求抛物线的标准方程。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F焦点和一条定直线l准线距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
标准方程右开口抛物线：y^2=2px左开口抛物线:y^2= -2px上开口抛物线：x^2=2py y=ax^2a大于等于0下开口抛物线:x^2= -2py y=ax^2a小于等于0[p为焦准距p>0]特点在抛物线y^2=2px中，焦点是p/2，0，准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0;在抛物线y^2= -2px 中，焦点是 -p/2，0，准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0;在抛物线x^2=2py 中，焦点是0，p/2，准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0;在抛物线x^2= -2py中，焦点是0，-p/2，准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0;抛物线四种方程的异同共同点：①原点在抛物线上; ②对称轴为坐标轴;③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4不同点：①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2;对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2;②开口方向与x轴或y轴的正半轴相同时，焦点在x轴y轴的正半轴上，方程的右端取正号;开口方向与x或y轴的负半轴相同时，焦点在x轴或y轴的负半轴上，方程的右端取负号。
切线方程抛物线y2=2px上一点x0,y0处的切线方程为：yoy=px+x0抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的切线方程为：y=kx-p/2k感谢您的阅读，祝您生活愉快。
抛物线标准方程推导
抛物线标准方程推导抛物线是平面几何中常见的曲线，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，我们经常需要研究抛物线的性质和方程。
本文将详细推导抛物线的标准方程，帮助读者更好地理解抛物线的特点和性质。
假设抛物线的顶点坐标为（h，k），焦点坐标为（h，k+p），且抛物线开口向上。
现在我们来推导抛物线的标准方程。
首先，我们知道抛物线上任意一点的坐标可以表示为（x，y）。
根据抛物线的性质，我们可以得到抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到直线的垂直距离。
根据这一性质，我们可以得到抛物线上任意一点（x，y）到焦点（h，k+p）的距离公式为：√((x-h)²+(y-k-p)²)=|y-k|。
其中，|y-k|表示y-k的绝对值。
根据抛物线的定义，我们知道抛物线是关于直线y=k对称的，因此抛物线上任意一点（x，y）关于直线y=k的对称点为（x，2k-y）。
将对称点代入到到焦点的距离公式中，得到：√((x-h)²+(2k-y-k-p)²)=|2k-y-k|。
化简得：√((x-h)²+(y-k-p)²)=|y-k|。
展开平方并化简得：(x-h)²+(y-k-p)²=(y-k)²。
进一步化简得：x²-2hx+h²+y²-2kpy+p²=y²-2ky+k²。
消去y²，得到：x²-2hx+h²-2kpy+p²=-2ky+k²。
移项得：x²-2hx+h²=-2kpy+p²-2ky+k²。
化简得：x²-2hx+h²=4py。
将p代入得到抛物线的标准方程：x²-2hx+h²=4p(y-k)。
即为抛物线的标准方程。
通过以上推导，我们得到了抛物线的标准方程。
这个方程可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和特点，也可以帮助我们在实际问题中应用抛物线。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程 制作人 曲径1、抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线． 2）．抛物线的标准方程3）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：图形xyO FlxyO Fl标准 方程 y 2＝2px （p ＞0） y 2＝－2px （p＞0）x 2＝2py （p ＞0） x 2＝－2py （p ＞0）焦点 坐标 （2p ，0）（2p -，0）（0，2p ） （0，2p -） 准线 方程x ＝2p - x ＝2p y ＝2p -y ＝2p3.平面内到定点F 和定直线l 的距离之比等于常数e ，当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e ＝1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线．这就是圆锥曲线的统一定义．4.过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角5.典型例题［例1］(1)已知抛物线的标准方程是x 2＝4y ，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是(－3，0)，求它的标准方程．xy OFlxyOF l例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F （－5，0） （2）经过点A （2，－3）例3．点M 与点F （4，0）的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1，求点M 的轨迹方程．例4、 提高训练1］若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上一动点，则｜PA ｜＋｜PF ｜取得最小值时点P 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，1)B ．C ．(2，2)D ．(21，12、抛物线y 2＝2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边的方程是y ＝2x ，斜边长是53，求此抛物线方程3、设抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明：直线AC 经过原点O ．课后提升1．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是( )A ．425B ．225C ．825D ．25解析：抛物线的焦点坐标为(2，0)，直线l 的方程为y ＝34(x －2)．由⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 8)2(342得B 点的坐标为(21，－2)．∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝2＋8＋2＋22521=，∴AB 的中点到准线的距离为425．答案：A2．过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则2121x x y y 为( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：特例法．当直线垂直于x 轴时，4),,2(),,2(222121pp x x y y p p B p p A -=-＝－4．答案：Ｂ3．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则此抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝16x B ．x 2＝－8yC ．y 2＝16x 或x 2＝－8yD ．y 2＝16x 或x 2＝8y解析：直线x －2y －4＝0与坐标轴的交点为(4，0)和(0，－2)，∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2)，∴抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ． 答案：C4．抛物线y ＝ax 2(a>0)与直线y ＝kx ＋b(k ≠0)有两个公共点，其横坐标分别是x 1、x 2；而直线y ＝kx ＋b 与x 轴交点的横坐标是x 3，则x 1、x 2、x 3之间的关系是( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 3＝2111x x +C ．x 1x 3＝x 1x 2＋x 2x 3D ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3解法一：(特值法)取a ＝1，k ＝1，b ＝0，则x 1＝0，x 2＝1，x 3＝0， 可排除A 、B ． 再取a ＝1，k ＝1，b ＝1，可得x 1＋x 2＝1．x 1x 2＝－1，x 3＝－1，检验C 、D 可知D 选项适合． 解法二：(直接法)把y ＝kx ＋b 代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －b ＝0，x 1＋x 2＝a k，x 1x 2＝－a b又x 3＝－k b，∴x 1x 2＝(x 1＋x 2)x 3答案：D5．直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，则k 的值为______．解析：∵直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于两点，∴k ≠0，由⎩⎨⎧=-=x y kx y 822得k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0，∴x 1＋x 2＝284kk +，∵AB 中点的横坐标为2，∴284kk +＝4，∴k ＝－1或k ＝2．∵当k ＝－1时方程k 2x 2－4kx －8x ＋4＝0只有一个解，即A 、B 两点重合．∴k ≠－1． 答案：26．动圆M 经过点A(3，0)且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______． 解析：设圆M 与直线l 相切于点N ，∵｜MA ｜＝｜MN ｜， ∴圆心M 到定点A(3，0)和定直线x ＝－3的距离相等． 根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上．∵2p＝3，∴p ＝6．∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x ． 答案：y 2＝12x7．已知抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝2x ＋1被抛物线截得的线段长为15，求抛物线的标准方程．解：∵抛物线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为y 2＝2px ．由方程组⎩⎨⎧+==,1222x y px y得4x 2＋(4－2p)x ＋1＝0，∴｜x 1－x 2｜＝24416)24(22p p p -=--，∴pp x x 425||212212-=-+，∴154252=-p p ，∴p ＝6或p ＝－2，∴抛物线的方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x ．8．一直线与抛物线x 2＝y 交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为x 1和x 2，此直线在x 轴上的截距为a ，求证：21111x x a+=．证明：∵直线过(a ，0)点且与抛物线交于A 、B 两点， ∴设直线的方程为y ＝k(x －a)且k ≠0，由方程组⎩⎨⎧-==)(2a x k y y x 得x 2－kx ＋ka ＝0．由韦达定理，得x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝ka ． ∵a ≠0∴a kak x x x x x x 111212121==+=+．即a x x 11121=+．9．A 、B 是抛物线y 2＝2px(p ＞0)上的两点，满足OA ⊥OB(O 为坐标原点)．求证： (1)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值； (2)直线AB 经过一个定点．证明：(1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1、y 22＝2px 2 ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0 y 12y 22＝4p 2x 1x 2＝4p 2·(－y 1y 2)∴y 1y 2＝－4p 2，从而x 1x 2＝4p 2也为定值．(2)∵y 12－y 22＝2p(x 1－x 2) ∴2121212y y p x x y y +=--∴直线AB 的方程为：y －y 1＝212y y p+(x －x 1)即y ＝p y y y p x y y p222212121⋅+-+＋y 1y ＝2121212y y y y x y y p+++亦即y ＝212y y p+(x －2p)∴直线AB 经过定点(2p ，0)．。
(完整版)求抛物线的标准方程
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1/m＋1/n＝2/p。
（3）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取 得︱AB︱的最小值2p。
（4）求证：焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
（5）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线 相切。
背 葡萄美酒夜光杯,
4cm
景
引 欲饮琵琶马上催.
