微积分定理归纳.doc
微积分定理归纳
第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sin x/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。
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第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x) 2则K1函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)W, K2则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列｛xn｝不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列｛xn｝收敛，那么数列｛xn｝—定有界。
如果数列｛xn｝无界，那么数列｛xn｝—定发散；但如果数列｛xn｝有界，却不能断定数列｛xn｝—定收敛，例如数列1, -1, 1, -1, (-l)n+l该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列｛xn｝收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列｛xn｝有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列｛xn｝是发散的，如数列1,-1, 1,-1, (-l)n+l中子数列｛x2k-l｝收敛于1, ｛xnk｝收敛于-1, ｛xn｝却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<lx-x0l表示xH xO,所以x—xO时f(x)有没有极限与f(x)在点xO有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x ->x0)时f(x)=A,而且A>0(或A<0),就存在着点那么xO的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0),反之也成立。
函数f(x)当x-*xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x —00 )f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x -*xO)f(x)= ,00则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果Fl(x)2F2(x),而limF 1 (x)=a, limF2(x)=b,那么a2b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x f O)(sinx/x)=l ；lim(x -*00 )(l + l/x)x=1.夹逼准则如果数列｛xn｝、｛yn｝、｛zn｝满足下列条件：ynW xnW且znlimyn=a, limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分公式定理整理
微分积分公式整理一、导数1. 基本导数公式（1）()0='C （2）()1-='μμμx x（3）()x cos x sin =' （4）()x sin x cos -=' （5）()x sec x tan 2=' （6）()x csc x cot 2-=' （7）()x tan x sec x sec ⋅=' （8）()x cot x csc x csc ⋅-='（9）()x x e e =' （10）()a ln a a x x ='（11）()xx ln 1=' （12）()aln x x log a1=' （13）()211x x arcsin -=' （14）()211x x arccos --='（15）()211x x arctan +=' （16）()211x xcot arc +-='2. 导数的四则运算法则（1）()v u v u '±'=± （2）()v u v u uv '+'='（3）2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 3. 常用等价无穷小代换： 当x →0时，xx sin →xx tan →xx arcsin →xx arctan →2211xx cos →- a ln x a x →-1 x e x →-1()x x ln →+1()abxbx a →+-11()nx x n1111→-+()a ln x x log a →+1 4. 高阶导数公式（1）()()[]()()()()()n n n x v x u x v x u ±=± （2）()[]()()x cu x cu n n = （3）()[]()()()b ax u a b ax u n n n +=+（4）莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑5.基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!x x n n= （2）()()bax n n bax ea e ++⋅= （3）()()a ln a a n x n x=（4）()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+2x n b ax sin a b ax sin n n （5）()[]()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=+2x n b ax cos a b ax cos n n （6）()()()111++⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n nn b ax !n a b ax（7）()[]()()()()nn n n b ax !n a b ax ln +-⋅-=+-1116. 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
微积分学基本定理
x ln x ln a
x
(8) sin xdx cos x C (9) cos xdx sin x C
计算不定积分:
(1) ( x 3)( x 2)dx;
(2)
( x 1)( x 2)dx; x
(3)
cos 2x dx cos x sin x
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 2 x
以及x轴所围图形的面积S.
作业:P67A#1(注意画图)
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智,或者仅存最高等级の六品妖智,全部双眼血红,丧失了理智,只是知道将眼前の人类撕成碎片.十万白家军更是全部精锐,在刀山火海中走出来の强者,悍不畏死. 战争没有丝毫の情面可讲,不是你呀死就是俺亡,无比惨烈,漫山遍野都是鲜血,都是残尸,天空更是一片腥风血雨.炽火城外,处处 是战场,神力在四面八方飙射,无比灿烂. 白重炙神识扫了一下,放心下来,这十万白家军估计是雷震这数百年时候召集の,白重炙不清楚战力如何.此刻交战已经不咋大的半个时辰了,但是死伤却并不多,妖智已经被斩杀了数十万万,却只是死伤了数百人,并且还是受伤居多.彻底放心下来,和妖 姬两人化作道道残影,专对六品妖智下手.这漫山遍野の妖智虽然多,但
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分学基本定理
x ln x x (7 ) log a xdx ln a (9) cos xdx sin x C
计算不定积分: (1) ( x 3)( x 2)dx; ( x 1)( x 2) ( 2) dx; x cos 2 x ( 3) dx cos x sin x
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
b
1 计算 : (1) dx; 1 x 3 1 ( 2) ( 2 x 2 )dx 1 x
2
( 3) sin xdx;
0
(4) sin xdx;
2
(5) sin xdx;
0
2
例1
求 ( 2 cos x sin x 解
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
微积分基本定理_Microsoft_Word_文档
1.6微积分基本定理一：教学目标； 知识与技能目标；通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分过程与方法；通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法情感态度与价值观；通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点； ；重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义三：教学过程；：1、复习：定积分的概念及用定义计算 2、引入新课我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x d x F b F a =-⎰若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则()()()baf x dx F b F a =-⎰证明：因为()x Φ=()xaf t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故；()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤） 其中C 为某一常数。
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第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有 f(x) ≥则K1函数 f(x)在定义域上有下界， K1 为下界；如果有 f(x) ≤，K2则有上界， K2 称为上界。
函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理 (极限的唯一性 )数列 {xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理 (收敛数列的有界性 )如果数列 {xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列 {xn}无界，那么数列 {xn}一定发散；但如果数列 {xn}有界，却不能断定数列 {xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理 (收敛数列与其子数列的关系 )如果数列 {xn}收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列 {xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 {xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1， (-1)n+1中子数列 {x2k-1}收敛于 1，{xnk}收敛于 - 1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中 0<|x-x0| 表示 x≠ x0，所以 x→ x0时 f(x)有没有极限与 f(x)在点 x0 有没有定义无关。
定理 (极限的局部保号性 )如果 lim(x →x0)时 f(x)=A，而且 A>0(或 A<0)，就存在着点那么 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻域内时就有 f(x)>0(或 f(x)>0)，反之也成立。
函数 f(x)当 x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf(x)不存在。
一般的说，如果 lim(x →∞ )f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。
如果 lim(x →x0)f(x)= ，∞则直线 x=x0是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x) ≥F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 a≥b.5、极限存在准则两个重要极限lim(x→ 0)(sinx/x)=1；lim(x→∞ )(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列 {xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤ xn≤且zn limyn=a，limzn=a，那么 limxn=a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x) 当x→x0时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即lim(x→ x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点 x0 处连续。
不连续情形：1、在点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(x→ x0)f(x)不存在；3、虽在 x=x0 有定义且 lim(x → x0)f(x)存在，但 lim(x → x0)f(x) ≠时f(x0)则称函数在 x0 处不连续或间断。
如果 x0 是函数 f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0 为函数f(x)的第一类间断点 (左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。
非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商 (分母不为 0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间 Iy={y|y=f(x) ，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。
反三角函数在他们的定义域内都是连续的。
定理 (最大值最小值定理 )在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。
如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。
定理 (有界性定理 )在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤ f(x) ≤定M理. (零点定理 )设函数 f(x)在闭区间 [a，b]上连续，且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a) × f(b)<0)，那么在开区间 (a，b)内至少有函数 f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ<b）。
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值 m 之间的任何值。
第二章导数与微分1、导数存在的充分必要条件函数 f(x)在点 x0 处可导的充分必要条件是在点 x0 处的左极限 lim(h →-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h 及右极限 lim(h → +0)[f(x0+h)-f(x0)]/h 都存在且相等，即左导数 f-′(x0)右导数 f+ ′(x0)存在相等。
2、函数 f(x)在点 x0 处可导 =>函数在该点处连续；函数f(x)在点 x0 处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
4、函数 f(x)在点 x0 处可微 =>函数在该点处可导；函数 f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
第三章中值定理与导数的应用1、定理 (罗尔定理 )如果函数 f(x)在闭区间 [a，b] 上连续，在开区间 (a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在开区间 (a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的函数 f （x）在该点的导数等于零：f’（ξ）=0.2、定理 (拉格朗日中值定理 )如果函数 f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间 (a，b)内至少有一点ξ(a<ξ<b），使的等式 f（b）-f（ a）=f ’ξ）（（ b-a）成立即 f ’（ξ）= [f（b）-f（a）]/ （b-a）。
3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)- F(a)]=f ’( ξ))/F成立’。
(ξ4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞ / ∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。
5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间 (a，b) 内可导，那么：(1)如果在 (a，b)内 f ’ (x)>0，那么函数 f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在 (a，b)内 f ’ (x)<0，那么函数 f(x)在[a，b]上单调减少。
如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f ’(x)=0的根及f ’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f ’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
6、函数的极值如果函数 f(x)在区间 (a，b)内有定义， x0 是(a，b)内的一个点，如果存在着点 x0 的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点 x，f(x)f(x0)均成立，就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值。
在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点 (导数为 0 的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。
定理 (函数取得极值的必要条件 )设函数 f(x)在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，那么函数在 x0 的导数为零，即 f ’(x0)=0.定理 (函数取得极值的第一种充分条件)设函数 f(x)在 x0 一个邻域内可导，且 f ’(x0)=0，那么：(1)如果当 x 取 x0 左侧临近的值时， f ’恒(x)为正；当 x 去 x0 右侧临近的值时， f ’(x)恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值；(2)如果当 x 取 x0 左侧临近的值时， f ’恒(x)为负；当 x 去 x0 右侧临近的值时， f ’(x)恒为正，那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值；(3)如果当 x 取 x0 左右两侧临近的值时， f ’恒(x)为正或恒为负，那么函数 f(x) 在 x0 处没有极值。
定理 (函数取得极值的第二种充分条件 )设函数 f(x)在 x0 处具有二阶导数且f ’ (x0)=0，f ’’ (x0)那么≠0：(1)当 f ’’ (x0)时，函数<0 f(x)在 x0 处取得极大值；(2)当 f ’’ (x0)时，函数>0 f(x)在 x0 处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。
7、函数的凹凸性及其判定设 f(x)在区间 Ix 上连续，如果对任意两点 x1，x2恒有 f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2 ，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2 ，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凸的。
定理设函数 f(x)在闭区间 [a，b]上连续，在开区间 (a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在 (a，b)内 f ’’ (x)>0，则 f(x)在闭区间 [a，b]上的图形是凹的；(2)若在 (a，b)内 f ’’ (x)<0，则 f(x)在闭区间 [a，b]上的图形是凸的。
判断曲线拐点 (凹凸分界点 )的步骤(1)求出 f ’’；(x)(2)令 f ’’ (x)=0，解出这方程在区间 (a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查 f ’’在(x)0 左右两侧邻近的符号，如果f’’在(x)0 左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。
在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。
第四章不定积分1、原函数存在定理如果函数 f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数 F(x)，使对任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为 u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。