(推荐)高等数学三第三章矩阵理论

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高等数学教材矩阵

高等数学教材矩阵矩阵作为高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。

它不仅在线性代数中起着重要的作用，还在其他数学分支以及工程、物理等应用科学中扮演着重要角色。

本文将对矩阵的定义、运算和性质进行详细讲解，并探讨其在实际问题中的应用。

1. 矩阵的定义在数学中，矩阵是按照长方阵列排列的数的集合。

矩阵通常用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示，如a_ij，其中i表示行数，j表示列数。

矩阵的维度由行数和列数确定。

2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。

矩阵加法和减法遵循矩阵对应元素相加和相减的原则，要求两个矩阵具有相同的维度。

矩阵乘法是将矩阵A的每个元素与矩阵B的每列元素进行相乘，再将结果相加得到新矩阵的元素。

3. 矩阵的性质矩阵具有许多有用的性质。

比如，矩阵的转置可以通过将矩阵的行和列互换得到；矩阵的逆可以用来解线性方程组；矩阵的迹是指主对角线上元素的和；矩阵的秩可以用来判断矩阵的线性相关性。

4. 矩阵的应用矩阵在实际问题中有广泛的应用。

例如，在工程领域，矩阵可以用来描述力和力矩的关系，从而帮助解决结构力学问题。

在图像处理中，矩阵可以用来表示图像的像素点，进行图像的缩放、旋转等操作。

在机器学习中，矩阵被广泛应用于数据挖掘和模式识别等领域。

总结：高等数学教材中的矩阵是一门重要的数学概念，通过对矩阵的定义、运算和性质进行深入理解，我们可以更好地应用矩阵解决实际问题。

无论是在线性代数还是其他领域，矩阵都扮演着重要的角色，为问题的建模和求解提供了有效的工具。

希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握矩阵的知识，提高数学应用能力。

矩阵分析第三章ppt课件

2
我们知道，向量是特殊的矩阵。所有 m n阶的实矩阵的集合 R m n 对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满
足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。不过这里的“向量”是实矩阵！！
二、线性空间(Linear Space)的概念
定义1.1如果非空集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合 V 为数域 F 上的线性空间或向量空间：
例1.2 闭区间 [ a , b ] 上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间 C [a , b ] 例1.3 次数不超过 n 的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 P [ x ] n 例1.4 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数
乘，构成线性空间 l
( A 2 ) 加法结合律： ( ) ( ) ，

(A 3) 具有加法单位元（零向量） R2 ，使得 (A4) 具有加法逆元（负向量） R2 ，使得 ( )
( M 1 ) 数乘的结合律： k () l ( k l )
( M 1 ) 数乘的结合律： k () l ( k l )
( M 2 ) 数乘的单位元： 1
( D 2 ) 分配律 2 : ( k l ) kl
( D 1 ) 分配律 1 : k ( ) k k

例1.1所有 m n阶的实（复）矩阵按矩阵的加法 m n m n 和数乘，构成线性空间 R (C ) 。
三、线性空间的基本性质
如果 V 是数域 F 上的线性空间，则
(1 )

大学数学高数微积分第三章线性方程组第四节课件课堂讲解

因
为向量组1 , 2 , 3 , 4 中含有零向量，它必线性相
关，故向量组1 , 2 , 3 , 4 的秩为 3 .
矩阵 A 的列向量组为
1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 2, 0, 0), 3 = (3, -1, 0, 0), 4 = (1, 4, 5, 0). 用同样的方法可证， 1 , 2 , 4 线性无关，而
3 721122 ,
所以向量组1 , 2 , 3 , 4 线性相关，其秩为 3 .
因此，矩阵 A 的行秩和列秩都是 3 .
2. 行秩与列秩的性质
例 1 中矩阵 A 的行秩和列秩相等，这一点不是偶然的，下面来一般地证明行秩等于列秩.
作为一个准备，我们先利用行秩的概念把第
一节中的
定理 1 在齐次线性方程组
知，如果 A 的 r + 1 级子式全为零，那么 A 的 r + 2
级子式也一定为零，从而 A 的所有级数大于 r 的子
式全为零.
设 A 的秩为 t . 由必要性，t 不能小于 r ，否
则 A 的 r 级子式就全为零了.
同样，t 也不能大于
r ，否则 A 就要有一个 t ( t r + 1 ) 级子式不为零,
也线性无关. 它们正好是矩阵 A 的 r 个列向量，由
它们的线性无关性可知矩阵 A 的列秩 r1 至少是 r ,
Байду номын сангаас
也就是说 r1 r .
用同样的方法可证 r r1 .
这样就证明了行秩
与列秩相等.
证毕
3. 矩阵的秩定义17 把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.
二、矩阵的秩与行列式的关系
1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件

