一元二次不等式恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a Θ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R) 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且；当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
一元二次不等式恒成立问题解决方法论文
一元二次不等式恒成立问题解决方法论文在平时课堂中，作为教师要多给学生机会独立思考，独立做题，培养学生独立反思的能力，增强学生数学语言的理解能力、数形结合能力、逻辑分析能力、方法筛选能力，让学生不仅获得某种题型的解决方法，更是获得解决问题的一种思维方式.一元二次不等式恒成立求解参数的取值范围的题型常见的解决方法有两类，一是把一元二次不等式与对应二次函数相联系求解，二是分离出其中的参数转化为最值问题求解.下面就这两类方法来具体说明.题型一一元二次不等式在r上恒成立问题，求参数取值范围例1 （2012年福建高考（文））已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在r上恒成立，则实数a的取值范围是___________.分析方法1 与二次函数相联系.（1）与二次函数y=x2-ax+2a图像相联系理解题意，该二次函数已确定图像开口是向上的，不等式大于0，即告诉我们要的是抛物线上y>0的点，x∈r即告诉我们所有点的x，合在一起理解即为抛物线上所有点的y都大于零，由此题意思考得出此抛物线开口向上与x轴无交点，即δ（2）与二次函数y=x2-ax+2a的最值相联系理解题意，关于x的不等式x2-ax+2a>0在r上恒成立，即二次函数y=x2-ax+2a的最小值要比0大，由此先得出二次函数y=x2-ax+2a 的最小值是顶点处的y即8a-a2[]4>0，同样得出0方法2 分离参数转化为最值问题.x2-ax+2a>0也可转化为a（x-2）2，a>x2[]x-2，x2时，x2[]x-2≥8，由此得出a0；又x=2时，a∈r.综合得出0这里由于最后转化为求最值问题，则要求学生对于求最值的几种常见方法较为熟悉.如基本不等式求最值、利用导数和函数单调性求最值等.这道高考题可运用多种方法来解决，就以上两类方法来看，可发现这道题运用第一类的方法解决较为简便，第二类方法由于此题x ∈r对于转化式中的分母要分情况讨论，则相对于第一类方法略为复杂了.教会学生在高考中就同一题目怎样选择较为简易适当的方法解决问题，至关重要.高考原题变形已知关于x的不等式x2-ax+2a≤0的解集为求实数a的取值范围.分析变形后的题目理解对于学生来说比原题稍难一点，这要求学生对数学符号、数学语言有一定的理解能力.通过细细读题，慢慢分析，就可发现变形后的题目与原高考题是同一意思.首先要理解解集为空集是何含义：空集即没有，不存在的意思，没有x满足不等式x2-ax+2a≤0，那x满足什么呢？即所有的x都应满足不等式x2-ax+2a>0.由此，原题可转化为不等式x2-ax+2a>0在x∈r上恒成立，求a的取值范围.高考原题改编题已知关于x的不等式ax2-ax+2≥0在r上恒成立，则实数a的取值范围是___________.分析该题不再是单一的一元二次不等式恒成立的问题了，由于x2前的系数a不明确是否不为0，因而要分情况分析了.a=0时，非一元二次不等式，此时题意是否满足；a≠0时，是一元二次不等式，此时才能运用解决该题型的两类方法.就一元二次不等式而言，改编后的题并不明确其图像的开口方向，如要与二次函数图像相联系，应根据题意明确开口方向及与x轴交点的情况，通过分析可以发现其开口也应是向上的且δ≤0.在该题中，学生易犯两点错误：（1）不考虑非一元二次不等式的情况.（2）对于一元二次不等式对应的二次函数图像不具体分析其开口和与x轴交点情况，仅记忆δ0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是___________. 分析本题虽对x的范围有所要求，但两类方法同样都适用，只是简易程度各有不同.方法1 与二次函数的图像相联系，这里即指开口向上的抛物线y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）上的点的y均要大于0，先进行计算发现δ≥0，对称轴x=k[]2，再进行计算发现f（1）=0，由此图形应是下列两种δ>0和δ=0的情况，经过多次图像分析得出对称轴x=k[]2≤1，由此计算出k≤2.也可以与二次函数的最值相联系，即根据题意二次函数y=x2-kx+k-1在x∈（1，2）的最小值应大于0，由于这里给出了x 的范围，因此求最值时应就对称轴是否在区间范围内进行讨论.方法2 参数分离转化为最值问题，则不需要过多的计算和分类讨论了.x2-kx+k-1>0可转化为（1-x）k>1-x2，由于这里给出了x的范围，因此可直接得出k2，因此k≤2.通过两类方法的比较可以发现本题运用第一类方法与二次函数相联系时，需要经过多次计算才能得出符合题意情况相较第二类方法稍嫌繁杂.通过例1、例2的分析，可以发现一元二次不等式在r上恒成立，求参数取值范围的题型我们可以优先考虑用第一类方法来解决，这样一般计算量较少，分析较为简单；而一元二次不等式在指定区间上恒成立，求参数取值范围的题型我们则可以优先考虑用第二类方法来解决会较为简便.当然，这也不是一成不变的.在平时课堂中，作为教师要多给学生机会独立思考，独立做题，培养学生独立反思的能力，增强学生数学语言的理解能力、数形结合能力、逻辑分析能力、方法筛选能力，让学生不仅获得某种题型的解决方法，更是获得解决问题的一种思维方式.。
一元二次不等式恒成立问题(上课用)
一元二次不等式恒成立问题热点命题——悟通考点1 形如f(x)≥0(x∈R)例1、若关于x 的不等式ax 2＋x －1≤0的解集为R ，则常数a 的取值范围是例2、不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，4]B ．(－∞ ，－2]∪ [5，＋∞)C ．(－∞ ，－1]∪ [4，＋∞)D ．[－2，5]考点2 形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3、设对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞0B ．a ＞12C ．a ＞14D ．a ＞0或a ＜－12 [考点3 形如f(x)≥0(参数m ∈[a ，b])例4、已知a ∈[－1，1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，求x 的取值范围．考点4 一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x 的不等式ax 2＋3x ＋c ≥0的解集为[1，2]，则a ＝________，c ＝________．例6、 设a>1，若x>0时，[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0恒成立，则a ＝________．迁移应用——练透1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．2．函数f (x )＝ln(3x 2＋ax ＋1)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________3．设a 为常数，∀x ∈R ，f (x )＝ax 2＋ax ＋1＞0，则a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．[0，4)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)4．已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)D ．(0，1)5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 6．若关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，2)B ．(－2，0)C ．(－2，1)D ．(0，1)7． 已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为( )A ．0B ．3C ．6D ．98．若不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．9．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．10设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.(3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围.例1 [解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝1＋4a ≤0，解得a ≤－14. 例2 方法一：原不等式可化为x 2－2x －a 2＋3a ＋5≥0，要使不等式对任意实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(－a 2＋3a ＋5)≤0，即a 2－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A .方法二：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A .例3设f(x)＝x 2＋ax －3a.因为对任意实数x ∈[－1，1]，不等式x 2＋ax －3a ＜0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）<0，f （1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（－1）2－a －3a<0，12＋a －3a<0， 解得a>12，即实数a 的取值范围是a>12，故选B . 例4解：把原不等式化为 (x －2)a ＋x 2－4x ＋4＞0，设 f(a)＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则f(a)可看成为关于a 的函数．由f(a)>0对于任意的a ∈ [－1，1]恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0， 解得x<1或x>3， 即x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．例5解析：由题意得方程ax 2＋3x ＋c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，由根与系数的关系可得1＋2＝－3a ，1×2＝c a，解得a ＝－1，c ＝－2. 例6解析 设函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝ x 2－ax －1，则这两个函数图像都过定点P(0，－1)，问题可转化为两个函数在区间(0，＋∞)上的符号相同．在函数y 1＝(a －1)x －1中，令y 1＝0，得x ＝1a －1>0， 即函数y 1的图像与x 轴的交点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，0， 而函数y 2＝ x 2－ax －1的图像过点M ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －12－a a －1－1＝0，解得a ＝0或a ＝32.又a>1，所以a ＝32. 迁移应用——练透1[解析] (1)∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，∴Δ＝a 2－4×2a <0，解得0<a <8.2 [解析]依题意，知3x 2＋ax ＋1>0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝a 2－4×3×1<0，解得－23<a <2 3.3[解析]先分类讨论二次项系数，再由f(x)＞0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a ＝0时，f(x)＝1>0对∀x ∈R 成立；当a ≠0时，要使∀x ∈R ，f (x )＞0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4. 综上，a 的取值范围是[0，4)，故选B.4[解析] (1)∵f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，∴f(－2)f(－1)<0，即(6a ＋5)(2a ＋3)<0，∴－32<a<－56. 又a ∈Z ，∴a ＝－1，∴不等式f (x )>1即为－x 2－x >0，解得－1<x <0，故选C.5[解析]由Δ＝a 2＋8>0，知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A. 6 [解析] 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，由关于x 的方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，一个大于1，得f (1)＜0，即12＋(m －1)＋m 2－2＜0，化简得m 2＋m －2＜0，解得－2＜m ＜1，即实数m 的取值范围是(－2，1).7 [解析] 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22， ∴f (x )<c ，即⎝⎛⎭⎫x ＋a 22<c ，解得－a 2－c <x <－a 2＋c ，∴⎩⎨⎧－a 2－c ＝m ，－a 2＋c ＝m ＋6，得2c ＝6，∴c ＝9. 8 [解析] ∵x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1，∴由不等式x 2＋2x ＋2＞|a －2|对于一切实数x 均成立，得|a －2|＜1，解得1＜a ＜3，∴实数a 的取值范围是(1，3)．9解：方法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为直线x ＝a .①当a ∈(－∞ ，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，且f (－1)＝2a ＋3，所以要使f (x )≥a ，x ∈[－1，＋∞)恒成立，只需2a ＋3≥a 即可，故－3≤a ＜－1.②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，所以只需2－a 2≥a 即可，故－1≤a ≤1. 综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．方法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0，解得－3≤a ≤1.故所求a 的取值范围是[－3，1]．10解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.∴－4<m ≤0. (2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，就要使m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是实数，且a不等于零。
在解一元二次不等式时，我们经常使用判别式和一元二次函数的图像来帮助我们找到解集。
要判断一元二次不等式的解集，我们首先需要找到一元二次不等式的根。
一元二次不等式的根可以通过求解一元二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。
一元二次方程的解可以使用求根公式：x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)来计算。
如果一元二次方程的判别式b^2 -4ac大于零，那么方程就有两个不同的实根。
如果判别式等于零，那么方程有一个实根。
如果判别式小于零，那么方程没有实根。
接下来，我们可以使用一元二次函数的图像来帮助我们找到一元二次不等式的解集。
一元二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向取决于a的正负。
当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。
根据抛物线与x轴的交点的情况，我们可以判断出一元二次不等式的解集。
如果一元二次不等式的a大于零，表示抛物线开口向上。
如果判别式大于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。
如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。
如果判别式小于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。
如果一元二次不等式的a小于零，表示抛物线开口向下。
如果判别式大于零，则抛物线和x轴没有交点，表示一元二次不等式没有解。
如果判别式等于零，则抛物线和x轴有一个交点，表示一元二次不等式有一个解。
如果判别式小于零，则抛物线和x轴有两个交点，表示一元二次不等式有两个解。
通过以上的分析，我们可以总结出一元二次不等式恒成立的条件。
一元二次不等式恒成立，有以下两个条件：1. a不等于零；2.一元二次不等式对所有实数x都成立。
如果a等于零，那么不等式就变成了一次不等式，而不是二次不等式。
一元二次不等式恒成立问题解题策略
２０２３年９月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次不等式恒成立问题解题策略◉甘肃省卓尼县柳林中学㊀马永福㊀㊀摘要:利用函数思想解决不等式的取值范围问题是高考的热点．解决一元二次不等式恒成立问题的基础是三个 二次 的相互转化,本文中主要通过数形结合思想,从三个类型入手讲解一元二次不等式恒成立的解题策略,旨在培养学生利用化归㊁数形结合㊁函数和分类讨论思想进行解题的意识．关键词:函数;不等式;恒成立㊀㊀由一元二次方程㊁一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤:(１)化不等式为标准形式a x２＋b x＋c＞０(或a x２＋b x＋c＜０)(a＞０);(２)求方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根,并画出对应函数f(x)＝a x２＋b x＋c的图象简图;(３)由图象得出不等式的解集．(如表１)表１Δ＞０Δ＝０Δ＜０方程a x２＋b x＋c＝０(a＞０)的根有两个相异的实数根x１＝－b－b２－４a c２ax２＝－b＋b２－４a c２a有两个相等的实数根x１＝x２＝－b２a没有实数根二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的图象二次函数y＝a x２＋b x＋c(a＞０)的零点有两个零点x１,x２(x１＜x２)有一个零点x＝－b２a无零点a x２＋b x＋c＞０(a＞０)的解集(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)(－ɕ,－b２a)ɣ(－b２a,＋ɕ)Ra x２＋b x＋c＜０(a＞０)的解集(x１,x２)⌀⌀１类型１:在R上恒成立,求参数取值范围(１)若a x２＋b x＋c＞０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＞０,②Δ＜０．(２)若a x２＋b x＋c＜０(aʂ０)恒成立,需要满足两个条件:①a＜０,②Δ＜０．例１㊀设a为常数,∀xɪR,a x２＋a x＋１＞０,求a的取值范围．解析:当aʂ０时,根据类型１可知,只需满足a＞０,Δ＝(a)２－４a＜０,即０＜a＜４;当a＝０时,１＞０恒成立．所以a的取值范围是[０,４)．例２若存在实数x,使得x２－４b x＋３b＜０成立,则b的取值范围是㊀㊀㊀㊀．解析:该题型的关键词为 存在实数x ,数形结合,可知函数f(x)＝x２－４b x＋３b在x轴下方有图象,即对应方程x２－４b x＋３b＝０有两个不等实数根,所以解题关键是Δ＝(－４b)２－１２b＞０．故b的取值范围是b b＞３４,或b＜０{}．点评:一元二次不等式a x２＋b x＋c＞０或a x２＋b x＋c＜０对 任意 的x在R上恒成立,结合对应函数图象可知,图象与x轴没有交点,转化为对应方程没有实数根即Δ＜０是解题的桥梁,特别注意开口方向的确定;当条件变为 存在 时,要注意桥梁的转化作用．３５Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月上半月㊀㊀㊀２类型２:在某区间上恒成立,求参数取值范围(１)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立,需要考虑函数图象的对称轴x ＝－b２a的位置:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＞０．(２)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＞０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＜０且f (n )＜０．(３)若a x ２＋b x ＋c ＞０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (n )＞０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (m )＞０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,需f (m )＞０且f (n )＞０．(４)若a x ２＋b x ＋c ＜０(a ＜０)在[m ,n ]上恒成立:①对称轴在区间[m ,n ]的左侧,只需f (m )＜０;②对称轴在区间[m ,n ]的右侧,只需f (n )＜０;③对称轴在区间[m ,n ]之中间,只需f (－b２a)＜０．例３㊀关于x 的函数f (x )＝m x ２－m x －１,对于x ɪ[１,３],f (x )＜－m ＋５恒成立,求m 的取值范围．分析:由题意可知m x ２－m x ＋m －６＜０在x ɪ[１,３]上恒成立．当m ʂ０时,二次函数图象的对称轴为x ＝１２,函数在区间[１,３]上单调,则分类讨论可得m 的取值范围．还要考虑m ＝０的情况．解:根据题意f (x )＜－m ＋５,得m x ２－m x ＋m －６＜０．令g (x )＝m x ２－m x ＋m －６,当m ʂ０时,g (x )的对称轴为x ＝１２,g (x )在[１,３]上单调．①当m ＞０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递增,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (３)＜０,解得m ＜６７,故０＜m ＜６７．②当m ＜０时,g (x )在x ɪ[１,３]上单调递减,若在x ɪ[１,３]上f (x )＜－m ＋５恒成立,则g (x )＜０,即只需g (１)＜０,解得m ＜６,故m ＜０．③当m ＝０时,－６＜０恒成立．综上,实数m 的取值范围为(－ɕ,６７)．点评:一元二次不等式在某个区间上恒成立问题,首先要将不等式化成g (x )＞０或者g (x )＜０的标准形式,然后结合对应函数图象及对称轴的位置,求得参数的取值范围．例４㊀函数f (x )＝x ２＋m x －１,若对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,求实数m 的取值范围．分析:本题属于类型２中的第(２)种情况,只需满足f (m )＜０且f (m ＋１)＜０即可,解:根据题意,对于任意x ɪ[m ,m ＋１]都有f (x )＜０成立,则f (m )＜０且f (m ＋１)＜０．即２m ２－１＜０,且２m ２＋３m ＜０．解得－２２＜m ＜０．所以,实数m 的取值范围为(－２２,０)．点评:当二次函数在对应区间上单调,但对称轴位置不好确定时,可将区间两个端点函数值符号的确定作为突破口,进行解答．３类型３:给出参数的范围,求不等式的解集例５㊀对于任意k ɪ[－１,１],关于x 的函数f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k ＞０恒成立,求x 的取值范围．分析:该题型是开口向上的二次函数f (x )＞０恒成立问题,给出参数取值范围,求自变量x 的取值范围,直接求解很麻烦,所以可变换主元进行转化,把k 当作主元,把x 当作参数利用函数的性质求解其范围．解:f (x )＝x ２＋(k －４)x ＋４－２k 换元得g (k )＝(x －２)k ＋x ２－４x ＋４,此时原函数f (x )变成关于k 的一次函数g (k )．一次函数g (k )在其定义域[－１,１]上单调,要使g (k )＞０恒成立,则只需g (１)＞０,g (－１)＞０,{即x ２－５x ＋６＞０,x ２－３x ＋２＞０,{解得x ＞３,或x ＜１．所以x 的取值范围是(－ɕ,１)ɣ(３,＋ɕ)．点评:此类问题的求解有两种方法．(１)直接求解,利用分类讨论思想;(２)应用函数思想,以参数为主元,构造关于参数的函数求解．根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,是解决一元二次不等式恒成立问题的基本思路．解题方法有函数法㊁最值法㊁分离参数法㊁数形结合法等．一元二次不等式恒成立问题的解题过程渗透着换元㊁化归㊁数形结合㊁函数与方程等思想方法,解决问题的过程也是培养学生核心素养的过程．Z４５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次不等式的恒成立的基本类型与解题技巧
ʏ孙新晓一元二次不等式的恒成立及综合应用问题,是高考中比较常见的热点题型之一㊂解决这类问题,可以合理联系一元二次不等式㊁一元二次方程和二次函数这三个 二次 问题,实现三个 二次 问题之间的相互转化㊂下面就一元二次不等式的恒成立问题中最常见的三种基本类型,结合实例加以剖析,意在总结解题技巧与应试策略,探索解题规律与解题方法㊂一㊁一元二次不等式在R 上的恒成立问题涉及一元二次不等式在R 上的恒成立问题,可将一元二次不等式问题转化为相应的二次函数的图像问题,利用不等式与二次函数图像的开口情况,并结合判别式的取值进行转化求解㊂例1 若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围是( )㊂A .{a |a ɤ2}B .{a |-2ɤa ɤ2}C .{a |-2<a ɤ2}D .{a |a <-2}分析:在解决一元二次不等式在R 上恒成立时,将一元二次不等式转化为相应的二次函数的图像问题,通过二次函数图像的开口情况与判别式的取值范围进行合理转化,列出不等式来确定参数的取值范围㊂解:当a -2=0,即a =2时,原不等式可化为-4<0,显然对一切x ɪR 恒成立;当a ʂ2时,则a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,整理得a -2<0,a 2<4,解得-2<a <2㊂综上可得,实数a 的取值范围是{a |-2<a ɤ2}㊂应选C㊂ 在解决一元二次不等式在R 上恒成立问题时,往往涉及以下两种情况:一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a ʂ0)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a >0,Δ<0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a ʂ)对任意实数x ɪR 恒成立⇔a <0,Δ<0㊂需要特别注意的是,只要二次项系数含参数,必须分类讨论二次项系数是否为零的情况㊂二㊁一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,可转化为二次函数在给定自变量范围上的最值问题来处理㊂在实际解题时,要注意自变量范围对二次函数图像的影响,可结合分类讨论思想㊁数形结合思想进行直观处理,凸显数学的内在联系和知识的综合运用㊂例2 已知函数f (x )=m x 2-m x -1,若对于任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3},f (x )<5-m 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂分析:利用所给不等式对应的二次函数,结合二次函数在给定自变量范围上的图像与性质的特征,确定相应参数的取值范围㊂解:要使不等式f (x )<-m +5对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,只需不等式m x -122+34m -6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立㊂解决此题有下面两种方法㊂(函数法)令函数g (x )=m x -122+34m -6,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂当m =0时,显然-6<0恒成立;当m >0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是增函数,所以g (x )m a x =g (3),则g (3)=41 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.7m -6<0,解得m <67,这时0<m <67;当m <0时,函数g (x )在{x |1ɤx ɤ3}上是减函数,所以g (x )m a x =g (1),则g (1)=m -6<0,解得m <6,这时m <0㊂综上所述,所求实数m 的取值范围是m m <67㊂(分离参数法)若使不等式m (x 2-x +1)-6<0对任意x ɪ{x |1ɤx ɤ3}恒成立,而x 2-x +1=x -122+34>0,则只需满足m <6x 2-x +1,x ɪ{x |1ɤx ɤ3}㊂因为函数y =6x 2-x +1=6x -122+34在x ɪ{x |1ɤx ɤ3}上的最小值为67,所以只需满足m <67,即所求实数m的取值范围是m m <67㊂解决一元二次不等式在给定自变量范围上的恒成立问题,有两种常见的求解方法:函数法,若f (x )>0在给定自变量范围上恒成立,可利用一元二次函数的图像转化为不等式(组)求范围;分离参数法,即转化为函数值域问题,已知函数f (x )的值域为{y |m ɤy ɤn },则f (x )ȡa 恒成立,可得f (x )m i n ȡa ,即m ȡa ;f (x )ɤa 恒成立,可得f (x )m a x ɤa ,即n ɤa ㊂三㊁一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题涉及一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,可通过变换自变量与参数之间的关系,结合主元的变换,利用函数的图像与性质求解㊂例3 若不等式x 2+p x >4x +p -3,当0ɤp ɤ4时恒成立,则实数x 的取值范围是( )㊂A .