清华理论力学课后答案9

网 试求平衡时杆与水平线的夹角ϑ1,ϑ2 。 案 解：本题是 2 自由度系统，选ϑ1,ϑ2 为广义坐标，计算两杆的形心坐标
及其变分
答 1
yC1 = 2 l sinϑ1 ，
1 δyC1 = 2 l cosϑ1 ⋅ δϑ1 ；
1
1
后 yC2 = l sinϑ1 + 2 l sinϑ2 ， δyC2 = l cosϑ1 ⋅δϑ1 + 2 l cosϑ2 ⋅δϑ2 。
G1 tan β − (G1 + G2 ) f ≤ F ≤ G1 tan β + (G1 + G2 ) f 。
(b) 解：本体与上题在于ϑ 是变量，只要将上题中的 β 表示成 h 的
函数即可。易见ϑ = 90� − β ， tan β = cotϑ =
上式结果，分别得到（1） F =
R2 − h
h2
.khdaw.co 题 9-13 图
题 9-13 图（a）
www 任一虚位移：AB 杆绕 A 的虚转动 δϑ ，BC 杆的瞬时虚平移 δrB = hδϑ = δrC ，CD 杆绕 D
的虚转动 δϕ = δrC 2h 。列出虚功方程：
网 Mδϑ − F1δrB − F2hδϕ = 0 ，解得： M A = (F1 + F2 / 2)h 。
题 9-11 图（a） 其中， δrD = hδr l 。
解得： FAy = F1 − F2h / l 。
9-12 水平力 F1 和 F2 分别作用于杆 BC 和杆 CD 的中点，如图示。不计`杆重，试计算固
定端 A 的约束力偶 MA。
m 解：解除固定端的转动约束而成为固定铰链，并代之以约束力偶，如图（ a）所示。给机构
G1
，
R2 − h2
，代入
h
（b）
题 9-9 图
（2）
R2 − h2 h
G1
− (G1
+ G2 )f
≤F
≤
R2 − h
h2
G1
−
(G1
+
G2 )f
。
om 9-10 不计梁的自重，求图示水平梁在支座 B 和 C 处的约束力。 .c （a）解：图示组合梁的自由度为零。为用虚功原理求解， w 须解除一个约束，使之成为自由度为 1 的系统。 a 先解除滑动铰链 C，将约束力 FC 当作主动力。给系 d 统任一虚位移δϑ ，列出虚功方程 h FCδ rC − Mδϑ = 0 .k 虚位移的关系为δ rC = lδϑ ，代入上式，导出 wFC = M /l ww 其次解除滑动铰链 B，同理列出虚功方程
.k W = G(sinϑ − f cosϑ)s − 1 ks2 2
w 在弹簧压缩 s 再回弹 λ 的过程中，所有力的功为 [ ww] W = G(− sinϑ − f cosϑ)λ + 1 k s2 − (s − λ)2 。
2
题 9-2 图
网 9-3 弹簧原长 l，刚度系数为 k，一端固定在 O 点，此
−ϑ
)⎥⎦⎤δϕ
;
a yC = 2l cosϕ sinϑ , δyC = −2l sinϕ sinϑ ⋅δϕ .
d 按虚功原理，有
kh ∑ Fi ⋅δ ri = 0 ,
i
P1δyC1 + P1δyC2 + P2δyC = 0 ,
www. 解得：
tan ϕ
=
P1
2(P1 +
P2 ) cotϑ
。
9-6 两相同的匀质杆，长度为 l ，重为 G，其上作用有如图之力偶 M ，
= lδϑ ， δra
=
δre cos 60�
=
2l δϑ
kh DC 杆的虚角位移为δϕ = δra ，（顺时针）。 l
. 列出平衡方程
w F ⋅ 2lδϑ − Mδϕ = 0
ww 解得： M = Fl 。
2 −1 kl 2 。
题 9-3 图
9-4 图示机构在力 F1 和 F2 作用下在图示位置平
衡，不计各构件自重和各处摩擦，OD=BD=l1，AD=l2。
求 F1/F2 的值。
解：用解析法解题。
F1 = F1(sinϑ i − cosϑ j) , F2 = F2i
点 A 和 B 的坐标及其变分为
rA = −(l1 − l2 )cosϑ i + (l1 + l2 )sinϑ j
为δϕ ，列出虚功方程 Mδϕ − Fδ rD = 0 ，
网
（a）
AB 杆和 BD 杆的虚位移瞬心为 CAB ,CBD ，存在如下关系
案 ( ) δ rA = aδϕ, δ rA cosϑ = δ rB cos 2ϑ ，δ rB cos 90� − 2ϑ = δ rD cosϑ . 答 代入式（a），解得
，
rB = −2l1 cosϑ i
δrA = (l1 − l2 )sinϑ ⋅δϑ i + (l1 + l2 )cosϑ ⋅δϑ j ，
1
δrB = 2l1 sinϑ ⋅δϑ i 。
按虚功原理，有
∑ Fi ⋅ δ ri = 0 ， F1 ⋅ δ rA + F2 ⋅ δ rB = 0 ，
i
即
[ ] F1 sin2 ϑ(l1 − l2 ) − cos2 ϑ(l1 + l2 ) + 2F2l1 sinϑ = 0 ，
解：解除固定端 A 的铅垂方向的约束，并代之以
约束反力 FAy ，系统的自由度为 1。给系统任一虚位
移：AC 杆为虚平移 δr ，B 点为水平虚位移 δrB 。找
得 BC 折杆的瞬心 CCB ，如图（a）所示。列出虚功
方程：
( ) FAy − F1 ⋅ δr + F2 ⋅ δrD = 0 ，
题 9-11 图
案 点在半径为 r= l 的圆周上。如弹簧的另一端由图示的 B 点
拉至 A 点，求弹簧力所做的功。AC⊥BC，OA 为直径。
答 ( ) 解：在 B 点弹簧的变形为 λ1 = 2 −1 l ，
后 在 A 点弹簧的变形为 λ2 = l 。弹簧力所做的功为
课( ) ( ) W
=
1k 2
λ12
− λ22
=−
+
FBlδϑ
=
0
，
解得：
FB
=
⎛ ⎜
F1
⎝
+
F2 2
−
M l
⎞ ⎟ ⎠
再解除滑动铰链 C，给系统任一虚位移 δϑ ，列出
虚功方程：
−
F1lδϑ
+
M
2δϑ
+
F2
l 2
2δϑ
−
FC l 2δϑ
=
0
解得：
FC
=
1
⎛ ⎜
−
2⎝
F1
+
F2
+
2M l
⎞ ⎟ ⎠
4 题 9-10 图（b）
9-11 不计杆重，求图示结构固定端 A 处约束力的铅垂分量。
案
答 9-13 三根相同的匀质杆用铰链连接后，一端用铰链固定，一端有水平力作用如图示。 后 设杆重 G，求平衡时的角ϑ 值。
解：本题为 3 自由度系统。总势能为
课
例 9-13 图
受力图
V = −Gl(5cosϑ + cosϑ1 + cosϑ2 )
力 F 作用点的 x 坐标为
x = −2l(sinϑ + sinϑ1 + sinϑ2 ),
后 F = M cot 2ϑ . a
课 9-9 重为 G1 的杆 AB 铅垂放置，一端 A 搁在水平放置的斜面
D 上平衡。若 D 的重量为 G2，试求（1）不计所有摩擦，水平力
F 的大小；（2）水平面有摩擦，摩擦因数为 f，水平力 F 的范围。
(a)解：在系统的虚位移中，AB 杆上的 A 点作合成运动，如图示。
( ) F1
F2
=
l2
+
2l1 sinϑ l1 1 − 2sin
2
ϑ
。
本题也可以用虚速度方法计算 A 点和 B 点的虚位移关系。
9-5 图示机构中曲柄 AB 和连 BC 为匀质杆，长度相同，重量
均为 P1。滑块 C 的重量为 P2，可沿倾角为ϑ 的导轨滑动。设约
束都是理想的，求机构在铅垂面内的平衡位置。
（1）不计所有摩擦时，列出虚功方程
Fδ re − G1δ ra = 0 按速度合成定理，虚位移存在如下关系：δ ra = δ re tan β ，于是
（a）
题 9-9 图
导出 F = G1 tan β .
（2）水平面有摩擦时，当水平力 F 较小，斜面 D 有向左运动趋势，此时摩擦力方向向右，
临界平衡时-1 质量为 3 kg 的质点以 5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。今对其施以水平向右的的 常力，此力的作用经 30 s 而停止，这时质点的速度水平向右，大小为 55 m/s。求此力的大 小及其所做的功。 解：取质点 m 为研究对象。由质点动量定理；
Ft = m(v2 − v1) ： Ft = m(v2 + v1) ，
平衡方程为
5
∂V ∂ϑ
= Qϑ
其中， Qϑ
=
−F
∂x ∂ϑ
。即
5Gl sinϑ = 2Fl cosϑ ，
2F 解得： ϑ = arctan 。
5G
9-14 计算图示机构在图示平衡位置时主动力之间的关系。不计各构件自重和各处摩擦。
（a）解：图示机构的自由度为 1，选ϑ 位广义坐标，给机构任一虚位移 δϑ ，列出平衡方程
δW = GδyC1 + Mδϑ2 + GδyC2