中考专题复习——三角形

第1讲一般三角形及其性质

知识点二：三角形全等的性质与判定

6.全等三

角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．

(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．

(3)全等三角形的周长等、面积等．

失分点警示：运用全等三角

形的性质时，要注意找准对

应边与对应角.

7.三角形

全等的判定一般

三角

形全

等

SSS（三边对

应相等）

SAS（两边和它

们的夹角对应

相等）

ASA（两角和它

们的夹角对应相

等）

AAS（两角和其

中一个角的对边

对应相等）

失分点警示

如图，SSA和AAA不能判

定两个三角形全等.

直角

三角

形全

等

(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）

(2)证明两个直角三角形全等同样可以用

SAS,ASA和AAS.

8.全等三

角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到

两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，

注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.

（2）全等三角形中的辅助线的作法：

①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.

②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△

EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.

③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.

例：

如图，在△ABC中，已知∠1=

∠2，

BE=CD，

AB=5，

AE=2，则

CE=3.

第2讲等腰、等边及直角三角形

二、知识清单梳理

知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例

1.等腰

三角形（1）性质

①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；

②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高

互相重合;

③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.

（2）判定

①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；

（1）三角形中“垂线、角平分线、

中线、等腰”四个条件中，只要

满足其中两个，其余均成立. 如：

如左图，已知AD⊥BC,D为BC

的中点，则三角形的形状是等腰

三角形.

失分点警示：当等腰三角形的

腰和底不明确时，需分类讨论. 如

若等腰三角形ABC的一个内角为

30°，则另外两个角的度数为

②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°、120°或75°、75°.

2.等边三角形（1）性质

①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.

即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；

②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角

平分线或中线)所在的直线是对称轴.

（2）判定

①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；

③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝

60°，则△ABC是等边三角形.

（1）等边三角形是特殊的等腰三

角形，所以等边三角形也满足

“三线合一”的性质.

（2）等边三角形有一个特殊的角

60°，所以当等边三角形出现

高时，会结合直角三角形30°

角的性质，即BD=1/2AB.

例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，

BC=3，则△ABC的周长为9.

知识点二：角平分线和垂直平分线

3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若

∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.

（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平

分线上．

例：如图，△ABC中，∠C=90°，

∠A=30°，AB的垂直平分线交AC

于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.

4.垂直

平分

线图

形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.

（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

知识点三：直角三角形的判定与性质

5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；

(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝

1

2

AB；

(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则

CD＝

1

2

AB.

(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即

a2＋b2＝c2 .

（1）直角三角形的面积

S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角

边，c为斜边，h是斜边上的高)，

可以利用这一公式借助面积这个

中间量解决与高相关的求长度问

题.

（2）已知两边，利用勾股定理求

长度，若斜边不明确，应分类讨

论.

（3）在折叠问题中，求长度，往

往需要结合勾股定理来列方程解

决.

6.直角

三角

形的

判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则

△ABC是Rt△；

(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角

形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△

(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.

2

1P C

O

B

A

P

C

O B

A

D

A

B

C a

b

c

D

A

B

C a

b

c