2021高考艺体生基础生考点培优讲义《考点1 复数》

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2021届高考数学艺体生文化课总复习点金课件：第一章集合、充要条件、量词、复数测试

【答案】 C 【解析】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为 ∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1.故选C.
7.(2015新课标Ⅰ卷,文)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z= ( )
A.-2-i
B.-2+I
C.2-i
D.2+i
【答案】 C 【解析】 ∵(z-1)i=1+i,∴z=1 i +1=2-i.故选C.
5.“m<4”是“∀x∈[3,+∞),x2-mx+4>0恒成立”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 x2 mx 4 0, x [3, )可化为m x 4 (x 3). x
函数y x 4 在x [3, )上单调递增,所以当x 3时, x
e
x0
≤1.故
选B.
二、填空题
12.(2014辽宁,文) 已知全集U=R,集合A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集
合∁U(A∪B)=
.
【答案】 {x|0<x<1} 【解析】由已知得,A∪B={x|x≤0或x≥1},故∁U(A∪B)={x|0<x<1}.
13.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<m+1},若x∈A是x∈B成立
y x 4 取得最小值,为13.由x [3, ), x2 mx 4 0恒成立,
x
3
可得m的取值范围是(-,13 ).所以“m 4”是“x [3, ), 3
x2 mx 4 0恒成立”的充分不必要条件.故选A.
6.(2015湖北,文)命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是 ( ) A.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1 B.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1 C.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1 D.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1

专题02 复数(基础篇)-2021年高考数学备考艺体生百日突围系列(原卷版)

艺体生文化课--百日突围讲练通》专题二复数复数的概念及其几何意义【背一背基础知识】1．形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数集用集合C 表示．学-科网2．复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数．3．复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =．特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==． 4．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一一对应．复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ 一一对应．5．复数的模：向量OZ 的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且22||z a b =+．【讲一讲释疑解难】1．必备技能：对于复数的基本概念及其几何意义的考查，一般首先通过复数的基本运算将复数利用一般形式进行表示，然后利用相关知识与公式进行求解．2．典型例题例1【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A ．i(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．(1+i)2D ．i(1+i)例2【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知i 是虚数单位，复数()11Z m m i =-++（其中m R ∈）是纯虚数，则m =（）A. 1-B. 1C. 1±D. 0例3【2018年文北京卷】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限复数四则运算【背一背基础知识】1．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-． 2．复数的加法、减法、乘法、除法运算：加法、减法法则：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±；乘法法则：()()()()2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i +⋅+=+++=-++；除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc ad i c di c di c di c d c d+-++-==+++-++．【讲一讲释疑解难】2．典型例题例1【2018年全国卷Ⅲ文】A. B. C. D.例2【2017山东，文2】已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（）A.-2iB.2iC.-2D.2例3.设103i z i=+，则z 的共轭复数为（） A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -【练一练能力提升】一、选择题（12*5=60分）1．【2018届山东省菏泽市高三上学期期末】复数z 的共轭复数()()122+z i i =+，则z = ( )A. 5i -B. 5iC. 1+5iD. 15i -2.【2018届河北省邢台市高三上学期期末】设复数3z i =-，则复数z i 的实部为（） A. -3 B. 3 C. -1 D. 13.【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟】已知i 是虚数单位，复数21i-的虚部为（） A. 1 B. i C. -1 D. i - 4．【2018届安徽省马鞍山市高三第一次（期末】i 是虚数单位，复数211z i i =++在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5．【2018届福建省漳州市高三1月调研】在复平面内，复数z 1和z 2对应的点分别是A(2，1)和B(0，1)，则12z z = ( )学_科网 A. －1－2i B. －1＋2i C. 1－2i D. 1＋2i6．【2018年文北京卷】在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】已知复数4723i z i-=+，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限A.52i B. 52C. 2i -D. -2 9.已知i 是虚数单位，11z i =+，则z =（） A ．0 B ．1 C 2 D ．210．已知复数1z i =-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（）11.【2016高考新课标Ⅲ文数】若43i z =+，则||z z ＝（）（A ）1 （B ）1- （C ）43i 55+ （D ）43i 55- 12．【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知复数31i z i+=-，则关于z 的四个命题：1:p z 的虚部为2i ； 2:p 5z = 3:p z 的共轭复数为12i - 4:p z 在复平面内对应的点在第四象限.其中的真命题为( )二、填空题（4*5=20分）14．【2018届北京市通州区高三上学期期末】已知复数2i ia -的实部与虚部相等，那么实数a =_______. 15．【2018届福建省厦门市高三年级上学期期末】复数z 满足()1i 2i z -=，则z =__________．16．【2018届河北省廊坊市第八高级中学高三模拟】若复数z 满足32i z i ⋅=-+，且其对应的点为Z ，则点Z 的坐标为__________．。

考点1 复数教师2021年高考 2020级备考艺考生专用讲义考点

4
a b
6 8
,
z
6 8i
，所以复数 z
在复平面内所对应的点在第二象限．
故选： B ． 7．（2020•番禺区模拟）设 (2 i)(3 xi) 3 ( y 5)i(i 为虚数单位），其中 x ， y 是实数，则 | x yi | 等于 (
)
A．5
B．13
C．22
D．2
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培优题型篇
安老师培优课堂
∴ z 3 1 i .故选：C. 55
题型三复数的几何意义
例
8(2018
全国卷Ⅰ)设
z
1 1
i i
2i
，则
|
z
|
A． 0
1
B．
2
C．1
D． 2
【解析】因为 z 1 i 2i= (1 i)2 2i i 2i i ，所以| z | 1 ，故选 C． 1 i (1 i)(1 i)
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 2．复数的运算 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
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3．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi 与复平面内的点 Z(a，b)及平面向量O→Z＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． (2)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2(a，b∈R)．
A．0
B． 4i

2021届高考数学艺体生文化课总复习点金课件：第一章第4节复数

(2)
1 1
i i
i, 1 1
i i
i.
(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(周期为4).
(4)i+i2+i3+i4=0. 5.复数的三角形式: z=a+bi=rcos θ+rsin θi=r(cos θ+sin θi).(其中r= a2 b2 )
精选例题
【例1】
(2017新课标Ⅲ卷)
3i 1 i
=
()
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
【答案】 D
【解析】
3 1
i i
(3+i)(1 i) 2 =2-i.故选D.
D.2-i
【例2】 (2019新课标Ⅰ卷,文)设z= 3 i ,则|z|= ( ) 1 2i
A.2
B. 3
C. 2
D.1
【答案】 C 【解析】 z 3 i (3 i)(1 2i) = 1 - 7 i,
1+2i (1+2i)(1 2i) 5 5 所以 z (1)2 (7)2 2.故选C.
55
专题训练
1.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b= ( )
1
1
A.-2
B.-
C.
D.2
2
2
【答案】 D
【解析】 (1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i,要(2-b)+(2b+1)i是纯虚数,则
13.(2016新课标Ⅱ卷,理)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的

山东高考数学艺术生复习第一课集合与复数

山东高考数学艺术生复习第一课集合与复数基础知识专题训练01集合一、考试要求内容集合及其表示子集集合交集、并集、补集等级要求A√√√BC二.基础知识1、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：、、（2）集合与元素的关系用符号，表示。

（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集（4）集合的表示法：、、注意：区分集合中元素的形式：如：A{某|y某22某1}；B{y|y某22某1}；C{(某,y)|y某22某1}；D{某|某某22某1}；（5）空集是指不含任何元素的集合。

（{0}、和{}的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

(注意：AB，讨论时不要遗忘了A的情况。

)2、集合间的关系及其运算（1）符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系（2）AB{________________}；AB{________________}；CUA{_______________}（3）对于任意集合A,B，则：①AB___BA；AB___BA；AB___AB；②ABA；ABA；CUABU；CUAB；3、集合中元素的个数的计算：若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是三．基础训练1．集合A某|某3或某3，B某|某1或某4，AB_________.2．设全集I1,2,3,4,5,A1,4，则CIA______，它的子集个数是(CUM)N__________3．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则1,2,3,4,5,6,7,8}4．设U{5.,A{3,4,5},B{4,7,8}.则:(CUA)(CUB),(CUA)(CUB)已知全集UR,且A某|某12,B某|某26某80,则(CUA)B________四、拓展提高1．设集合P1,2,3,4,Q某某2,某R，则PQ等于（）A、{1，2}B、{3，4}C、{1}D、{-2，-1，0，1，2}2．已知全集U{1,2,3,4,5,6}，集合A{1,2,5}，CUB{4,5,6}，则集合AB()A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3}D．{3,4,6}3.已知集合A{某|y2某1}，B{y|y某2某1}，则AB等于（）3A．{(0,1),(1,3)}B.RC.(0,)D.[,)44.设A(某,y)y4某6,B(某,y)y3某8，则AA.(2,B()1)B.(2,2)C.(3,1)D.(4,2).5.已知集合M满足M1,21,2,3,则集合M 的个数是（）A.1B.2C.3D.46.A=某某13某7，则A2Z的元素的个数．7.满足{a}M{a,b,c,d}的集合M有个8、集合A{某|a某(a6)某20}是单元素集合，则实数a=9.集合A{3,2},B{a,b},若Aa2B{2},则AB____________________．某10.已知集合M={某|ylg(1某)}，集合N{y|ye,某R}(e为自然对数的底数），则MN=11..已知集合M{0,1,2},N{某|某2a,aM},则集合MN等于12.设全集为U，用集合A、B、C的交、并、补集符号表图中的阴影部分。

2021艺体生基础生培优讲义考点1 复数(学生版)

艺术生高三文科数学复习讲义第13讲-复数

第13讲复数【基础知识】 1.复数的定义：形如),(R b a bi a ∈+的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。

全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.2. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.3.i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数相等：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小5.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数6．复数的四则运算：①i d b c a di c bi a )()()()+++=+++（②i ad bc bd ac di c bi a )()-())(++=++（ ③2222a biac bdbc ad i c di c d c d ++-=++++【基础训练】1、(2013·浙江高考文科)已知i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)= ( )A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.7+5i2、（2010·湖南高考文科）复数21i-等于（） (A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i3、（2013·辽宁高考文科）复数11z i =-的模为（） 4、（2013·湖南高考文科）复数z=i·(1+i )(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【典例分析】1、（2013·新课标Ⅰ高考文科）=-+2)1(21i i （） A. i 211-- B. i 211+- C. i 211+ D. i 211- 2、（2013·山东高考文科）复数)()2(2为虚数单位i ii z -=，则=||z （） A.25 B. 41 C.5 D.53、（2013·江西高考文科）复数)2(i i Z --=（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4、（2012·新课标全国高考文科）复数z ＝－3+i 2+i的共轭复数是（）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i【提高训练】1、（2011·湖南高考文科）若a 、b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则（）（A ）a=1,b=1 （B ）a=-1,b=1 （C ）a=1,b=-1 （D ）a=-1,b=-12、（2013·北京高考文科）在复平面内，复数)2(i i -对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、（2012·湖南高考文科）复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是( )（A ）-1-i (B)-1+i (C)1-i (D)1+i4、（2012·山东高考文科）若复数z 满足i i z 711)2(+=-（i 为虚数单位），则z 为（）（A ）i 53+ （B ）i 53- （C ）i 53+- （D ）i 53--5、（2011·福建卷文科）i 是虚数单位,1+i 3等于( )(A)i (B)-i (C)1+i (D)1-i6、（2013·重庆高考文科·Ｔ11）已知复数12z i =+（i 是虚数单位），则z = ．。