矩阵理论第3章课件

y 1e1 2e2 nen ，
0 || x || || y ||
x y
(1 1 )e1 ( 2 2 )e2 ( n n )en 1 1 e1 2 2 e2 n n en 1 1 2 2 n n 0
n
n
k 1
则 x 1 为向量范数，称此范数为1-范数。证明（1）当 x 0 时，其分量 1 , 2 , , n 不全为零，因此 x 1 0；（2）||x||1 = | k | | | | k | = || ||x||1；
k 1 k 1 n n
（3）再设 y 1, 2 , , n ,
第三章
矩阵的范数与幂级数
§1 向量范数
一、引入
在内积空间中，可以用内积定义向量长度（范数）的概念，即 x
x, x ，但对于一般的线性空间 V ，由于没有
内积，从何引入向量的范数？抽象出上述向量范数的共性：（1）当 x 0 时， x 0 ；（2） x x ；（3） x y x y ，以此定义线性空间 V 中的向量范数。
( k k , k 1,, n )。现取一个有界闭集 S
, , ,
1 2 n
x

1 ，(1,…,

n)的连续函数||x||在 S 上有最大值 M 和最小值 m，由于 S
中不包括零向量，所以 m > 0，即有
m ||x|| M (x S) 。
p
，1 p 。
例7 设 || ||a ， || ||b 是 C n 上两种范数，证明
max || ||a ,|| ||b 是 C n 上范数。

高等数学线性代数教材目录

高等数学线性代数教材目录第一章行列式1.1 行列式的引入1.2 二阶和三阶行列式的计算1.3 行列式的性质和性质的应用1.4 行列式的性质证明第二章矩阵和向量2.1 矩阵的概念和基本运算2.2 矩阵的转置和逆2.3 向量的线性相关性和线性无关性2.4 向量组的秩和极大线性无关组第三章矩阵的运算3.1 矩阵的加法和减法3.2 矩阵的数乘3.3 矩阵的乘法3.4 矩阵的特殊类型第四章线性方程组4.1 线性方程组的概念和解的分类4.2 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解 4.3 线性方程组的向量表示第五章向量空间5.1 向量空间的定义和例子5.2 向量子空间和子空间的概念5.3 向量空间的线性组合和生成子空间5.4 基和维数第六章矩阵的特征值和特征向量6.1 特征值和对角化6.2 特征多项式和特征方程6.3 相似矩阵和相似对角矩阵6.4 实对称矩阵的对角化第七章线性变换7.1 线性变换的概念和性质7.2 线性变换的矩阵表示7.3 线性变换的特征值和特征向量7.4 线性变换的相似、迹和行列式第八章内积空间8.1 内积的定义和性质8.2 欧几里得空间和具有内积的实向量空间8.3 向量的正交性和正交子空间8.4 施密特正交化方法第九章广义特征值问题9.1 广义特征值问题的引入9.2 广义特征值的计算9.3 广义特征值与相似变换9.4 对称矩阵的广义特征值问题与对角化第十章特殊矩阵的标准形式10.1 对称矩阵的对角化10.2 正定矩阵和正定二次型10.3 实对称矩阵的正交对角化10.4 复数矩阵的标准型这是《高等数学线性代数》教材的目录, 包含了十个章节，每个章节中有相应的小节来详细介绍相关内容。

这本教材综合了高等数学和线性代数的知识，旨在帮助读者掌握线性代数的基本概念、理论和方法，以及应用于实际问题的能力。

希望读者通过学习这本教材，能够系统地理解和应用线性代数的知识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。

