初中奥数讲义_配方法的解题功能附答案
初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程
初三年级奥数知识点：用配方法求解一元二次方程 1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、配方法的应用对所有一元二次方程都适用，但特别对于二次项系数为1，一次项系数为偶数的一元二次方程用配方法会更为简单。
【配方法】一般步骤：第一步：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项;第二步：方程两边同时除以二次项系数;第三步：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式;第四步：用直接开平方解变形后的方程.习题用配方法解下列方程1. x2-2x-3=02. 2x2+12x+10=03. x2-4x+3=04. x2/4 +x-3=05. 9x2-6x-8=06. x2+12x-15=07. 2x2+1=3x8. 3x2-6x+4=09. 3x2+6x-4=010. 4x2-6x-3=0配方技巧一：公式法利用一些现有公式对某一类型的代数式直接配方如：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2二：函数法数学中的很多东西都是交集的，对于某些特定的二次函数(只有一个顶点，且该定点在x轴上)，令其顶点坐标为(a,0),则该函数对应的关于自变量的代数式就能够配方为(x-a)2配方法对于代数式x2-2x+1能够配方为(x-1)2。
最全最新初中数学竞赛——配方法
初中数学竞赛专题讲解配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。
运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。
熟悉以下基本等式：1.222)(2b a b ab a ±=+±2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++；3.[]222222)()()(21a c c b b a ca bc ab c b a ±+±+±=±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++ 一、基础过关：1.因式分解：44x +=________________________________________2.=_______________________________3.代数式222a a +-的最小值为多少？4.求方程222450x y x y ++-+=的解,x y5.已知20172018a x =+，20172019b x =+，20172020c x =+，则多项式 222a b c ab bc ca ++---的值为多少？6.若12123y z x +--==，则222x y z ++的最小值为多少? 二、例题讲解例1.因式分解：222241a b a ab b -+-+练习1：在ABC ∆中，,,a b c 为ABC ∆的三条边，且满足444222212a b c a c b c ++=+，试判断ABC ∆的形状练习2：因式分解 ①4224x x y y ++ ； ②222669x xy y x y -+-++； ③42221x x ax a +--+例2.化简下列二次根式： ①347+； ②32-； ③223410+-.练习2：（1）化简： （2练习3：如果a =45x <<时，求a 的值练习4：若152a b c +-=-，则a b c ++的值为多少？例3.求下列代数式的最大或最小值：①22101x x ++； ②2112x x -+-练习1：已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为练习2：设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是多少？练习3：若,,a b c 满足2229a b c ++=，代数式()()()222a b b c c a -+-+-的最大值是 多少？练习4：正实数,,x y z 满足10xy yz +=，则22254x y z ++的最小值为多少练习5：已知实数,,x y z 满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩求222x y z ++的最小值例4.解下列方程：①422210x x xy y -+++=； ②222624100x xy x y y +++++=练习1：已知24,40a b ab c -=++=，则a b c ++的值为多少？练习2：已知,,,a b c d 都为正数，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：a b c d ===练习3：已知实数,,x y z 满足25,9x y z xy y +==+-，求23x y z ++的值练习4：已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且满足222222222,,111a b c b c a a b c ===+++，试求ABC ∆的面积练习5：已知,x y 为实数，且22422y x xy y ++≤+，求x y +的值练习6：已知0a b >>，且226a b ab +=，则a b a b+-的值为多少？例5：求方程22410160x y x y +-++=的整数解练习1：已知a 是正整数，且a a 20042+是一个正整数的平方，求a 的最大值。
八年级数学竞赛讲座配方法的解题功能附答案
第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．例题求解【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．【例2】 若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29 D ．6 (武汉市选拔赛试题)思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-32211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，运用配方法求其最小值．【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．(匈牙利数学奥林匹克试题)思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．【例4】 求方程m 2－2mn+14n 2=217的自然数解． (上海市竞赛题)思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x 、y 的值．【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．(2温州市中考题)思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；(2)非负教的最小值为零．学历训练1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．(2江西省中考题)2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．( “希望杯”邀请赛试题)3．分解因式：32422+++-b a b a = ．4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则xy y x 23-+的值是（ ） A ．1 B ．223+ C ．223+ D ．2326．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3(全国初中数学竞赛题)7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)8．化简312213242--+为( )A ．5－43B ． 43－lC ．5D ． 1 (2003年天津市竞赛题)9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．(江苏省竞赛题)10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 ． 12．若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ． 13．x 、y 为实数，且y xy y x 24222+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )A ．4B ．0C ．2D ．－2(重庆市竞赛题)16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则ba b a -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 (江苏省竞赛题)17．若 a 、b 、c 、d 是乘积为l 的4个正数，则代数式cd bd bc ad ac ab d c b a +++++++++2222 的最小值为( )A ．0B ．4C ．8D ．1018．若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是( )A ．27 D ．18 C ．15 D ．1219．已知x+y+z=1，求证：31222≥++z y x ． (苏奥尔德莱尼基市竞赛题)20．已知a>b ，且243)()(=+-+++ba b ab a b a ，a 、b 为自然数，求a 、b 的值． 21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足b a a =+2212，c b b =+2212，a c c =+2212，试求 △ABC 的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k 的值． (山东省竞赛题)。
配方法的题及其答案（精选3篇）
配方法的题及其答案（精选3篇）以下是网友分享的关于配方法的题及其答案的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
篇一配方法及其应用初一（）班学号：_______ 姓名：____________一、配方法：将一个式子变为完全平方式，称为配方，它是完全平方公式的逆用。
配方法是一种重要的数学方法，它是恒等变形的重要手段，又是求最大最小值的常用方法，在数学中有广泛的应用。