2021年高考数学总复习：复数

答案：C
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3．设(1－i)x＝1＋yi，其中 x，y 是实数，则 x＋yi 在复平面内所对
应的点位于
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：∵x，y 是实数，∴(1－i)x＝x－xi＝1＋yi，∴x－＝x1＝，y，
解得xy＝＝－1，1， ∴x＋yi 在复平面内所对应的点为(1，－1)，位
题意得2a5＋2＋a－5 1＝2，解得 a＝3．故选 D．
答案：D
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2．已知1－z i＝2＋i，则 z (z 的共轭复数)为
A．－3－i
B．－3＋i
C．3＋i
D．3－i
()
解析：由题意得 z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以 z ＝3＋i，故选 C．
答案：C
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3．已知 i 为虚数单位，复数 z＝12＋＋3ii，则|z|＝________．
选 B．
答案：B
返回
6．已知复数 z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为 A，B，C，若―O→C ＝λ―O→A ＋μ―O→B (λ，μ∈R )，
则 λ＋μ 的值是________．解析：由条件得―O→C ＝(3，－4)，―O→A ＝(－1,2)，―O→B ＝(1，－1)，根据―O→C ＝λ―O→A ＋μ―O→B ，得 (3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)， ∴－ 2λ－λ＋μμ＝＝－3，4，解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1．
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵复数 a＋bi ＝a－bi 为纯虚数，∴a＝0 且－b≠0，即 a
＝0 且 b≠0，∴“ab＝0”是“复数 a＋bi 为纯虚线”的必要不

艺考生专题讲义02 复数

考点02 复数知识梳理1．复数的概念(1) 虚数单位ii 是虚数单位，满足i 2＝－1；i 和实数在一起进行四则运算，进行四则运算时原有的加法、乘法运算律仍然成立．(2) 复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．把复数表示为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，叫做复数的代数形式．(3) 复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4) 共轭复数实部相等，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，即a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5) 复数的模设复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，z 在复平面内对应点为Z ，则向量OZ →的长度叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．2．复平面从复数的定义可以知道，任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )都可以用一个有序实数对(a ，b )唯一确定，这样我们可以用建立了直角坐标系内的点来表示复数．当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数，除了原点，虚轴上的点都表示纯虚数．在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称．3．复数的几何意义复数、点、向量之间有一一对应的关系，复数的模表示复数对应的点到原点的距离．(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i 平面向量OZ →.(3)复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值：|z |＝a 2＋b 2.4．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i (a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)． (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1、z 2、z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．5．复数的运算常用结论(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈N *；(4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *.(5)设ω＝－12＋32i ，则|ω|＝1；1＋ω＋ω2＝0；ω＝ω2. 6．复数的几点注意事项(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．7．数系的发展自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 以及复数集C 之间关系为N Z Q R C精讲精练题型一复数的概念例1 (1) 复数z ＝2＋i 的共轭复数为________．(2)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的________．①充分不必要条件 ②必要不充分条件 ③充分必要条件 ④既不充分也不必要条件答案 (1) 2－i (2) ③解析 (1) ∵ z ＝2＋i ，∴ z ＝2－i.(2)由纯虚数的定义知：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇒x ＝1，选③. 举一反三 (1)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为________．(2) 设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝________．答案 (1) －1 (2) 22解析 (1)∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0a －1≠0，∴a ＝－1. (2) ∵z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22.方法总结 1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．2. 解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．题型二复数的几何意义例2设i是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于第____象限.答案第二象限解析2i1－i＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2i(i－1)2＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限.举一反三设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________．答案－5解析∵z1＝2＋i在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(－2，1)，即z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.方法总结 1.复数z、复平面上的点Z及向量OZ相互联系，即z＝a＋b i(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ.2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．题型三复数的代数运算例3若复数z满足z1－i＝i，其中i为虚数单位，则z＝________．答案1－i解析∵z1－i＝i，∴z＝i(1－i)＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.举一反三设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)等于________．答案3＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝1＋i＋2＝3＋i.方法总结复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，1.复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．2.复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．除法实际上是分母实数化的过程．。

2021届高三英语高考语法复习讲义考点(一)可数名词的复数形式(真题练习知识串讲)

高三英语高考语法复习讲义考点(一)可数名词的复数形式I •单句语法填空［全析考法］1. Two of the authors of the review also made a study published in 2014that showed a mere five to 10 minu tes a day of running reduced the risk ofheart disease and early deaths from all ______________ (cause) .解析：causes 此处的cause是可数名词，表示"原因”。