高考高等数学备考指南矩阵论应用

高考高等数学备考指南矩阵论应用对于即将参加高考的同学们来说，高等数学中的矩阵论可能是一个相对较新且具有一定挑战性的知识点。

然而，掌握好矩阵论不仅能够提升我们在高考数学中的解题能力，还有助于培养我们的逻辑思维和数学素养。

一、矩阵的基本概念矩阵，简单来说，就是一个按照矩形排列的数表。

它由行和列组成，例如一个 m 行 n 列的矩阵，我们就称为 m×n 矩阵。

在高考中，我们常见的矩阵通常是 2×2 或者 3×3 的矩阵。

比如：1 2; 3 4 这就是一个 2×2 的矩阵。

了解矩阵的基本元素，包括矩阵的元素、行向量和列向量等，是我们学习矩阵论的第一步。

二、矩阵的运算1、矩阵的加法只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时，才能进行加法运算。

加法运算就是将对应位置的元素相加。

2、矩阵的数乘一个数乘以一个矩阵，就是将这个数乘以矩阵中的每一个元素。

3、矩阵的乘法这是矩阵运算中的重点和难点。

矩阵乘法并非像数字乘法那样简单直接，它有着特定的规则。

对于矩阵 A（m×n）和矩阵 B（n×p），它们的乘积 C 是一个 m×p 的矩阵。

其中，C 中第 i 行第 j 列的元素等于 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。

三、矩阵的性质1、矩阵的转置将矩阵的行和列互换，得到的新矩阵就是原矩阵的转置矩阵。

2、矩阵的逆如果存在一个矩阵 B，使得矩阵 A 与矩阵 B 的乘积为单位矩阵，那么矩阵 B 就是矩阵 A 的逆矩阵。

但并非所有矩阵都有逆矩阵，只有行列式不为 0 的矩阵才有逆矩阵。

四、矩阵在高考中的应用1、求解线性方程组通过将线性方程组写成矩阵形式，利用矩阵的运算和性质，可以更简便地求解方程组。

例如，对于方程组：2x ＋ 3y ＝ 84x y ＝ 1可以写成矩阵形式：2 3; 4 －1 x; y ＝ 8; 1然后通过求矩阵的逆或者其他方法来求解 x 和 y 的值。

矩阵论知识要点范文

矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。

矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。

以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。

矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。

2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。

矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。

3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。

对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。

4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。

逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。

5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。

秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。

6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。

矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。

7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。

相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。

8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。

9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。

矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。

10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。

矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。

高等数学三第三章矩阵理论

乘积 C＝AB是m×n矩阵，C = ( cij ) m×n
其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和
C ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib s sj
S
aik bkj k 1
( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)
例4：设矩阵
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am 2 amn 称为一个m行n列的矩阵，简记(aij)m×n，通常用大写字母A，B，C，…表示，m行n列的矩阵A也记
为Am×n，构成矩阵A的每个数称为矩阵A的元素，而 aij表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。
注意：
(1) 只有一行的矩阵 A1×n =(a1 a2 … an) 称为行矩阵
只有一列的矩阵
a 1
A m 1
a2
称为列矩阵
a m
(2) 两个矩阵A、B，若行数、列数都相等，则称
A、B是同型的。
(3) 若 A = (aij)m×n, B = (bij)m×n是同型的，且 aij = bij (i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)则称A与B相等，记作A＝B。
(4) 元素全为0的矩阵称为零矩阵，记作O，不同型的零矩阵是不相等的。
二、矩阵的运算
1. 矩阵的加法
(1) 定义设 A = ( aij )m×n , B = ( bij )m×n
则矩阵 C = ( cij ) m×n= ( aij + bij ) m×n
a11b11 a12b12 a1n b1n
(消去律不成立)
(2) 性质 (1) ( A B ) C = A ( B C ) (2) A (B + C ) = A B + A C (3) ( B + C ) A = B A + C A

