高考数学深度资料：函数的一阶不动点_二阶不动点_二阶周期点初探
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f ( x ) 的二阶不动点，简称稳定点．
②从图象的角度，稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标． 二阶周期点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ， 如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，且 f ( x0 ) ≠ x0 ， 则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶周期点，简称周期点． 根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 周期点： ⎧ f ( x1 ) = x2 ， ⎪ ①从代数的角度，周期点是方程组 ⎨ f ( x2 ) = x1 ， ⎪x ≠ x ， 2 ⎩ 1 的解； ②从图象的角度， 周期点是 y = f ( x) 图象上关于 直线 y = x 对称的两点的横坐标． 三者的关系 根据上述定义以及分析，我们从两 方面来理解三者的关系： ①从集合的角度：设 U ={ 稳定点 } ， A ={ 不动 点}，则 A ⊆ U ， CU A ={周期点} 因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是 不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件． ②从图象的角度：不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标； 周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线
2014 年第 11 期
9 ⋅ 5n −1 − 1 ． 3 ⋅ 5n −1 + 1
函数问题
福建中学数学
39
∴ xn = f ( n −1) (2) =
本题的解法可用程序框图表示如下（如图 6） ：
数列问题
{xn } 通公式
ϕ
ϕ
映射
映射
函数问题
f ( n ) ( x) 表达式 反演 g ( n ) ( x) 表达式 反演 图6
近期，笔者在期刊上阅览了较多关于函数不动 点的相关文章．很多关于函数不动点的文章都涉及 到较为复杂的证明，体现出了撰写者深厚的数学功 底．但是对于初步接触到这类知识点的学生或年轻 教师来讲，这些文章显然太过深奥了，不易接受．基 于此，笔者试图通过本文用较为通俗易懂的语言来 阐述函数的不动点等相关知识，让那些初学者能够 容易地接受．不足之处，恳请各位同行批评指正． 相关概念 一阶不动点：对于函数 y = f ( x) ，定 义域为 I ，如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( x0 ) = x0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的一阶不动点，简称不动点． 根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 不动点： ⎧ y = f ( x) 的 ①从代数的角度，不动点是方程组 ⎨ ⎩y = x 解 ( x0 ， y0 ) 中的 x0 ； ②从图象的角度，不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标； 二阶不动点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ， 如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，则称 x0 为函数
1 两式相减，得 x3 + x4 = − ， 2 ⎧ −1 − 5 ， ⎪ x3 = ⎪ 4 再代入其中一个表达式，得 ⎨ −1+ 5 ⎪ x4 = . ⎪ 4 ⎩ −1 − 5 −1+ 5 ∴ 和 是函数的周期点． 4 4 1 −1 − 5 −1+ 5 故 − ，1， ， 是函数的稳定点． 2 4 4
ϕ −1
ϕ −1
在应用 RMI 原理解题时，必须根据具体情况灵 活运用，不能生搬硬套，要在实际的解题中去理解 和掌握有关技巧．
参考文献 [1]徐利治，郑毓信．关系映射反演原则及应用．大连：大连理工大学出 版社，2008 [2]蒋亮． “RMI 原理”下的解析几何教学． 中学数学教学参考 （上旬） ， 2012 （5） ：16-18 [3]岳建良，邱山．发散提升理解，回归促进掌握．中学数学教学参考（上 旬） ，2012（5） ：26-30 [4]林国夫． 利用函数不动点求数学的通项公式． 数学通报， 2008， 47 （12） ： 44-47 [5]任韩．数学奥林匹克命题人讲座—图论．上海：上海科技教育出版社， 2009
函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探
苏艺伟 福建省龙海第一中学（363100） 解(这里的 x1 ， x2 可能相等)． 显然 A( x1 ， x2 ) ， B ( x2 ， x1 ) 这两个点都在函数 y = f ( x) 的图象上．当 x1 ≠ x2 时，
A ， B 两点关于直线 y = x 对称．
y = f ( x) 有不动点 x0 ．
y = x 对称的两点的横坐标；稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直
线 y = x 对称的两点的横坐标． 下面，举例说明如何求出一个函数的不动点， 稳定点，周期点． 例 1 设 f ( x) = 2 x 2 − 1 ，令 2 x 2 − 1 = x ， 1 解得 x1 = − ， x2 = 1 ． 2 1 因此 − 和 1 是函数的不动点． 2 2 ⎧ f ( x3 ) = x4 ， ⎧2 x3 − 1 = x4 ， ⎪ ⎪ 得 ⎨2 x4 2 − 1 = x3 ， 令 ⎨ f ( x4 ) = x3 ， ⎪x ≠ x . ⎪x ≠ x ， 4 4 ⎩ 3 ⎩ 3
例 2 （ 2013 年高考四川卷·理 10 ）设函数
f ( x) = e x + x − a（ a ∈ R ，e 为自然对数的底数） ． 若
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 稳定点： ⎧ f ( x ) = x2 ①从代数的角度， 稳定点是方程组 ⎨ 1 的 ⎩ f ( x2 ) = x1
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福建中学数学
