高等数学函数展开成幂级数

为任意常数 .
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
于是得 级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
由于 R lim an lim n 1 1 n an1 n m n
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是
f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x)
0
.
证明:
f
(x)
n0
f
(n) (x0 )(x n!
x0 )n
,
x (x0 )
令
S n 1 ( x)
n k 0
2!
m(m 1) (m n 1) xn x (1, 1) n!
当 m = –1 时
1 1 x
1 x
x2
x3
(1)n xn
,
x (1, 1)
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思考与练习
1. 函数 数” 有何不同 ?
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
提示: 后者必需证明 lim Rn (x) 0, 前者无此要求.
则
f (x) a1 2a2x nan xn1 ;
a0 f (0) a1 f (0)
f (x) 2!a2 n(n 1)an xn2 ;
a2
1 2!
f
(0)
f (n) (x) n!an ;
an
1 n!
f
(n) (0)
显然结论成立 .
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二、函数展开成幂级数
例6. 将
展成
的幂级数.
解:
sin
x
sin
4
(
x
4
)
sin
4
cos(
x
4
)
cos
4
sin(
x
4
)
1 2
cos(
x
4
)
sin(x
4
)
( x
4
)
1 (x 3!
)3
4
1 (x 5!
)5
4
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1 1 (x ) 1 (x )2 1 (x )3
2
4 2! 4 3! 4
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例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn 1 x 把 x 换成 x2 , 得
(1 x 1)
1 1 x2
1 x2
x4
(1)n x2n (1
x 1)
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例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
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对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
n
2. 如何求
的幂级数 ?
提示:
y 1 1 cos 2x 22
1 2
1 2
(1)n
n0
1 (2n)!
1 (1)n 4n x2n ,
2 n1
(2n)!
x (, )
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作业 P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
f
(k) (x0 )(x k!
x0 )k
f (x) Sn1(x) Rn (x)
lim
n
Rn (x)
lim
n
f
(x)
Sn1(x)
0
,
x (x0 )
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
3! 5!
(2n 1)!
类似可推出: (P220 例3)
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n1 1 x2n
2! 4!
(2n)!
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例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
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例2. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) (01),k ,
n 2k n 2k 1
例7. 将
展成 x－1 的幂级数.
解:
x2
1
1
4x 3 (x 1)(x 3)
x1
x1
( x 1 2)
2
4
1
x
2
1
(
x
1) 22
2
(1)n
(x 1)n 2n
1 8
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
(1 x 3 )
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内容小结
1. 函数的幂级数展开法
1
(n 1)!
(1 x)F(x) mF(x), F(0) 1
推导
x
0
F ( x) F ( x)
d
x
x
0 1
m x
d
x
ln F(x) ln F(0) mln(1 x)
F (x) (1 x)m
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
R)
内
lim
n
Rn
(
x)
是否为
0.
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1, ), 故得级数
1
x 1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
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备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数
解:
(1)n x2n , x (1,1)
n0
(1)n
x
x
2n
d
x
(1)n x2n1
0 n0
n0 2n 1
x＝±1 时, 此级数条件收敛, f (0) ,因此
4
f (x) (1)n x2n1, x [1, 1] 4 n02n 1
第四节
第十一章
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
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n!
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
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(1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ;
(2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
2. 常用函数的幂级数展开式
• ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
•
ln(1 x) x 1 x2 2
1 x3 1 x4 34
(1)n n 1
xn1
x (1, 1]
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2. 将
在x = 0处展为幂级数.
解:
2 x 3x2
ln(1
x)
n1
xn n
(1 x)(2 3x) (1 x 1)
ln(1
3 2
x)
(1) n
n1
(
3 2
x)
n
(
2 3
x
32)
n1
因此
f (x) ln 2 xn
n1 n
n1(1n)n1(23 x)n
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 区间为
利用此题可得
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直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
判别在收敛区间(－R,
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F(x),1 x 1 则 F(x) 1 m x m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn n!
F(x) m 1 m 1 x (m 1) (m n 1) xn1
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• sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
• cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
x (, ) • (1 x)m 1 mx m(m 1) x2