矩阵论第三章答案

d1 (λ ) = L = d n −1 (λ ) = 1 ， d n (λ ) = (λ − a )
n
因此初等因子只有一个，即有 (λ − a )n .
11. 证：
A（ λ ）与 B（ λ ）相抵当且仅当它们有相同的不变因
子，当且仅当它们的各阶行列式因子相同.
1 1 ⎤ ⎡λ − 2 ⎢ 12. 解：（ 1 ）因为 λI − A = ⎢ − 2 λ + 1 2 ⎥ ⎥ 的初等因子为 ⎢ − 1 λ − 2⎥ ⎣ 1 ⎦
0 0 ⎤ r2 − (− 1)r3 ⎡1 0 0 ⎤ c 2 − (2λ − 1)c1 ⎡1 ⎢0 ⎥ ⎢ 2 λ − λ ⎥ ⎯⎯ ⎯ λ2 ⎥ ⎯⎯ ⎯ ⎯→ ⎢ ⎯→ ⎢0 λ ⎥ 2 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ c3 + (− λ )c1 ⎢ ( ) r + 1 − λ r 0 λ − λ − λ − λ 0 0 − λ − λ 3 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2. 解：（ 1）因为 A 的特征矩阵为
⎡λ + 1 ⎤ ⎢ ⎥ λ+2 ⎢ ⎥ A(λ ) = λI − A = ⎢ ⎥ λ −1 ⎢ ⎥ λ − 2⎦ ⎣
所以 A（ λ ）的行列式因子为
⎡1⎤ A=⎢ ⎥ ⎣1⎦
不变因子为
d 1 (λ ) = D1 (λ ) = 1, d 4 (λ ) = D4 (λ ) D3 (λ ) d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1,
10. 解：
因为 A(λ ) = (λ − a )n ，所以 Dn (λ ) = (λ − a )n ，又因
c1 λ − a c2 O
O
= c1c 2 L c n −1 ≠ 0 ，
λ − a c n −1

大学高等数学及线性代数课件3-1

§1 矩阵的初等变换
定理1：（只记结论）
⎛ Er O ⎞ 设 A是m × n阶矩阵，则 A ~ ⎜ ⎜ O O ⎟ ，其中0 ≤ r ≤ min(m, n), ⎟ ⎝ ⎠ m×n ⎛ Er O ⎞ ⎜ ⎜ O O ⎟ 称为A的标准形或叫等价标准形。 ⎟ 这是个什么类 ⎝ ⎠ m×n 型的矩阵呢？注释：所有n阶可逆方阵A的标准形都是n阶单位阵En
只能施行初等行变换
(
A
−1
)
只能用初等列变换
⎛ A⎞ ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ → L → ⎜ −1 ⎟ ⎜E⎟ ⎜A ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ 例：设 A = ⎜ 2 2 1 ⎟, 求 A−1. ⎜ 3 4 3⎟ ⎠ ⎝
【1】此方法只能用初等行变换！！【2】若不知A是否可逆，仍可用上述方法做，只要矩阵[A E]左子块出现一行（列）的元素全为零，则A不可逆。
这三个矩阵既可理解为行变换，又可理解为列变换得到的。
定理：设A是n × s阶矩阵； B是m × n阶矩阵；则 [1]E (i, j ) A表示互换 A的第 i, j行； BE (i, j ) 表示互换 B的第 i, j列； [ 2]E (i ( k )) A表示 A的第 i行乘以 k ( ≠ 0); BE (i ( k )) 表示 B的第 i列乘以 k ( ≠ 0); [3]E (ij ( k )) A表示 A的第 j行的 k倍加到第 i行； BE (ij ( k )) 表示 B的第 i列的 k倍加到第 j列.
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ O ⎟ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 L 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎜ ⎟ E(i(k)) = ⎜ ⎟ E(i, j) = ⎜ M O M ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 L 0 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ O ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠

(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量的对应系数。若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】一个一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中

矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质：（M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;

高等数学矩阵教材

高等数学矩阵教材矩阵理论是高等数学中重要且广泛应用的一个分支。

本篇文章将针对高等数学矩阵教材进行详细介绍和论述，为读者深入理解和掌握矩阵的基本概念、性质和运算提供指导。

以下是本文的内容大纲：1. 矩阵的基本概念和表示方法1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的行数和列数1.4 矩阵的转置和共轭转置2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法和减法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的乘法性质3. 矩阵的特殊类型3.1 方阵3.2 对角矩阵3.3 上三角矩阵和下三角矩阵3.4 单位矩阵和零矩阵3.5 逆矩阵4. 矩阵的行列式4.1 行列式的定义和性质4.2 二阶和三阶行列式的计算方法4.3 行列式的性质和计算方法5. 矩阵的秩和特征值5.1 矩阵的秩5.2 矩阵的特征值和特征向量5.3 矩阵的对角化和相似矩阵6. 矩阵的应用6.1 线性方程组和矩阵6.2 矩阵的几何解释6.3 矩阵的最小二乘拟合通过以上的内容，读者将能够全面了解和掌握高等数学中矩阵的相关知识。