2014 年第 11 期 假设 x0 > y0 ，∵ y = f ( x) 是增函数， 则 f ( x0 ) > f ( y0 ) ，即 y0 > x0 ，与假设矛盾； 假设 x0 < y0 ，∵ y = f ( x) 是增函数， 则 f ( x0 ) < f ( y0 ) ，即 y0 < x0 ，与假设矛盾； 故 x0 = y0 ，即 f ( x0 ) = x0 ．
②从图象的角度，稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直线 y = x 对称的两点的横坐标． 二阶周期点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ， 如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，且 f ( x0 ) ≠ x0 ， 则称 x0 为函数 f ( x) 的二阶周期点，简称周期点． 根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 周期点： ⎧ f ( x1 ) = x2 ， ⎪ ①从代数的角度，周期点是方程组 ⎨ f ( x2 ) = x1 ， ⎪x ≠ x ， 2 ⎩ 1 的解； ②从图象的角度， 周期点是 y = f ( x) 图象上关于 直线 y = x 对称的两点的横坐标． 三者的关系 根据上述定义以及分析，我们从两 方面来理解三者的关系： ①从集合的角度：设 U ={ 稳定点 } ， A ={ 不动 点}，则 A ⊆ U ， CU A ={周期点} 因此，不动点一定是稳定点，稳定点不一定是 不动点．不动点是稳定点的充分不必要条件． ②从图象的角度：不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标； 周期点是 y = f ( x) 图象上关于直线
2014 年第 11 期
9 ⋅ 5n −1 − 1 ． 3 ⋅ 5n −1 + 1
函数问题
福建中学数学
39
∴ xn = f ( n −1) (2) =
本题的解法可用程序框图表示如下（如图 6） ：
数列问题
{xn } 通公式
ϕ
ϕ
映射
映射
函数问题
f ( n ) ( x) 表达式 反演 g ( n ) ( x) 表达式 反演 图6
近期，笔者在期刊上阅览了较多关于函数不动 点的相关文章．很多关于函数不动点的文章都涉及 到较为复杂的证明，体现出了撰写者深厚的数学功 底．但是对于初步接触到这类知识点的学生或年轻 教师来讲，这些文章显然太过深奥了，不易接受．基 于此，笔者试图通过本文用较为通俗易懂的语言来 阐述函数的不动点等相关知识，让那些初学者能够 容易地接受．不足之处，恳请各位同行批评指正． 相关概念 一阶不动点：对于函数 y = f ( x) ，定 义域为 I ，如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( x0 ) = x0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的一阶不动点，简称不动点． 根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 不动点： ⎧ y = f ( x) 的 ①从代数的角度，不动点是方程组 ⎨ ⎩y = x 解 ( x0 ， y0 ) 中的 x0 ； ②从图象的角度，不动点是 y = f ( x) 和 y = x 图 象的交点横坐标； 二阶不动点：对于函数 y = f ( x) ，定义域为 I ， 如果存在 x0 ∈ I ，使得 f ( f ( x0 )) = x0 ，则称 x0 为函数
1 两式相减，得 x3 + x4 = − ， 2 ⎧ −1 − 5 ， ⎪ x3 = ⎪ 4 再代入其中一个表达式，得 ⎨ −1+ 5 ⎪ x4 = . ⎪ 4 ⎩ −1 − 5 −1+ 5 ∴ 和 是函数的周期点． 4 4 1 −1 − 5 −1+ 5 故 − ，1， ， 是函数的稳定点． 2 4 4
ϕ −1
ϕ −1
在应用 RMI 原理解题时，必须根据具体情况灵 活运用，不能生搬硬套，要在实际的解题中去理解 和掌握有关技巧．
参考文献 [1]徐利治，郑毓信．关系映射反演原则及应用．大连：大连理工大学出 版社，2008 [2]蒋亮． “RMI 原理”下的解析几何教学． 中学数学教学参考 （上旬） ， 2012 （5） ：16-18 [3]岳建良，邱山．发散提升理解，回归促进掌握．中学数学教学参考（上 旬） ，2012（5） ：26-30 [4]林国夫． 利用函数不动点求数学的通项公式． 数学通报， 2008， 47 （12） ： 44-47 [5]任韩．数学奥林匹克命题人讲座—图论．上海：上海科技教育出版社， 2009
函数的一阶不动点、二阶不动点、二阶周期点初探
苏艺伟 福建省龙海第一中学（363100） 解(这里的 x1 ， x2 可能相等)． 显然 A( x1 ， x2 ) ， B ( x2 ， x1 ) 这两个点都在函数 y = f ( x) 的图象上．当 x1 ≠ x2 时，
A ， B 两点关于直线 y = x 对称．
y = f ( x) 有不动点 x0 ．
y = x 对称的两点的横坐标；稳定点是 y = f ( x) 和 y = x 图象的交点横坐标以及 y = f ( x) 图象上关于直
线 y = x 对称的两点的横坐标． 下面，举例说明如何求出一个函数的不动点， 稳定点，周期点． 例 1 设 f ( x) = 2 x 2 − 1 ，令 2 x 2 − 1 = x ， 1 解得 x1 = − ， x2 = 1 ． 2 1 因此 − 和 1 是函数的不动点． 2 2 ⎧ f ( x3 ) = x4 ， ⎧2 x3 − 1 = x4 ， ⎪ ⎪ 得 ⎨2 x4 2 − 1 = x3 ， 令 ⎨ f ( x4 ) = x3 ， ⎪x ≠ x . ⎪x ≠ x ， 4 4 ⎩ 3 ⎩ 3
例 2 （ 2013 年高考四川卷·理 10 ）设函数
f ( x) = e x + x − a（ a ∈ R ，e 为自然对数的底数） ． 若
根据该定义，我们可以从以下两个方面来理解 稳定点： ⎧ f ( x ) = x2 ①从代数的角度， 稳定点是方程组 ⎨ 1 的 ⎩ f ( x2 ) = x1
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福建中学数学
2014 年第 11 期 假设 x0 > y0 ，∵ y = f ( x) 是增函数， 则 f ( x0 ) > f ( y0 ) ，即 y0 > x0 ，与假设矛盾； 假设 x0 < y0 ，∵ y = f ( x) 是增函数， 则 f ( x0 ) < f ( y0 ) ，即 y0 < x0 ，与假设矛盾； 故 x0 = y0 ，即 f ( x0 ) = x0 ．