根据其前的all可知，应该使用复数形式，故填causes。

2. Making Chinese _______________ (dish) is seen as especially troublesome.解析：dishes 此处dish是可数名词，其前无限定词，故用其复数形式泛指中国菜。

3. This trend, which was started by the medical community ( 医学界)as amethod of fight ing heart disease, has had some uninten ded side ________________(effect) such as overweight and heart disease —the very thing the medical community was trying to fight. 解析：effects 根据空格前面的some 以及空格后面列举的两个例子“ overweight and heart disease "可知，应用effect 的复数形式。

4. In 1863 the first underground passenger railway in the world opened inLondon .It ran for just un der seve n kilometers and allowed people to avoidterrible _______ (crowd) on the roads above as they travelled to and from work.解析：crowds 根据空格前面的形容词terrible 可知此处填名词，crowd 表示"人群”，是可数名词，前面没有限定词，所以用名词的复数形式。

最新基础生艺体生培优考点题型篇1-6小题和数列专题学生版

考点1 复数[玩前必备]1．复数的有关概念 (1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做实部，b 叫做虚部．(i 为虚数单位) (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝⇔a ＝c ，b ＝d ((4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R3．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． (2)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )．[玩转典例]题型一复数的概念例1（2018•福建）若复数2(32)(1)a aa i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．1-例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是 . 例3（2015•湖北）i 为虚数单位，607i 的共轭复数为( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-(2i)(1i)a ++i例4【2016高考新课标理数1】设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +( )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 题型二复数的代数运算例5（2016•全国）复数22(12)(2)i i -+的模为( )A ．1B ．2CD ．5例6（2020•梅河口市校级模拟）设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．0题型三复数的几何意义例7（2020•桥东区校级模拟）若复数52z i=-，则||(z = )A ．1BC ．5D ．例8（2020•涪城区校级模拟）若复数z 满足(12)10z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[玩转练习]1．（2020•龙岩一模）设(1)z i i =-，则(z = ) A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+ 2．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数z 满足(12)2i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．23．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+B ．3122i -+C ．1322i -+D ．1322i + 4．（2020•眉山模拟）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是( ) A ．2z i i =-g B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 5．（2020•内蒙古模拟）设复数z 的共轭复数为z ，i 为虚数单位，若1z i =-，则(32)(z i += ) A ．25i --B ．25i -+C ．25i +D ．25i -6．（2020•南海区模拟）复数满足||48z z i +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2020•番禺区模拟）设(2)(3)3(5)(i xi y i i +-=++为虚数单位），其中x ，y 是实数，则||x yi +等于() A ．5B ．13C ．22D ．28．（2020•临汾模拟）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g )A BC ．5D ．39．（2020•临汾模拟）设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2(z z += ) A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．（2020•芮城县模拟）已知复数z 满足2z i R +∈，z 的共轭复数为z ，则(z z -= ) A ．0B ．4iC ．4i -D ．4-11．（2020•黄冈模拟）已知i 是虚数单位，设复数112z i =+，22z i =-，则12||(z z = )A ．BC D ．112．（2020•福清市一模）已知复数z 满足(1)|1|z i +=，其中i 为虚数单位，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限13．（2020•肇庆二模）设复数z 满足|1|1z -=，则z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则( ) A ．22(1)1x y ++=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(1)1x y ++=14．（2020•来宾模拟）已知复数z 满足(2)|34|(z i i i -=+为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)--D ．(2,1)--15．（2020•东湖区校级模拟）已知i 为虚数单位，211z i i=--g ，则关于复数z 的说法正确的是( )A ．||1z =B ．z 对应复平面内的点在第三象限C ．z 的虚部为i -D ．2z z +=16．（2020•洛阳一模）已知复数z 在复平面中对应的点(,)x y 满足22(1)1x y -+=，则|1|(z -= )A ．0B ．1CD ．2考点2 集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、V enn 图法． (4)常见数集的记法2.A B (或B A )3.集合的运算(1)如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母 U 表示；A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }[玩转典例]题型一集合的基本概念例1（2020•济南模拟）设集合{1A =，2，3}，{4B =，5}，{|M x x a b ==+，a A ∈，}b B ∈，则M 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6例2（2018全国卷Ⅱ）已知集合22{(,)|3}=+∈∈Z Z ≤，，A x y x y x y ，则A 中元素的个数为 A ．9B ．8C ．5D ．4题型二集合间的基本关系例3（2015•全国）设集合{1A ⊆，2，3，4}，若A 至少有3个元素，则这样的A 共有( ) A ．2个B ．4个C ．5个D ．7个例4（2020•青岛模拟）已知集合2{|20}A x x x =->，{|B x x =<<，则( ) A ．A B =∅IB ．A B R =UC ．B A ⊆D ．A B ⊆题型三集合的基本运算例5（2017•山东）设函数y =A ，函数(1)y ln x =-的定义域为B ，则(A B =I ) A ．(1,2)B ．(1，2]C ．(2,1)-D ．[2-，1)例6（2017•新课标Ⅰ）已知集合{|1}A x x =<，{|31}x B x =<，则( ) A ．{|0}A B x x =UD ．