第十章 自相关

Y t = B 1 + B 2 X t + B 3Y t −1 + u t
四、自相关的补救措施
为了讨论尽可能简单，仍以双变量模型为例
Yt = B1 + B 2 X
t
+ ut
(5 )
并假设随机误差项服从AR(1)过程： u t = ρ u t −1 + v t 0 ≤ ρ ≤1 其中，v满足OLS假定。 假定 ρ 是已知的。可以通过一个变换将原模型变为不存在 自相关的模型（广义差分法），过程如下： 首先将式(5)写成滞后一期的形式
应用德宾-沃森统计量时，模型必须满足一些条件，如下： (1)回归模型包括一个截距项。 (2)变量X是非随机变量，即在重复抽样中变量X的值是固定的。 (3)扰动项 u t 的生成机制是
ρ 其中， 为自相关系数。
u t = ρ u t −1 + v t
−1≤ ρ ≤ 1
(3 )
(4)解释变量中不包含应变量的滞后值。换言之，该检验对 下面的模型不适用：
三、自相关的诊断
由于不知道随机误差项，所以针对自相关的诊断，都是根据 从标准OLS估计法得到的残差来作出判断。 例子：美国商业部门真实工资与生产率的关系(1959-2002)， 数据如下表。
微观经济理论表明真实工资与劳动生产率正相关——在其它条件不变的 情况下。根据该理论建立如下模型：
Y
t
=
B
1
+ B
t =1
e t2
≈ 2 1 −
e t e t −1 ∑2 t= = 2 (1 − ρ ) ˆ n ∑2 e t2− 1 t=
n
u t = ρ u t −1 + v t
很多软件都给出了德宾-沃森统计量。比如工资-生产率一例的D-W统计量 为0.2136。
ˆ ρ 值
Y t −1 = B 1 + B 2 X
t −1
+ u t −1 + ρ u t −1
(6 )
将式(6)两边同乘以 ρ ，得到：
ρ Y t −1 = ρ B 1 + ρ B 2 X
t −1
(7 )
把式(6)与式(7)相减得到
( Y t − ρ Y t − 1 ) = B 1 (1 − ρ ) + B 2 ( X
自相关分为正自相关(a)和负自相关(b)
2.自相关产生的原因 (1)惯性 大多数经济时间序列具有显著的惯性或者说迟缓性特征。比 如说国内生产总值、就业、货币供给等时间序列都呈现出周 期性。所以，在涉及时间序列数据的回归方程中，连续的观 察值之间有可能是相互依赖或相关的。 (2)模型设定误差 忽略了必要的解释变量或者使用了错误的函数形式也有可能 导致自相关。 (3)蛛网现象 在许多诸如农产品供给的现象中呈现出了所谓的蛛网现象， 即供给对价格的反应滞后了一期，因为供给决策的实现需要 一定的时间。因此，农户今年的计划要受去年价格的影响。
第十章
自相关
上海立信会计学院
包括如下内容： 1.自相关的性质 2.自相关的理论与实际结果是什么？ 3.如何判断自相关的存在？ 4.自相关的补救措施
一、自相关的性质
1.自相关的定义 假如随机误差项之间存在如下关系，那么模型就产 生了自相关问题。
C ov ( u i , u j ) = E ( u i u j ) ≠ 0 i≠ j
自相关问题通常与时间序列数据有关。 下面几个图给出了自相关和无自相关的几种类型。 纵轴同时给出了 ui（总体扰动项）或相应的 ei（残 差），由于无法观察到前者，因而只能通过后者推 断前者的行为。
图a到d表明u中存在明显自相关，而图e则表明u不存在系统 模式，这也是无自相关假设的几何解释。
自相关的模式
(4)数据处理 在数据的处理过程中也会导致自相关的产生。比如在从月度 数据获得季度数据的过程中。
二、自相关的后果
自相关会产生以下后果： 1.最小二乘估计量仍然是线性和无偏估计量。 2.但最小二乘估计量不再是有效的。 3.OLS估计量的方差是有偏的，因此通常所用的t检验和F检 验是不可靠的。 ˆ 4.计算得到的误差方差 σ 2 = RSS / d . f . ，是真实误差方差的 有偏估计量。 5.通常计算的预测方差和标准误也是无效的。
