(推荐)高等数学三第三章矩阵理论

A 12
0 1
03,
求乘积 AB 和 BA
4 1 B 1 1,
2 0
解：
A23
1 B322
0 1
03241
1 1 0
170
1 3
4 1
1 0 3
B32 A231 2
102
1
0
6 1 12
1 1 3
2
0
6
注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律
例 5： 设 A 1 1, 1 1
3.数与矩阵的乘法
(1) 定义 设是常数， A = ( aij ) m×n ， 则矩阵
( aij ) m×n 称为数与矩阵A的乘积，
记为 A，即
a11 A(aij)mn a21
a12 a22
Baidu Nhomakorabea
a1n a2n
am1 am2 amn
(2) 性质
设 A、B 为 m × n 矩阵，、u为常数 (1) ( u ) A = ( u A) = u ( A ); (2) ( A + B ) = A + B (3) ( + u ) A = A + u A
a12b12 a22b22
am2 bm2
a1n b1n a2n b2n
amnbmn
称为矩阵A与B的和，记作 C = A+B
(2) 性质 设 A，B，C，O 都是 m×n 矩阵 (1) A + B = B + A (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (3) A + O = O + A = A
(4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O， 不同型的零矩阵是不相等的。
二、矩阵的运算
1. 矩阵的加法
(1) 定义 设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n
a11b11
a21b21
am1 bm1
(消去律不成立)
(2) 性质 (1) ( A B ) C = A ( B C ) (2) A (B + C ) = A B + A C (3) ( B + C ) A = B A + C A
(4) 1·A = A (－1)·A = －A
例3：设
A4 2
3 0
1, 5
B 1 1
2 0
0 3
求A－2B
解：2B 2 4 0 2 0 6
A 2B 431 2 40 2 0 5206
2 7 1 4 0 1
4. 矩阵的乘法 (1) 定义 设 A = ( aij ) m×s , B = ( bij ) s×n , 则A与B的
x1 1 （2）－（3） x1 1
x2x32
x2 2
x3 0
x3 0
代替：
1 1 1 1 r1－r2 0 1 1 2 1 1 2 1 r3－r1
1 0 0 1 r2－r3 0 1 1 2 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 0
2. 定义 由m×n个数aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n) 有次序地排成m行(横排)n列(竖排)的数表
只有一列的矩阵
a 1
A m 1
a2
称为列矩阵
a m
(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称
A、B是同型的。
(3) 若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)则称A与B相等， 记作A＝B。
B2 1 , 2 1
C 2 3 , 1 3
试证： (1) AB = 0 ；
D1 5 2 5 (2) AC = AD
证：
(1) AB 1 12 1 0 1 12 1 0
0 O 0
(2) AC 1 12 3 3 0 1 11 3 3 0
AD 1 12 5 3 0 1 12 5 3 0
2. 矩阵的减法 (1) 负矩阵 设 A = ( aij ) m×n , 则称
( －aij ) m×n 为A的负矩阵，简记－A
显然 A+ (－A)= O , －(－A) = A
(2) 减法： 设 A = ( aij ) m×n , B = ( bij ) m×n
A－B = A + (－B ) = ( aij－ bij ) m×n
§1 矩阵及其运算
一、矩阵的定义 1. 实际例子 例1 设某物质有m个产地，n个销地，如果以
aij 表示由第 i 个产地销往第 j 个销地的数量，则这 类物质的调运方案，可用一个数表表示如下：
销量
产地
1 2 i m
1 2 … j …… n
a 11 a 12 a 1 j a 1 n a 21 a 22 a 2 j a 2 n a i 1a i 2 a ij a in
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am2 amn
称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用 大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记
为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而 aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。
注意：
(1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1 a2 … an) 称为行矩阵
乘积 C＝AB是m×n矩阵，C = ( cij ) m×n
其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和
C ij a i 1 b 1 j a i2 b 2 j a ib s sj
S
aik bkj k 1
( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)
例4： 设矩阵
a m 1a m 2 a m j a mn
记 a11 a21
a12 a 22
a1 j a2 j
a1n a2n
ai1
ai 2 aij
ain
am1 am 2 amj amn
例2 解线性方程组
x1x2x31 x2x32（1）－（2）
x1x22x31（3）－（1）
故 AC ＝ AD
比较：
(1) 在数的乘法中，若ab = 0 a = 0 或 b = 0
在矩阵乘法中，若AB = O A = O 或 B = O
两个非零矩阵乘积可能为O。 (2) 在数的乘法中，若ac = ad，且a 0 c = d
(消去律成立) 在矩阵乘法中，若AC = AD，且A O C = D