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简，何时配方需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方，有时也将其称为“凑配法”．配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b ) ＝a ＋2ab ＋b ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：222a 2＋b 2＝(a ＋b ) 2－2ab ＝(a －b ) 2＋2ab ；b 2⎛3⎫2⎛a ＋ab ＋b ＝(a ＋b ) －ab ＝(a －b ) ＋3ab ＝a ＋＋ b ⎪；⎝2⎭⎝2⎭2222a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝[(a ＋b ) 2＋(b ＋c ) 2＋(c ＋a ) 2]．下面举例说明配方法的应用：一、求字母的值【例1】已知a ，b 满足a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，求a ＋2b 的值．分析:可将含x,y 的方程化为两个非负数和为0的形式, 从而求出两个未知数的值. 解：∵a ＋2b －2ab －2b ＋1＝0，∴a ＋b －2ab ＋b －2b ＋1＝0，∴(a －b ) ＋(b －1) ＝0.∵(a －b ) ≥0，(b －1) ≥0，∴a －b ＝0，b －1＝0，∴a ＝1，b ＝1，∴a ＋2b ＝1＋2×1＝3，∴a ＋2b 的值是3.变式练习：1、已知x 2y 2+x 2+4xy +13=6x , 则x,y 的值分别为[1**********]122、已知a ＋b ＋4a －2b ＋5＝0，则3a ＋5b －4的值为___ ___.4. 已知x 2+2xy +y 2-6x -6y +9=0，则x +y 的值为5、若a 、b 为有理数，且2a 2-2ab +b 2+4a +4=0，则a 2b +ab 2的值为___ ___.6、已知a 、b 、c 满足a 2+2b =7，b 2-2c =-1，c 2-6a =-17，则a +b +c 的值为______．7、已知a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -6c +9=0，则abc 的值为___ ___.228. 已知a +b +1=ab +a +b ，则3a -4b 的值为___ ___. 2222二、证明字母相等【例2】已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac =0, ，判断这个三角形的形状．分析:等式两边乘以2, 得2a 2+2b 2+2c 2-2ab -2bc -2ac =0, 配方，得(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(c 2-2ca +a 2)=0,即(a -b )+(b -c )+(c -a )=0. 222由非负数的性质得a-b=0,b-c=0,c-a=0,a=b,b=c,c=a,即a=b=c.故△ABC 是等边三角形.变式练习：1、已知3a 2+b 2+c 2=(a +b +c )，求证：a =b =c 2()44442、已知：a ＋b ＋c ＋d ＝4abcd ，其中a ，b ，c ，d 是正数，求证：a=b=c=d。
配方法的应用含答案
（1）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质列式求出 x、y 的值，然后代入代数式计算即可；
（2）先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出 a、b 的值， 然后利用三角形的三边关系即可求解．
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=（a+2）2-9.故选 D．
3. 设 A＝2a+3，B＝a2-a+7，则 A 与 B 的大小关系是（ ）
A. A＞B
B. A＜B
C. A≥B
D. A≤B
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及整式的加减，配方法的理论依据是公式
a2±2ab+b2=（a±b）2，通过作差法和配方法比较 A 与 B 的大小．
D. (a＋2)2－9
【答案】D
【解析】【分析】
此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改
变式子的值．若二次项系数为 1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数
不为 1，则可先提取二次项系数，将其化为 1 后再计算．
【解答】
解：a2+4a-5
=a2+4a+4-4-5
配方法的应用
一、选择题
1. 不论 x、y 为什么实数，代数式
的值（ ）
A. 总不小于 2 B. 总不小于 7 C. 可为任何实数 D. 可能为负数
【答案】A
【解析】[分析]
把代数式 x2+y2+2x-4y+7 根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解．
[详解]
x2+y2+2x-4y+7=（x+1）2+（y-2）2+2≥2，
北师大版九年级数学上思维特训(五)含答案：配方法的妙用
思维特训(五) 配方法的妙用1．配方法是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法，如能灵活运用，可以得到多种配方形式：①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(a －b )2＋2ab ；②a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝(a －b )2＋3ab ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫32b 2；③a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ac ＝12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]． 2．配方的方法技巧：配方的目标是出现完全平方式，有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式．常用以下三种形式：(1)由a 2＋b 2配上2ab ，(2)由2ab 配上a 2＋b 2，(3)由a 2±2ab 配上b 2.同一个式子可以有不同的配方法和配方结果．类型一 完全平方式1．若4x 2＋kxy ＋y 2表示一个完全平方式，则k 的值为( )A ．4B ．±4C ．±8D ．82．已知9x 2＋18(n －1)x ＋18n 是完全平方式，求常数n 的值．3．若x 2－6x ＋1＝0，求x 2＋1x 2－1的值．4．已知a ，b ，c 为整数，且满足a 2＋b 2＋c 2＋3<ab ＋3b ＋2c ，求(1a ＋1b ＋1c)abc 的值．类型二 最大(小)值5．已知多项式p ＝a 2＋2b 2＋2a ＋4b ＋5，则p 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．46．多项式－x 2－12x ＋14取得最大值时，x 的值为( ) A ．－14 B ．－12 C.12 D.147．无论x 取何值，二次三项式－3x 2＋12x －11的值都不超过________．8．对关于x 的二次三项式x 2＋4x ＋9进行配方得x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n .(1)求m ，n 的值；(2)当x 为何值时，x 2＋4x ＋9有最小值？最小值是多少？9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4.∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4.(1)求代数式m2＋m＋4的最小值；(2)求代数式4－x2＋2x的最大值；(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成．如图5－S－1，设AB＝x m，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？图5－S－1类型三非负数的和为010．已知a，b，c满足a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17，则a＋b＋c的值等于() A．2 B．3 C．4 D．511．已知4x2－4x＋1＋3y－2＝0，求x＋y的值．12．若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状．13．已知代数式(x－a)(x－b)－(x－b)(c－x)＋(a－x)(c－x)是一个完全平方式，试问以a，b，c为三边长的三角形是什么三角形？详解详析1．B [解析] 若4x 2＋kxy ＋y 2表示一个完全平方式，则可以配成(2x ±y )2的形式，则k ＝±4.2．解：根据题意，得18(n －1)＝±2×3×18n .化简，得n －1＝±2n .两边平方，得n 2－2n ＋1＝2n ，解得n ＝2± 3.3．解：∵x 2－6x ＋1＝0，∴x －6＋1x＝0， ∴x ＋1x＝6， 两边平方，得x 2＋2·x ·1x ＋1x 2＝36， ∴x 2＋1x 2＝36－2＝34， ∴x 2＋1x 2－1＝34－1＝33. 4．解：由a ，b ，c 均为整数，a 2＋b 2＋c 2＋3<ab ＋3b ＋2c ，得a 2＋b 2＋c 2＋3≤ab ＋3b ＋2c －1，∴4a 2＋4b 2＋4c 2＋12≤4ab ＋12b ＋8c －4，(4a 2－4ab ＋b 2)＋(3b 2－12b ＋12)＋(4c 2－8c ＋4)≤0，(2a －b )2＋3(b 2－4b ＋4)＋4(c 2－2c ＋1)≤0，(2a －b )2＋3(b －2)2＋4(c －1)2≤0，∴2a －b ＝0，b －2＝0，c －1＝0，解得a ＝1，b ＝2，c ＝1，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c abc ＝254. 5．B [解析] p ＝a 2＋2b 2＋2a ＋4b ＋5＝(a ＋1)2＋2(b ＋1)2＋2≥2.故选B.6．A [解析] －x 2－12x ＋14＝－(x ＋14)2＋516， ∵－(x ＋14)2≤0，∴－(x ＋14)2＋516≤516， ∴当x ＝－14时，多项式－x 2－12x ＋14取得最大值． 故选A.7．1 [解析] ∵－3x 2＋12x －11＝－3(x 2－4x ＋4)＋12－11＝－3(x －2)2＋1≤1，∴无论x 取何值，二次三项式－3x 2＋12x －11的值都不超过1.8．解：(1)∵x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n ＝x 2＋2mx ＋m 2＋n ，∴2m ＝4，m 2＋n ＝9，解得m ＝2，n ＝5.(2)∵m ＝2，n ＝5，∴x 2＋4x ＋9＝(x ＋m )2＋n ＝(x ＋2)2＋5，∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋9有最小值，最小值是5.9．解：(1)m 2＋m ＋4＝(m ＋12)2＋154. ∵(m ＋12)2≥0，∴(m ＋12)2＋154≥154， 则代数式m 2＋m ＋4的最小值是154.(2)4－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋5.∵－(x －1)2≤0，∴－(x －1)2＋5≤5，则代数式4－x 2＋2x 的最大值为5.(3)由题意，得花园的面积是x (20－2x )＝－2x 2＋20x ，∵－2x 2＋20x ＝－2(x －5)2＋50，－2(x －5)2≤0，∴－2(x －5)2＋50≤50，∴－2x 2＋20x 的最大值是50，此时x ＝5，则当x ＝5时，花园的面积最大，最大面积是50 m 2.10．B [解析] 由a 2＋2b ＝7，b 2－2c ＝－1，c 2－6a ＝－17得a 2＋2b ＋b 2－2c ＋c 2－6a ＋11＝0，∴(a －3)2＋(b ＋1)2＋(c －1)2＝0，∴a ＝3，b ＝－1，c ＝1，∴a ＋b ＋c ＝3.故选B.11．解：4x 2－4x ＋1＋3y －2＝0，即(2x －1)2＋3y －2＝0.∵(2x －1)2≥0，3y －2≥0，∴2x －1＝0且3y －2＝0，∴x ＝12，y ＝23， 则x ＋y ＝12＋23＝76. 12．解：由已知条件可把原式变形为(a －3)2＋(b －4)2＋(c －5)2＝0.∵(a －3)2≥0，(b －4)2≥0，(c －5)2≥0，∴a －3＝0，b －4＝0，c －5＝0，即a ＝3，b ＝4，c ＝5，故△ABC 为直角三角形．13．解：原式＝x2－(a＋b)x＋ab＋x2－(b＋c)x＋bc＋x2－(a＋c)x＋ac＝3x2－(2a＋2b＋2c)x＋ab＋bc＋ac，∵结果为完全平方式，即Δ＝(2a＋2b＋2c)2－4×3(ab＋bc＋ac)＝0，∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，即2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0，∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，即a＝b＝c，则以a，b，c为三边长的三角形是等边三角形．精品Word 可修改欢迎下载。
人教版 初二数学 竞赛专题：配方法(包含答案)
人教版 初二数学 竞赛专题：配方法（含答案）【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ 【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12【例3】 已知152a b c +-=-， 求a + b + c 的值.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.能力训练1=_________.2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小. 6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1 BC、 D、8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5 解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数.(1) 若120n x x x ⋅⋅⋅=L 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<L ，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？间数（个）yx0 50 100540990 单价（元）答案例 1 10 提示：x =5-y 代入z 2=xy +y −9，然后配方.例2 A 提示：原式=3(a 2+b 2+c 2)−(a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ).例 3 a+b+c =20 提示：将等式整理，得(a −1−2√a −1+1)+(b −2−4√b −2+4)+12(c −3−6√c −3+9)=0即(√a −1−1)2+(√b −2−2)2+12(√c −3−3)2=0例 4 原式=44⋯44 ⏟ n+188⋯88⏟ n+1+1=44⋯44 ⏟ n+100⋯00⏟ n+1+88⋯88⏟ n+1+1=4×11⋯11 ⏟ ×n+110n+1 +8×11⋯11 ⏟n+1+1=4()2211111111119111118111113611111211111611111n n n n n n ++++++⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯++⨯+=⨯+⨯+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L L L 12312312312312314243 例5 已知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数，事实上，设住S 层的人乘电梯，而住t 层的人直接上楼，S ＜t ，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意总分减少.设电梯停在第x 层，在第一层有y 人没有乘电梯而直接上楼，那么不满意总分为： ()()()31233312122S x y x y =+++-++++++++--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦L L L=()()()()()333343121222x x y y x y x y ⨯--+----++=()222102231684x y x y y -++++ =()221021215180306848y x y y +⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭=()2210212631631648y x y +⎛⎫-+-+≥ ⎪⎝⎭又当x=27，y=6时，=316S 最小值.故当电梯停在第27层时，总分最小，最小值为316分.例6 若2n 19n 91-+为完全平方数，则()24n 19n 91-+也是完全平方数.设()224n 19n 91=m -+（m 为自然数）配方得()222n 193=m -+，0 50 100单价（元）∴（m+2n-19）（m-2n+19）=3于是219=3219=1219=1219=3m n m n m n m n +-+--+-+⎧⎧⎨⎨⎩⎩或 解得：=2=2=10=10m m n n ⎧⎧⎨⎨⎩⎩或故当n=9或10时2n 19n 91-+是完全平方数. 能力训练1.4+ 2. 0 3. 6 4.5. -3，-2, 56. B7. C8. A 提示：()()()222x y z=a 1b 1c 13π++-+-+-+-大于0 . 9. B 提示：取n=2和3可否定A 、C 、D 、E ，而()224n 4n 4=4n n 1++++，()222n n n 11n <++<+，故2n n 1++不是完全平方数. 10. B11. （x ，y ，z ）=（0,0,0）或（1,1,1） 提示：取倒数. 12. 提示：当n<8时，(22222=01+ab a b =m--，若它是完全平方数，则n 必为偶数.若n=2，则22256265n +=⨯；若n=4，则42256217n +=⨯；若n=6，则6225625n +=⨯；若n=8，则8225622n +=⨯.所以当n ≤8时，2256n +都不是完全平方数.当n>8时，8n 822562(21)n -+=+，若它是完全平方数，则n 821-+为一奇数的平方，设()2n 82121k -+=+（k 为自然数），则()n 10211k k -+=+，由于k 和k+1一奇一偶，∴k=1，于是n 1022-=，故n=11.13. 提示：设a=kb （k 为正整数），则()222124327339k b +==⨯=⨯，解得542428a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 14. 由()222292a b =5093k +⨯，得到2a+b=509k ，b=509k-2a ，代入原式得()224a 511509k 2a =5093k +-⨯，()k 5119k a=2-，因为a 为质数，故有以下情况：⑴当k=1时，5119a==2512-，为质数，b=509k-2a=7. ⑵当k=2时，a=511-18=493=17×29，不为质数，舍去. ⑶当k>2且k 为奇数时，5119k a=k 2-•为质数且k>2，则5119k=12-，此方程无整数解，舍去.⑷当k>2且k 为偶数时，()k a=5119k 2-为质数，且k12>，则511-9k=1，此方程无整数解，舍去.综上所述，a=251，b=7.15. 提示：⑴ y=-9x+1440 （0<x<160）.⑵每周的住宿收入是S 元，则()()22914409144098057600S x x x x x =-+=-+=--+ 当x=80时，57600S =最大元.。
配方法的解题功能
望子成龙春季班初一数学专用资料第三讲：配方法的解题功能一、知识纵横：把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法。
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值，解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛应用。
运用配方法解题的关键是恰当的“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式。
二、例题分析例1、（1）、多项式52454222-+-++y x y xy x 的最小值是多少？此时y x ,的值分别是什么？（2）、已知有理数z y x ,,满足)(213222z y x z y x ++=-++， 求、3)(-++z y x 的值。
例2、如果,32211-=+=-z y x 问、z y x ,,分别为何值时，222z y x ++有最小值，最小值是多少？例3、怎样的整数c b a ,,满足不等式： .233222c b ab c b a ++≤+++例4、求方程21714222=+-n mn m 的自然数解。
例5、已知z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值。
三、基础巩固：1、若,03)(2222=+++-++z y x z y x 则=-++xyz z y x 3433 ，2、若,3,22222=-=-c b b a 则=---++222222444a c b c b a c b a ，3、若z y x ,,满足,5=+y x ,92-+=y xy z 那么=++z y x 32 ，4、两个多项式之积是,32422+++-b a b a 则这两个多项式分别是：、 ， 5、已知,052422=+--+y x y x 则12---+y x y x 的值是 。
(完整版)初中数学竞赛专题选讲-配方法(含答案)
初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。
配方法因式分解例题及答案
配方法因式分解例题及答案引言在代数学中，因式分解是一种将多项式表达式分解为多个乘积的过程。
因式分解在代数方程、多项式简化和多项式求解中起着重要的作用。
其中一种常见的因式分解方法是配方法。
配方法通过寻找两个数的乘积等于首项和末项乘积，并将多项式进行重写，使得其能够进行因式分解。
本文将介绍配方法因式分解的基本原理，并提供一些例题及其详细的解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一方法。
配方法因式分解的基本原理配方法的核心思想是通过适当的变换，将多项式转化为可被因式分解的形式。
一般来说，配方法适用于满足以下条件的多项式：1.多项式为二次多项式，即其中包含一个二次项（二次项的最高次数为2）。
2.多项式的首项和末项可以进行因式分解。
基于上述条件，配方法的基本步骤如下：1.把多项式写成ax2+bx+c的形式，其中a、b、c为常数。
2.计算并确定ac的因子对，使得其乘积等于ac的值，同时求出b的值。
3.将b分解为两个数的和，这两个数就是求得的因子对的一部分。
通过将多项式进行变换，将其转化为可分解的形式。
4.使用因子分解的方式将多项式进行分解。
下面将通过例题更详细地介绍配方法的步骤。
例题1将多项式2x2+5x+3进行因式分解。
解答：首先，我们可以看到这个多项式满足配方法的条件：是一个二次多项式，并且首项和末项可以进行因式分解。
按照配方法的步骤，我们依次进行如下计算：1.将多项式写成ax2+bx+c的形式。
给定多项式为2x2+5x+3，所以a=2, b=5, c=3。
2.计算ac的因子对，并求出b的值。
ac=(2)(3)=6，因子对有(1,6)和(−1,−6)，而b=5。
3.将b分解为两个数的和。
由于(1,6)是6的一个因子对，我们可以将5分解为1+4。
4.进行变换，将多项式转化为可分解的形式。
将2x2+5x+3变为2x2+1x+4x+3。
5.使用因子分解方法将多项式进行分解。
对2x2+1x+4x+3，我们可以进行分组因式分解，即x(2x+1)+4(2x+1)。
2022中考数学技巧《配方法的应用》专题讲解附练习及答案