{x |-1ɤx ɤ3}B .{x |x ɤ-1}C .{x |x ȡ3}D .{x |x <-1}ɣ{x |x >3}分析:利用参数的取值范围,变换主元,构建相应的不等式,进而转化为一次函数的图像问题求解;也可借助特殊值法来处理,即通过端点的选取,实现巧妙排除,即可得解㊂解:(变换主元法)原不等式变换主元可得(x -1)p +x 2-4x +3>0,当0ɤp ɤ4时恒成立㊂结合一次函数的图像与性质得x 2-4x +3>0,4(x -1)+x 2-4x +3>0,据此整理可得x 2-4x +3>0,x 2-1>0,解得x <1或x >3,x <-1或x >1,则x <-1或x >3㊂应选D ㊂(特殊值法)当x =-1时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p <4,即x =-1不符合条件,排除A ㊁B ㊂当x =3时,由不等式x 2+p x >4x +p -3,代入得p >0,即x =3不符合条件,排除C ㊂应选D㊂解决一元二次不等式在给定参数范围上的恒成立问题,一定要清楚区分主元与参数㊂一般情况下,知道参数范围的,就选为主元,求参数范围的,就选为参数㊂在实际解题过程中,就是把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,变换主元后得到一次函数或二次函数,进而根据原变量的取值范围求解㊂若不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,则实数k 的取值范围是( )㊂A .0ɤk ɤ1 B .0<k ɤ1C .k <0或k >1D .k ɤ0或k ȡ1提示:由于不等式k x 2-6k x +k +8ȡ0的解集为R ,分以下两种情况讨论:①当k =0时,则8ȡ0,符合题意;②当k ʂ0时,则k >0,Δ=36k 2-4k (k +8)=32k (k -1)ɤ0,解得0<k ɤ1㊂综上所述,0ɤk ɤ1㊂应选A ㊂作者单位:江苏省靖江高级中学(责任编辑 郭正华)51知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次不等式恒成立问题(高三一轮)
数形结合转化 为零点分布问 题
或
m0 2 m 4m(m 6) 0
6 综上所述： m , 7
解得m 或m 0
m 0
变式 已知函数f ( x) x 2 mx 1，若对x m, m 1 都有f ( x) 0, 则实数m的取值范围是
x2 x 1 0恒成立
m 6 , x 1,3 恒成立 2 x x 1
6 即m 2 , x 1,3 x x 1 min
令y x2 x 1, x 1,3
1 3 则y ( x ) 2 2 4
x 3时，ymax 7 即m 6 .
例 3 若对于任意 k [1,1] ，函数 f ( x ) x （k 4) x 4 2k 的
2
值恒大于 0，则 x 的取值范围是 ,1 3, ．
解：g(k ) ( x 2)k x2 4 x 4 k 1,1
g(1) 0 则g k 0恒成立 g(1) 0
变换主元
2-x x 2 4 x 4 0 x 2或x 3即x 1或x 3 即 2 x 1或x 2 x 2 x 4 x 4 0
x ,1 3,
变式
1 7 x ,1 3 2
2 m 2 ,0
小结
定义域为R时（结合图像：开口方向， 判别式）
注意：二次项系数为0的情况
一元二次不等式 恒成立问题 参变分离
定义域不为R时
转化为函数求最值 数形结合转化为零点 分布问题
变换主元 已知谁的范围，谁就是主元； 求谁的范围，谁就是参数。
一元二次不等式恒成立问题
高校长组织写教育教学论文，对教师特别是我们青年教师，有很大的帮助.但说实在的，初上讲坛，理论与经验皆不足.说写学术论文，实则愧不敢当.“学术”二字，是经验丰富的特级高级教师、能力超群的青年骨干教师才担当得起的.如我刚步入教育行业之新手，实是不敢当.思忖良久，终觉胸内无文，只得将自己讲的一堂自我感觉还算良好的课，照搬了上来.文虽浅薄，但出自己手，虽不如他人，也算无愧了.一元二次不等式恒成立问题似曾相识燕归来（认真听讲，做好笔记，就不会似曾相识）无可奈何花落去（大而化之，步步紧逼，就不会无可奈何）大而化之，步步紧逼（化，分解讨论的意思）【师】好，我们今天来继续研究一元二次不等式问题.对于一元二次不等式，通过三四天的学习，想必大家已经非常熟悉了，对于一般的一元二次不等式，大家都能熟练的掌握.那么对于一元二次不等式的综合问题，大家可能还没有头绪，一拿到这种题，都可能头晕脑涨了.这不禁令我想起了古人的一句诗（师板书）：似曾相识燕归来无可奈何花落去【生】（笑，课堂气氛活跃）：老师，写反了！应该是：无可奈何花落去，似曾相识燕归来！【师】（故作严肃）：我为什么写反啊？因为我们学数学需要逆向思维啊！…那么我们大家对于一元二次不等式的综合问题可能就是这个感觉.一接触到题就“似曾相识”，但一下笔就“无可奈何”了.（师在两句诗内相应的词下加下划线）这就要求我们平时听课的时候要认真听讲，做好笔记，这样一来我们做题的时候就不会似曾相似了，即使我们做不出来，我们也可以翻开笔记找到类似的题.（师在副标题相应的位置后面加认真听讲等语）.（生思考，拿出笔记本）而即使做到记笔记了，认真听讲了，有些同学做这类综合题的时候也会觉得“无可奈何”，这是什么原因呢？这就要求我们多做多练，练熟了，遇到这类题时就不会是“无可奈何”了，而是“下笔千言”了.（生笑，认真听讲）那么对于这一类题，我们通常采用的是“大而化之，步步紧逼”的方法来解决.大家注意，这个“化”的意思是分解讨论的意思.（师在副标题下加上“大而化之，步步紧逼”8个字）它既然是个大难题，那么我们就把它化为几个容易的步骤，再依次的讨论，这类题就做出来了.好，我们今天就通过一个典型例题来研究不等式的恒成立问题.（师板书）一、典例例：关于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.【师】一拿到这类题，同学们可能都傻眼了，题目中好像什么都没给啊，这个题怎么做啊？大家不用怕，看上面（师示意学生看题目下的“大而化之”四个字），既然它是以大题的形式出现了，那么咱们就用做大题的方法去对付它，“大而化之”，咱们一步步的来分解它.那么大家看这个题它是个什么不等式啊？一元二次不等式吗？（师设下陷阱）【生】是！（大部分学生说是，只有一小部分说不一定，但声音小，底气不足）【师】（继续暗示）是吗？你敢肯定么？【生】（大部分反应过来）不一定！【师】为什么不一定啊？【生】因为)2(-m 的值不定！【师】（及时插入话）对！它的值不定，那么它的值不定我们该怎么做啊？【生】讨论！（因为前几节课都在培育学生具有讨论思想，所以学生能一口答出来）【师】对，它的值不定我们就要讨论它，这是我们学习数学必备的思想，大家一定要具备这个基本素质.下面我们来分类讨论这个不等式的系数()2-m ，看看它的庐山真面目到底是什么.（一）（准备工作）：讨论系数（师边写边说：那么它的二次项系数分几种情况啊？生回答：两种.师问：是什么啊？生回答：等于零或不等于零两种.师板书并言语：那么我们来讨论这两种情况.）︒1当()02=-m 即2=m 时，那么原不等式变成了常数不等式︒2当()02≠-m 时，原不等式是一元二次不等式.【师】（板完后说）那么这是我们每个人脑海中都要具备最基本的东西，一遇到这类题，我们脑海中立马要想到讨论它的二次项系数，这一步你写出来了，高考时两分就拿到手了.（二）（具体步骤）：分类讨论1当02=-m ，即2=m 时，原不等式可化为：04002<-⋅+⋅x x【师】那么这个不等式是不是最终成了04<-，它是不是无论x 取何值时不等式都恒成立成立啊？【生】是！∴ 2=m 时，不等式恒成立【师】那么我们来讨论第二步.2当02≠-m ，即2≠m 时，不等式()()042222<--+-x m x m 是一个一元二次不等式.【师】那么我们说解一元二次不等式分四个步骤.第一步是化为标准形式，也就是二次项系数大于零的形式.那么这个不等式好不好化啊？因为我们不知道()2-m 的正负，这样的话就需要讨论，而讨论起来又很麻烦，那么我们怎么做啊？那么大家回忆一下，学习数学最重要的两个思想是什么啊？【生】分类讨论和数形结合的思想！【师】对！那么这类题我们用数形结合的思想来做是很容易理解的.那么既然是数形结合，我们就先画出()()42222--+-=x m x m y 的图像.然后再在图像上找出0<y 时x 的取值是什么就可以了.那么它的图像有几种情况啊？无非就有两种.()02>-m 或()02<-m .那么我们就先画出()02>-m ，即开口向上时的情况.那么开口向上又分三种情况.那么这个图像又是经过），（40-的这个点的，那么我们先抛开这个条件，来根据与x 轴交点 是两个一个还是没有的情况做出开口向上时函数的图像.如下图：【师】那么当02>-m 时，图像就是这三种情况.那么大家看，不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m 的根的情况对应图像上就分别是两个、一个或无.那么它的判别式依次是：0>∆、0=∆或0<∆.()1 0)2>-m （的图像）（102>-m 0>∆ )2( 02>-m 0=∆ )3( 02=-m 0<∆【师】好，那么我们把0)2(<-m 的情况也画出来，也是三个图像.)2( 0)2(<-m 的图像）（402<-m 0>∆ )5( 02<-m 0=∆ )6( 02<-m 0<∆【师】好，到此为止，体力活已经做完了，该做脑力活了.大家观察一下图像，再看一下题目，看哪个图像适合题目的条件啊？（念题目：不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围）.（到此，基本上所有的同学已经能顺利的指出第6个图像适合题目的要求，老师再逐个的分析，然后得出结论）（此时有一部分同学瞌睡，老师观察到这个现象后说道：同学们注意了，关键时刻到了.比如说我们看NBA 比赛，火箭队正和湖人队比赛，比赛已经到了第四节了，剩下十几秒的时 间了，科比或者姚明再投进去一个球，胜负都出来了，可不要错过精彩啊！生笑，注意力重新集中起来.课堂气氛活跃）【生】第6个图像满足！【师】对！第6个图像满足.那么不等式的对应方程()()042222=--+-x m x m应满足什么条件啊？。
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
不等式恒成立、能成立问题【七大题型】【题型1 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 (2)【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 (3)【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】 (5)【题型4 基本不等式求解恒成立问题】 (7)【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】 (10)【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】 (11)【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】 (13)1、不等式恒成立、能成立问题一元二次不等式是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问题”是常考的热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维能力都起到很好的作用.【知识点1 不等式恒成立、能成立问题】1．一元二次不等式恒成立、能成立问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac<0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为{a>0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为{a<0，Δ≤0.2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且△<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且△<0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立a>f(x)max；若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解a>f(x)min；若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解a≤f(x)min.(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立a<f(x)min；若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解a<f(x)max；若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解a≥f(x)max.【例1】（2023·福建厦门·二模）“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立求出b的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【解答过程】由∀x∈R，bx2―bx+1>0成立，则当b=0时，1>0恒成立，即b=0，当b≠0时，b>0b2―4b<0，解得0<b<4，因此∀x∈R，bx2―bx+1>0成立时，0≤b<4，因为(0,4)[0,4)，所以“b∈(0,4)”是“∀x∈R，bx2―bx+1>0成立”的充分不必要条件.故选：A.【变式1-1】（2023·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，则k的取值范围是（）A．(―∞,―2)B．(―∞,―4)C．(―4,4)D．(―2,2)【解题思路】由题知4k2―16<0，再解不等式即可得答案.【解答过程】解：因为无论x取何值时，不等式x2―2kx+4>0恒成立，所以，4k2―16<0，解得―2<k<2，所以，k的取值范围是(―2,2)故选：D.【变式1-2】（2023·福建厦门·二模）不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是（）A．a>2B．a≥1C．a>1D．