ＝(1，2), b ＝(－2，3)，若m a －n b 与a ＋2b 共线(其中m ，n ∈R ，且n ≠0)，则mn等于________． 【解析】由共线定理可得m a －n b ＝λ(a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ－n ＝2λm n ＝－12，应填答案－12.【答案】－124．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，那么|P A →＋3PB →|的最小值为________．【解析】如图，建立平面直角坐标系，设C (0，b )，P (0，y )，则B (1，b )． 又A (2，0)，则P A →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|P A →＋3PB →|2＝25＋(3b －4y )2， 所以当3b －4y ＝0，即y ＝34b 时，|P A →＋3PB →|2取得最小值25， 即|P A →＋3PB →|的最小值为5. 【答案】55．如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，且BD →＝3DC →，AC 边上的点列E n (n ∈N *)满E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)·E n D →，且实数列{a n }满足a n >0，a 1＝1.(1)用向量E n B →和E n D →表示向量E n C →； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)因为BD →＝3DC →，∴E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(E n D →－E n B →)＝－13E n B →＋43E n D →.(2)∵E n A →∥E n C →，令E n A →＝mE n C →，则14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)·E n D →＝－m 3E n B →＋4m 3E n D →， 即⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋14＋m 3E n B →－⎝⎛⎭⎫4m 3＋3a n ＋2E n D →＝0. 于是⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋14＋m 3＝04m 3＋3a n＋2＝0，即an ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．所以数列{a n ＋1}是以3为公比，以2为首项的等比数列， 则a n ＋1＝2·3n －1， 即a n ＝2·3n －1－1.6．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝9，sin B ＝cos A ·sin C ，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的一点，且CP →＝x·CA →|CA →|＋y·CB →|CB →|，求1x ＋1y 的最小值．【解析】△ABC 中，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ， ∵sin B ＝cos A ·sin C ， ∴sin (A ＋C)＝sin C cos A ，即sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin C cos A ，∴sin A cos C ＝0，∵sin A ≠0，∴cos C ＝0，C ＝90°，∵AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，∴bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，∴tan A ＝43，根据直角三角形可得sin A ＝45，cos A ＝35，bc ＝15，∴c ＝5，b ＝3，a ＝4，以C 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴，BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0，0)，A(3，0)，B(0，4)，P 为AB 线段上的一点，则存在实数λ使得 CP →＝λCA →＋(1－λ)CB →＝(3λ，4－4λ)()0≤λ≤1，设CA →|CA →|＝e 1，CB →|CB →|＝e 2，则|e 1|＝|e 2|＝1，e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)， ∴CP →＝x ·CA →|CA →|＋y ·CB →|CB →|＝(x ，0)＋(0，y )＝(x ，y )，∴x ＝3λ，y ＝4－4λ，则4x ＋3y ＝12， 1x ＋1y ＝112⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ()4x ＋3y ＝112⎝⎛⎭⎫7＋4x y ＋3y x ≥712＋33. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝124x y ＝3y x，即x ＝12－63，y ＝83－12时，⎝⎛⎭⎫1x ＋1y min ＝712＋33.第30讲 平面向量的数量积夯实基础 【p 64】【学习目标】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系； 5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题． 【基础检测】1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】解法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， ∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1. 解法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C. 【答案】C2．已知向量a ，b 满足||a ||＝1，b ＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则||a －b 等于( )A. 3 B ．3 C. 5 D ．5【解析】a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，设这两个向量的夹角为θ，则||a ||cos θ＝b cos θcos θ＝0θ＝π2，||a －b ＝（a －b ）2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋2＝3.【答案】A3．△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】由题知⎩⎪⎨⎪⎧|AB |＝|AC |＝2，AB →·AC →＝2×2×cos 60°＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝1，|2a ＋b |＝2，2a·（2a ＋b ）＝2，故有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a·b ＋b 2＝4，2a 2＋a·b ＝1，联立并化简得a·b ＝－1，b 2＝4，∴cos θ＝a·b |a|·|b |＝－11×2＝－12，则向量a ，b 的夹角为120°，故选C.【答案】C4．在△ABC 中， AB ＝AC ，点M 在BC 上， 4BM →＝BC →， N 是AM 的中点， sin ∠BAM ＝13， AC ＝2，则AM →·CN →＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋14BC →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14AC →，CN →＝CA →＋AN →＝CA →＋12AM →＝CA →＋12⎝⎛⎭⎫34AB →＋14AC → ＝38AB →－78AC →. 在△ABM 和△AMC 中，由正弦定理可得BM sin ∠BAM ＝CM sin ∠CAMsin ∠CAM ＝1，∴cos ∠BAC＝cos(∠BAM ＋∠CAM )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫∠BAM ＋π2＝－sin ∠BAM ＝－13，∴AM →·CN →＝⎝⎛⎭⎫34AB →＋14AC →·⎝⎛⎭⎫38AB →－78AC →＝932×4－732×4－916×2×2×⎝⎛⎭⎫－13＝1. 【答案】A5．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，若O 为△ABC 内一点，且满足|OA |＝|OB |＝|OC |，则AO →·BC →的值是________．