解题技巧专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，那么方程可变形为〔 〕A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝232．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是〔 〕A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝－2，x 2＝3 23．用配方法解以下方程：(1)x 2－12x －28＝0； (2)3x 2＋6x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明4．代数式x 2－4x ＋7的最小值为〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．45．关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的选项是〔 〕A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值16．代数式－2x 2＋4x －18.(1)用配方法说明无论x 取何值，代数式的值总是负数；(2)当x 为何值时，代数式有最大值，最大值是多少？◆类型三 完全平方式中的配方7．假设方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，那么k 的值为〔 〕A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或78．多项式9x2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是______________________．◆类型四利用配方构成非负数求值或证明9．x2＋y2＋4x－6y＋13＝0，那么代数式x＋y的值为〔〕A．－1 B．1 C．25 D．3610．a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，请你根据此条件判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案与解析1．3．解：(1)移项得x2－12x＝28，配方得x2－12x＋36＝28＋36，即(x－6)2＝64，开平方得x －6＝±8，即x －6＝8或x －6＝－8，∴原方程的解是x 1＝14，x 2＝－2.(2)移项得3x 2＋6x ＝1，两边除以3得x 2＋2x ＝13，配方得x 2＋2x ＋1＝13＋1，即(x ＋1)2＝43，开平方得x ＋1＝±233，即x ＋1＝233或x ＋1＝－233，∴原方程的解是x 1＝－1＋233，x 2＝－1－233.6．解：(1)－2x 2＋4x －18＝－2(x 2－2x ＋9)＝－2(x 2－2x ＋1＋8)＝－2(x －1)2－16.∵－2(x －1)2≤0，－16<0，∴－2(x －1)2－16＜0，∴无论x 取何值，代数式－2x 2＋4x －18的值总是负数．(2)∵－2x 2＋4x －18＝－2(x －1)2－16，∴当x ＝1时，代数式有最大值，最大值是－16.7．A 8.－1，－9x 2，6x ，－6x ，814x 4 10．解：△ABC 为等边三角形．理由如下：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0，∴a 2＋b 2－2ab ＋b 2＋c 2－2bc ＋a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，c －a ＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．。
华东师大版九年级数学上册22.2.2《配方法教案（含答案）[优秀范文5篇]
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华东师大版九年级数学上册22.2.2《配方法教案（含答案）[优秀范文5篇]第一篇：华东师大版九年级数学上册22.2.2《配方法教案(含答案)2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入，初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m，场地的长和宽分别是多少？设场地的宽为xm，则长为（x+6）m，根据矩形面积为16m,得到方程x（x+6）=16,整理得到x+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境，让学生感受到生活中处处有数学，激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究，获取新知探究如何解方程x+6x-16=0？问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即（x+m）=n（n≥0），运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？（1）（x+3）=252222（2）x+6x+9=25（3）x+6x=16（4）x+6x-16=0 【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式，将x+6x-16=0转化为（x+3）=25的形式，从而求得方程的解.解：移项得：x2+6x=16，两边都加上9即（x+6x+9=16+9, 左边写成完全平方形式，得：（x+3）=25,开平方,得：x+3=±5,（降次）即x+3=5或x+3=-5 解一次方程得：x1=2,x2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空：（1）x+8x+16=（x+4）（2）x-x+2222222222622）,使左边配成x+bx+（b2）2的形式，得：2112=（x-）422（3）4x+4x+1=（2x+1）例2 列方程：（1）x+6x+5=0（2）2x+6x+2=0（3）（1+x）+2（1+x）-4=0 2【教学说明】教师可让学生自主完成例题，小组展示，教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：（1）把方程化为一般形式ax+bx+c=0；（2）把常数项移到方程的右边；（3）方程两边同时除以二次项系数a；（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（5）此时方程的左边是一个完全平方形式，然后利用直接开平方法来解.三、运用新知，深化理解1.用配方法解下列方程：（1）2x-4x-8=0（2）x-4x+2=0（3）x-22221x-1=0 22.如果x-4x+y2+6y+z 2+13=0，求（xy）z的值.【教学说明】学生独立解答，小组内交流，上台展示并讲解思路.四、师生互动，课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业：从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程.第二篇：配方法含答案配方法1、方程6x2=18的根是__________；已知2（x－3）2=72，则x 的值是__________.2、若方程x2－6x＋5=0可化为（x＋m）2=k的形式，则m=__________，k=__________．3、一元二次方程x2－2x－3=0的根是__________．1、；9或－32、－3；43、x1=3，x2=－14、用配方法解方程x2－4x＋2=0，下列配方正确的是（）A．（x－2）2=2B．（x－2）2=6C．（x－2）2=－2D．（x－2）2=－65、不论x、y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（）A．总不小于2B．总不小于7C．可为任何实数D．可能为负数6、将二次三项式x2＋6x＋7进行配方，正确结果是（）A．（x＋3）2＋2B．（x＋3）2－2C．（x－3）2＋2D．（x－3）2－27、用配方法解下列方程：（1）（2）5x2－18=9x7、（1）解：（2）解：8、用配方法证明：无论x取何实数，代数式2x2－8x＋18的值不小于108、证明：2x2－8x＋18=2（x2－4x）＋18=2（x－2）2＋18－8=2（x－2）2＋10．不论x为何实数，（x－2）2≥0，∴2（x－2）2＋10≥10．即无论x取何实数，代数式2x－8x＋18的值不小于10．29、已知a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，试求9、∵a是方程x2－2008x＋1=0的一个根，∴a2－2008a＋1=0, a2－2007a=a-1, a2＋1=2008a 的值且∴．10、一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少？10、解：设这次会议到会的人数是x人.则x2－x=132∴，∴x1=12，x2=－11<0（舍去）故这次会议到会的人数是12人．公式法1、下列方程有实数根的是（）A．2x2＋x＋1=0B．x2－x－1=0 C．x2－6x＋10=0D．x2－＋1=02、若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>1B．k≥－1 C．k＜1D．k＞1且k≠0答案：1、B2、A例2、用公式法解下列方程．（1）2x2－9x＋8=0解：b2－4ac=17（2）9x2＋6x＋1=0解：b2－4ac=0，x1=x2=（3）（x－2）（3x－5）=1解：3x2－11x＋9=0b2－4ac=13 ．故例3、解方程：.有一位同学解答如下：这里，∴，∴∴x1=，x2=．请你分析以上解答有无错误，如有错误，找出错误的地方，并写出正确的解答.解：有错误，错在常数，而c应为，正确为：原方程可化为：∵ ∴ ∴ ∴例4、m为何值时，方程（2m＋1）x2＋4mx＋2m－3=0．（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根？解：若2m＋1≠0,即m≠,则=（4m）2－4（2m＋1）（2m－3）=4（4m＋3）（1）当4m＋3>0且2m＋1≠0，即m>且m≠时，原方程有两个不相等的实数根．（2）当4m＋3=0即m=时，原方程有两个相等实数根．（3）当4m＋3<0即m<时，没有实数根．例5、若关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k=0有实数根，求k的取值范围．解：（1）当k=0时，原方程可化为－x=0，此方程有实根．（2）由题意得：，解得且k≠0．故：综合（1）（2）得k的取值范围为．例6、求证：不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．证明：∵a=2，b＝3（a－1），c=a2－4a－7．b2－4ac=[3（a－1）]2－4×2（a2－4a－7）=a2＋14a＋65=（a＋7）2＋16≥16>0．故不论a为何实数，方程2x2＋3（a－1）x ＋a2－4a－7=0必有两个不相等的实数根．因式分解法1、方程x2－4x=0的解为__________.2、请你写出一个有一根为0的一元二次方程__________．3、方程x（x＋1）=3（x＋1）的解是（）A．x=－1B．x=3C．x1=－1，x2=3D．以上答案都不对4、解方程（x＋2）2=3（2＋x）最适当的解法是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法5.若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）A．x2＋3x－2=0B．x2－3x＋2=0 C．x2－2x＋3=0D．x2＋3x ＋2=06、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2＋3a－4=0有一个实数根是x=0，则a的值为（）A．1或－4B．1C．－4D．