0<a<12【解题思路】分a=0和a≠0两种情况讨论求出a的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【解答过程】当a=0时，―2x+1>0，得x<12，与题意矛盾，当a≠0时，则a>0Δ=4―4a<0，解得a>1，综上所述，a>1，所以不等式ax2―2x+1>0（a∈R）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.故选：A.【变式1-3】（2023·四川德阳·模拟预测）已知p:0≤a≤2，q：任意x∈R,ax2―ax+1≥0，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据一元二次不等式恒成立解得q：0≤a≤4，结合充分、必要条件的概念即可求解.【解答过程】命题q：一元二次不等式ax2―ax+1≥0对一切实数x都成立，当a=0时，1>0,符合题意；当a≠0时，有a>0Δ≤0，即a>0a2―4a≤0，解为a∈(0,4]，∴q：0≤a≤4．又p：0≤a≤2，设A=[0,2],B=[0,4]，则A是B的真子集，所以p是q成立的充分非必要条件，故选：A．【题型2 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】【例2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当x >0时，不等式：x 2―mx +16>0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―8,8)B ．(―∞,8]C ．(―∞,8)D ．(8,+∞)【解题思路】先由x 2―mx +16>0得m <x +16x，由基本不等式得x +16x≥8，故m <8.【解答过程】当x >0时，由x 2―mx +16>0得m <x +16x，因x >0，故x +16x≥=8，当且仅当x =16x即x =4时等号成立，因当x >0时，m <x +16x恒成立，得m <8，故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．(―3,0)B ．[―3,0)C ．―D ．―【解题思路】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【解答过程】当x ∈(―1,1)时，不等式2kx 2―kx ―38<0恒成立，当k =0时，满足不等式恒成立；当k ≠0时，令f (x )=2kx 2―kx ―38，则f (x )<0在(―1,1)上恒成立，函数f (x )的图像抛物线对称轴为x =14，k >0时，f (x )在―,1上单调递增，则有f (―1)=2k +k ―38≤0f (1)=2k ―k ―38≤0，解得0<k ≤18；k <0时，f (x )在―,1上单调递减，则有=2k 16―k 4―38<0，解得―3<k <0.综上可知，k的取值范围是―故选：D.【变式2-2】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）若对于任意x ∈[m,m +1]，都有x 2+mx ―1<0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．―23,0B ．―,0C ．―23,0D ．,0【解题思路】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.【解答过程】由题意，对于∀x ∈[m,m +1]都有f(x)=x 2+mx ―1<0成立，∴f (m )=m 2+m 2―1<0f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)―1<0，解得：―<m <0，即实数m 的取值范围是―,0.故选：B.【变式2-3】（22-23高一上·安徽马鞍山·期末）已知对一切x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，不等式mx 2―xy +y 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≤6B ．―6≤m ≤0C ．m ≥0D ．0≤m ≤6【解题思路】令t =yx ，分析可得原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【解答过程】∵x ∈[2,3]，y ∈[3,6]，则1x ∈[13,12]，∴yx ∈[1,3]，又∵mx 2―xy +y 2≥0，且x ∈[2,3],x 2>0，可得m ≥y x―，令t =yx ∈[1,3]，则原题意等价于对一切t ∈[1,3]，m ≥t ―t 2恒成立，∵y =t ―t 2的开口向下，对称轴t =12，则当t =1时，y =t ―t 2取到最大值y max =1―12=0，故实数m 的取值范围是m ≥0.故选：C.【题型3 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题】【例3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）若命题“∃―1≤a ≤3，ax 2―(2a ―1)x +3―a <0”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．{x |―1≤x ≤4 }B ．x |0≤xC ．x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4D ．x |―1≤x <0或53<x ≤4【解题思路】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【解答过程】由题意可得：命题“∀―1≤a ≤3,ax 2―(2a ―1)x +3―a ≥0”为真命题，即ax 2―(2a ―1)x +3―a =(x 2―2x ―1)a +x +3≥0对a ∈[―1,3]恒成立，则―(x 2―2x ―1)+x +3≥03(x 2―2x ―1)+x +3≥0，解得―1≤x ≤0或53≤x ≤4，即实数x 的取值范围为x |―1≤x ≤0或53≤x ≤4.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·广东深圳·阶段练习）当1≤m ≤2时，mx 2―mx ―1<0恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A<x <B<x <C <x<D <x <【解题思路】将不等式整理成关于m 的一次函数，利用一次函数性质解不等式即可求得结果.【解答过程】根据题意可将不等式整理成关于m 的一次函数(x 2―x )m ―1<0，由一次函数性质可知(x 2―x )×1―1<0(x 2―x )×2―1<0 ，即x 2―x ―1<02x 2―2x ―1<0；<x <<x <<x <故选：B.【变式3-2】（23-24高一下·河南濮阳·期中）已知当―1≤a ≤1时，x 2+(a ―4)x +4―2a >0恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(―∞,3)B ．(―∞,1]∪[3,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1)∪(3,+∞)【解题思路】将x2+(a―4)x+4―2a>0化为(x―2)a+x2―4x+4>0，将a看成主元，令f(a)=(x―2) a+x2―4x+4，分x=2，x>2和x<2三种情况讨论，从而可得出答案.【解答过程】解：x2+(a―4)x+4―2a>0恒成立，即(x―2)a+x2―4x+4>0，对任意得a∈[―1,1]恒成立，令f(a)=(x―2)a+x2―4x+4，a∈[―1,1]，当x=2时，f(a)=0，不符题意，故x≠2，当x>2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递增，则f(a)min=f(―1)=―x+2+x2―4x+4>0，解得x>3或x<2（舍去），当x<2时，函数f(a)在a∈[―1,1]上递减，则f(a)min=f(1)=x―2+x2―4x+4>0，解得x<1或x>2（舍去），综上所述，实数x的取值范围是(―∞,1)∪(3,+∞).故选：D.【变式3-3】（2008·宁夏·高考真题）已知a1>a2>a3>0，则使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立的x取值范围是（ ）A．B．0,C．D．(a i>0)，【解题思路】由(1―a i x)2<1可求得0<x<2a i【解答过程】由(1―a i x)2<1，得：1―2a i x+a2i x2<1，(a i>0)，即x(a2i x―2a i)<0，解之得0<x<2a i因为a1>a2>a3>0，使得(1―a i x)2<1(i=1,2,3)都成立，；所以0<x<2a1故选：B.【题型4 基本不等式求解恒成立问题】【例4】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的x∈(0,+∞)，x2―2mx+1>0恒成立，则m的取值范围为（）A．[1,+∞)B．(―1,1)C．(―∞,1]D．(―∞,1)【解题思路】参变分离可得2m <x +1x 对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，利用基本不等式求出x +1x 的最小值，即可求出参数的取值范围.【解答过程】因为对任意的x ∈(0,+∞)，x 2―2mx +1>0恒成立，所以对任意的x ∈(0,+∞)，2m <x 2+1x=x +1x 恒成立，又x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，所以2m <2，解得m <1，即m 的取值范围为(―∞,1).故选：D.【变式4-1】（22-23高三上·河南·期末）已知a >0，b ∈R ，若x >0时，关于x 的不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，则b +4a 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解题思路】根据题意设y =ax ―2，y =x 2+bx ―5，由一次函数以及不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0分析得x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，变形后代入b +4a ，然后利用基本不等式求解.【解答过程】设y =ax ―2（x >0），y =x 2+bx ―5（x >0），因为a >0，所以当0<x <2a 时，y =ax ―2<0；当x =2a 时，y =ax ―2=0；当x >2a 时，y =ax ―2>0；由不等式(ax ―2)(x 2+bx ―5)≥0恒成立，得：ax ―2≤0x 2+bx ―5≤0 或ax ―2≥0x 2+bx ―5≥0 ，即当0<x ≤2a 时，x 2+bx ―5≤0恒成立，当x ≥2a 时，x 2+bx ―5≥0恒成立，所以当x =2a 时，y =x 2+bx ―5=0，则4a 2+2b a―5=0，即b =5a 2―2a ，则当a >0时，b +4a =5a 2―2a +4a =5a 2+2a ≥=当且仅当5a2=2a ，即a =所以b +4a 的最小值为故选：B.【变式4-2】（23-24高三上·山东威海·期中）关于x 的不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，则实数a 的取值范围为（ ）A +∞B ．―∞C ．―D ．―∞,∪+∞【解题思路】不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，分x =0和a ≠0两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案.【解答过程】解：不等式ax 2―|x|+2a ≥0的解集是(―∞,+∞)，即对于∀x ∈R ，ax 2―|x|+2a ≥0恒成立，即a ≥|x |x 2+2，当x =0时，a ≥0，当a ≠0时，a ≥|x |x 2+2=1|x |+2|x |，因为1|x |+2|x |≤=所以a ≥综上所述a ∈+∞.故选：A.【变式4-3】（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知x >0,y >0，且1x+2+1y =27，若x +2+y >m 2+5m 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―4,7)B ．(―2,7)C ．(―4,2)D ．(―7,2)【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求不等式左侧最小值，结合x +2+y >m 2+5m 恒成立得到不等式，解一元二次不等式求参数范围【解答过程】因为x >0,y >0，且1x+2+1y =27，所以x +2+y =72×(x +2+y =72×1+1+y x+2+≥72×2+=14，当且仅当y =x +2=7时取等号，又因为x +2+y >m 2+5m 恒成立，所以14>m 2+5m ，解得―7<m <2.所以实数m的取值范围是(―7,2).故选：D.【题型5 一元二次不等式在实数集上有解问题】【例5】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）若存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立，则实数m的取值范围为（）A．(―∞,2)B．(―∞,0]∪C．―∞D．(―∞,1)【解题思路】分别在m=0、m>0和m<0的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【解答过程】①当m=0时，不等式化为2x<0，解得：x<0，符合题意；②当m>0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向上的二次函数，；只需Δ=(m―2)2―4m2=―3m2―4m+4>0，即0<m<23③当m<0时，y=mx2―(m―2)x+m为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2―(m―2)x+m<0成立；综上所述：实数m的取值范围为―∞故选：C.【变式5-1】（22-23高一上··阶段练习）若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|a≥―2 }B．{a|a≤―2 }C．{a|a≥―6 }D．{a|a≤―6 }【解题思路】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【解答过程】若关于x的不等式x2―4x―2―a≤0有解,则Δ=16+4(2+a)≥0，解得a≥―6.故选：C.【变式5-2】（23-24高一上·山东临沂·阶段练习）若不等式―x2+ax―1>0有解，则实数a的取值范围为（）A．a<―2或a>2B．―2<a<2C．a≠±2D．1<a<3【解题思路】根据一元二次不等式有实数解的充要条件列式求解作答.【解答过程】不等式―x2+ax―1>0有解，即不等式x2―ax+1<0有解，因此Δ=a2―4>0，解得a<―2或a>2，所以实数a的取值范围为a<―2或a>2.故选：A.【变式5-3】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，则实数a 的取值范围是（）A．{a|―1≤a≤4 }B．{a|―1<a<4 }C．{a|a≥4 或a≤―1}D．{a|―4≤a≤1 }【解题思路】由题意知x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，等价于Δ≥0，解不等式即可求实数a的取值范围.【解答过程】因为关于x的不等式―x2+4x≥a2―3a在R上有解，即x2―4x+a2―3a≤0在R上有解，只需y=x2―4x+a2―3a的图象与x轴有公共点，所以Δ=(―4)2―4×(a2―3a)≥0，即a2―3a―4≤0，所以(a―4)(a+1)≤0，解得：―1≤a≤4，所以实数a的取值范围是{a|―1≤a≤4 }，故选：A.【题型6 一元二次不等式在某区间上有解问题】【例6】（2023·福建宁德·模拟预测）命题“∃x∈[1,2],x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a≥4C．a≥―2D．a≤4【解题思路】根据能成立问题求a的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【解答过程】∵∃x∈[1,2],x2≤a，则(x2)min≤a，即a≥1，∴a的取值范围[1,+∞)由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[1,+∞)的真子集，结合选项可知B对应的集合为[4,+∞)为[1,+∞)的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B，故选：B.【变式6-1】（22-23高二上·河南·开学考试）设a为实数，若关于x的不等式x2―ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是（）A．(―∞,8)B．(―∞,8]C．(―∞D．―∞【解题思路】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.【解答过程】由题意，因为x ∈(2,7)，故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解，则a <x +，又g (x )=x +7x在上单调递减，在上单调递增，且g (2)=2+72=112，g (7)=7+77=8>g (2)，故x +<8.故a ≤x +7x 在区间(2,7)上有实数解则a <8.故选：A.【变式6-2】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．―374,3B ．―C ．―374D ．(―3,3)【解题思路】化简不等式3―|3x ―a |>x 2+2x ，根据二次函数的图象、含有绝对值函数的图象进行分析，从而求得a 的取值范围.【解答过程】依题意，至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式3―|3x ―a |>x 2+2x 成立，即至少存在一个x <0，使得关于x 的不等式―x 2―2x +3>|3x ―a |成立，画出y =―x 2―2x +3(x <0)以及y =|3x ―a |的图象如下图所示，其中―x 2―2x +3>0.当y =3x ―a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =3x ―ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2+5x ―a ―3=0，Δ=25+4a +12=0,a =―374.当y =―3x +a 与y =―x 2―2x +3(x <0)相切时，由y =―3x +ay =―x 2―2x +3消去y 并化简得x 2―x +a ―3=0①，由Δ=1―4a +12=0解得a =134，代入①得x 2―x +14=x=0，解得x =12，不符合题意.当y =―3x +a 过(0,3)时，a =3.结合图象可知a 的取值范围是―374,3.故选：A.【变式6-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若命题“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2),(6,+∞)B ．(―∞,―2)C ．[―2,6]D ．[2+【解题思路】根据题意可知“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，然后参变分离，将问题转化为最值问题，利用基本不等式可解.【解答过程】因为“∀x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3≥0”为假命题，所以“∃x 0∈(0,+∞)，使得x 20+ax 0+a +3<0”为真命题，即a <―x 20+3x 0+1在(0,+∞)内有解，即a <―.因为―x 20+3x 0+1=―(x 0+1)2―2(x 0+1)+4x 0+1=―x 0+1―2≤―2，当且仅当x 0=1时等号成立，所以=―2，所以实数a 的取值范围为(―∞,―2).故选：B.【题型7 一元二次不等式恒成立、有解问题综合】【例7】（23-24高一上·山东潍坊·阶段练习）已知关于x 的不等式2x ―1>m(x 2―1).(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于m ∈[―2,2]恒成立，求实数x 的取值范围；(3)若不等式对x ∈[2,+∞)有解，求m 的取值范围.【解题思路】将2x ―1>m(x 2―1)转化为mx 2―2x +(1―m)<0，（1）讨论m =0和m ≠0时的情况；（2）f(m)=(x 2―1)m ―(2x ―1)，显然该函数单调，所以只需f(2)<0f(―2)<0即可.（3）讨论当m =0时，当m <0时，当m >0时，如何对x ∈[2,+∞)有解，其中m <0，m >0，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可.【解答过程】（1）原不等式等价于mx2―2x+(1―m)<0，当m=0时，―2x+1<0，即x>12，不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则m<0且Δ=4―4m(1―m)<0，无解；综上，不存在实数m，使不等式恒成立.（2）设f(m)=(x2―1)m―(2x―1)，当m∈[―2,2]时，f(m)<0恒成立，当且仅当f(2)<0f(―2)<0，即2x2―2x―1<0―2x2―2x+3<0，解得<x<x<x><x<所以x的取值范围是.（3）若不等式对x∈[2,+∞)有解，等价于x∈[2,+∞)时，mx2―2x―m)<0有解.令g(x)=mx2―2x+(1―m)，当m=0时，―2x+1<0即x>12，此时显然在x∈[2,+∞)有解；当m<0时，x∈[2,+∞)时，结合一元二次函数图象，mx2―2x+(1―m)<0显然有解；当m>0时，y=g(x)对称轴为x=1m，Δ=4―4m(1―m)=4m2―4m+4=(2m―1)2+3>0，∵x∈[2,+∞)时，mx2―2x+(1―m)<0有解，∴结合一元二次函数图象，易得：g(2)<0或g(2)≥01m>2，解得m<1或m≥1m<12（无解），又∵m>0，∴0<m<1;综上所述，m的取值范围为(―∞,1).【变式7-1】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）设函数y=ax2―(2a+3)x+6,a∈R．(1)若y+2>0恒成立，求实数a的取值范围：(2)当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解；（2）根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【解答过程】（1）y+2>0恒成立，即ax2―(2a+3)x+8>0恒成立，当a=0时，―3x+8>0，解得x<83，舍去；当a≠0时，a>04a2―20a+9<0，解得12<a<92所以实数a（2）当a=1时，∀t>―2，关于x的不等式y≤―3x+3+m在[―2,t]有解，则―2是x2―2x+3―m≤0的解，因为抛物线y=x2―2x+3开口向上，对称轴x=1，所以11―m≤0，解得m≥11，所以m的取值范围为[11,+∞)．【变式7-2】（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数f(x)=2x2―ax+a2―4，g(x)=x2―x+a2―314，(a∈R)(1)当a=1时，解不等式f(x)>g(x)；(2)若任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)若∀x1∈[0,1]，∃x2∈[0,1]，使得不等式f(x1)>g(x2)成立，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）作差后解一元二次不等式即可.（2）解法一：构造函数，分类讨论求解二次函数最小值，然后列不等式求解即可；解法二：分离参数，构造函数k=x+154x，利用基本不等式求解最值即可求解；（3）把问题转化为f(x)min>g(x)min，利用动轴定区间分类讨论即可求解.【解答过程】（1）当a=1时，f(x)=2x2―x―3，g(x)=x2―x―274所以f(x)―g(x)=x2+154>0，所以f(x)>g(x)，所以f(x)>g(x)的解集为R.（2）若对任意x>0，都有f(x)>g(x)成立，即x2+(1―a)x+154>0在x>0恒成立，解法一：设ℎ(x )=x 2+(1―a )x +154，x >0，对称轴x =a―12，由题意，只须ℎ(x )min >0，①当a―12≤0，即a ≤1时，ℎ(x )在0，+∞上单调递增，所以ℎ(x )>ℎ(0)=154，符合题意，所以a ≤1；②当a―12>0，即a >1时，ℎ(x )在+∞单调递增，所以ℎ(x )>=―(a―1)24+154>0，解得1<a <1+a >1，所以1<a <1+综上，a <1+解法二：不等式可化为(a ―1)x <x 2+154，即a ―1<x +154x ，设k =x +154x ，x >0，由题意，只须a ―1<k (x )min ，k =x +154x ≥=当且仅当x =154x 即x =k min =所以a ―1<a <1+（3）若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[0,1]，使得不等式f (x 1)>g (x 2)成立，即只需满足f (x )min >g (x )min ，x ∈[0,1]，g (x )=x 2―x +a 2―314，对称轴x =12，g (x )在0,递增，g (x )min ==a 2―8，f (x )=2x 2―ax +a 2―4，x ∈[0,1]，对称轴x =a4，①a4≤0即a ≤0时，f (x )在[0,1]递增，f (x )min =f (0)=a 2―4>g (x )min =a 2―8恒成立；②0<a4<1即0<a <4时，f (x )在0,,1递增，f (x )min ==78a 2―4，g (x )min =a 2―8，所以78a 2―4>a 2―8，故0<a <4；③a4≥1即a ≥4时，f (x )在[0,1]递减，f (x )min =f (1)=a 2―a ―2，g (x )min =a 2―8，所以a 2―a ―2>a 2―8，解得4≤a <6，综上：a ∈(―∞,6).【变式7-3】（23-24高一上·山东威海·期中）已知函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)(1)解关于x 的不等式f(x)≤6―3a ；(2)若对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，求实数a 的取值范围(3)已知g(x)=mx +7―3m ，当a =1时，若对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2∈[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）由不等式f(x)≤6―3a 转化为(x ―3)(x ―a)≤0，分a <3，a =3，a >3讨论求解；（2）将对任意的x ∈[1,4]，f(x)+a +5≥0恒成立，转化为对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1，恒成立，当x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立，利用基本不等式求解；（3）分析可知函数f (x )在区间[1,4]上的值域是函数g (x )在区间[1,4]上的值域的子集，分m =0、m <0、m >0三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数m 的不等式组，综合可得出实数m 的取值范围.【解答过程】（1）因为函数f(x)=x 2―(a +3)x +6(a ∈R)，所以f(x)≤6―3a ，即为x 2―(a +3)x +3a ≤0，所以(x ―3)(x ―a)≤0，当a <3时，解得a ≤x ≤3，当a =3时，解得x =3，当a >3时，解得3≤x ≤a ， 综上，当a <3时，不等式的解集为{x |a ≤x ≤3}，当a ≥3时，不等式的解集为{x |3≤x ≤a }（2）因为对任意的x ∈[1,4],f(x)+a +5≥0恒成立，所以对任意的x ∈[1,4]，a(x ―1)≤x 2―3x +11恒成立，当x =1时，0≤9恒成立，所以对任意的x ∈(1,4]时，a ≤(x ―1)+9x―1―1恒成立， 令(x ―1)+9x―1―1≥1=5，当且仅当x ―1=9x―1，即x =4时取等号，所以a ≤5，所以实数a 的取值范围是(―∞,5]（3）当a =1时，f(x)=x 2―4x +6，因为x ∈[1,4]，所以函数f(x)的值域是[2,6]，因为对任意的x 1∈[1,4]，总存在x 2[1,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，所以f(x)的值域是g(x)的值域的子集，当m >0时，g(x)∈[7―2m,m +7]，则m >07―2m ≤2m +7≥6，解得m ≥52当m <0时，g(x)∈[m +7,7―2m]，则m <07―2m ≥6m +7≤2，解得m ≤―5，当m =0时，g(x)∈{7}，不成立；综上，实数m 的取值范围(―∞,―5]∪+∞.一、单选题1．（2023·河南·模拟预测）已知命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x0+a >0”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(―∞,―2)B ．(―∞,4)C ．(―2,+∞)D ．(4,+∞)【解题思路】由题知x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，再根据二次函数求最值即可得答案.【解答过程】解：因为命题“∃x 0∈[―1,1]，―x 20+3x 0+a >0”为真命题，所以，命题“∃x 0∈[―1,1]，a >x 20―3x 0”为真命题，所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min ，因为，y =x 2―3x =x―94，所以，当x ∈[―1,1]时，y min =―2，当且仅当x =1时取得等号.所以，x 0∈[―1,1]时，a >x 20―3x 0min=―2，即实数a 的取值范围是(―2,+∞)故选：C.2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2≤k ≤18B ．―18<k <―2C ．2<k <18D ．0<k <2【解题思路】分类讨论k =0与k ≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.【解答过程】当k =0时，不等式kx 2+(k ―6)x +2>0可化为―6x +2>0，显然不合题意；当k ≠0时，因为kx 2+(k ―6)x +2>0的解为全体实数，所以k >0Δ=(k ―6)2―4k ×2<0，解得2<k <18；综上：2<k <18.故选：C.3．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．(―2,2)B ．(2,+∞)C ．(―∞,2)D ．(―∞,2]【解题思路】变形给定不等式，分离参数，利用均值不等式求出最小值作答.【解答过程】∀x ∈(0,+∞),x 2―mx +1>0⇔m <x +1x ，而当x >0时，x +1x ≥=2，当且仅当x =1x ，即x =1时取等号，则m <2，所以m 的取值范围是(―∞,2).故选：C.4．（2023·宁夏中卫·二模）已知点A(1,4)在直线x +y=1(a >0,b >0)上，若关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[―6,1]B ．[―1,6]C ．(―∞,―1]∪[6,+∞)D ．(―∞,―6]∪[1,+∞)【解题思路】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a +b 的最小值，从而将问题转化9≥t 2+5t +3，解之即可.【解答过程】因为点A(1,4)在直线xa +yb =1(a >0,b >0)上，所以1a +4b =1，故a +b =(a +b +=ba +4a b+5≥=9，当且仅当ba =4a b且1a +4b =1，即a =3,b =6时等号成立，因为关于t 的不等式a +b ≥t 2+5t +3恒成立，所以9≥t 2+5t +3，解得―6≤t ≤1，所以t ∈[―6,1].故选：A.5．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）若两个正实数x ，y 满足1x +4y =2，且不等式x +y4<m 2―m 有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(―1,2)B ．(―∞,―2)∪(1,+∞)C ．(―2,1)D ．(―∞,―1)∪(2,+∞)【解题思路】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.【解答过程】x +y4=+=+1+y 4x≥12(1+1+2)=2，要使得不等式x +y4<m 2―m 有解，只需m 2―m >2有解即可，解得m >2或者m <―1，故选：D.6．（23-24高一上·全国·单元测试）不等式2x 2―axy +y 2≥0，对于任意1≤x ≤2及1≤y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a|a ≤B ．a|a ≥C ．a|a ≤D ．a|a【解题思路】由于在不等式2x 2―axy +y 2≥0中出现两个变量，对其进行变形令t =xy 则转化为含参数t 的不等式2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可.【解答过程】由y ∈[1,3]，则不等式2x 2―axy +y 2≥0两边同时乘以1y 2不等式可化为：+1≥0，令t =xy ，则不等式转化为：2t 2―at +1≥0，在t ∈,2上恒成立，由2t 2―at +1≥0可得a ≤2t 2+1t即a ≤2t +，又2t +1t ≥=t =t =2t +1t 取得最小值故可得a ≤故选：A ．7．（2023·江西九江·二模）已知命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,+∞)B ．[1,+∞)C ．(―∞,1)D ．(―∞,1]【解题思路】首先由p 为假命题，得出¬p 为真命题，即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，由Δ≤0，即可求出实数a 的取值范围．【解答过程】因为命题p ：∃x ∈R ，x 2+2x +2―a <0，所以¬p ：∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0，又因为p 为假命题，所以¬p 即∀x ∈R ，x 2+2x +2―a ≥0恒成立，所以Δ≤0，即22―4(2―a)≤0，解得a ≤1，故选：D ．8．（2024·上海黄浦·模拟预测）已知不等式ρ：ax 2+bx +c <0(a ≠0)有实数解．结论（1）：设x 1，x 2是ρ的两个解，则对于任意的x 1，x 2，不等式x 1+x 2<―ba 和x 1⋅x 2<ca 恒成立；结论（2）：设x 0是ρ的一个解，若总存在x 0，使得ax 02―bx 0+c <0，则c <0，下列说法正确的是（ ）A ．结论①、②都成立B ．结论①、②都不成立C ．结论①成立，结论②不成立D ．结论①不成立，结论②成立【解题思路】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.【解答过程】当a<0且Δ=b2―4ac<0时，ρ：ax2+bx+c<0(a≠0)的解为全体实数，故对任意的x1，x2，x1+x2与―ba的关系不确定，例如：ρ：―x2+2x―2<0,取x1=1，x2=4,而―ba =2，所以x1⋅x2=4>ca=2，故结论①不成立.当a<0且Δ=b2―4ac>0时，ρ：ax2+bx+c<0的解为x|x<p或x>q，其中p,q是ax2+bx+c=0的两个根.当x0<p,―x0>q此时ax02―bx0+c<0，但c值不确定，比如：ρ：―x2+x+2<0，取x0 =―3，则―x02―x0+2<0，但c>0，故结论②不成立.故选：B.二、多选题9．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a―1)x2―2(a―1)x―4<0恒成立，则实数a可能是（）A．―2B．0C．―4D．1【解题思路】首先当a=1，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；其次a≠1，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当a―1<0Δ<0，解不等式组即可.【解答过程】当a=1时，不等式为―4<0恒成立，故满足题意；当a≠1时，要满足a―1<0Δ<0，而Δ=4(a―1)2+16(a―1)=4(―1)(a+3)，所以解得―3<a<1；综上，实数a的取值范围是(―3,1]；所以对比选项得，实数a可能是―2，0，1.故选：ABD.10．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A．不等式4x2―5x+1>0的解集是x|x>14或x<1B．不等式2x2―x―6≤0的解集是x|x≤―32或x≥2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅D．若关于x的不等式2x2+px―3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为―12【解题思路】对于AB ，直接解一元二次不等式即可判断；对于C ，对a 分类讨论即可判断；对于D ，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q ，然后即可判断.【解答过程】对于A ，4x 2―5x +1>0⇔(x ―1)(4x ―1)>0⇔x <14或x >1，故A 错误；对于B ，2x 2―x ―6≤0⇔(x ―2)(2x +3)≤0⇔―32≤x ≤2，故B 错误；若不等式ax 2+8ax +21<0恒成立，当a =0时，21<0是不可能成立的，所以只能a <0Δ=64a 2―84a <0 ，而该不等式组无解，综上，故C 正确；对于D ，由题意得q,1是一元二次方程2x 2+px ―3=0的两根，从而q ×1=―322+p ―3=0，解得p =1,q =―32，而当p =1,q =―32时，一元二次不等式2x 2+x ―3<0⇔(x ―1)(2x +3)<0⇔―32<x <1满足题意，所以p +q 的值为―12，故D 正确.故选：CD.11．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，其中a ，b 是整数，则a +b 的可能取值为（ ）A ．-7B ．-5C ．-6D ．-17【解题思路】对b 分类讨论，当b≥0由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0，由一次函数的图象知不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0，利用数形结合的思想可得出a ,b 的整数解.【解答过程】当b≥0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0可得ax -4≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，即a≤4x 对任意x∈(-∞,0]恒成立，此时a 不存在；当b <0时，由(ax -4)(x 2+b )≥0对任意x∈(-∞,0]恒成立，可设f (x )=ax -4，g (x )=x 2+b ，作出f (x ),g (x )的图象如下，aa，b是整数可得a=-1b=-16或a=-4b=-1或a=-2b=-4所以a+b的可能取值为-17或-5或-6故选：BCD.三、填空题12．（2024·陕西渭南·模拟预测）若∀x∈R,a<x2+1，则实数a的取值范围是(―∞,1).（用区间表示）【解题思路】利用二次函数的性质计算即可.【解答过程】由题得a<(x2+1)min=1，即实数a的取值范围为(―∞,1).故答案为：(―∞,1).13．（2024·辽宁·三模）若“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，则实数a的取值范围为(―∞,4].【解题思路】将问题转化为“a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.【解答过程】因为“∃x∈(0,+∞)，使x2―ax+4<0”是假命题，所以“∀x∈(0,+∞)，x2―ax+4≥0”为真命题，其等价于a≤x+4x在(0,+∞)上恒成立，又因为对勾函数f(x)=x+4x在(0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(2)=4，所以a≤4，即实数a∞,4].故答案为：(―∞,4].14．（2023·河北·模拟预测）若∃x∈R，ax2+ax+a―3<0，则a的一个可取的正整数值为1（或2，3）.【解题思路】由判别式大于0求解.【解答过程】由题意Δ=a2―4a(a―3)>0，解得0<a<4，a的正整数值为1或2或3，故答案为：1（也可取2，3）．四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=|2x―a|，且f(x)≤b的解集为[―1,3]．(1)求a和b的值；(2)若f(x)≤|x―t|在[―1,0]上恒成立，求实数t的取值范围．【解题思路】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，（2）将问题转化为3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.【解答过程】（1）由f(x)≤b得|2x―a|≤b，易知b≥0，则―b≤2x―a≤b，解得a―b2≤x≤b+a2，由于f(x)≤b的解集为[―1,3]，则b+a2=3,a―b2=―1，解得a=2,b=4．（2）由（1）知f(x)=|2x―2|，由f(x)≤|x―t|得|2x―2|≤|x―t|，得3x2+(2t―8)x+4―t2≤0在[―1,0]上恒成立，Δ=(2t―8)2―4×3×(4―t2)=16(t―1)2>0，故t≠1．令g(x)=3x2+(2t―8)x+4―t2，若g(x)≤0在[―1,0]上恒成立，则g(―1)≤0g(0)≤0，即―t2―2t+15≤04―t2≤0，解得t≤―5或t≥3，故实数t的取值范围为(―∞,―5]∪[3,+∞)．16．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数f(x)=|x―1|+|x+2|.（1）求不等式f(x)≤5的解集；（2）若不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【解答过程】（1）当x≤―2时，f(x)≤5等价于―2x―1≤5，解得x∈[―3,―2]；当―2<x<1时，f(x)≤5≤5，恒成立，解得x∈(―2,1)；当x≥1时，f(x)≤5等价于2x+1≤5，解得x∈[1,2]；综上所述，不等式的解集为[―3,2].（2）不等式f(x)≥x2―ax+1的解集包含[―1,1]，等价于f(x)≥x2―ax+1在区间[―1,1]上恒成立，也等价于x2―ax―2≤0在区间[―1,1]恒成立.则只需g(x)=x2―ax―2满足：g(―1)≤0且g(1)≤0即可.即1+a―2≤0,1―a―2≤0，解得a∈[―1,1].。
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法一元二次不等式在给定区间上恒成立问题是高中数学中的一个重要知识点，它涉及到一元二次不等式的求解和区间的概念。
在解决这类问题时，我们需要灵活运用一元二次不等式的性质和求解方法，并结合区间的特性进行分析。
本文将从简单到复杂，由浅入深地探讨一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法，帮助读者更深入地理解这一知识点。
1. 一元二次不等式的基本形式在开始讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法之前，我们先来回顾一下一元二次不等式的基本形式。
一元二次不等式通常可以写成以下形式：ax^2 + bx + c > 0其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为变量。
在求解一元二次不等式时，我们通常需要先将不等式化为标准形式，再根据不等式的性质和判定条件进行求解。
2. 一元二次不等式的解题思路对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，我们首先需要确定该区间，并根据不等式的特性进行分析。