【解析】AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →＝12AC →2－12AB →2＝12×92－12×52＝28.【答案】28【知识要点】 1．两向量的夹角已知非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做a 与b 的夹角．a 与b 的夹角的取值范围是__[0，π]__．当a 与b 同向时，它们的夹角为__0__；当a 与b 反向时，它们的夹角为__π__；当夹角为90°时，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ，我们把__|a ||b |cos__θ__叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a ＝0. 3．向量数量积的几何意义向量的投影：|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，__它是负值__；当θ为直角时，它是零．a·b 的几何意义：数量积a·b 等于__a 的长度|a |__与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积． 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a ＝(x5.平面向量数量积的运算律 (1)a·b ＝b·a . (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ∈R )． (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .典 例 剖 析 【p 64】考点1 平面向量的数量积的运算例1(1)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1【解析】a ·b ＝1×2＋(－1)×x ＝2－x ＝1，∴x ＝1.故选D. 【答案】D(2)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．【解析】因为a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝k e 12＋(1－2k )(e 1·e 2)－2e 22，且|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝－12，所以k ＋(1－2k )·⎝⎛⎭⎫－12－2＝0，解得k ＝54. 【答案】54(3)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【解析】∵向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2， ∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 120°＝2×3×⎝⎛⎫－12＝－3. ∵AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →·BC →＝()λAB →＋AC →·()AC →－AB →＝0， 即λAB →·AC →－AB →·AC →＋|AC →|2－λ|AB →|2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝712.【答案】712(4)在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤2，52 B.[]2，4 C.[]3，6 D.[]4，6 【解析】以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (3，0)，B (0，3)，∴AB 所在直线的方程为x 3＋y3＝1，则y ＝3－x .设M (a ，3－a )，N (b ，3－b )，且0≤a ≤3，0≤b ≤3，不妨设a ＞b ，∵MN ＝2，∴(a －b )2＋(b －a )2＝2，∴a －b ＝1，∴a ＝b ＋1，∴0≤b ≤2，∴CM →·CN →＝(a ，3－a )·(b ，3－b )＝2ab －3(a ＋b )＋9＝2(b 2－2b ＋3)＝2(b －1)2＋4，0≤b ≤2，∴当b ＝0或b ＝2时有最大值6；当b ＝1时有最小值4， ∴CM →·CN →的取值范围为[4，6]，故选D. 【答案】D考点2 平面向量的夹角与垂直问题例2已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，4)，c ＝a ＋λb (λ∈R )．(1)λ为何值时，|c |最小？此时c 与b 的位置关系如何？(2)λ为何值时，c 与a 的夹角最小？ 此时c 与a 的位置关系如何？ 【解析】(1)c ＝(1－3λ，2＋4λ)，|c |2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25⎝⎛⎭⎫λ＋152＋4， 当λ＝－15时， |c |最小，此时c ＝⎝⎛⎭⎫85，65， b ·c ＝(－3，4)·⎝⎛⎭⎫85，65＝0，∴b ⊥c ， ∴当λ＝－15时， |c |最小，此时b ⊥c .(2)设c 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c|a ||c |＝5＋5λ525λ2＋10λ＋5＝1＋λ5λ2＋2λ＋1，要c 与a 的夹角最小，则cos θ最大，∵0≤θ≤π，故cos θ的最大值为1，此时θ＝0，cos θ＝1，1＋λ5λ2＋2λ＋1＝1，解之得λ＝0，c ＝(1，2)．∴λ＝0时， c 与a 的夹角最小， 此时c 与a 平行．【点评】本题主要考查向量的数量积和坐标运算．求解两个向量之间的夹角的步骤：第一步，先计算出两个向量的数量积；第二步，分别求出这两个向量的模；第三步，根据公式cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|，求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步，根据两个向量夹角的范围在[0，π]内及其余弦值，求出这两个向量的夹角．其中当向量的夹角为锐角时a·b >0，且两向量不共线，当向量的夹角为钝角时a ·b <0，且两向量不共线．考点3 平面向量的模及其应用例3(1)已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2 D.22【解析】由(a －c )·(b －c )＝0，得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝0，因为a 与b 垂直，所以a ·b ＝0，进而可得c 2＝(a ＋b )·c ，即|c |2＝|a ＋b ||c |cos θ，又由a 、b 为互相垂直的两个单位向量可知|a ＋b |＝ 2.所以|c |＝2cos θ，|c |∈[]0，2，即|c |的最大值为2，故选C.【答案】C(2)已知|a |＝4，e 为单位向量，当a 、e 的夹角为2π3时， a ＋e 在a －e 上的投影为( )A ．5 B.154C.151313D.5217【解析】由题设||a －e ＝42－2×4×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝21，(a ＋e )·(a －e )＝42－12＝15，所以（a ＋e ）·（a －e ）|a －e|＝1521＝5217，应选答案D.【答案】D【点评】解答本题的关键是准确理解向量在另一个向量上的投影的概念．求解时先求两个向量a ＋e 和a －e 的模及数量积的值，然后再运用向量的射影的概念，运用公式（a ＋e ）·（a －e ）|a －e |进行计算，从而使得问题获解．例4在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)． (1)求向量AC →，BC →夹角的大小；。