矩阵理论在各个学科和领域都有广泛的应用，包括线性代数、物理学、计算机科学等。

对于学习数学的学生来说，掌握矩阵理论是非常重要的基础知识，可以为以后的学习和研究打下坚实的基础。

总结起来，本篇文章主要介绍了高等数学矩阵教材中的关键概念、运算法则、特殊类型、行列式、秩和特征值等内容，并简要介绍了矩阵在各个学科中的应用。

希望本文能够为读者在高等数学学习中提供一定的帮助和指导，使他们能够更好地理解和掌握矩阵的基本概念和性质。

同时，也希望读者能够通过阅读本文的内容，对矩阵理论产生更加浓厚的兴趣，并能够进一步深入学习和研究相关领域。

（以上内容只是一个大纲，实际写作需要根据每个小节展开详细论述，以便更好地满足1000字的要求）。

《线性代数》课件第3章

2.加法交换律 : A + B = B + A; 3. A + 0m×n = A; 4. A + (−A) = 0m×n; 5. a(A + B) = aA + bB; 6. (a + b)A = aA + bA; 7. (ab)A = a(bA).
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分

高等数学第三章课件-矩阵的秩

定理2 设 A = (aij )n×n , 则 R( A) = n ⇔ | A |≠ 0 R( A) < n ⇔ | A |= 0
(满秩矩阵) (降秩矩阵)
k 级子式
定义在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
(1 ≤ k ≤ min(s,n)) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
就是A行(列)向量组的一个极大无关组.
例
⎛1 1 1 ⋯ 1⎞
⎜ ⎜
a1
a2
a3
⋯
an
⎟ ⎟
设 A = ⎜ a12 a22 a32 ⋯ an2 ⎟ , 其中 a1 , a2 ,⋯, an
⎜ ⎜
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⎟ ⎟
⎜ ⎝
a s−1 1
a s−1 2
a s−1 3
⋯
a s−1 n
⎟ ⎠
互不相同, 且 s ≥ n,求 R(A).
所以方程组 x1α1 + x2α2 + ⋯ + xrαr = 0 只有零解.
即
⎧ ⎪ ⎨
aa11⋯21xx1⋯1 ++⋯aa22⋯21xx⋯22++⋯⋯⋯⋯++⋯aa⋯rr12xx⋯rr ==
0 0
⎪ ⎩
a1n
x1
+
a2n
x2
+
⋯
+
arn xr
=
0
（2）
只有零解. 由引理1，方程组（2）的系数矩阵
定理3 矩阵 A的秩为 r 的充要条件是 A中有一个 r 级子式不等于0，且所有 r + 1 级子式等于0．
注
① R( A) ≤ r ⇔ A的所有 r + 1级子式等于0； R( A) ≥ r ⇔ A有一个 r 级子式不为0.

高等数学矩阵的原理是什么

高等数学矩阵的原理是什么矩阵是一种很常见的数学工具，广泛用于各个领域，包括线性代数、微积分、物理、工程科学、计算机科学等。

高等数学中，矩阵被广泛地用于解线性方程组、行列式的求解、向量空间的定义、本征值问题的解答等。

本篇文章将介绍矩阵的原理及其应用。

1. 矩阵的基本概念矩阵是一个矩形的数字阵列，其中的数被称为矩阵元素，通常用大写字母表示。

例如：\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}在矩阵的每个元素上，我们可以进行一些基本的运算，如加、减、数乘等。

两个矩阵相加时，需要满足这两个矩阵的维度相同。

数乘时，我们将矩阵中的每个元素乘以一个数。

2. 矩阵的基本性质2.1 矩阵的加法和数乘是可交换的设A 和B 是m\times n 的矩阵，\lambda,\mu 是任意常数，则有：A+B = B+A ,\lambda(\mu A) = (\lambda\mu)A 。

2.2 矩阵的加法和数乘满足分配律和结合律设A, B, C 是m\times n 的矩阵，\lambda , \mu 是任意常数，则有：\lambda(A+B) = \lambda A + \lambda B ,(\lambda+\mu)A = \lambda A + \mu A ,(\lambda\mu)A = \lambda (\mu A) ,1A = A 。