入
8cm
问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm，杯深8cm，试求出该抛 物线方程？
4cm 8cm
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程
为： x2 = 2 py( p > 0)
A、B点在抛物线上，代入抛
1 物线方程，可得P= 4 ,
B
y2=2px(p>0)，由题意得，点A的坐标为
（40，30）代入方程得 p = 45
4
所以所求抛物线的标准方程是y2=
45
x
2
例2：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为
C、D,求证: CFD = 90
２
１ ３ ６ ５ ４
(0,0)
e=1
y2 = -2 px x 0, ( p > 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = 2 py ( p > 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = -2 py y 0,
关于y 轴 对称，无
抛物线相关公式总结大全
抛物线相关公式总结大全抛物线是一种二次曲线，其具体形态由焦点、直线和定点确定。
在数学中，我们常常使用一些公式来描述和计算抛物线的性质。
下面是抛物线相关公式的总结：1. 标准方程公式：抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是抛物线的参数，决定了抛物线的形状和位置。
2. 顶点坐标公式：抛物线的顶点坐标可以通过标准方程公式中的x值公式得到： x = -b / (2a)将x代入标准方程公式中得到顶点坐标：(x, y)3. 平移和缩放公式：当抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c时，可以通过平移和缩放来改变抛物线的位置和形状：- 上下平移：y = ax^2 + bx + c + k，其中k为上下平移的位移值。
- 左右平移：y = a(x - h)^2 + k，其中h为左右平移的位移值。
- 缩放：y = a(x - h)^2 + k，其中a为缩放系数。
当a>1时，抛物线变窄，当0<a<1时，抛物线变宽。
4. 焦点和准线坐标公式：抛物线的焦点和准线可以通过标准方程公式的参数a来求解： - 焦点坐标：F(h, k + 1/4a)，其中h和k为标准方程公式中顶点的坐标。
- 准线坐标：y = k - 1/4a5. 弦与切线公式：- 弦长公式：当给定抛物线上的两点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用以下公式计算弦长：L = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)- 切线斜率公式：抛物线上任意点(x, y)处的切线斜率可以通过求导得到：m = dy/dx = 2ax + b以上是抛物线的一些常见公式和相关内容。
了解这些公式可以帮助我们更好地理解和运用抛物线的性质，进一步探索其在数学和物理等领域中的应用。
抛物线的标准方程公式
抛物线的标准方程公式抛物线是解析几何中的基本曲线之一，它具有许多重要的性质和应用。
在学习抛物线的过程中，了解其标准方程公式是至关重要的。
本文将介绍抛物线的标准方程公式及其推导过程，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来回顾一下抛物线的定义。
抛物线是平面上到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹。
这个定点称为焦点，定直线称为准线。
抛物线在数学和物理学中都有广泛的应用，比如抛物线运动、抛物线反射定律等。
接下来，我们来推导抛物线的标准方程公式。
假设抛物线的焦点为F（p,0），准线为直线x=-p，过焦点的直线方程为y=kx。
设抛物线上一点为P(x,y)，则P到焦点的距离为PF=√((x-p)²+y²)，到准线的距离为PM=|x+p|。
根据抛物线的定义，有PF=PM，即√((x-p)²+y²)=|x+p|。
两边平方得到(x-p)²+y²=(x+p)²，展开得到x²-2px+p²+y²=x²+2px+p²，化简可得y²=4px。
这就是抛物线的标准方程公式。
抛物线的标准方程公式为y²=4px，其中p为焦点到准线的距离。
这个公式描述了抛物线的基本形状和特征。
当p>0时，抛物线开口向右；当p<0时，抛物线开口向左。
当p的绝对值越大时，抛物线越“尖”，开口越小；当p的绝对值越小时，抛物线越“扁”，开口越大。
因此，通过标准方程公式，我们可以直观地了解抛物线的形状和方向。
除了标准方程公式，抛物线还有其他常见的方程形式，比如顶点坐标形式和一般式形式。
顶点坐标形式为(y-k)²=4a(x-h)，其中顶点坐标为(h,k)，焦点到顶点的距离为|a|。
一般式形式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C不全为0。
这些形式都可以通过一定的变换和化简得到抛物线的标准方程公式。
求抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程首先，我们需要了解抛物线的一般方程。
一般来说，抛物线的一般方程为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
对于给定的抛物线上的任意一点（x，y），代入一般方程，便可以得到一个关于x和y的方程。
而标准方程则是将一般方程通过平移、旋转等操作，转化为更加简洁的形式，通常为y=a(x-h)^2+k。
接下来，我们来看一下如何具体求抛物线的标准方程。
首先，我们需要确定抛物线的顶点坐标（h，k）。
顶点坐标可以通过一般方程中的平方项配方法求得，即x^2项系数为a，则顶点横坐标为-h，纵坐标为k。
有了顶点坐标后，就可以将一般方程转化为标准方程，即y=a(x-h)^2+k。
其次，我们需要确定抛物线的开口方向。
抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负性，当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
通过确定开口方向，可以更好地理解抛物线的形状，从而更好地求得标准方程。
最后，我们需要根据已知条件确定抛物线的具体形状。
在实际问题中，往往会给出抛物线上的某一点坐标或者通过顶点坐标和另一点坐标确定抛物线。
通过已知条件，我们可以得到关于a、h、k的方程，进而求得标准方程。
通过以上步骤，我们可以比较容易地求得抛物线的标准方程。
在实际问题中，我们可以根据已知条件，利用这些方法求得抛物线的标准方程，从而更好地理解和应用抛物线的性质。
总之，求抛物线的标准方程是一个比较基础的数学问题，通过一定的方法和技巧，我们可以比较轻松地求得抛物线的标准方程。
在实际问题中，我们也可以通过求标准方程来更好地理解抛物线的性质和应用。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和掌握抛物线的标准方程的求法。
抛物线的标准方程公式
抛物线的标准方程公式
抛物线是二次函数，是以x轴为轴线的函数，它的标准方程是y = ax ^ 2 +bx+ c，其中，a ≠ 0，a、b、c三个系数就决定了抛物线的形状。
从数学的角度来看，抛物线的方程模型能够有效地描述多种不同形式的函数。
由于其具有丰富的函数特性，抛物线的方程在许多学科中都受到广泛应用，最常用于分析和解决实际问题。
抛物线方程非常有助于我们理解物理实际中复杂情况的趋势变化。
例如，在空气动力学中，抛物线方程可以用来描述空气中悬浮体运动轨迹。
在特定的情况下，它可以被运用来说明空气动力学中的示踪粒子与传播相关的流体动力学理论。
在金融学中，抛物线方程式也有广泛的应用。
投资者通过使用抛物线方程式可以估计股票价格的未来变化趋势，从而更好地分析市场情况，并给出合理的投资建议。
这也是市场分析中最重要的一环。
此外，我们还可以使用抛物线方程来描述和解决在力学、几何学以及波动力学的研究问题。
它的广泛应用为理解多学科中复杂的实际情况提供了有效的方法。
抛物线方程是多种学科的结晶，它的标准方程式可以描述多种不同的函数情况，为不同学科的研究与探索提供重要的支持。
通过具体的计算和分析，我们能够更加深入地理解实际状况，从而更好地满足科学技术社会发展的需要。
抛物线标准方程怎么求
抛物线标准方程怎么求抛物线是二次函数的图像，它是数学中非常重要的一种曲线。
抛物线可以用标准方程来表示，标准方程的形式为y=ax^2+bx+c。
那么，如何求解抛物线的标准方程呢？接下来，我们将详细介绍抛物线标准方程的求解方法。
首先，我们需要明确抛物线的顶点坐标和另一点坐标。
顶点坐标可以通过平移变换或者配方法求得，而另一点坐标可以通过抛物线上已知点的坐标求得。
接下来，我们可以利用顶点坐标和另一点坐标来确定抛物线的标准方程。
首先，我们可以利用顶点坐标来确定抛物线的平移变换，得到抛物线的顶点形式方程。
然后，我们可以利用另一点坐标来确定抛物线的标准方程。
具体步骤如下：1. 确定抛物线的顶点坐标。
首先，我们需要确定抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过平移变换或者配方法求得。
如果抛物线的顶点坐标已知，我们可以直接利用这个顶点坐标来确定抛物线的标准方程。
2. 确定抛物线上另一点的坐标。
除了顶点坐标外，我们还需要确定抛物线上另一点的坐标。
这个点的坐标可以通过抛物线上已知点的坐标求得。
有了这个点的坐标，我们就可以利用顶点坐标和这个点的坐标来确定抛物线的标准方程。
3. 利用顶点坐标和另一点坐标确定抛物线的标准方程。
有了顶点坐标和另一点坐标，我们就可以利用这两个点的坐标来确定抛物线的标准方程。
具体地，我们可以利用这两个点的坐标来确定抛物线的平移变换，得到抛物线的顶点形式方程。
然后，我们可以利用另一点坐标来确定抛物线的标准方程。
通过以上步骤，我们就可以求解抛物线的标准方程。
在实际问题中，我们可以根据具体的题目要求来确定抛物线的顶点坐标和另一点的坐标，然后利用这些坐标来求解抛物线的标准方程。
总之，求解抛物线的标准方程需要确定抛物线的顶点坐标和另一点的坐标，然后利用这些坐标来确定抛物线的标准方程。
希望通过本文的介绍，您能够更加深入地理解抛物线标准方程的求解方法。
抛物线的标准方程及性质
抛物线的标准方程及性质一、抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
其中定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线 想一想： 定义中的定点与定直线有何位置关系？点F 不在直线L 上,即过点F 做直线垂直于l 于F ，|FK|=P 则P 〉0 求抛物线的方程解：设取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，线段KF 的中垂线y 轴 设︱KF ︱= p 则F （0,2p ）,l ：x = —2p 。
设抛物线上任意一点M （X ，Y ）定义可知 ｜MF|=｜MN| 即：2)2(22px y P x +=+-化简得 y 2 = 2px （p ＞0) 二、标准方程把方程 y 2 = 2px （p ＞0）叫做抛物线的标准方程，其中F （2P ，0)，l ：x = — 2P而p 的几何意义是： 焦 点 到 准 线 的 距 离｜FK|一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。
1．四种抛物线的标准方程对比图形 标准方程焦点坐标准线方程)0(22>=p px y⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p 2p x -=)0(22>-=p px y⎪⎭⎫⎝⎛-0,2p 2px =)0(22>=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p2py -=)0(22>-=p py x⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p2py =2、怎样把抛物线位置特征（标准位置）和方程的特点（标准方程）统一起来? 顶点在原点三、抛物线的性质设抛物线的标准方程y 2=2px (p ＞0)，则（1）范围：抛物线上的点(x ，y ）的横坐标x 的取值范围是x ≥0。
，在轴右侧抛物线向右上方和右下方无限延伸。
（2）对称性：这个抛物线关于轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.(3）顶点：抛物线和它的交点叫做抛物线的顶点，这个抛物线的顶点是坐标原点。
求抛物线的标准方程
求抛物线的标准方程抛物线，是平面上到定点的距离等于定直线上一点到定直线上一定点的距离的轨迹。
抛物线是一种非常常见的曲线，它在物理学、数学、工程学等领域都有着广泛的应用。
在数学中，抛物线是一种二次函数，其标准方程可以通过一些简单的步骤来求得。
首先，我们来看一般的抛物线方程，y=ax^2+bx+c。
其中，a、b、c为常数，a≠0。
我们要求的是抛物线的标准方程，即y=ax^2+bx+c中的a、b、c的值。
接下来，我们来看如何求抛物线的标准方程。
首先，我们需要知道抛物线的顶点坐标和焦点坐标，这样就可以确定抛物线的标准方程了。
1. 求抛物线的顶点坐标：抛物线的顶点坐标为（h，k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的最低（或最高）点的纵坐标。
求顶点坐标的方法是将抛物线的一般方程y=ax^2+bx+c化为顶点坐标形式，即y=a(x-h)^2+k。
其中，h=-b/2a，k=c-（b^2-4ac）/4a。
2. 求抛物线的焦点坐标：抛物线的焦点坐标为（h，k+p），其中p为焦距，p=1/4a。