－1或47、用因式分解法解下列方程：（1）（x＋3）2=2x＋6（2）2（5x－1）2=3（1－5x）（3）9（x－2）2=4（x＋1）2（4）（2x－1）2－x2－4x－4=08、用适当的方法解下列方程：（1）x2－8x－9=0（2）（x＋3）（x－3）=（3）x（40－2x）=180（4）x2＋（）x＋=08、（1）解：（x＋1）（x－9）=0x1=－1, x2=9（2）解：∴,（3）解：x2－20x=－90x2－20x＋102=－90 ＋102（x－10）2=10∴x－10=∴，（4）解：（x＋）（x＋）=0∴x1=－，x2=－9、若x2＋xy＋y=14 ①，y2＋xy＋x=28 ②，求x＋y的值9、解：由①＋②得：（x2＋y2）＋2xy＋（x＋y）=42（x＋y）2＋（x＋y）－42=0（x＋y＋7）（x＋y－6）=0∴x＋y=－7或x＋y=6．10、关于x的一元二次方程mx2－（3m－1）x＋2m－1=0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根解：由已知得：解得m=2，∴x=，∴x1=，x2= 故m的值为2，该方程的根为x1=，x2=1.第三篇：华东师大版九年级数学上册24.1《测量》教案解直角三角形24.1 测量【知识与技能】利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法,初步接触直角三角形的边角关系.【过程与方法】使学生经历测量旗杆高度的方法探索、实际测量和计算，归纳、总结出测量高度的不同方法.【情感态度】使学生经历测量过程，从而获得成功的体验，懂得数学来源于实际并用之于实际的道理；培养学生的合作和勇于探索精神.【教学重点】探索测量距离的几种方法.【教学难点】解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握.一、情境导入,初步认识当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高.你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？二、思考探究，获取新知例1 教材100页“试一试”.如图所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC=34°，并已知目高AD为1.5米.现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度.你知道计算的方法吗？解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴AC∶A′C′=BC∶B′C′=500∶1 ∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度.若量得B′C′=acm,则BC=500acm=5am.故旗杆高(1.5+5a)m.【教学说明】利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等.例2为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO=6m,OD=3.4m,CD=1.7m；图(b)中CD=1m,FD=0.6m,EB=1.8m；图(c)中BD=9m，EF=0.2；此人的臂长为0.6m.（1）说明其中运用的主要知识；（2）分别计算出旗杆的高度.【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质.【教学说明】测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度.三、运用新知，深化理解1.已知小明同学身高1.5m，经太阳光照射，在地面的影长为2m，若此时测得一塔在同一地面的影长为60m，则塔高为()A.90m B.80m C.45m D.40m2.如图，A、B两点被池塘隔开，在A、B外任选一点C，连结AC、BC，分别取其三等分点M、N，量得MN=38m，则AB的长为()A.76mB.104mC.114mD.152m 3.在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？4.某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1m长的竹竿竖起时的影长为1.5m,同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9m，留在墙上的影长为2m，求旗杆的高度.【答案】1.C 2.C 3.1.5米 4.8米【教学说明】引导学生独立完成，在黑板上展示，教师点评.四、师生互动，课堂小结这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？【教学说明】小组讨论展示，教师归纳总结.1.布置作业：从教材相应练习和“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.本课时从学生身边所熟悉的测量旗杆的高度入手，通过探究设计各种测量方案，让学生学会利用所学的相似三角形、勾股定理的有关知识来解决问题，经历测量过程从而获得成功的体验，懂得数学来源于生活实际并用之于实际的道理，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力.第四篇：2013-2014学年九年级数学上册 1.2.2 配方法导学案1·2·2配方法（1）学习目标：1、掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义(北师大版)第10讲 用配方法求解一元二次方程(解析版)
第10讲用配方法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用直接开平方法解形如(x ＋m )2＝n (n>0)的方程；2．会用配方法解一元二次方程进行配方及求解；3．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．知识点一、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x 的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.知识点二、配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．考点一：直接开平方法解一元二次方程例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：(1)2490x -=；(2)()221491x +-=．【答案】(1)17x =，27x =-(2)14x =，26x =-【分析】本题考查解一元二次方程：（1）利用直接开平方法求解；（2）先移项，再利用直接开平方法求解．【详解】（1）解：2490x -=，249x =，∴7=±x ，∴17x =，27x =-；（2）解：()221491x +-=，()2125x +=，∴15x +=±，∴14x =，26x =-．【变式1-1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：()219x +=．【答案】12x =，24x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．利用直接开平方法求解即可．【详解】解：13x +=±13x +=或13x +=-∴12x =，24x =-．【变式1-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求x 的值：()24116x -=．【答案】3x =或=1x -【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，方程两边同时除以4，再利用平方根的定义即可求解；【详解】解：24(1)16x -= 2(1)4x ∴-=12x ∴-=或12x -=-，解得3x =或=1x -．【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)()29140x --=；(2)()2215x -=．考点二：直接开平方法解一元二次方程的条件例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程()200mx n m +=≠，若方程有解，则必须（）A ．0n =B ．,m n 同号C ．n m 是的整数倍D ．,m n 异号【变式2-1】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x 的方程（）A ．1m >B ．1m >-C ．m 1≥D ．1m ≥-【答案】D【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键．【详解】解：∵关于x 的方程()221x m -=+有实数根，∴10m +≥，解得：1m ≥-，故选：D ．【变式2-2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是()A ．2410x x -+=B ．2210x x --=C ．240x x -=D ．240x -=【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如2()(0)x a b b +=≥的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可．【详解】解：选项A ，B ，C 方程左边均不能化为完全平方式，故选项A ，B ，C 不能用直接开平方法求解；由240x -=得24x =，故选项D 能用直接开平方法求解．故选：D ．【变式2-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程()2510x -+=的根的情况是（）A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【答案】D【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断．【详解】解：将原方程可变形为：()251x -=-，∵()250x -≥，∴原方程没有实数根，故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况．利用平方的非负性进行判断是解决此题的简便方法．考点三：直接开平方法解一元二次方程的复合型例3.（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程：()()2231423x x -=+【变式3-1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程：311-=-x x【变式3-2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：910x x --=【变式3-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：325x x -=+考点四：用配方法配二次项系数为1的一元二次方程例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程221x x -=，配方后得到的方程是（）A ．2(1)2x -=B ．()212x +=C ．2(1)0x +=D ．2(1)0x -=【答案】A【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平方式即可得出答案．【详解】解：∵221x x -=，∴22111x x -+=+，即2(1)2x -=，故选：A ．【变式4-1】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程28100x x -+=配方后得到的方程是（）A ．()2854x +=B ．()2854x -=C ．()246x +=D ．()246x -=【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．【详解】解：28100x x -+=，移项得：2810x x -=-，配方得：28161016x x +=-+-，整理得：()246x -=，故选：D ．【变式4-2】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【答案】B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：2610x x --=移项得：261x x -=配方得：26919x x -+=+即()2310x -=故选：B【变式4-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程2410x x -=+时，配方结果正确的是（）A ．()225x +=B ．()225x -=C ．()223x -=D ．()223x x +=【答案】A【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．【详解】解：∵2410x x -=+，∴241x x +=，∴24414x x ++=+，即()225x +=，故选：A ．考点五：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例5.（2024·广东东莞·模拟预测）解方程：224x x -=考点六：用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程24810x x --=时，变形正确的是（）A ．()2514x -=B ．()2215x -=C ．()215x -=D ．()2512x -=【答案】A【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．【详解】解；24810x x --=2481x x -=A ．2533416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．2541416x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C ．252724x ⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．252924x ⎛⎫-=⎪⎝⎭A ．()2932x -=B ．()2934x -=C ．()29232x -=D ．()29234x -=A ．221339x ⎛⎫-=⎪⎝⎭B ．2203x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．21839x ⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．211039x ⎛⎫-=⎪⎝⎭考点七：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例7.（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：22210x x -++=．(1)2280x-=．(2)23620x x-+=(1)242x x+=；(2)27 304x x--=；(3)2483x x-=-；(4)2441018x x x++=-答问题：______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．考点八：配方法的应用例8.（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式245x x -+有最值，其最值为．【答案】小1【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法把原代数式变形为()221x -+，根据()220x -≥得到()2211x -+≥，据此可得答案．【详解】解：245x x -+()2441x x =-++()221x =-+，∵()220x -≥，∴()2211x -+≥，∴当2x =时，()221x -+有最小值1，∴245x x -+有最小值，最小值为1，故答案为：小，1．【变式8-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于x 的一元二次方程21()0a x c k -+=与22()0a x c k -+=称为“同族二次方程”．例如：25(6)70x -+=与26(6)70x -+=是“同族二次方程”．现有关于x 的一元二次方程2(2)(4)80m x n x ++-+=与22(1)10x -+=是“同族二次方程”，则代数式22024mx nx ++的最小值是．【答案】2019【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m 与n 的方程组，求出方程组的解得到m 与n 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．【详解】解：2(2)(4)80m x n x ++-+= 与22(1)10x -+=是“同族二次方程”，22)(11(2)(4)8()2m x x n x m ∴=+-++-++，()()22(2)(4)83222x m x n m m x m x ∴++-+=+++-+∴2(2)438m n m -+=-⎧⎨+=⎩，解得510m n =⎧⎨=-⎩，22024mx nx ∴++25102024x x =-+25(1)2019x =-+，则代数式22024mx nx ++能取的最小值是2019．故答案为：2019【变式8-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当x =__________时，多项式2612x x -+的最小值为__________．（2）当x =__________时，多项式223x x -+-的最大值为__________．（3）当x 、y 为何值时，多项式222461219x xy y y -+-+取最小值？并求出这个最小值．【答案】（1）3，3（2）1，2-①当3m =时，4m 24m +；②当2m =时，4m 24m +；③当3m =-时，4m 24m +；（2）论证，无论m 取什么值，判断4m 与24m +有怎样的大小关系?试说明理由；（3）拓展，试通过计算比较．22x +与2246x x ++的大小．【答案】（1）<，=，<；（2）总有244m m ≤+，理由见解析；（3）222246x x x +≤++【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．（1）当3m =时，当2m =时，当3m =-时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；（2）根据22(4)4(2)0m m m +-=-≥，即可得出无论m 取什么值，判断4m 与24m +有244m m ≤+；（3）拓展：先求出2222246)(2)x x x x +---=-+，再判断2(2)x -+的正负，即可做出判断．【详解】解：（1）①当3m =时，412m =，2413m +=，则244m m <+，②当2m =时，48m =，248m +=，则244m m =+，③当3m =-时，412m =-，2413m +=，则244m m <+．故答案为：<；=；<；（2）无论m 取什么值，判断4m 与24m +有244m m ≤+，理由如下：22(4)4(2)0m m m +-=-≥ ，∴无论取什么值，总有244m m ≤+；（3）拓展：222246x x x +---244x x =---2(44)x x =-++2(2)0x =-+≤，故222246x x x +≤++．一、单选题1．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）方程240x -=的解为（）A ．2x =B ．124,4x x =-=C ．122,2x x =-=D ．4x =【答案】C【分析】本题考查的是利用直接开平方法解方程，把方程化为24x =，再解方程即可．【详解】解：∵240x -=，∴24x =，解得：12x =-，22x =，故选C2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用配方法解方程2410x x --=时，配方结果正确的是（）A ．()212x -=B ．()223x -=C ．()225x -=D ．()225x +=【答案】C【分析】本题考查配方法，根据一除，二移，三配，四变形的步骤进行配方即可．【详解】解：2410x x --=，∴241x x -=，∴2445x x +=-，即()225x -=．故选：C3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（）A ．22x =-．解方程，得x =B ．()224x -=，解方程，得22,4x x -==C ．()2419x -=，解方程，得()1271413,,44x x x -=±==D ．()22325x +=，解方程，得12235,1,4x x x +=±==-A ．小于0B ．等于0C ．大于0D ．无法确定【答案】C【分析】本题主要考查了非负数的性质．熟练掌握整式的加减，完全平方式与配方法，非负数的性质，是解题的关键．根据完全平方式利用配方法把M N -的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可．【详解】M N -()22a a a -=--222a a =-+()211a =-+，∵()210a -≥，∴()2111a -+≥，∴M N -大于0，故选：C ．5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程2(1)2(0)a x a a -=≠，下列判断正确的是()A ．方程的根与a 的值有关B ．方程有一个正根，一个负根C ．方程有两个负根D ．方程有两个正根6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程22230x x --=时，配方后方程变形为．7．（23-24九年级上·吉林松原·期中）方程11x k +=-有实数根，则k 的值可以是（写出一个即可）．【答案】2（答案不唯一）．【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程-直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程-直接开平方法，进行计算即可解答．【详解】解： 方程()211x k +=-有实数根，10k ∴-≥，1k ∴≥，则k 的值可以是2k =．故答案为：2（答案不唯一）．8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）用配方法解一元二次方程：23648x x -=．第一步化二次项系数为1，得，方程两边同时加，配方得．【答案】2216x x -=1()2117x -=【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟记相关步骤即可求解．【详解】解：化二次项系数为1得：2216x x -=；配方，方程两边同时加1得：22117x x -+=；∴()2117x -=，故答案为：①2216x x -=；②1；③()2117x -=9．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）定义新运算：对于任意实数m ，n ．都有2m n m n n ⊗=+，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：232(3)2220-⊗=-⨯+=．根据以上知识解决问题：若420x ⊗=，则x 的值是．【答案】12x =，22x =-【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出24420x +=，解之可得答案．【详解】解：420x ⊗= ，24420x ∴+=，即2416x =，解得：12x =，22x =-．故答案为：122,2x x ==-．10．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数a ，b ，新定义一种运算“※”：a ※()()222,2.a b a b b b a a b ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩．若x ※25=，则x 的值为．【答案】3-【分析】本题考查了实数新运算及解一元二次方程一直接开平方法，分两种情况： 2x <和 2x ≥时分别进行计算即可解答，应用分类思想分两种情况讨论是解题的关键．【详解】分两种情况：11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：x+-=(1)()22250(2)2420--=x x12．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程：(1)()24190x --=；(2)2240x x +-=．(1)2410x x --=；(2)()221160x --=．(1)()419x x x -=-；(2)26061x x -=-．∴35x -=±∴18x =，22x =-．15．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．【阅读材料】我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．例如：求代数式224x x +-的最小值．2221()(451)225x x x x x +-=++-=+-，可知当=1x -时，224x x +-有最小值，最小值是5-．再例如：求代数式2364x x -+-的最大值．2223(361)(4321431)x x x x x -+-=--+-+=---，可知当1x =时，2364x x -+-有最大值．最大值是1-．(1)求2(16)x -+的最小值为_____，243+-x x 的最小值为_____；(2)若多项式22242024M a b a b =+-++，试求M 的最小值；(3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最大面积．【答案】(1)6；7-(2)2019(3)围成的菜地的最大面积是250m 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．（1）由2(16)x -+，可知1x =时，2(16)x -+有最小值6；由227(4)32x x x +-=+-，可知当2x =-时，代数式243+-x x 有最小值，最小值为7-；（2）根据22242024M a b a b =+-++221220)1(9()a b =-+++，求解作答即可；（3）设垂直于墙的一边长为x 米，则另一边长为(202)x -米，依题意得：222022022550()()S x x x x x =-=-=--+，然后求解作答即可．【详解】（1）解：∵2(16)x -+，∴当1x =时，2(16)x -+有最小值6；∵22243444327()()x x x x x +-=++--=+-，∴当2x =-时，代数式243+-x x 有最小值，最小值为7-，故答案为：6，7-；（2）解：∵22242024M a b a b =+-++222144142024()()a a b b =-++++--+221220)1(9()a b =-+++，∴当12a b ==-，时，M 有最小值，最小值为2019；（3）解：设垂直于墙的一边长为x 米，则另一边长为(202)x -米，依题意得：2222022022102550()()()S x x x x x x x =-=-=--=--+，∴当5x =时，S 有最大值，最大值是50，∴围成的菜地的最大面积是250m ．。
初中数学配方法习题及答案
初中数学配方法习题及答案初中数学是中学数学的基础，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段。
配方法是初中数学中的一种解题方法，通过配方的转换和运用，可以简化问题，提高解题效率。
本文将介绍一些常见的初中数学配方法习题及答案，帮助学生更好地掌握这一解题技巧。
一、配方法的基本概念配方法是一种通过转换问题的形式，使其更易于解决的数学解题方法。
它主要应用于一元二次方程、三角函数等数学题型中。
通过合理的配方转换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
二、一元二次方程的配方法1. 配方法求解一元二次方程的根对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，可以通过配方法求解其根。
首先，将方程两边移项，使其等于零。
然后，根据配方法的原理，将方程转化为一个完全平方的形式。
最后，通过求解完全平方形式的方程，得到一元二次方程的根。
例如，对于方程x^2 - 6x + 8 = 0，首先将其转化为(x - 3)^2 - 1 = 0的形式。
然后，通过求解(x - 3)^2 - 1 = 0，得到x = 2和x = 4两个根。
2. 配方法求解一元二次方程的参数在一些问题中，需要求解一元二次方程的参数。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的一元二次方程，从而求解参数的值。
例如，已知一元二次方程的根为x = 2和x = 3，求解方程的参数。
首先，根据配方法的原理，将方程转化为(x - 2)(x - 3) = 0的形式。
然后，根据(x - 2)(x - 3)= 0，得到方程的参数为a = 1，b = -5，c = 6。
三、三角函数的配方法1. 配方法求解三角函数的值对于一些特殊的三角函数值，可以通过配方法求解。
例如，已知sinx = 1/2，求解x的值。
通过配方法，可以将问题转化为一个已知的三角函数值的问题，从而求解x的值。
例如，已知sinx = 1/2，可以通过配方法将问题转化为sin^2x + cos^2x = 1的形式。
专题6 巧用配方法求值（含答案）
专题6 巧用配方法求值知识解读将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手段之一.应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧.掌握以下基本等式：（1）()2222a ab b a b ±+=±；（2）()2222222a b c ab bc ac a b c +++++=++；（3）()()()22222212a b c ab bc ac a b b c c a ⎡⎤++±±±=±+±+±⎣⎦； （4）222424b ac b ax bx c a x a a -⎛⎫++=++⎪⎝⎭（5）当0a >时，()2a a =，()22a b a bab +=+-.培优学案典例示范例1已知实数x ，y 满足2330x x y ++-=，求x y +的最大值.【提示】将y 用含x 的代数式表示，再代入x y +，得到关于x 的二次三项式，运用配方法求最大值【解答】跟踪训练若实数a ，b 满足2310b b a -++=，求满足条件的a 的最大整数值。
【提示】将a 用含b 的式子表示，然后配方求解。
【解答】例2已知112015a x =-，122015b x =+，132015c x =+，求222a b c ab bc ca ++---的值.【提示】将222a b c ab bc ca ++---配方成()()()22212a b b c c a ⎡⎤-+-+-⎣⎦. 【解答】跟踪训练1.已知2210x y xy x y +++-+=，求22x y -的值.【提示】已知等式具有2220a b c ab bc ca ++++-=的特点，自然想到配方。
八年级数学竞赛例题专题讲解25：配方法 含答案
专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2222()a ab b a b ±+=±2、2a b ±=3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.例题与求解【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质； (1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】 已知152a b c +--， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想2144448889(66661)n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.几个有趣的结论： (1) 21444488889(66661)n nn+=+(2) 21111155556(33331)n nn+=+这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．(全国初中数学联赛试题)解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.能力训练1=_________.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.(全国通讯赛试题)6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1BC 、D 、(全国初中数学联赛试题)8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数. (1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩ (苏州市竞赛试题)12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？(全国初中数学联赛试题)13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值. (天津市竞赛试题)13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.(全国初中数学联赛试题)14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y 与房间单价x 之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y 与x 之间的函数关系式(0＜x ＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。
有关《配方法》培优、拔高(竞赛)专题复习讲义