2.3 矩阵乘法的结合律设A 是m\times n 的矩阵，B 是n\times p 的矩阵，C 是p\times q 的矩阵，则有：(AB)C=A(BC)。

2024年考研高等数学三现代控制理论的数学基础历年真题

2024年考研高等数学三现代控制理论的数学基础历年真题【前言】控制理论是现代工程科学中重要的组成部分，它研究如何通过设计合理的控制器使得系统在给定要求下能够稳定运行并实现特定的性能指标。

作为高等数学的一部分，现代控制理论旨在将数学方法应用于控制系统的建模和分析，从而为工程实践提供有效的解决方案。

为了更好地掌握本门课的相关知识，在准备2024年的考研高等数学三现代控制理论考试前，我们可以参考历年真题，加强对数学基础的理解与应用。

【第一部分：线性代数】在现代控制理论中，线性代数是基础且必不可少的一门数学工具。

在历年的考研高等数学三现代控制理论考试中，线性代数相关的问题常常出现在选择题和计算题中。

题目1：已知矩阵A = [1 2 3; -1 0 2; 1 1 4]，求矩阵A的特征值和特征向量。

解析：首先，我们需要求解矩阵A的特征值。

根据线性代数的理论，矩阵A的特征值是满足方程|A - λI| = 0的λ值，其中I是单位矩阵。

因此，我们可以将矩阵A减去λ乘以单位矩阵I并计算行列式，得到特征值的表达式。

接着，我们根据特征值的定义，求解方程(A - λI)x= 0，其中x是特征向量。

通过分析特征值和特征向量的关系，我们可得到矩阵A的特征值和特征向量。

【第二部分：微分方程】控制系统的建模和分析过程中，微分方程是不可或缺的数学工具。

在历年的考研高等数学三现代控制理论考试中，微分方程的相关题目常常涉及到线性微分方程、非线性微分方程以及解的存在唯一性等内容。

题目2：求解线性微分方程组dx/dt = -2x + 3ydy/dt = x - 2y解析：我们可以使用矩阵的方法来求解线性微分方程组。

将该方程组表示为矩阵形式 dx/dt = Ax，其中A是一个2×2矩阵。

然后，求解方程 A - λI = 0，其中λ是特征值，I是单位矩阵。

通过求解特征值和特征向量，我们得到矩阵A的特征矩阵和特征向量。

最后，将特征值和特征向量代入到矩阵A的对角化公式，求解线性微分方程组。

矩阵论第3章

为 P[ ]
mn
．
次－矩阵．
1 2 3 2 2 1 是一个 2×3 的 3 例如 A( ) 3 2 1 2
显然，数字矩阵是－矩阵的特例（即 0 次－矩阵）．数字
矩阵 A 的特征矩阵 E A 就是 1 次－矩阵.
秩的，但不可逆．
3.1.2 －矩阵的初等变换与等价
定义 3.1.4 下列三种变换称为－矩阵的初等变换：（1）－矩阵的两行（列）互换位置；（2）－矩阵的某一行（列）乘以非零常数 k ；（3）－矩阵的某一行（列）的 ( ) 倍加到另一行（列），其中 ( ) 是的多项式．
注 3.1.2 定理 3.1.4 的逆命题不成立．
1 1 例如设 A( ) ， B ( ) ． 1 0 2 因为 A( ) 0 ， B( ) 2 0 ，所以 rankA( ) rankB( ) 2 ．但由矩阵的初等变换可知，如果 A( ) 与 B( ) 等价，则 A( ) 与 B( ) 之间只能差一个非零常数因子，而 A( ) 与 B( ) 不满足这一条件，所以 A( ) 与 B( ) 不等价．
定义 3.1.6 设 A( ) 与 B( ) 是两个 m n 的－矩阵，若 A( ) 可以经过有限次初等变换变成 B( ) ，则称 B( ) 与 A( ) 等价，记为 B( ) ≌ A( ) ．
由此定义以及数字矩阵的相关结果立即可得：定理 3.1.3 设 A( ) 与 B( ) 是两个 m n 的－矩阵，则 B( ) ≌ A( ) 的充分必要条件为存在 m 阶－矩阵的初等矩阵
不可逆．
注 3.1.1 在 n 阶－矩阵中，可逆必满秩，反之不然．

矩阵理论（PDF）

§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。

因而可以逐项求导。

t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。