所以焦点坐标为（h，k+1/4a）。
有了顶点坐标和焦点坐标，我们就可以确定抛物线的标准方程了。
标准方程为y=2px。
综上所述，求抛物线的标准方程的步骤如下：1. 将抛物线的一般方程y=ax^2+bx+c化为顶点坐标形式y=a(x-h)^2+k。
2. 求出顶点坐标（h，k）和焦点坐标（h，k+p）。
3. 根据标准方程y=2px确定抛物线的标准方程。
通过以上步骤，我们可以求得任意抛物线的标准方程。
这样，我们就可以更方便地进行抛物线的相关计算和分析。
抛物线作为一种重要的曲线，在数学和实际应用中有着广泛的意义，希望本文的内容能够对大家有所帮助。
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。
其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。
以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。
举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。
因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。
在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。
抛物线的标准方程及相关公式
抛物线的标准方程及相关公式抛物线是我们在初中时就接触到的一个概念，大部分人都知道它是一种平面曲线，但是具体的表达方式可能不是所有人都能记得清。
其实，抛物线也可以用一种简单的标准方程来表达，下面我会详细介绍这个方程以及与抛物线相关的公式。
一、抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，其数学定义是所有到定点距离与到定直线距离相等的点的轨迹，其中定点称为焦点，定直线称为准线。
在我们的日常生活中，许多自然现象都可以使用抛物线来描述，比如炮弹的轨迹、跳水运动员的姿态等等。
二、抛物线的标准方程在数学中，抛物线可以用一种简单的标准方程表示。
这个方程是：y = ax² + bx + c其中 a、b、c 都是常量，具体的数值由抛物线的形状以及位置决定，下面我将逐一解释这些常量。
① aa 是抛物线的开口方向和开口大小的决定因素。
如果a 大于0，那么抛物线开口向上，开口大小取决于 a 的大小；如果 a 小于 0，那么抛物线开口向下，开口大小同样取决于 a 的大小。
如果 a 等于 0，那么抛物线就变成了一条水平直线，这个时候抛物线不存在焦点和准线。
② bb 是抛物线在 x 轴上方的截距，也称抛物线的对称轴。
如果 b等于 0，那么抛物线就与 y 轴对称，即为偶函数。
如果 b 不等于 0，那么抛物线就可以沿着 y 轴方向平移，改变抛物线的位置。
③ cc 是抛物线在 y 轴上的截距。
如果 c 等于 0，那么抛物线的焦点就位于原点。
通过上述的分析，我们已经可以根据抛物线的形状和位置来确定 a、b、c 的数值，进而得到抛物线的标准方程。
三、与抛物线相关的公式在学习抛物线的过程中，还有许多与它相关的公式需要掌握。
①抛物线在 x 轴的范围根据抛物线的表现形式，我们可以得到其在 x 轴的范围为：x ∈ [-∞,∞]这个范围表明了抛物线在 x 轴上可以取到任何一个实数。
②抛物线的对称轴抛物线的对称轴就是它的顶点，顶点的 x 坐标可以通过以下公式计算出来：x = -b/2a根据这个公式，我们可以得到抛物线的顶点坐标。
抛物线的标准方程公式
抛物线的标准方程公式抛物线是一种常见的二次曲线，其形状独特，具有许多重要的数学性质。
在数学和物理学中，抛物线的标准方程公式是非常重要的，它可以帮助我们描述和分析抛物线的特征和性质。
在本文中，我们将详细介绍抛物线的标准方程公式及其相关知识。
首先，让我们来了解一下抛物线的定义。
抛物线是平面上一类曲线的统称，它的形状类似于开口向上或向下的碗。
抛物线具有对称轴，焦点和直角焦点等重要的几何性质，因此在几何学和代数学中都有着重要的应用。
接下来，我们来介绍抛物线的标准方程公式。
一般来说，抛物线的标准方程公式可以表示为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
这个方程描述了抛物线上各点的坐标，通过调整a、b、c的数值，我们可以得到不同形状和位置的抛物线。
具体来说，a决定了抛物线的开口方向和大小，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线的顶点坐标。
在实际应用中，我们经常需要将抛物线的标准方程转化为顶点坐标形式，以便更好地理解和分析抛物线的性质。
抛物线的顶点坐标形式可以表示为：y = a(x-h)^2 + k。
其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。
通过这种形式，我们可以直观地看出抛物线的顶点位置和开口方向，从而更好地应用于实际问题中。
除了标准方程和顶点坐标形式外，抛物线还有许多其他重要的性质和公式，比如焦距、离心率、直角坐标系和极坐标系下的表示等。
这些知识不仅对于数学研究有着重要意义，也在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
总之，抛物线的标准方程公式是描述抛物线特征和性质的重要工具，它在数学和其他学科中都有着重要的应用价值。
通过深入理解抛物线的标准方程公式及其相关知识，我们可以更好地理解和应用抛物线的性质，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握抛物线的标准方程公式，进而在学习和工作中取得更好的成绩。
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
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平阳职教中心
陈海珊
引例：
到点 (2, 0)的距离与到直线 x 2 距离 相等的点的轨迹方程为：（ C ）
x y A. 1 4 2
2 2
x y B. 1 4 2
D.x y 4
2 2
2
2
y
2
o
2
C. y 8x
2
x
一、要点扫描
1、抛物线的定义： 平面内与一个定点F和一条定直线l（不过F） 的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。 l y 定点F 叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线。
所以所求的轨迹方程为
y 2 2 px x 2 |
两边平方得：
y 2 8x
所以所求的轨迹方程为 y 2 8x
求轨迹方程的基本步骤：
建系—设点—列式 —化简
解：设定点到定直线的距离为 p 动点 M ( x, y ) 为所求轨迹上的任意一点，则由已知可得：
p 2 p 2 ( x ) y | x | 2 2 p 2 p 2 2 两边平方得： ( x ) y | x | 2 2 y 2 2 px( p 0) 即：
3、（变式）已知抛物线的顶点在原点，抛物线上
点 M (3, m) 到焦点的距离为4，
求抛物线的标准方程。
小结
1、抛物线的定义. 2、掌握抛物线的标准方程的四种形式以及 P的几何意义. 3、注重数形结合的应用.
作业： 复习提纲
后白中学 夏玉青
求轨迹方程的基本步骤：
建系—设点—列式 —化简
解：设动点 M ( x, y )为所求轨迹上的任意一点，则由已知可得：
,0 2
p x 2
x 0, yR
x 2 2 py p 0,
p 0
2
p y 2
x 2 2 py p 0
一次变量 定焦点 看负正 y 开口方向 0, 焦点准线要互异 xR y轴 4倍关系好分析
y 0, xR
O(0, 0)
例2：（11高职26题改编） 2 M是抛物线 y 4x 上一点，若点M 的横 坐标为3，求点M 到焦点F 的距离.
三、高考链接
练一练:
1、(06高职）如果抛物线 y 4x 上一点M 到焦
2
点的距离为4，那么点M 的坐标为________.
2、（01高职）已知抛物线的顶点在原点，对称轴 是 x 轴，抛物线上点 M (3, m)到焦点的距离为4， 求该抛物线的标准方程。
3 F ( ,0) 2 1 F (0, ) 2
y 2
3 x 2 1 y 2
x
y 6x
2
o
F
x
l
x2 2 y y2 4x
1 2 xy 8xy 8
2
y
F
o y
F
x
F (1,0)
1 F (0, ) 32
x 1
先 定 位 ， 后 定 量
l
o
x
1 y 32
三、典例分析
e 1
p 0 , 2
p y 2
二、基础巩固
根据条件完成下面的表格： 注意： 在 求 焦 点 及 准 线 方 程 时 一 定 要 将 抛 物 线 化 为 标 准 方 程 形 式
l l
图形
y
2F
标准方程 焦点坐标 准线方程
x
o y o y
l F
x 8y
2
F (0, 2)
焦点到准线的距离记为 p ( p 0)
N
· o · F
M
x
一、要点扫描
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 范围 对称轴 顶点 离心率
y 2 2 px
p 0 p 0
p ,0 2
p x 2
如何确定抛物线焦 x 0,
yR
x轴
点位置及开口方向
y 2 2 px p