有关《配方法》培优、拔高（竞赛）专题复习讲义一、中考考点梳理：把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧.配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2222()a ab b a b ±+=±2、2a b ±=3、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2222221[()()()]2a b c ab bc ac a b b c a c ++---=-+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2a = 能联想起配方法.(2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式.二、典型例题精选【例1】 已知实数x ，y ，z 满足25,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值.【例2】 若实数a ，b ， c 满足2229a b c ++= ，则代数式222()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( )A 、27B 、18C 、15D 、12解题思路：运用乘法公式 ，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1) 非负数的最小值为零；(2) 有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】 已知152a b c +--， 求a + b + c 的值. 解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，常常用到配方法.【例4】 证明数列49，4489， 444889，44448889，…的每一项都是一个完全平方数.解题思路：2222497,448967,444889667,444488896667==== ，由此可猜想2144448889(66661)n n+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ ，只需完成从左边到右边的推导过程即可.几个有趣的结论： (1) 21444488889(66661)n nn+=+(2) 21111155556(33331)n nn+=+这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个.【例5】 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．解题思路：通过引元，把不满意的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.【例6】 已知自然数n 使得21991n n -+ 为完全平方数，求n 的值.解题思路：原式中n 的系数为奇数，不能直接配方，可想办法化奇为偶，解决问题.三、课后过关自测小练习1=_________.2、已知2222()30a b c a b c ++-+++= ，则3333_________a b c abc ++-=.3、x ，y 为实数，且22422y x xy y ++≤+ ，则x + y 的值为__________.4、当x ＞2，得___________.5、已知224121049m x xy y y =-+++ ，当x =________，y =______时，m 的值最小.6、若22221076,51M a b a N a b a =+-+=+++ ，则M －N 的值 ( )A 、负数B 、正数C 、非负数D 、可正可负7的值为 ( )A 、1BC 、D 、)8、设a ，b , c 为实数，2222,2,2362x a b y b c z c a πππ=-+=-+=-+，则x ，y ，z 中至少有一个值 ( )A 、大于零B 、等于零C 、不大于零D 、小于零9、下列代数式表示的数一定不是某个自然数的平方(其中n 为自然数)的是( )A 、2333n n -+B 、2444n n ++C 、2555n n -+ D 、2777n n -+ E 、2111111n n -+10、已知实数a ，b ， c 满足22227,21,617a b b c c a +=-=--=- ，则a + b + c 的值等于 ( )A 、2B 、3C 、4D 、5解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，常从整体考虑并经常用到一下重要命题：设x 1，x 2，x 3,… x n 为实数. (1) 若120n x x x ⋅⋅⋅= 则x 1，x 2，x 3,… x n 中至少有(或存在)一个为零； (2) 若120n x x x +++>，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个大于零； (3) 若120n x x x +++<，则x 1，x 2，x 3，… x n 中至少有(或存在)一个小于零.11、解方程组222222212121z x z x y x y z y⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩12、能使2256n+ 是完全平方数的正整数n 的值为多少？13、已知b a >，且()()243aa b a ab b b+++-+= ，a ，b 为自然数，求a ，b 的值.13、设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+ ，求a ，b 的值.14、某宾馆经市场调研发现，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.(1) 根据图象求y与x之间的函数关系式(0＜x＜160)；(2) 从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？。
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配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用．
运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．
例题求解
【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=
-+-+，那么(x —yz)2的值为 ． (北京市竞赛题) 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手．
【例2】 若32211-=+=
-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．2
9 D ．6 (武汉市选拔赛试题)
思路点拨 通过引参，设k z y x =-=+=-3
2211，把x ，y ，z 用k 的代数式表示，则222z y x ++转化为关于k 的二次三项式，运用配方法求其最小值．
【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++．
(匈牙利数学奥林匹克试题)
思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试．
【例4】 求方程m 2－2mn+14n 2
=217的自然数解． (上海市竞赛题)
思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法．
【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 展开整理成关于x(或y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值，并求出最小值存在时的x 、y 的值．
【例6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)
面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．
(2温州市中考题)
思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm ，则BE=DG=(20－x)m ，四边形E FGH 的面积可用x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值．
注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式．
配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质：
(1)若有限个非负数的和为0，则每一个非负数都为零；
(2)非负教的最小值为零．
学历训练
1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ．
(2江西省中考题)
2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
3．分解因式：32422+++-b a b a = ．
4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则x
y y x 23-+的值是（ ） A ．1 B ．223
+ C ．223+ D ．232
6．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )
A ．0
B ．1
C ． 2
D ．3
(全国初中数学竞赛题)
7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 ( “希望杯”邀请赛试题)
8．化简312213242--+为( )
A ．5－43
B ． 43－l
C ．5
D ． 1 (2003年天津市竞赛题)
9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．
(江苏省竞赛题)
10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3
262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值． (第12届“希望杯”邀请赛试题)
11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧
=+-+-=0223362z xy y x y x ，则z y x +2的值为 ． 12．若52
1332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为 ． 13．x 、y 为实数，且y xy y x 2422
2
+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ． 14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为 ．
15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )
A ．4
B ．0
C ．2
D ．－2
(重庆市竞赛题)
16．设0.>>b a ，ab b a 322=+，则b
a b a -+的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 (江苏省竞赛题)
17．若 a 、b 、c 、d 是乘积为l 的4个正数，则代数式cd bd bc ad ac ab d c b a +++++++++2222 的最小值为( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．10
18．若实数a 、b 、c 满足9222=++c b a ，代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是( )
A ．27 D ．18 C ．15 D ．12
19．已知x+y+z=1，求证：3
1222≥++z y x ． (苏奥尔德莱尼基市竞赛题)
20．已知a>b ，且243)()(=+-+++b
a b ab a b a ，a 、b 为自然数，求a 、b 的值． 21．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足
b a a =+22
12，c b b =+22
12，a c c =+22
12，试求 △ABC 的面积． 22．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件．如果获利润最大的产晶是第k 档次(最低档次为第一档次，档次依次随质量增加)，求k 的值． (山东省竞赛题)。