A B =∅I例7（2016•全国）设集合{||1|1}A x x =-<，{|22}x B x =<，则(A B =I ) A ．{|01}x x <，则全集U R =，则下列结论正确的是( ) A ．A B A =IB ．A B B =UC ．()U A B =∅I ðD ．U B A ⊆ð例9（2020•银川模拟）若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( )A.{x |－1≤x ＜0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}例10（2017•新课标Ⅲ）已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为() A ．3B ．2C ．1D ．0[玩转练习]1.(2019全国Ⅰ理)已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I =A ．}{43x x -<0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B = A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)3.(2019全国Ⅲ理)已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =I A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,24.（2019江苏）已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I .5.（2019浙江）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B I ð= A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-6．（2020春•五华区月考）已知集合2{|log 1}A x x =<，集合{|||2}B x N x =∈<，则(A B =U ) A ．{|01}x x <，2{|320}B x x x =-+>，则(R A B =I ð ) A ．(1,1)- B ．(1,2)C ．[1，2]D ．(1-，1)(1⋃，)+∞8．（2020•宜昌模拟）已知集合2{|log (1)1}M x x =-<，集合2{|60}N x x x =+-<，则(M N =U ) A ．{|33}x x -<，则(R A =ð )A ．(-∞，11)(42⋃，)+∞B ．(-∞，11][42U ，)+∞C ．(14，1)2 D ．1[4，1]211．（2020•咸阳二模）集合{|M x y =，{1N =-，0，1，2}，则(M N =I ) A ．{0，1}B ．{1-，0，1}C ．{1，1}-D ．{0，1，2}12．（2020•内蒙古模拟）已知集合2{|230}M x x x =--<，2{|0}N x x mx =-<，若{|01}M N x x =<⎨⎬⎩⎭，则()(R A B =U ð )A ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞B ．(-∞，1][3-U ，)+∞C ．[3，)+∞D ．(-∞，1][1-U ，)+∞14．（2020•重庆模拟）设集合2{|9}A x x =<，{3B =-，2-，1-，0，1，2}，则(A B =I ) A ．{0，1，2}B ．{1-，0，1，2}C ．{2-，1-，0，1，2}D ．{2-，1-，0}15．（2020春•武昌区校级月考）设集合{|11}A x x =-<<，2{|B y y x ==，}x A ∈，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|01}x x <<B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|11}x x -<<16．（2020•金安区校级模拟）已知集合{|20}M x x =-<，2{|4N y Z y x =∈=-+，}x R ∈，则()R M N I ð的子集有( ) A ．2个B ．4个C ．8个D ．16个考点3 命题和简易逻辑[玩前必备]1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件． 3.全称量词和存在量词4.5.[玩转典例]题型一充分条件与必要条件的判定例1（2019•天津）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例2（2019•上海）已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件例3（2018•天津）设x R ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例4（2017•浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型一含一个量词的命题的否定例5（2020•四川模拟）设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:p x A ∀∈，2x B ∈，则()A ．:p x A ⌝∀∈，2xB ∉ B ．:p x A ⌝∀∉，2x B ∉C ．:p x A ⌝∃∉，2x B ∈D ．:p x A ⌝∃∈，2x B ∉例6已知命题p ：∃x 0∈R ，log 2(03x＋1)≤0，则( ) A ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 B ．p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0 C ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0 D ．p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0[玩转练习]1.（湖南高考）设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 2.（北京高考）设,a b ∈R ，“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020天津模拟）设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．（2020安徽模拟）设p ：12x <<，q ：21x>，则p 是q 成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．（2020重庆模拟）“1x >”是“12log (2)0x +<”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020天津模拟）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2020浙江模拟）命题“**N ,()N n f n ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是A ．**N ,()N n f n ∀∈∉且()f n n > B ．**N ,()N n f n ∀∈∉或()f n n >C ．**00N ,()N n f n ∃∈∉且00()f n n > D ．**00N ,()N n f n ∃∈∉或00()f n n >8．（2020福建模拟）命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是A ．()30,.0x x x ∀∈+∞+<B ．()3,0.0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<D ．[)30000,.0x x x ∃∈+∞+≥9．（2020浙江模拟）已知是虚数单位，,则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2020•德阳模拟）若a ，b R ∈，则“220a b +≠ “是“a ，b 全不为零“的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件11.（2020•武汉模拟）已知a ，b R ∈，则“0a b >>”是“|1||1|a b +>+”的什么条件( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．（2020•九江一模）已知非零向量a r，b r 满足||||a b =r r ，则“|2||2|a b a b +=-r r r r ”是“a b ⊥r r ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件考点4 等差数列[玩前必备]1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．3．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).4．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 5．