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((这是边文，请据需要手工删加)(这是边文，请据需要手工删加)第十一章选修4－4坐标系与参数方程知识体系【p167】第73讲坐标系夯实基础【p167】【学习目标】1．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．【基础检测】1．在同一平面直角坐标系中，直线x －2y ＝2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ，y ′＝4y 后，变成直线____________．【解析】由伸缩变换⎩⎨⎧x′＝x ，y ′＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝14y′.将其代入x －2y ＝2，得2x′－y′＝4，即变换后的直线方程为2x －y ＝4. 【答案】2x －y ＝42．若圆C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy ，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是________．【解析】因为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ－1＝0，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y －1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．【答案】(1，3)3．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程是________．【解析】O 为极点，OB 为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin （θ－90°），化简得ρ＝－22cos θ.【答案】ρ＝－22cos θ4．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，求△AOB(其中O为极点)的面积．【解析】由题意知A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA·OB·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.5．求在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程．【解析】点⎝⎛⎭⎫2，π2在直角坐标系下的坐标为⎝⎛⎭⎫2cos π2，2sin π2，即(0，2)．∴过点(0，2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2.【知识要点】1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：__⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λx （λ>0）y′＝μy （μ>0）__的作用下，点P(x ，y)对应到点P′(x′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．设M 是平面上任意一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边、射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对__(ρ，θ)__称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ，θ)决定一个点的位置．其中，ρ称为点M 的__极径__，θ称为点M 的__极角__．由极径的意义可知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系，我们约定，极点的极坐标是极径ρ＝0，极角θ可取任意角．3．坐标之间的互化点的极坐标和直角坐标的互化以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图)．平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y)和(ρ，θ)，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ__，__⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0)__． 通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ<2π. 4．直线的极坐标方程0，θ0α，直线l 的极坐标方程为：__ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)__． 5．半径为r 的圆的极坐标方程 (1)(2)0，θ0ρ2－2ρ0ρcos (θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0.典 例 剖 析 【p 168】考点1 平面直角坐标系下图形的伸缩变换例1将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 12＋y 12＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.【点评】(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的P (x ，y )与变换后的点P′(x′，y ′)的坐标关系，利用方程思想求解．(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其实质是将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 代入转化．考点2 极坐标与直角坐标的互化例2在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α⎝⎛⎭⎫π6<α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于异于原点的A ，B两点，求||OA ·||OB 的最大值． 【解析】(1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2 θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y.(2)解法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝sin αcos 2α，故|OA|·|OB|＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，∵π6<α≤π4，∴|OA|·|OB|的最大值为4. 解法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π6<α≤π4.把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4tcos α＝0，解得t 1＝0，t 2＝4cos α. 故|OA|＝|t 2|＝4cos α. 同理可求得|OB|＝sin αcos 2α，故|OA|·|OB|＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，∵π6<α≤π4，∴|OA|·|OB|的最大值为4. 【点评】(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，注意ρ，θ的取值范围及其影响；善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；灵活运用代入法和平方法等技巧．考点3 极坐标方程的应用例3在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.【点评】(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．方 法 总 结 【p 169】1．点M (ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．如果限定ρ>0，0≤θ<2π或－π<θ≤π，那么除极点外，平面内的点和极坐标(ρ，θ)一一对应．2．极坐标和直角坐标的互化公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx （x ≠0）.这两组公式必须满足下面的“三个条件”才能使用：(1)原点与极点重合；(2)x 轴正半轴与极轴重合；(3)长度单位相同．极坐标和直角坐标的互化中，需注意等价性，特别是两边乘以ρn 时，方程增了一个n 重解ρ＝0，要判断它是否是方程的解，若不是要去掉该解．3．极坐标方程的应用及求法(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方程尽量简单．(2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题．(3)利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出关于极坐标(ρ，θ)的方程是求极坐标系曲线方程的法宝．(4)极坐标系内点的对称关系：①点P (ρ，θ)关于极点的对称点为P ′(ρ，θ±π)；②点P (ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点为P ′(ρ，－θ)；③点P (ρ，θ)关于直线θ＝π2的对称点为P ′(ρ，π－θ)；④点P (ρ，θ)关于直线θ＝π4的对称点为P ′⎝⎛⎭⎫ρ，π2－θ.4．极坐标系下A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)间的距离公式|AB |＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.