探究性问题两个类型

探究性问题两个类型

探究性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类问题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历一个发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，高考中主要考查考生对条件和结论的探索、猜想、归纳，以及对存在性问题的探索、判断。

例13、2015年四川高考（理科20）如图，椭圆E:x2

a2+y2

b2

=1（a>b>0）

的离心率是√2

2

，过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2√2．Ⅰ求椭圆E的方程；

Ⅰ在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得∣QA∣

∣QB∣=∣PA∣

∣PB∣

恒成立? 若

存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解法分析】第Ⅱ小题其实是一个定点问题，是属于对条件的探索。可以先利用两个特殊位置，即直线与x轴平行和垂直的两个位置，利用所需要满足的恒等式为条件，来确定该定点的坐标。然后，再将恒等式中的距离比转化为相应点的坐标的绝对值的比，从而达到证明该定点能使所满足的等式恒成立。

类型1——图形形状探究

例14、2015全国Ⅱ卷（理科20）已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

Ⅰ证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

Ⅰ若l过点￿m

,m￿，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?若

3

能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．

【解法分析】第Ⅱ小题是判断是否存在满足条件的平行四边形，可用平行四边形判定定理即对角线互相平分的四边形为平行四边形为条件，转化为对角线的中点重合，即坐标相等。然后，通过方程思想进行求解。

类型2——两直线位置关系探究

例15、2017全国Ⅲ卷（文科20）在直角坐标系xOy 中，曲线y =x 2+mx −2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为（0，1）．当m 变化时，解答下列问题：

Ⅰ 能否出现AC ⅠBC 的情况?说明理由；

Ⅰ 证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．

【解法分析】第Ⅰ小题判断两直线是否垂直，可将问题转化为两直线的斜率乘积为-1，或转化为向量0=⋅BC AC 进行判断。然后，再进一步转化到方程思想和韦达定理进行求解。

解：(1)设，则是方程的根， ()()12,0,,0A x B x 12,x x 220x mx +-=所以，

1212,2x x m x x +=-=-则，

()()1212,1,112110AC BC x x x x ⋅=-⋅-=+=-+=-≠

所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况。

（2）解法1：过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心

，

()

00,E x y 则，由得，化

12022x x m x +==-EA EC =()2

2

22

1212100+122x x x x x y y +⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭简得，所以圆E 的方程为，

1201122x x y +==-2222

1112222m m x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭令得，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为

，

0x =121,2

y y ==-()123

--=所以

所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值 解法2：设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，

由可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得， 122x x =-122OD OC OA OB x x ===又，所以，

1OC =2OD =所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为，为定值.

3OC OD +=与向量等知识的交汇

由于向量具有代数形式与几何形式的双重身份，因此，平面向量与平面解析几何交汇的问题就自然联系在一起了。平面向量与解析几何备受新高考命题的青睐，其涉及的的问题是以解析几何中的坐标为背景，包括以向量为载体，描述点、线等的位置关系，求曲线的轨迹方程、求参数的取值范围（最值）、探究圆锥曲线的性质等上述六个方面的问题。而解决的关键是以坐标法为主，利用向量数量积的运算及消元法等知识、方法进行转化处理。

例16、2015年四川高考（文科20）如图，椭圆E :x 2a

2

+y 2b 2

=1（a >b >0）的

离心率是

√2

2

，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC

￿￿￿￿￿⃗⋅PD ￿￿￿￿￿⃗=−1．Ⅰ求椭圆E 的方程；

Ⅰ 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存

在常数λ，使得OA

￿￿￿￿￿⃗⋅OB ￿￿￿￿￿⃗+λPA ￿￿￿￿￿⃗⋅PB ￿￿￿￿￿⃗为定值?若存在，求λ

的值；若不存在，请说明理由．

【解法分析】第Ⅱ小题将向量的数量积运算用坐标表示出来，然后用解决定值的方法进行求解。

(I )由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )

又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅

＝－1

于是222211b c

a

a b c ⎧-=-⎪

⎪=⎨⎪⎪-=⎩，解得a ＝2，b

所以椭圆E 方程为22

142

x y +=.

(II )当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1

A ，

B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)

联立22

142

1x y y kx ⎧+

=⎪⎨⎪=+⎩

，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0 其判别式△＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0

所以121222

42

,2121

k x x x x k k +=-

=-++ 从而OA OB PA PB λ⋅+⋅

＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1

＝22(24)(21)21

k k λλ--+--+

＝－

2

1

221

k λλ---+

所以，当λ＝1时，－

21

221

k λλ---+＝－3

此时，OA OB PA PB λ⋅+⋅

＝－3为定值

当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD