统计决策专题讲座

[61,70] 2人正常处理56个 A2 邮件，还剩14个， 需加班4小时 5×7×3=105 5×7×3=105 5×7×3=105 5×7×3=105 5×7×3+7.5×2=120
2 ( 0.15)
3 ( 0.30)
5×7×2+7.5×4=100 [51,60] 5×7×2+7.5×6=115 2人正常处理56 4 ( 0.25) 个邮件，还需 5×7×2+7.5×9=137.5 5 ( 0.20) 加班1小时

从左到右的建树过程； 从右到左的计算过程。
例3.5 利用决策树法确定例3.4中邮局最优雇 佣工人的数量。
例3.5 利用决策树法确定例3.4中邮局最优雇 用工人的数量。
支付工资 方案
A1
5×7×2=70 5×7×2+7.5=77.5
A2
5×7×3=105 5×7×3=105
状态（概率）
1 ( 0.10)
现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这件古物？
例3.2 一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二 天去卖，每束花成本为1元，售价可达5元。若当 天卖不掉，因花枯萎而不能再卖。据经验，她一 天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。若将 一天中卖出的花束数θ视作随机变量，且已知其 分布为
6 7 8 9 10 5 ~ 0.06 0.09 0.15 0.40 0.20 0.10
j 1
6
6
E ( A2 ) PjV2 j 0.06 19 0.09 24 0.15 24 0.40 24 0.20 24 0.10 24 23.7 E ( A3 ) PjV3 j 0.06 18 0.09 23 0.15 28 0.40 28 0.20 28 0.10 28 26.88
例 3.6 某高新技术集团企业拟生产某种新产品， 该企业有两个方案可供选择，方案一是建设大 厂，需投资3200万元，建成后，若销路好，每 年可得利润1200万元，若销路差，每年则亏损 400万元；另一个方案是建设小厂，需投资2000 万元，如销路好，每年可得利润600万元，销路 差，每年可得利润500万元。两个工厂的使用期 限都是10年。根据市场预测，这种产品在今后 10年内销路好的概率是0.7，销路差的概率为 0.3，该集团企业计划先建小厂，试销3年，若 销路好再投资1000万元，加以扩建。扩建后可 使用7年，后7年中每年盈利增至970万元，应如 何决策。
若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为： E ( A2 ) 0.10 105 0.15 105 0.30 105 0.25 105 0.20 120 108 (元) 因为
E ( A1 ) E ( A2 )
根据期望值准则，故从邮局的角度来看，最优雇佣 工人的数量为2。
每天卖出8束花的概率最大，达到0.40，在这种状态 摘5束，能 解 写出收益矩阵，如下表所示 下，最大收益值为32，32所对应的方案为每天采摘8 卖6束 束花，所以，该姑娘前一天晚上应采摘8束鲜花。
摘8束，卖7束
7×58×1=27 如果在一组自然状态中，某一自然状态出 现的概率比其它自然状态显著地大，而益 损值差别又不很大时，采用最大可能性准 则的决策效果较好。
{1 , 2 , , m }
A {a1 , a2 , , an }
决策目标
依统计决策论的观点，对决策有用的信息
先验信息 无数据 贝叶斯 （无样本信息） 决策问题 决策问题
样本信息
统计决策问题
决策问题的分类
统计决策的显著特点是：
统计决策建立在统计分析和统计预
测的基础 上，是一种定量决策 。
统计决策是在不确定情况下，应用
概率来进行决策的计算和分析，是一
种概率决策。
统计决策的分类 确定型决策
决策的自然 状态完全确 定，即在未 来情况已知 的条件下， 按照既定目 标和决策准 则选定方案 的决策。
风险型决策
事件中存在着两个以 上的不以决策者主观 意志为转移的自然状 态，在几种不同的自 然状态中未来会出现 哪一种状态，决策者 不能肯定，但各种状 态出现的可能性即概 率，可由决策者预先 估计或计算出来。
5×7×2=70 5×7×2+7.5=77.5 5×7×2+7.5×4=100 5×7×2+7.5×6=115 5×7×2+7.5×9=137.5 5×7×3=105 5×7×3=105 5×7×3=105 5×7×3=105 5×7×3+7.5×2=120
2 ( 0.15)
3 ( 0.30)
j 1 j 1 6
因此各种情况平均起来考虑，方案A4收益的 期望值最高，故该方案为最优方案，即பைடு நூலகம்花姑 娘前一天晚上应采摘8束鲜花。
例3.4 某邮局要求当天收寄的包裹当天处理完毕。 根据以往统计记录，每天收寄包裹的情况见下表
收寄包裹数（个） 41-50 占的比例 10% 51-60 15% 61-70 30% 71-80 25% 81-90 20%
现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。
统计决策：
广义上说，是依据统计的原理、原则和方
法进行的决策；
狭义地讲，是指将未来情况的发生视为随
机事件，依据概率统计提供的理论和方法
进行的决策。 统计决策提供了在未来情况具有不确定性 时，处理问题的原理和方法。
状态集
行动集 行动空间 决策问题的 三个基本要素
在决策中选择概率最大的自然状 态，将其它概率较小的自然状态予以 忽略，然后比较各备选方案在这种概 率最大的自然状态下的收益或损失值， 选取收益最大或损失最小的方案作为 行动方案。
例3.3 一位姑娘自己种花卖花，她每晚摘花第二 例3.2 对例3.2，按最大可能性准则方法， 天去卖，每束花成本为1元，售价可达5元。若当 该姑娘前一天晚上应采摘几束鲜花？
2 ( 0.15)
3 ( 0.30)
5×7×2+7.5×4=100
5×7×2+7.5×6=115 5×7×2+7.5×9=137.5
5×7×3=105
5×7×3=105 5×7×3+7.5×2=120
4 ( 0.25)
5 ( 0.20)
1 (0.10) 2 (0.15)
3 (0.30)
数学建模专题讲座
统计决策
理学院应用数学系
3.1 概述
决策是指为了实现特定的目标， 根据客观的可能性，在占有一定信息 和经验的基础上，借助一定的工具、 技巧和方法，对影响未来目标实现的 诸因素进行准确的计算和判断选优后， 对未来行动做出的决定。
例3.1 一位收藏家拟收购一件古物，这件古物 标价为3000元。若这件古物是真品，则值6000元； 若是赝品，则一文不值。此外，没有买下一件真 品古物会损害这位收藏家的名誉，其收益情况可 列表如下：
已知每个邮局职员平均每小时处理4个包裹，每小时 工资为5元。规定每人每天实际工作7小时。如加班工 作，每小时工资额增加50%，但加班时间每人每天不 得超过5小时（加班时间以小时计，不足1小时的按1 小时计算）。试确定该邮局最优雇佣工人的数量。
分析：
每人每天正常处理的包裹数为4×7=28（个）， 最多处理的包裹数量为4×（7+5）=48（个）。 而每天需要理的包裹数最多为90个，故我们只 A2 A1 考虑两个方案 （雇佣2个工人）和 （雇佣3个 工人）。
若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为： 表3.4 决策损失表
E (支付工资.10 70 0.15 77.5 0.30 100 0.25 115 0.20 137 .5 A1 ) 0 方案 A2 A1 104 .875 (元) 状态（概率）
1 ( 0.10)
决 策
A1
雇用3个工人
108
A2
1 0.10 2 0.15 3 0.30 4 0.25 5 0.20
图3.2 单阶段决策树图
（2）多阶段决策树法
有些问题的统计决策带有阶段性， 选择某种行动方案会出现不同的状态， 按照不同的状态，又需要作下一步行 动方案的决策，以及更多的状态和决 策，这些问题表现在决策树上为多个 决策点，可以用多阶段决策树的方法 进行决策。
3.2.2 期望值准则决策
期望值准则决策，就是在考虑各种 结果对决策带来综合影响的情况下，选 择其中期望值最大的方案作为最优方案 的一种决策方法。
期望值准则决策的步骤：
列出决策收益表； 以决策收益表为基础，根据各种自然状态
的概率计算出不同方案的期望损益值；
从期望损益值中选择最大的值所对应的方
天卖不掉，因花枯萎而不能再卖。据经验，她一 天至少能卖5束鲜花，最多能卖10束鲜花。若将 一天中卖出的花束数θ视作随机变量，且已知其 分布为
6 7 8 9 10 5 ~ 0.06 0.09 0.15 0.40 0.20 0.10
现要研究她前一天晚上采摘几束鲜花为最优行为。
100 105
4 (0.25)
115 105 70 77.5 100 115 137.5 105 105 105 105 120
5 (0.20)
137.5 105
A1
A2
70 105
77.5 105
104.875
雇用2个工人
A1
方案枝
1 0.10 2 0.15 3 0.30 4 0.25 5 0.20
i 表示收寄的包裹位于区间：
(3 i) 10 1,
40 10i , i 1, 2, 3, 4, 5
支付工资
状态（概率）
每小时5元，每 表3.4 决策损失表 天7小时，2人 方案 7×4×2=56 A1 [41,50] 5×7×2=70 5×7×2+7.5=77.5
1 ( 0.10)
4 ( 0.25)
5 ( 0.20)
若雇佣三个工人，则邮局的平均支付工资为： E ( A2 ) 0.10 105 0.15 105 0.30 105 0.25 105 0.20 120 108 (元)
若雇佣两个工人，则邮局的平均支付工资为：
E ( A1 ) 0.10 70 0.15 77.5 0.30 100 0.25 115 0.20 137 .5 104 .875 (元)
不确定型决策
决策者在对 未来情况未 知，对各种 自然状态及 其概率也一 无所知的情 况下所进行 的决策。
3.2
风险型决策
进行风险型决策一般应具备的条件：

