高中数学基本不等式的解法十例

高中数学基本不等式问题求解十例

一、基本不等式的基础形式

1．222a b ab +≥，其中,a b R ∈，当且仅当a b =时等号成立。 2

．a b +≥[),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。

3．

常考不等式：2

222

1122a b a b ab ++⎛⎫≥≥≥ ⎪⎝⎭+

，其中(),0,a b ∈+∞，当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1：基本不等式与最值 解题思路：

（1）积定和最小：若ab 是定值，那么当且仅当a b =时，(

)min a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ （2）和定积最大：若a b +是定值，那么当且仅当a b =时，()2

max 2a b ab +⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，其中,a b R ∈。 例题1：若实数,a b 满足221a

b

+=，则a b +的最大值是 ．

解析：很明显，和为定，

当且仅当1a b ==-时取等号。 变式：函数1

(0,1)x y a

a a -=>≠的图象恒过定点A ，若点在直线1mx ny +=上，则mn 的最大值为______。

解析：由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ，将点()1,1A 代入直线方程1mx ny +=中可得1m n +=，明

12m n ==时取等号。 例题2：已知函数()2

122

x

x f x +=+

，则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________．

解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得

，当且仅当

2

1212x x x +=

⇒=-时取等号。

变式：已知2x >-，则1

2

x x +

+的最小值为 。 解析：由题意可得()1

20,212

x x x +>+⨯=+，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：

1

22112

x x x x +=⇒+=⇒

=-+时取等号，此时可 例题3：若对任意x >0，

x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________

．

解析：

解法1：

故而可得分式的

解法2：

问题2：“1”的代换

例题4：若两个正实数x 、y 满足

141x y += ，且不等式234

y x m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是 。 解析：由题意可得141x y +=，左边乘以141x y

+=可得：14441y x x y y x ⎛⎫⎛

⎫++ ⎪⎪

⎝

⎭⎝⎭+=，化简可得：

1441144y y x x x y x y ⎛⎫⎛

⎫++=+++ ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭，很明显44y x x y +中积为定值，根据积定和最小的法则可得：

424y x x y +≥=，

当且仅当2418

4x y x y x y =⎧==⇒⎨=⎩时取等号。故而可得1444y x x y ⎛⎫⎛

⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭。不等式234y x m m +

-＜有解，亦即2min 344y m m x ⎛

⎫->+= ⎪⎝

⎭，亦即2340m m -->，解得4m >或者

1m <-，故而可得()(),14,m ∈-∞-⋃+∞。

变式：若0x ≥， 0y ≥，且

12

22x y x y

+=++，则43x y +的最小值为__________．

解析：由()()2243x y x y x y +++=+，化简题干条件可得

14

2222x y x y

+=++乘以所求内容可得：

()()1414432222222224322x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫

++++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭+==，化简后可得：

()422241

222432

x y x y x y x y

x y ++++++++=，很明显()4222222x y x y x y x y +++++中二者积为定值，根据积定和最

小法则可得

()

42224222x y x y x y x y +++≥=++，当且仅当

()42222222x y x y x y x y ++==++，亦即0

32x y =⎧⎪

⎨

=⎪⎩

问题3：方程中的基本不等式

解题思路：将需要利用不等式的项移到方程的一边，利用基本不等式求解即可。 例题5：（2015·湖南高考）若实数a ，b 满足1a ＋2

b ＝ab ，则ab 的最小值为__________

．

解析：

12a b =

+≥=

，当且仅当122b a a b

=⇒=时取等号，化简后可得：ab =1

4

5

4

22a b ⎧

=⎪⎨⎪=⎩

变式：若lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，则xy 的最小值为__________．

解析：将题干条件化简可得：()()lg 3lg 131x y x y xy x y ⋅=++⇒=++

，由题意需要求解xy ，故而可知利用不等式x y

+≥31xy x y -=+≥当且仅当x y =时等号成立，化