在求解过程中，我们需要考虑以下几点：（1）对一元二次不等式进行因式分解，寻找合适的解题方法；（2）利用一元二次不等式的图象和判定条件，确定不等式在给定区间上的变化趋势；（3）结合区间的特性，分析不等式在给定区间上的取值范围；（4）判断一元二次不等式在给定区间上是否恒成立，给出相应的解法。
3. 求解方法举例接下来，我们通过一个具体的例子来演示一元二次不等式在给定区间上恒成立问题的解题方法。
例题：求解不等式x^2 - 4x + 3 > 0在区间(1, 3)上是否恒成立。
解：我们对不等式x^2 - 4x + 3 > 0进行因式分解，得到(x - 1)(x - 3) > 0。
我们可以利用一元二次不等式的图象和判定条件来分析不等式在区间(1, 3)上的变化趋势。
当x属于区间(1, 3)时，(x - 1)和(x - 3)的取值分别为正和负，或者为负和正。
高一数学痛点大揭秘专题3 一元二次不等式恒成立问题(解析版)
一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。
含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。
【题型导图】类型一 实数集R 上的不等式恒成立问题例1：若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是（ ） A ．3,0B ．(]3,0-C ．(,3]-∞-D ．(0,)+∞【答案】A 【详解】解：由已知可知0k ≠，所以要一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数 x 恒成立，则200k <⎧⎨∆<⎩， 即220342()08k k k <⎧⎪⎨-⋅⋅-<⎪⎩，解得30k -<<， 所以k 的取值范围为3,0，故选：A【变式1】“0a >”是“一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】由一元二次不等式20ax bx c ++>恒成立，则0a >且240b ac =-<， 反之，0a >时，如：2320x x ++>不恒成立， 故选B.【变式2】设a 为实数，若关于x 的一元二次不等式20x x a ++>恒成立，则a 的取值范围是_____. 【答案】1(,)4+∞【详解】一元二次不等式20x x a ++>恒成立，∴140a ∆=-<，解得14a >． a ∴的取值范围是1(,)4+∞．故答案为：1(,)4+∞．【变式3】若不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，求m 的取值范围.【答案】(2-+. 【详解】解：一元二次不等式()270x mx m -++>在实数集R 上恒成立，则∆<0，即()24170m m -⨯⨯+<，整理得24280m m --<，解得22m -<+，所以m 的取值范围是(2-+.【痛点直击】一元二次不等式在实数集R 上的恒成立问题，可结合图象，考虑图象的开口方向以及图象与x 轴的交点个数判断即可，可从二次项系数的正负和判别式两个方面来考虑。
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式恒成立问题个性化教案授课时间：备课时间：年级：课时：课题：学员姓名：授课老师：教学目标教学难点(1)分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.(2)不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.教学 内容复习引入：题型一.解一元二次不等式(1)x 2+7x −30≤0 (2)25x 2+5x +1>0 (3)−x 2+6x −9≥0题型二.解高次不等式（方法：穿针引线法）(1) (x+1)2(x-2)3＜0 (2) (x+2)3(x-2)2(x+2)＞0 (3) (x+1)4(x-1)3(x 2-1)＜0题型三.解分式不等式(方法：等价变换)(1) x−2x 2+6x+9＜0 (2) x+1x 2−9≥0 (3)x 2+9x−22x−5≤0Ⅰ.02>-m ，0>∆ Ⅱ.02>-m ，0=∆ Ⅲ. 02>-m ，0<∆)2( 0)2(<-m 的图像Ⅳ.02<-m ，0>∆ Ⅴ. 02<-m ，0=∆ Ⅵ. 02<-m ，0<∆经观察，只有Ⅵ情况满足题目条件，所以得[]⎩⎨⎧<----=∆<-0)4)(24)2(2022m m m （解之得：22<<-m综上所述，当22≤<-m 时，对于x 的不等式()()042222<--+-x m x m 对一切实数x 恒成立.变式题：关于x 的不等式()()042222≤--+-x m x m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.思考题：当m 为何值时，二次函数y=mx²-(1-m)x+m 与x 轴无交点？例2. 设函数22)(2+-=x axx f ，对于满足1<x<4的一切x 值，都有f(x)>0，求实数a 的取值范围. 【解析】法一：当a>0时，aa x a x f 12)1()(2-+-=，由x ∈(1,4)，f(x)>0得⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≤022)1(11a f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<<012)1(411a af a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-=≥02816)4(41a f a所以⎩⎨⎧≥≥01a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<21141a a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤8341a a ，所以1≥a 或121<<a ，即21>a 。
一元二次不等式恒成立问题的解法
一元二次不等式恒成立问题的解法哎呀，这一元二次不等式恒成立问题可真是个让人头疼的家伙！但别怕，我这个小学生今天就来和你好好说道说道。
你想想，一元二次不等式就像是一个调皮的小怪兽，总是变着法儿地给我们出难题。
比如说，它会变成ax² + bx + c > 0 这样的模样，然后问我们啥时候它能一直成立。
我们先来看，如果这个不等式是大于0 恒成立的情况。
这就好比我们要找一个超级强壮的大力士，不管什么时候都能打败对手。
那这个大力士得有什么条件呢？首先，a 得大于0 呀，这就像是大力士要有坚定的决心，要是a 小于0 ，那不就像没了斗志，还怎么赢？然后，判别式b² - 4ac 得小于0 ，这就好像是大力士不能有弱点，一旦有了弱点，就可能被对手抓住打败啦。
再说说小于0 恒成立的情况，这就好像是要找一个永远都输不了的弱小选手，那a 就得小于0 ，判别式b² - 4ac 还是小于0 。
举个例子吧，假如有个不等式x² + 2x + 3 > 0 ，这里a = 1 大于0 ，b = 2 ，c = 3 ，判别式b² - 4ac = 2² - 4×1×3 = 4 - 12 = -8 ，小于0 ，所以这个不等式就恒大于0 。
你说，这一元二次不等式恒成立问题是不是很像一场和小怪兽的战斗？我们得找到它的弱点，才能战胜它！
总之，解决一元二次不等式恒成立问题，关键就是看a 的正负和判别式的大小。
只要我们掌握了这个秘诀，再调皮的小怪兽也难不倒我们！。
教案：一元二次不等式恒成立的问题
一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。
2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。
3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。
教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。
2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。
3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。
今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。
典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。
② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。
（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。
② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。
强调数形结合思想。
）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。
举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。
不等式专题：一元二次不等式恒成立和有解问题-【题型分类归纳】(解析版)
一元二次不等式恒成立和有解问题一、一元二次不等式在实数集上的恒成立1、不等式20ax bx c >＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨>⎩a b c 或0Δ<0>⎧⎨⎩a2、不等式20ax bx c <＋＋对任意实数x 恒成立⇔00==⎧⎨<⎩a b c 或0Δ<0<⎧⎨⎩a【注意】对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方； 恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．二、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法方法一：若()0>f x 在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式()0>f x 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；方法二：转化为函数值域问题，即已知函数()f x 的值域为[,]m n ，则()≥f x a 恒成立⇒min ()≥f x a ，即≥m a ；()≤f x a 恒成立⇒max ()≤f x a ，即≤n a .三、给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数. 即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解。
四、常见不等式恒成立及有解问题的函数处理方法不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下： 1、对任意的[,]∈x m n ，()>a f x 恒成立⇒max ()>a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()>a f x 有解⇒min ()>a f x ；若对任意[,]∈x m n ，()>a f x 无解⇒min ()≤a f x .2、对任意的[,]∈x m n ，()<a f x 恒成立⇒min ()<a f x ； 若存在[,]∈x m n ，()<a f x 有解⇒max ()<a f x ； 若对任意[,]∈x m n ，()<a f x 无解⇒max ()≥a f x .题型一 一元二次不等式在实数集上的恒成立问题【例1】若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【解析】当0=a 时，不等式成立；当0≠a 时，不等式2220--<ax ax 恒成立，等价于()()20,2420,<⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩a a a 20∴-<<a ． 综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【变式1-1】“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件是（ ） A ．14>m B ．14<m C ．1<mD ．1>m 【答案】A【解析】∵不等式20-+>x x m 在R 上恒成立，∴2(1)40∆--<＝m ，解得14>m ， 又∵14>m ，∴140∆=-<m ，则不等式20-+>x x m 在R 上恒成立， ∴“14>m ”是“不等式20-+>x x m 在R 上恒成立”的充要条件，故选：A.【变式1-2】已知关于x 的不等式2680-++>kx kx k 对任意∈x R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．01k ≤≤B ．01k ≤< C ．0k <或1k > D ．0k ≤或1k > 【答案】B【解析】当0=k 时，80>恒成立，符合题意；当0≠k 时，由题意有()()2Δ6480>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩k k k k ，解得01<<k ， 综上，01≤<k .故选：B.【变式1-3】已知关于x 的不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围（ ）A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[)3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,1,5⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当1a =时，不等式为10-<，对x R ∀∈恒成立，所以满足条件当1a =-时，不等式为210x -<，解集为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，不满足题意当210a ->时，对应的二次函数开口向上，()()221110ax a x ----<的解集一定不是R ，不满足题意当210a -<，11a -<<时，若不等式()()221110a x a x ----<的解集为R ，则()()221410a a ∆=-+-<，解得：315a -<<，综上，315a -<≤故选：B【变式1-4】关于x 的不等式21x x a x +≥-对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．(],3-∞C ．(],1-∞D ．(][),13,-∞⋃+∞ 【答案】B【解析】当0x =时，不等式为01≥-恒成立，a R ∴∈；当0x ≠时，不等式可化为：11a x x ≤++，0x >，12x x ∴+≥（当且仅当1x x=，即1x =±时取等号），3a ∴≤； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞.故选：B.题型二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例2】若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(,4]-∞.