专题一：集合与不等式(知识点梳理)

高考数学必记知识点归纳总结
第一章 集合
一、集合的概念与表示：
1、集合的定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集
合。

2、集合的表示：常用大写拉丁字母,,,A B C 表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母,,,a b c 表示
3、集合三性：确定性、互异性、无序性。

4、元素与集合的关系：属于(A a ∈) , 不属于(A a ∉)
只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

5、 常见集合：正整数集：*N 或+N ，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：
R .
6、集合的表示方法：列举法、描述法.
二、集合间的基本关系：
1、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集
合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.
2、集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），称集合A 与集合B 相等。

记作A B =。

3、真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集
合B 的真子集.记作：A B.
4、空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.规定：空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
5、集合的子集个数：如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，
21n -个真子集.
三、集合间的基本运算：
1、并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集
合A 与B 的并集.记作：A B .即{},A B x x A x B =∈∈U 或
2、交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称
为A 与B 的交集.记作：A B .即{},A B x x A x B =∈∈且
3、全集、补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成
的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ， 即{|,}U C A x x U x A =∈∉且.
说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理.
4．集合的主要性质和运算律
四、充分条件与必要条件：
1、 充分条件、必要条件与充要条件的定义：
若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
2、充分条件、必要条件与充要条件常形式：
若p q ⇒，但q p ，则p 是q 充分不必要条件;
若p q ，但q p ⇒，则p 是q 必要不充分条件;
若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；
若p q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.
3、充分条件、必要条件与集合的关系：
＝
第二章 不等式
一、不等式的性质：
1、大小关系与不等关系：
0a b a b >⇔-> 0a b a b =⇔-= 0a b a b <⇔-<
2、不等式的基本性质：
①（对称性）a b b a >⇔>
②（传递性）,a b b c a c >>⇒>
③（可加性）a b a c b c >⇔+>+
（同向可加性）,a b c d a c b d >>⇒+>+
④ （可乘性） 若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <；
⑤（乘方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且
⑥（倒数法则） b
a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 二、区间： 区间是集合的另一种表示方式.
[][)(],;(,);,,,;a b a x b a b a x b a b a x b a b a x b ≤≤<<≤<<≤闭区间： ，即：开区间： ，即：左闭右开： ，即：左开右闭： ，即：()(]()[)(),,,;,,,,,.
a x a a x a
b x b b x b x R -∞<-∞≤+∞>+∞≥-∞+∞∈无穷区间：
，即：，即：，即：，即：，即：
三、一元二次不等式的解法：
“三个二次”的关系
求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->
解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
求根公式与韦达定理：
()2
1,212120(0)2:,b ax bx c a x a b c x x x x a a -±++=≠=+=-⋅=一元二次方程求根公式：韦达定理根与系数关系
四、分式不等式的解法：
()(1)0()()0()()(2)0()()0()f x f x g x g x f x f x g x g x <⇔⋅<>⇔⋅> ()()0()(3)0()0
()()()0()(4)0()0
()f x g x f x g x g x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇔⎨≠⎩⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
五、指数不等式的解法：
⑴当1a >时, ()()()()f x g x a
a f x g x >⇔> ⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<
规律：根据指数函数的性质转化.
六、对数不等式的解法：
⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩
⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩
规律：根据对数函数的性质转化.
七、含绝对值不等式的解法： 绝对值的定义：(0).(0)
a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ 最简单的绝对值不等式的解法： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③(0)ax
b
c c ax b c c +≤⇔-≤+≤≥ ④(0)ax b c c c c ax b ax b +≥⇔≥≤-≥++或
规律：关键是去掉绝对值的符号.
八、恒成立问题：
⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时 0,0;b c ⇒=>
②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩
⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：
①当0a =时0,0;b c ⇒=<
②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩。