2014年人教A版选修2-2教案 2.2.1直接证明--综合法与分析法

2. 2 .1 直接证明--综合法与分析法1．教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4．教具准备：与教材内容相关的资料。

5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

6．教学过程:学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-------直接证明与间接证明。

若要证明下列问题：已知a,b>0,求证2222()()4a b c b c a abc +++≥教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。

教师最后归结证明方法。

学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为222,0b c bc a +≥>,所以22()2a b c abc +≥,因为222,0c a ac b +≥>,所以22()2b c a abc +≥.因此, 2222()()4a b c b c a abc +++≥.P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论1. 综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是： ()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π； a , b ，c 成等比数列，转化为符号语言就是2b ac =．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ①因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π． ⑧由①② ，得B=3π. 由a, b ，c 成等比数列，有2b ac =.由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.再由④，得22a c ac ac +-=.2()0a c -=,因此a c =.从而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=3π. 所以△ABC 为等边三角形．解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a ,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a ba b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？2. 分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止．乞，再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ；为了证 … … 直到找到一个明显成立的条件（已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 ．为了证明尸 1 成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式：要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有……这只需要证明命题2B 为真，从而又有…………这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真例3、求证5273<+证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+展开得 2021210<+即 2521,10212<<因为2521<成立，所以22)52()73(<+成立 即证明了5273<+说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法②分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真，这只需要证明命题B 1为真，从而有……这只需要证明命题B 2为真，从而又有……这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故B 必真在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。

但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。

事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ‘；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P ‘．若由P ‘可以推出Q ‘成立，就可以证明结论成立．下面来看一个例子．例4 已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且sin cos 2sin θθα+= ①2sin cos sin θθβ= ② 求证：22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++。

分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角θ，因此第一步工作可以从已知条件中消去θ.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，于是，由 ①2一2×② 得224sin 2sin 1αβ-=．把224sin 2sin 1αβ-=与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数．把结论转化为22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-,再与224sin 2sin 1αβ-=比较，发现只要把22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的． 证明：因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将 ① ② 代入，可得 224sin 2sin 1αβ-=. ③ 另一方面，要证22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++ 即证22222222sin sin 11cos cos sin sin 12(1)cos cos βαβααβαβ--=++ ， 即证22221s sin (s sin )2co co ααββ-=-， 即证22112sin (12sin )2αβ-=-， 即证224sin 2sin 1αβ-=。

由于上式与③相同，于是问题得证。

例5 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L ，则周长为L 的圆的半径为π2L ，截面积为21)2(πL T ；周长为L 的正方形边长为4L ，截面积为2)4(L 所以本题只需证明2)4()2(L L >ππ 证明：设截面的周长为L ，依题意，截面是圆的水管的截面面积为2)2(ππL ，截面是正方形的水管的截面面积为2)4(L ，所以本题只需证明22)4()2(L L >ππ 为了证明上式成立，只需证明 164222L L >ππ 两边同乘以正数24L ，得411>π 因此，只需证明π>4上式是成立的，所以22)4()2(L L >ππ 这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的巩固练习：1,,,)a b c R a b c +∈≥++、求证23sin cos cos ABC b B B CABC ∆==∆、中，已知，且求证：为等边三角形3,,:2a b c ABC aA bB cC a b c π*∆++<++、为的三内角的对应边试证明 课后作业：教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。

因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。

在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。

对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。

通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。

但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。

所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保证课堂教学进度。

通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法----综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。