走 进 高 考 【p 169】(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)， 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)．(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.考 点 集 训 【p 278】A 组题1．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |等于( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 2|C.a 2＋b 2|t 1－t 2|D.|t 1－t 2|a 2＋b2【解析】由两点间距离公式得，|AB |＝[（x 0＋at 1）－（x 0＋at 2）]2＋[（y 0＋bt 1）－（y 0＋bt 2）]2＝a 2＋b 2|t 1－t 2|，故选C. 【答案】C2．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【解析】设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1， 即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程． 可见仍是双曲线，则焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)．3．已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A到直线l 的距离．【解析】依题可知直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4的直角坐标表示法为l ：x－y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.4．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．【解析】圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ， 即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94， 直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32，解得a ＝－3±3 5.5．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的直角坐标方程．【解析】在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cosπ4＝1， 于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 则ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2x ， 故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1.6．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，求|PQ |的最大值．【解析】将曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程： ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程： ∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcosπ6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ |max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.7．已知直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．【解析】∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ，∴ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎫x －22k 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋22k 2＝k 2，∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， ∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎨⎧k ＞0，k ＝2k ＋3，或⎩⎨⎧k ＜0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－22，22. B 组题1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 【解析】(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcosπ4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.2．在极坐标系中，已知直线l 过点A (1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线l 的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离．【解析】(1)如图，由正弦定理得 ρsin 2π3＝1sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ. 即ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝sin 2π3＝32，∴直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝32.(2)作OH ⊥ l ，垂足为H ，在△OHA 中，OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OA sin π3＝32，即极点到该直线的距离等于32. 3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0<α<π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |＝42，求实数α的值．【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ可得C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4. (2)由(1)得曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cos θ， 由题意设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 则|AB |＝|ρ1－ρ2|＝4|sin α－cos α| ＝42⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝42，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝±1，∴α－π4＝π2＋k π(k ∈Z )，∵0<α<π，∴α＝3π4.4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，直线l 的极坐标方程为ρ＝42sin θ＋cos θ. (1)写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；(2)设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值． 【解析】(1)C 1：x 2＋2y 2＝2，l ：2y ＋x ＝4.(2)设Q (2cos θ，sin θ)，则点Q 到直线l 的距离 d ＝|2sin θ＋2cos θ－4|3＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－43≥23＝233，当且仅当θ＋π4＝2k π＋π2，即θ＝2k π＋π4(k ∈Z )时，Q 点到直线l 距离的最小值为233.第74讲 参数方程夯实基础 【p 170】【学习目标】1．了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题．2．掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程．【基础检测】1．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)【解析】消去参数，转化为普通方程得y ＝x －2，其中x ∈[2，3]，y ∈[0，1]．故选C . 【答案】C2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝2(t 为参数)表示的曲线是________．【解析】由x ＝t ＋1t知x ≥2或x ≤－2，∴曲线方程为y ＝2(x ≥2或x ≤－2)，表示两条射线． 【答案】两条射线3．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________． 【解析】椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1，则右焦点的坐标为(1，0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1，0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－114＝154.【答案】1544．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，求k 的值． 【解析】直线l 1的普通方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k2；直线l 2的普通方程为y ＝－2x ＋1，斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝⎛⎭⎫－k2×(－2)＝－1 k ＝－1. 【知识要点】1．参数方程的定义在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即__⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ）y ＝g （t ）__，并且对于t 的每一个允许值，由该方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么此方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x ，y)＝0叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化由参数方程化为普通方程：__消去参数__，消参数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法等．如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g(t)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．典 例 剖 析 【p 170】考点1 参数方程与普通方程的互化例1已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋55t ，y ＝4＋255t(t 为参数)． (1)求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且|PQ|＝455，求实数m 的值．【解析】(1)由⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝m ＋sin α，得⎩⎨⎧x ＝cos α， ①y －m ＝sin α， ②①的平方加②的平方得曲线C 的普通方程为： x 2＋(y －m )2＝1. 由x ＝1＋55t ，得55t ＝x －1，代入y ＝4＋255t 得 y ＝4＋2(x －1)，所以直线l 的普通方程为y ＝2x ＋2.(2)圆心(0，m )到直线l 的距离为d ＝|－m ＋2|5，所以由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫|－m ＋2|52＋⎝⎛⎭⎫2552＝1， 解得m ＝3或m ＝1.【点评】(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．考点2 直线与圆的参数方程及应用例2在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3的交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB|的最大值．【解析】(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.【点评】(1)过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即|t |＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2)．(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题．考点3 参数方程与极坐标方程的综合问题例3极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF|＋1|BF|的值．【解析】(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得，ρ2sin 2θ＝8ρcos θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x. (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2，0)， 将直线l 的方程代入y 2＝8x ， 得(tsin α)2＝8(2＋tcos α)，整理得sin 2α·t 2－8cos α·t －16＝0. 由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2α＝64＞0， ∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α＜0， 故1|AF|＋1|BF|＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.方 法 总 结 【p 171】1．选取参数时的一般原则是：(1)x ，y 与参数的关系较明显，并列出关系式；(2)当参数取一值时，可唯一确定x ，y 的值；(3)在研究与时间有关的运动物体时，常选时间作为参数；在研究旋转物体时，常选用旋转角作为参数；此外，也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数．2．求曲线的参数方程常常分成以下几步：(1)建立直角坐标系，在曲线上设任意一点P (x ，y )；(2)选择适当的参数；(3)找出x ，y 与参数的关系，列出解析式；(4)证明(常常省略)．3．根据直线的参数方程标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：(1)若M 1，M 2为l 上任意两点，M 1，M 2对应t 的值分别为t 1，t 2，则|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(2)若M 0为线段M 1M 2的中点，则有t 1＋t 2＝0；(3)若线段M 1M 2的中点为M ，则M 0M ＝t M ＝t 1＋t 22.一般地，若点P分线段M 1M 2所成的比为λ，则t P ＝t 1＋λt 21＋λ.4．直线的参数方程的一般式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，是过点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程．当且仅当a 2＋b 2＝1且b ≥0时，才是标准方程，t 才具有标准方程中的几何意义．将非标准方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt 化为标准方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0±|a|a 2＋b 2t ′，y ＝y 0＋|b|a 2＋b 2t ′(t′∈R )，式中“±”号，当a ，b 同号时取正；当a ，b 异号时取负．5．参数方程与普通方程互化时，要注意：(1)不是所有的参数方程都能化为普通方程；(2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小；(3)把普通方程化为参数方程时，由于参数选择的不同而不同，参数的选择是由具体的问题来决定的．6．在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标，将问题转化为三角函数问题求解．7．在直线与圆和圆锥曲线位置关系问题中，涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数的几何意义求解．8．在求某些动点的轨迹方程时，直接寻找x ，y 的关系困难，甚至找不出时，可以通过引入参数，建立动点的参数方程后求解．