【解析】对于任意的14x <≤，不等式()22241(1)25x a x a x a x x -++≥--⇔-≤-+，即2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--， 因此，对于任意的14x <≤，2254(1)11x x a x x x -+≤=-+--恒成立， 当14x <≤时，013x <-≤，44(1)(1)411x x x x -+≥-⋅=--， 当且仅当411x x -=-，即3x =时取“=”，即当3x =时，4(1)1x x -+-取得最小值4，则4a ≤， 所以实数a 的取值范围是(,4]-∞.【变式2-1】已知2(2)420+-+-x a x a对[)2,∀∈+∞x 恒成立，则实数a 的取值范围________. 【答案】(],3-∞【解析】因为2(2)420x a x a +-+-对[)2,x ∀∈+∞恒成立，即4222x a x ++-≥+在[)2,x ∀∈+∞时恒成立，令2,4x t t +=≥， 则4222x x ++-+代换为42t t +-，令4()2g t t t=+-， 由对勾函数可知，()g t 在[)4,t ∈+∞上单增，所以min ()(4)3g t g ==， 所以(],3a ∈-∞.故答案为：(],3-∞【变式2-2】已知二次函数222y x ax =++.若15x ≤≤时，不等式3y ax >恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】22<a .【解析】不等式()3f x ax >即为：220x ax -+>，当[]1,5x ∈时，可变形为：222x a x x x+<=+，即min 2()a x x <+. 又2222x x x x+≥+= 当且仅当2x x=，即[]21,5x =时，等号成立，min 2()22x x∴+=22a <故实数a 的取值范围是：22a <【变式2-3】若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．222-D ．5- 【答案】D【解析】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩ 解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D【变式2-4】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ，或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ， 解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x =综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥，故选：A.题型三 给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题【例3】当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求的取值范围．【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设2()(1)(1)f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需(2)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即22210320x x x x ⎧--≤⎨--≤⎩，解2210x x --≤，即()()2110x x +-≤得112x -≤≤，解2320x x --≤，即()()3210x x +-≤得213x -≤≤，所以原不等式的解集为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【变式3-1】若命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．[]1,4-B ．50,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦D ．[)51,0,43⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C【解析】命题“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题，其否定为真命题，即“[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥”为真命题．令22()23(21)30g a ax ax x a x x a x =-++-=--++≥，则(1)0(3)0g g -≥⎧⎨≥⎩，即22340350x x x x ⎧-++≥⎨-≥⎩，解得14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，所以实数x 的取值范围为[]51,0,43⎡⎤⎢⎥⎣-⎦.故选：C【变式3-2】已知[]1,1∈-a ，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( ) A ．()()3,,2∞-∞+ B ．()()2,,1∞-∞+ C ．()()3,,1∞-∞+D ．()1,3 【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．∴x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【变式3-3】已知当11a -≤≤时，()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(),3-∞B ．][(),13,∞∞-⋃+C ．(),1-∞D ．()(),13,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】()24420x a x a +-+->恒成立，即()22440x a x x -+-+>，对任意得[]1,1a ∈-恒成立， 令()()2244f a x a x x =-+-+，[]1,1a ∈-，当2x =时，()0f a =，不符题意，故2x ≠， 当2x >时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递增，则()()2min 12440f a f x x x =-=-++-+>，解得3x >或2x <（舍去），当2x <时，函数()f a 在[]1,1a ∈-上递减，则()()2min 12440f a f x x x ==-+-+>，解得1x <或2x >（舍去），综上所述，实数x 的取值范围是()(),13,-∞⋃+∞.故选：D.【变式3-3】不等式225732ax x a x +->-对一切()1,0a ∈-恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）A ．(]1,4,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭B ．(][),41,-∞-⋃-+∞C ．()4,1--D ．14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令()()227532=-+-+f a a x x x ，对一切()1,0a ∈-均大于0恒成立，所以 ()()22270175320⎧->⎪⎨-=--+-+≥⎪⎩x f x x x ，或()227005320⎧-<⎪⎨=-+≥⎪⎩x f x x ， 或22705320⎧-=⎪⎨-+≥⎪⎩x x x ，解得4x ≤-或7x >172≤<x 7x = 综上，实数x 的取值范围是4x ≤-，或12x ≥.故选：A.题型四 一元二次不等式在实数集上的有解问题【例4】已知不等式20kx x k -+<有解，则实数k 的取值范围为__________. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】当0k =时，0x -<，符合题意当0k >时，令2y kx x k =-+，由不等式20kx x k -+<有解，即2140k ∆=->，得102k <<当0k <时， 2y kx x k =-+开口向下，满足20kx x k -+<有解，符合题意综上，实数k 的取值范围为1,2k ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭【变式4-1】若关于x 的不等式2210ax x ++<有实数解，则a 的取值范围是_____． 【答案】(),1-∞【解析】当0a =时，不等式为210x +<有实数解，所以0a =符合题意；当0a <时，不等式对应的二次函数开口向下， 所以不等式2210ax x ++<有实数解，符合题意； 当0a >时，要使不等式2210ax x ++<有实数解， 则需满足440∆=->a ，可得1a <，所以01a <<， 综上所述：a 的取值范围是(),1-∞.【变式4-2】x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立，则m 的取值范围是___________.【答案】11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】令()22111313612f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()min 1112f x =，因为x R ∃∈，使得不等式231x x m -+<成立， 所以1112m >， 则m 的取值范围是11,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【变式4-3】若关于x 的不等式29(2)04ax a x -++<有解，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(,1)(4,)-∞+∞【解析】当0a =时，不等式为9204x -+<有解，故0a =，满足题意；当0a >时，若不等式29(2)04ax a x -++<有解， 则满足29(2)404a a ∆=+-⋅>，解得1a <或4a >；当0a <时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式29(2)04ax a x -++<总是有解，所以0a <，综上可得，实数a 的取值范围是(,1)(4,)-∞+∞.题型五 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例5】已知关于x 的不等式2630mx x m -+<在(]02，上有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-∞，B ．127⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．()3+∞， D ．127⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【答案】A【解析】由题意得，2630mx x m -+<，(]02x ∈，，即263xm x <+ ， 故问题转化为263xm x <+在(]02，上有解， 设26()3x g x x =+，则266()33x g x x x x==++，(]02x ∈，， 对于323x x+≥，当且仅当3(0,2]x =时取等号， 则max ()323g x ==3m <，故选：A【变式5-1】已知命题p ：“15∃≤≤x ，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A 【解析】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集 若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题， 需满足25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥． 因此p 命题成立时a 的范围时4a <，故选：A ．【变式5-2】若关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．[0,1] D ．(0,1) 【答案】B【解析】令22()(1)f x x m x m =-+-，其对称轴为202m x =≥， 关于x 的不等式22(1)0x m x m -+-≥在(1,1)-有解， 当(1,1)x ∈-时，有()(1)f x f <-，(1)0f ∴->，即20m m +>，可得0m >或1m <-．故选：B ．【变式5-3】已知当12x ≤≤时，存在x 使不等式()()14m x m x -++<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{}22m m -<<B ．{}12m m -<<C ．{}32m m -<<D ．{}12m m <<【答案】C【解析】由()()14m x m x -++<可得224m m x x +<-+，由题意可得()22max 4m m x x +<-+，且12x ≤≤，令()24f x x x =-+对称轴为12x =，开口向上，所以()24f x x x =-+在[]1,2上单调递增， 所以2x =时，()()2max 22246f x f ==-+=，所以26m m +<，解得：32m -<<， 所以实数m 的取值范围为{}32m m -<<，故选：C.【变式5-4】关于x 的不等式2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，则a 的取值范围为________．【答案】[]2,6-【解析】2244x x a a -+≥在[]1,6内有解，()22max 44a a x x ∴-≤-，其中[]1,6x ∈；设()2416y x x x =-≤≤， 则当6x =时，max 362412y =-=， 2412a a ∴-≤，解得：26a -≤≤，a ∴的取值范围为[]2,6-.。
必修五含参一元二次不等式恒成立问题教师版
微专题 含参不等式恒成立问题类型一：一次函数型例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
变式.对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
解：原不等式可化为 (x -1)p+x 2-2x+1>0,令 f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∈x<-1或x>3. 类型二：二次函数型∈利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论m -1是否是0。
（1）当m -1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；（2）01≠-m 时，只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ，所以，)9,1[∈m 。