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .i R b a ∈,1==b a i bi a 2)(2=+说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列. 6．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .说明：数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项. 7．等差中项如果A ＝a ＋b2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．8．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .[玩转典例]题型一等差数列基本量的计算例1（2019•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-例2（2018•新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = ) A ．12-B ．10-C ．10D ．12例3(安徽，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________.题型二等差数列和的最值例4（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．例5（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______. 题型三等差数列的证明例6(大纲全国，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；(2)求{a n }的通项公式.[玩转练习]1.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 2.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .3.(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．4.(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ． 5．（2020•眉山模拟）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4763a a a +=+，则9(S = ) A ．27B ．272C ．9D ．36.（2020•内蒙古模拟）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，424S =，999S =，则7(a = ) A ．13B ．14C ．15D ．167.（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a -，32a a -，⋯，1n n a a --是首项为1，公差为2的等差数列，则3a 等于( ) A ．9B ．5C ．4D ．28.（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．11239．（2013新课标2）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求．{}n a 125a =11113,,a a a {}n a 14732+n a a a a -++⋅⋅⋅+10（2018北京）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求12e e e n aa a +++L ．11.在数列{a n }中，a 1＝2，a n 是1与a n a n ＋1的等差中项．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求{}a n 的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 2a n 的前n 项和S n .12.数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.考点5 等比数列[玩前必备]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，a n ＋1a n ＝q ．说明：等比数列中没有为0的项，其公比也不为0. (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab ．说明：任何两个实数都有等差中项，但与等差中项不同，只有同号的两个数才有等比中项．两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；[玩转典例]题型一等比数列基本量的运算例1 (2020·济南模拟)已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( )A ．4B ．2 C.12 D.14例2（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______．例3 (2020·日照模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝( )A. 1或－12B. －12C. 1D. －1或12例4(2015·新课标全国Ⅰ，13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.题型二等比数列证明例5已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .例6(2020·黄山模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；例7（2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，，. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.[玩转练习]1．（2019全国1理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若，则S 5=____________． 2.（2019全国3理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 23.（2020•眉山模拟）已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1612a a +=，2520a a =，则2020201920102009(a a a a -=-) A ．5B ．10C ．25D ．1054.（2020•咸阳二模）已知数列1a ，21a a ，32a a ，⋯，1n n a a -是首项为8，公比为12的等比数列，则3a 等于() A ．64B ．32C ．2D ．45.（2020•重庆模拟）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+，则29log (a = ) A ．15B ．16C ．17D ．186.（2020•金安区校级模拟）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a ，5a ，9a 成等比数1434n n n a a b +-=+1434n n n b b a +-=-214613a a a ==，列，则577(5S S = ) A ．57B ．79C ．1011D ．11237.（2020•临汾模拟）已知等比数列{}n a 中，5115a a -=，426a a -=，则公比(q = ) A ．12或2- B ．12-或2C ．12-或2-D ．12或2 8.(北京，15)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和.9.（2020•龙岩一模）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．10.（2020•七星区校级一模）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，点(n a ，1)n a +在直线210x y -+=上，（Ⅰ）证明数列1{}n n a a +-为等比数列，并求其公比．（Ⅱ）设2log (1)n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n S ．11.（2020•番禺区模拟）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，11a =．若1a ，2a ，5a 成等比数列．（1）求n a 及n S ；（2）设*2112()1n a n n b n N a+=+∈-，求数列{}n b 前n 项和n T ．12.（2020•邵阳一模）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．考点6 数列求通项[玩前必备]1．等差等比数列求a n 的方法列关于首项和公差或公比的方程組. 2．已知数列的前n 项和S n ，求a n 的方法 (1)第一步，令n =1,求出a 1＝S 1；(2)第二步，当n ≥2时，求a n ＝S n －S n －1；(3)第三步，检验a 1是否满足n ≥2时得出的a n ，如果适合，则将a n 用一个式子表示；若不适合，将a n 用分段形式写出。

2021年高考数学专题复习专题17.1 复数(考点讲析)解析版

专题17.1 复数（考点讲析）提纲挈领点点突破热门考点01 复数的有关概念与性质1．虚数单位为i ，规定：i 2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2．复数的概念形如：a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ①当b ＝0时，复数a ＋bi 为实数； ②当b≠0时，复数a ＋bi 为虚数；③当a ＝0且b≠0时，复数a ＋bi 为纯虚数． 3.复数相等的充要条件a ＋bi ＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)⇔ a ＝c 且b ＝d ，特别地，a ＋bi ＝0⇔ a ＝b ＝0.4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z 的共轭复数记作z ．5. 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)的模，记作|z|或||a ＋bi .即||z ＝||a ＋bi ＝r ＝a 2＋b 2(r≥0，r ∈R)．6.共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)1212z z z z ±=±；(2)1212z z z z ⨯=⨯；(3)22z z z z ⋅==；(4)121212z z z z z z -≤±≤+；(5)1212z z z z =⨯；(6)1121z z z z =. 【典例1】（2018·浙江高考真题）复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（） A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选：B ．【典例2】（2019·全国高考真题（文））设z =i(2+i)，则z =（） A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．【典例3】（2017·全国高考真题（理））(2017高考新课标III ，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=（） A ．12BC D ．2【答案】C 【解析】由题意可得2i1iz =+，由复数求模的法则可得1121z z z z =，则2i 1i z ===+故选C.【典例4】（2019·重庆南开中学高三月考（理））已知复数21aii+-为纯虚数，则实数a =（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222ai i ai a i a a a i i i i +++++--+===+--+为纯虚数，所以202a-=，因此2a =. 故选：C【典例5】（2019·江苏高考真题）已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2. 【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =. 【总结提升】求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋bi(a ，b ∈R)的形式，再根据题意求解．热门考点02 复数的几何意义1.z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)与复平面上的点Z(a ，b)、平面向量OZ →都可建立一一对应的关系(其中O 是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．【典例6】（2019·全国高考真题（理））设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（） A ．22+11()x y += B ．22(1)1x y -+= C ．22(1)1x y +-= D ．22(+1)1y x += 【答案】C 【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -==则22(1)1x y +-=．故选C ．【典例7】（2018·北京高考真题（文））在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122i - 对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D.【典例8】（2017·北京高考真题（理））若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（） A ．（–∞，1） B ．（–∞，–1） C ．（1，+∞） D ．（–1，+∞）【答案】B 【解析】设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以1010a a +<⎧⎨->⎩，解得：1a <-，故选B. 【总结提升】1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3. 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)平面向量OZ .4.提醒：|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．热门考点03 复数的四则运算1.复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 (1)z 1±z 2＝(a±c)＋(b±d)i ； (2)z 1·z 2＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (3)z 1z 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i (z 2≠0)． 2. 22|z |||zz z ==.【典例9】（2019·全国高考真题（文））若(1i)2i z +=，则z =（） A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===+++-．故选D ．【典例10】（2018·全国高考真题（理））12i12i+=-（） A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D 【解析】212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D. 【典例11】（2018·全国高考真题（文））(1)(2)i i +-=（） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D 【解析】()()21i 2i 2i 2i 3i i +-=-+-=+故选D.【典例12】（2019·江苏高二期中）232007i i i i ++++=______.【答案】1-. 【解析】232007i i i i ++++()()2007450131111i i i iii⨯+--==--2(1)1(1)(1)i i i i +==--+ 故答案为：1- 【总结提升】复数四则运算的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．(3)在含有z ，z ，|z|中至少两个的复数方程中，可设z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，从而得出复数z. （4）注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i.巩固提升1．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（） A 3 B 5C ．3D ．5【答案】D 【解析】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2．（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ． 3．（2019·全国高考真题（文））设3i12iz -=+，则z =（） A ．2 B 3C 2D ．1【答案】C 【解析】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以2217()()255z =+-=，故选C ． 4．（2010·山东高考真题（文））已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（） A ．-1 B ．1C ．2D ．3【答案】B因为22222a i ai i ai b i i i+--==-=+- ，,a b ∈R ，所以2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩，则+1a b =，故选B. 5．（全国高考真题（理））复数212ii+-的共轭复数是( ) A ．i - B ．ｉ C ．35i -D ．35i【答案】A 【解析】()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+，故其共轭复数为i -.所以选A.6．（2018·全国高考真题（理））设1i2i 1iz -=++，则||z =（）A ．0B ．12C ．1D【答案】C 【解析】()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.7．（2018·全国高考真题（文））()i 23i +=（） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+【答案】D 【解析】2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D.8．（2015·全国高考真题（文））已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i - D ．2i +【答案】C∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()2i i i i i i++-==--，故选C. 9．（2017·全国高考真题（理））复数31ii++等于 ( )A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】D 【解析】()()()()313+i 421112i i ii i i +--==++-＝2－i. 故选D.10．（2009·重庆高考真题（理））已知复数z 的实部为1-，虚部为2，则5iz的共轭复数是（） A ．2i - B ．2i +C ．2i --D ．2i -+【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B11．（2017·山东高考真题（理））已知R a ∈，i 是虚数单位，若3z a i =+，4z z ⋅=，则a =（） A ．1或1- B 7或7C ．3D 3【答案】A 【解析】由3,4z a i z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.12．（2017·山东高考真题（文））已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =（） A ．-2i B ．2iC ．-2D ．2【答案】A 【解析】由i 1i z =+得22(i)(1i)z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A.12．（2019·浙江高三学业考试）已知i 为虚数单位，则3(1)1i i i+⋅=-（）A ．–1B ．1C ．–1i +D ．1i +【答案】B 【解析】3(1)(11)()1111i i i i i i ii +⋅+⋅-=+--==--，故本题选B.13．（2019·浙江高考真题）复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【解析】1|||1|z i ===+14．（2019·天津高考真题（理））i 是虚数单位，则51ii-+的值为__________.【解析】5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-. 14．（2018·上海高考真题）已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ．【答案】5 【解析】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则5=．故答案为：5．15．（2018·天津高考真题（文））i是虚数单位，复数67i12i+=+___________.【答案】4–i 【解析】由复数的运算法则得：()()()()6712672054 1212125i ii iii i i+-+-===-++-.16．（2018·江苏高考真题）若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为________．【答案】2【解析】因为i12iz⋅=+，则12i2iiz+==-，则z的实部为2.。

2021届高考数学艺体生文化课总复习点金课件：第一章客观题专题二复数

专题二复数
【考试内容】复数的概念;复数的四则运算;复数的几何意义【近7年新课标卷考点统计】
年份
试卷类型
2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
新课标Ⅰ卷
5
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅱ卷
5
5
5
5
5
5
5
新课标Ⅲ卷
55555
重要考点回顾
一、复数的概念 1.定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,记作z=a+bi,其中i是虚数单位,i2=-1;a与b分别叫做复数z=a+bi的实部和虚部.
2 b 0,b 2,故选D.
2.设(1+2i)(a+i)的实部和虚部相等,其中a为实数,则a= ( )
A.-3
B.-2
C.2
D.3
A 【解析】 (1 2i)(a i) (a 2) (2a 1)i, a 2 2a 1,a 3.故选A.
3.i是虚数单位,1+i3等于 ( )
A.i
B.-i
4.(a+bi)÷(c+di)=
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i (c+di≠0).
考点训练
1.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b=( )
1
1
A.-2
B.-
C.
D.2
2
2
D 【解析】 (1 bi)(2 i) (2 b) (1 2b)i为纯虚数,
C.1+i
D 【解析】 i3 i,1 i3 1 i.故选D.

新高考数学复习考点知识讲义课件40---复数

1－i2 021 1＋i
＝___－__i___.
解析 1－1＋i20i21＝11－＋ii＝1－1i－1i＋2 i＝－22i＝－i.
题型三复数的几何意义
师生共研
例2 (1)(2019·全国Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析 z ＝－3－2i，故 z 对应的点(－3，－2)位于第三象限.
A.1＋3i
B.－3－i
C.3－i
√D.3＋i
解析由题图可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以 z＋4z＝1－i＋1－4 i＝1－i＋1－41i＋1＋i i＝1－i＋4＋2 4i
＝1－i＋2＋2i＝3＋i.故选D.
拓展视野复数的三角形式
如图的复平面中，r＝ a2＋b2，cos θ＝ar，sin θ＝br，tan θ＝ba(a≠0). 任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ ＋isin θ)的形式. 我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式. 对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式.
2.i的乘方具有周期性吗？
提示
1，n＝4k， in＝－i，1n，＝n4＝k＋4k1＋，2，
－i，n＝4k＋3
(k∈Z).
基础自测
题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × )
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复

高考数学(简单版)-1复数 - 简单- 讲义 (2)

复数知识讲解一、复数的概念1.虚数单位：1）满足；2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算法则仍然成立． 3）与的关系：就是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是．4）i 的周期性：，，，．于是就有． 2.数系的扩充：复数 3.复数的定义：基本概念：形如（）的数叫复数，称为复数的实部，称为复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示．复数通常用字母表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式．4.复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：对于复数，当且仅当时，复数是实数；当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；当且仅当时，就是实数．5.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果，，，，那么且．特殊地，当时，． 6.复数模的性质：1）； 2）； 3）；4）．i 21i =-i i 1-i 1-21x =-21x =-i -41n i i +=421n i +=-43n i i +=-41n i =44142430n n n n i i i i ++++++=(0)i i(0)i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =⎧⎪+=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数a bi +a b R ∈，a b C z (,)z a bi a b R =+∈a bi +0(,)a bi a b R +∈0b =(,)a bi a b R +∈a 0b ≠z a bi =+0a =0b ≠z bi =0a b ==z 0a b c d R ∈i ia b c d +=+⇔a c =b d =0a bi +=0a b ==1212z z z z |⋅|=||||()112220z z z z z ||||=≠||z z ||=||222212121222z z z z z z |+|+|-|=||+||7.共轭复数：定义：若两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭用表示．虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数．数的性质：设，则（1）；（2）；（3）．二、复数的几何意义1.共轭复复平面、实轴、虚轴：概念:复数与有序实数对是一一对应关系．建立一一对应的关系．点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为，它所确定的复数表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2.几何表示：复数复平面内的点或向量是向量的几何表示．注：复数、复平面内的点、向量之间的一一对应中，向量应特别注意它是以原点为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数多个．三、复数的四则运算1.复数与的和的定义：2.复数与的差的定义：3.交换律：4.结合律：5.乘法运算规则：设， (、、、)是任意两个复数，那么它们的积。

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7．（2020•番禺区模拟）设为虚数单位），其中，是实数，则等于
A．5B．13C．22D．2
8．（2020•临汾模拟）已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则
A． B． C．5D．3
9．（2020•临汾模拟）设是虚数单位，若复数，则
A． B． C． D．
10．（2020•芮城县模拟）已知复数满足，的共轭复数为，则
A． B． C． D．
例9（2020•涪城区校级模拟）若复数满足，则复数在复平面内对应的点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．பைடு நூலகம்四象限
[玩转跟踪]
1.（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）
A． B．
C． D．
2.（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）
1.（2020届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则z的共复数（）
A． B． C． D．
2.（2020届山东省潍坊市高三模拟二）设复数z＝a+bi（a，b∈R），若，则z＝（）
A． B． C． D．
题型三复数的几何意义
例8(2018全国卷Ⅰ)设，则
A． B． C． D．
题型二复数的代数运算
例5（2016•全国）复数的模为
A．1B．2C． D．5
例6（2020•梅河口市校级模拟）设为虚数单位，若复数，则复数等于
A． B． C． D．0
例7【2015高考新课标1，理1】设复数z满足 = ，则|z|=( )
（A）1（B）（C）（D）2
[玩转跟踪]
A． B． C． D．
14．（2020•来宾模拟）已知复数满足为虚数单位），则在复平面内复数对应的点的坐标为
A． B． C． D．
15．（2020•东湖区校级模拟）已知为虚数单位，，则关于复数的说法正确的是
A．
B．对应复平面内的点在第三象限
C．的虚部为
D．
16．（2020•洛阳一模）已知复数在复平面中对应的点满足，则
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
[玩转练习]
1．（2020•龙岩一模）设，则
A． B． C． D．
2．（2020•宜昌模拟）已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于
A． B．1C． D．2
3．（2020•眉山模拟）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则
A． B． C． D．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
2．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
3．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
(2)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R)．
[玩转典例]
题型一复数的概念
例1（2018•福建）若复数是纯虚数，则实数的值为
A．1B．2C．1或2D．
例2（2019江苏2）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是.
例3（2015•湖北）为虚数单位，的共轭复数为
A． B． C．1D．
例4【2016高考新课标理数1】设，其中x，y是实数，则 ()
A．0B．1C． D．2
（A）1 （B）（C）（D）2
[玩转跟踪]
1.（2020届山东省烟台市高三模拟）设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（）
A． B．3C．1D．
2.已知复数z(m2m2)(m23m2)i是实数，则实数m=_________
3.（2020届山东省淄博市高三二模）已知复数满足，则的共轭复数是（）
考点1 复数
[玩前必备]
1．复数的有关概念
(1)定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部．(i为虚数单位)
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．
A．0B． C． D．
11．（2020•黄冈模拟）已知是虚数单位，设复数，，则
A． B． C． D．1
12．（2020•福清市一模）已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内，对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
13．（2020•肇庆二模）设复数满足，则在复平面内对应的点为，则
4．（2020•眉山模拟）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是
A． B．复数的共轭复数是
C． D．
5．（2020•内蒙古模拟）设复数的共轭复数为，为虚数单位，若，则
A． B． C． D．
6．（2020•南海区模拟）复数满足，则复数在复平面内所对应的点在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限