走 进 高 考 【p 171】(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a . 【解析】(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.考 点 集 训 【p 280】A 组题1．求直线⎩⎨⎧x ＝1－12t ，y ＝32t(t 为参数)被曲线⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)所截得的弦长．【解析】直线方程可化为3x ＋y －3＝0， 曲线方程可化为x 2＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x ＋3，x 2＋y 23＝1，得x 2－x ＝0，∴x ＝0或x ＝1. 可得交点为A (0，3)，B (1，0)． ∴AB ＝1＋3＝2. ∴所截得的弦长为2.2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋at ，y ＝bt (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．【解析】直线的普通方程为bx －ay －4b ＝0，圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，直线与圆相切，则圆心(2，0)到直线的距离为3，从而有3＝|2b －a ·0－4b |a 2＋b 2，即3a 2＋3b 2＝4b 2，∴b ＝±3a ，而直线的倾斜角的正切值为tan α＝ba ，∴tan α＝±3，因此切线的倾斜角为π3或2π3. 3．已知直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程．【解析】∵直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0. ∴原点到直线的距离r ＝22＝1. ∴以极点为圆心且与直线l 相切的圆的极坐标方程为ρ＝1.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C相交于A ，B 两点，求AB 的长．【解析】直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，y 2－x 2＝4.解得⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝－322.或⎩⎨⎧x ＝22，y ＝322.所以A ⎝⎛⎭⎫－22，－322，B ⎝⎛⎭⎫22，322.所以|AB |＝⎝⎛⎭⎫－22－222＋⎝⎛⎭⎫－322－3222＝2 5.5．已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 【解析】(1)由已知可得A ⎝⎛⎭⎫2cosπ3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2， C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π， D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32，52]．6．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解析】(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 故直线OP 的直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2， 圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r .故直线l 与圆C 相交．B 组题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为9ρ2cos 2θ＋16ρ2sin 2θ＝144，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 恒过的定点A 的坐标；(2)在(1)的条件下，若||AP ·||AQ ＝9，求直线l 的普通方程． 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C ：x 216＋y 29＝1.直线l 恒过的定点为A (2，0)．(2)把直线l 的方程代入曲线C 的直角坐标方程中得：(9＋7sin 2α)t 2＋36t cos α－9×12＝0.由t 的几何意义知|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|.因为点A 在椭圆内，这个方程必有两个实根，所以t 1t 2＝－36×39＋7sin 2α，因为||AP ·||AQ ＝||t 1t 2＝9，即36×39＋7sin 2α＝9， 所以sin 2α＝37，因为α∈(0，π)，所以tan α＝±32， 因此，直线l 的方程为y ＝±32(x －2)． 2．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ，曲线C 1经过坐标变换⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′得到曲线C 2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝22t (t 为参数，t ∈R )． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 1的直角坐标方程；(2)若P 为曲线C 2上的点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【解析】(1)直线l 的普通方程为x －y －2＝0，曲线C 1的直角坐标方程为3x 2＋4y 2＝12， 即x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，曲线C 2的方程为x ′2＋y ′2＝1，其圆心C 2(0，0)，半径r ＝1，所以圆心C 2到直线l 的距离d ＝22＝2，所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 3．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 1＋k 2，y ＝2（1－k 2）1＋k 2(k 为参数)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos θ，y ＝1＋t sin θ(t 为参数)． (1)将曲线C 的方程化为普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且P (2，1)为弦AB 的中点，求弦AB 所在直线的方程．【解析】(1)由y ＝2（1－k 2）1＋k 2，得y 2＝－1＋21＋k 2， 即y 2＋1＝21＋k 2. 又x ＝8k 1＋k 2，所以k ＝x 2y ＋4，代入8k 1＋k 2＝x ， 得8×x 2y ＋41＋⎝⎛⎭⎫x 2y ＋42＝x ， 整理得x 216＋y 24＝1，即曲线C 的普通方程为x 216＋y 24＝1. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos θy ＝1＋t sin θ代入x 216＋y 24＝1， 整理得(4sin 2θ＋cos 2θ)t 2＋(4cos θ＋8sin θ)t －8＝0.由P 为AB 的中点，得4cos θ＋8sin θ4sin 2θ＋cos 2θ＝0， 所以cos θ＋2sin θ＝0，即tan θ＝－12， 故直线AB ：y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.4．将圆x 2＋y 2＝1上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32，且直线l 在直角坐标系中与x ，y 轴分别交于A ，B 两点． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)问在曲线C 上是否存在点P ，使得△ABP 的面积S △ABP ＝3，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)曲线C ：x 216＋y 29＝1，故曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝3sin α(α为参数)， 直线l 的普通方程为：x ＋y －6＝0.(2)设曲线C 上点P (4cos α，3sin α)，点P 到直线l 的距离为d ，则d ＝||4cos α＋3sin α－62＝||5sin （α＋φ）－62≥22， 故S ΔABP ≥12×62×22＝3，当sin(α＋φ)＝1时取等号， 即sin α＝35，cos α＝45， 此时P ⎝⎛⎭⎫165，95.。

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