具有明确的目标； 两个或两个以上的可能状态及不同可能 状态出现的概率； 两个或两个以上的行动方案以及不同方 案在不同可能状态下的损益值。

3.2.1 最大可能性准则决策
3.2.3 决策树法
决策树法是通过把决策过程用图解方 式显示出来，从而使决策问题显得更为 形象、直观，便于管理人员审度决策局 面，分析决策过程。 决策树法不仅适用于单阶段决策问 题，而且可以处理多阶段决策中用图表 法无法表达的问题。
决策树的一般模型
（1）单阶段决策树法
单阶段决策树法可分为两个步骤：
E ( A4 ) PjV4 j 0.06 17 0.09 22 0.15 27 0.40 32 0.20 32 0.10 32 29.45
j 61
j 1 6
j 1 6
E ( A5 ) PjV5 j 0.06 16 0.09 21 0.15 26 0.40 31 0.20 36 0.10 36 29.35 E ( A6 ) PjV6 j 0.06 15 0.09 20 0.15 25 0.40 30 0.20 35 0.10 40 28.6
案作为最优方案。
期望损益计算公式为
E ( Ai ) PjVij
j 1 n
Vij 表示第i种方案在第j种状态下的益损值。
例3.3 利用表3.3中的资料，按照期望值准 则方法，求该姑娘应选择何种采摘方案？
解：由表3.3和期望值准则决策计算公式得
E ( A1 ) PjV1 j 0.06 20 0.09 20 0.15 20 0.40 20 0.20 20 0.10 20 20