抽象函数解题技巧

抽象问题有形化破解抽象函数难题

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征式子的一类函数.抽象函数题既能考查函数的概念和性质,又能体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查.由于抽象函数表现形式抽象,对学生思维能力考查的起点较高,使得此类问题成为函数内容的难点之一,使多数学生感觉无从下手,望而生畏.事实上,解决此类问题时,只要准确掌握函数的性质,熟知我们所学的基本初等函数,将抽象函数问题转化为具体函数问题,问题就迎刃而解了.具体的可概括为函数性质法、赋值法和构造函数法等.

➢高考真题

【2018·全国Ⅱ卷理科·11】

已知是定义域为的奇函数,满足.若,则

( )

A. B. C. D.

➢解题策略

【过程分析】

由于题目条件中的没有具体的解析式,仅给出了是定义域在上的奇函数,且,即()为抽象函数,显然我们不可能去一一求解这些函数值,这说明这些函数值应满足某种规律,而这种规律必然和函数的性质有关.

【深入探究】

求解的值,如果一一求解函数值,这个过程是比较复杂的,自然而然的让我们有这样的想法:函数()的图象是不是满足某种规律性的变化呢?基于这个想法及选择题的特点,那么解题方向不外乎两个:一是判断的周期性,利用函数的周期性求解;二是构造一个具体的函数来求解.

➢解题过程

法一:利用函数的性质

∵是定义域为的奇函数,∴,且,

∵,∴,,

∴,∴,

∴是周期函数,且一个周期为,

∴,,

,

∴,,,,以,,,,循环,

∴,故选C. 法二:构造特殊函数

由题意可设,作出的部分图象如图所示.

由图可知,的一个周期为,

所以,故选C.

➢解题分析

本题条件中的函数为抽象函数,给出了函数的性质,求函数值.解法一从函数性质入手,由奇偶性和对称性,推出了周期性从而完成求值,体现了数学抽象与逻辑推

理能力;解法二结合题中的函数,联系函数,将抽象函数具体化,从而完成求解,体现了数学建模及数形结合思想.

➢拓展推广

把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数.抽象函数问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解,同时抽象函数问题又将函数的定义域,值域,单调性,奇

偶性,周期性和图象集于一身,是高中数学的难点,也是近几年考试的热点和重点.

1.解决抽象函数问题的常用方法

函数性质法:先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质,这样函数就不再抽象了,而是变得相对具体,我们就可以画出符合性质的草图来解题.

特殊值法:根据对题目给出的抽象的函数性质的理解,我们找到一个符合题意的具体函数或给变量赋值,把抽象函数问题化为具体的数学问题,从而问题得解.

构造函数法:导数、不等式、函数相结合的问题,往往考查函数的单调性、大小比较、解不等式等,问题的关键点在于利用好已知条件中含有原函数和它的导函数的式子,考虑用构造函数法,通过构造函数,使抽象函数问题具体化.

2.解决抽象函数问题常用的结论

(1)定义域问题

这类问题的一般形式是:已知原函数的定义域为,求复合函数

的定义域:只需解不等式,不等式的解集即为所求函数的定义域.已知复合函数的定义域为,求函数的定义域:由,求

的取值范围,即求函数在的值域.

(2)奇偶性问题

抽象函数奇偶性的判断证明和具体函数是一致的,首先必须考虑函数的定义域,如果函数的定义域不关于原点对称,则函数一定是非奇非偶函数;如果函数的定义域关于原点对称,则继续求;最后比较和的关系,如果有=,则函数是偶函数,如果有=-,则函数是奇函数,否则是非奇非偶函数.要判断抽象函数的奇偶性,多用赋值法,给已知的等式中的变量取恰当的值,如等,有时需要多次赋值,才能达到解题目标.

(3)单调性问题

抽象函数虽然没有解析式,但是在判断证明函数的单调性的方法上是一致的,同样利用函数的单调性的定义.

奇偶函数在对称区间上的单调性:奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反.

(4)周期性问题

①若函数定义域为,且满足条件,则是以

为周期的周期函数.

推论1.若函数定义域为,且满足条件,则

是以为周期的周期函数.

推论2.若函数满足条件,则是以为周期的周期函数.

推论3.若函数满足条件,则是以为周期的周期函数.

②若函数的图象关于直线与对称,则是以

为周期的周期函数.

③若函数的图象关于点与点对称,则是以

为周期的周期函数.

④若函数的图象关于直线与点,则是以

为周期的周期函数.

(5)对称性问题

①若函数定义域为,且满足条件,则函数

的图象关于直线对称.

推论1.若函数定义域为,且满足条件,则函数的图像关于直线对称.

推论2.若函数定义域为,且满足条件,则函数的图像关于直线对称.

推论3.若函数定义域为,且满足条件,又若方程有个根,则此个根的和为.

②若函数定义域为,且满足条件(为常数),

则函数的图象关于点对称.

推论1.若函数定义域为,且满足条件(为常

数),则的图象关于点对称.

推论2.若函数定义域为,且满足条件(为常数),则函数的图象关于点对称.

③若函数定义域为,则函数与两函数的图象

关于直线对称(由可得).

推论1.函数与函数的图象关于直线对称.

推论2.函数与函数的图象关于直线对称.

④若函数定义域为,则函数与的图象关于

点对称.

推论.函数与函数图象关于点对称.

变式训练1

已知定义域为的函数满足,当时,

单调递增,若且,则的值( )

A 恒大于

B 恒小于

C 可能等于

D 可正可负

变式训练2

已知函数,且,则实数的取值范围为( )