ρ 统计理论表明，尽管对小样本而言，ˆ 是真实ρ 的有偏估计量，但是随 着样本容量的增加，这个偏差会逐渐消失。
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１ ２ ３ 简言之， ≤ d 0
ˆ ρ =-1（完全负相关）
d值
d=4 d=2 d=0
ˆ ρ =0 (无自相关) ˆ ρ ＝1 (完全正相关)
≤4
根据以上讨论可以看出：如果计算的ｄ值接近于零，则表明存在着正 的自相关；如果接近于４，则表明存在着负的自相关；ｄ值越接近于２， 则说明越倾向于无自相关。 德宾－沃森检验的步骤如下： (1)进行OLS估计得到残差 (2)根据式(2)计算d值 (3)根据样本容量及解释变量的个数，从D-W表中查到临界的 d L和dU 。 (4)按照下表中给出的规则进行判定。
针对以上例子，讨论两种对自相关进行检验的方法。 1.图形法
即通过对OLS残差的直观观察来判断误差项中是否存在自相关。以上例为 例，将残差对时间作图，如下： 回 归 方 程 （ ） 的 残 差 图 一
从上图可以看出，残差并不是随机分布，而是呈现出明显 的变动模式。为了进一步确认我们的判断，做 ei 对 ei −1 的图形，结果如下：
上图表明存在着正的自相关：大多数残差都分布在第一象限 和第三象限。 2.德宾-沃森d检验 假设： H 0 : ρ = 0 ut 不存在自相关 H1 : ρ ≠ 0 ut 存在自相关 德宾-沃森d统计量定义为：
d =
∑
n
2
t=2
( e t − e t −1 )
∑
n
其中，ρ 为如下一阶自回归的自回归系数
t
− ρ X
t −1
) + vt
(8 )
由于式中的残差项 vt 满足标准的OLS假定，所以变换后的模 型无序列相关，如果把式（８）写成
Y
* t
= B
* 1
+ B
2
X
* t
+ v
t
那么对上式采用OLS法，得到的估计量具有BLUE性质。对变 换后的模型使用OLS得到的估计量称为广义最小二乘(GLS)估 计量。 可以预期，在一般情况下 ρ 是未知的，所以不能根据以上讨 论直接运用广义最小二乘法，而必须对 ρ 进行估计。一般有 三种方法。 1.直接令 ρ ＝１ 2.从德宾－沃森d统计量中估计 ρ
结论
如果
正自相关 无法判断 无自相关 无法判断 负自相关
0 < d < dL d L ≤ d ≤ dU dU < d < 4 − dU 4 − dU ≤ d ≤ 4 − d L 4 − dL < d < 4
德宾－沃森d检验的判定规则
比如工资与生产率一例。d=0.2136。根据D-W表，对于 d n=45，k=1，在５％显著性水平下，L = 1.475 和 dU = 1.566 。由于0.2136远低于1.475，所以得到结论，在工资－生 产率回归方程中的残差存在正的自相关。
当ρ不知道时，如何估计 ρ
根据对德宾－沃森检验的讨论可知，
ˆ d ≈ 2 (1 − ρ )
变换后得到：
ρˆ ≈ 1 −
d 2
3.从OLS残差中估计 ρ 回归一阶自回归过程： u t = ρ u t −1 + v t
ˆ ρ 可以作为 ρ 的估计量。
0 ≤ ρ ≤1
由于 u 无法直接观察得到，因此可以用相应的残差 e 代替， 并进行如下回归： ˆ e t = ρ e t −1 + v t
2
X
t
+ u
t
(1 )
利用下表数据回归结果如下：
真实工资生产率 = 29.5749 + 0.7005 × 所有工人的小时产出
se= (1.4605) (0.0171) t= (20.2496) (40.9181) r = 0.97W统计量
美国商业部门真实工资指数和劳动生产率