(完整版)复数的基本概念和几何意义

复数

一、考点、热点回顾

1.复数的有关概念 （1）复数

①定义：形如a ＋b i （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.

注意：复数m ＋n i 的实部、虚部不一定是m 、n ，只有当m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部. （2）复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示：通常用大写字母C 表示.

2.复数的分类

（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪

⎧实数（b ＝0）

虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0

（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

3.复数相等的充要条件

设a 、b 、c 、d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，即分离实部和虚部.

（2）只有当a ＝c 且b ＝d 的时候才有a ＋b i ＝c ＋d i ，a ＝c 和b ＝d 有一个不成立时，就有a ＋b i ≠c ＋d i. （3）由a ＋b i ＝0，a ，b ∈R ，可得a ＝0且b ＝0.

4.复平面的概念

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

5.复数的两种几何意义 （1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应

复平面内的点Z （a ，b ）.

（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应平面向量OZ →

.

6.复数的模

复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ →，则OZ →

的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝ a 2＋b 2.

注意：复数a ＋b i （a ，b ∈R ）的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小.

二、典型例题

考点一、复数的概念 例1、下列命题：

①若a ∈R ，则（a ＋1）i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；

③若（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集.

其中正确的是（ ）

A.①

B.②

C.③

D.④ 【解析】 对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则（a ＋1）i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时（x 2－4）＋（x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确.故选D.

【答案】 D

变式训练1、1.对于复数a ＋b i （a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ ）

A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数

B.若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2

C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数

D.i 的平方等于1

解析：选C.对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数； 对于B ，若a ＋（b －1）i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1； 对于D ，i 的平方为－1.故选C.

2.若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.1或－4 C.－4 D.0或－4

解析：选C.易知⎩

⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，

－a 2＝4a ，解得a ＝－4.

考点二、复数的分类

例2、已知m ∈R ，复数z ＝m （m ＋2）

m －1

＋（m 2＋2m －3）i ，当m 为何值时，

（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？

【解】 （1）要使z 为实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m （m ＋2）

m －1

有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.

（2）要使z 为虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m （m ＋2）

m －1

有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.

（3）要使z 为纯虚数，m 需满足m （m ＋2）

m －1

＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或－2.

变式训练2、当实数m 为何值时，复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是

（1）纯虚数；（2）实数.

解：（1）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则⎩

⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －7）＝0，

m 2＋5m ＋6≠0，

解得m ＝4.

（2）复数lg （m 2－2m －7）＋（m 2＋5m ＋6）i 是实数，则⎩

⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，

m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m ＝－3.

考点三、复数相等 例3、（1）若（x ＋y ）＋y i ＝（x ＋1）i ，求实数x ，y 的值；

（2）已知a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋m i ＝0（m ∈R ）成立，求实数a 的值；

（3）若关于x 的方程3x 2－a

2

x －1＝（10－x －2x 2）i 有实根，求实数a 的值.

【解】 （1）由复数相等的充要条件，得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，

y ＝x ＋1，解得⎩

⎨⎧x ＝－12，y ＝12.

（2）因为a ，m ∈R ，所以由a 2＋am ＋2＋（2a ＋m ）i ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋am ＋2＝0，

2a ＋m ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧a ＝－2，m ＝22，

所以a ＝±2.

（3）设方程的实根为x ＝m ，

则原方程可变为3m 2－a

2

m －1＝（10－m －2m 2）i ，