矩阵可交换性的应用概述
矩阵可交换性的应用讲解
2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。
关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。
矩阵可交换的定义
矩阵可交换的定义嘿，朋友们！今天咱来唠唠矩阵可交换这个事儿。
咱先想想啊，矩阵就像是一群排好了队的数字小兵。
那可交换呢，就好比这些数字小兵可以互相换换位置，而且换了之后没啥大影响。
比如说，你有两个矩阵 A 和 B，它们要是可交换，那 A 乘以 B 就等于B 乘以 A 呀。
这就好像你有两堆玩具，你先从第一堆里拿一个，再从第二堆里拿一个，和你先从第二堆里拿一个，再从第一堆里拿一个，最后的结果差不多。
这有啥用呢？用处可大啦！就像你走路，有时候走这条路能到目的地，走另一条路也能到，这就让你有了更多的选择呀。
你想想，如果矩阵不可交换，那多麻烦呀！就跟你出门，规定了你只能先迈左脚，再迈右脚，不能反过来，那多别扭呀。
咱再打个比方，矩阵可交换就像是朋友之间相处很融洽，可以互相换位子也不影响感情。
要是不可交换，那不就跟两个合不来的人似的，非得按照特定的顺序来，不然就闹别扭。
在实际应用中，矩阵可交换也很重要呢。
比如在一些科学研究、工程计算里，要是能找到可交换的矩阵，那就能让计算变得简单很多，就像找到了一把钥匙，能轻松打开难题的大门。
而且哦，研究矩阵可交换还能让我们更深入地理解数学的奥秘呢。
就好像探索一个神秘的洞穴，每走一步都可能有新的发现，多刺激呀！咱平常生活中不也经常遇到类似的情况嘛。
比如你做事的顺序，有时候换一换也没啥，有时候就不行。
这和矩阵可交换是不是有点像呀？所以啊，矩阵可交换可不是什么遥不可及的高深概念，它就藏在我们生活的各个角落呢。
只要我们用心去感受，去发现，就能明白它的奇妙之处啦。
总之呢，矩阵可交换是数学里一个很有趣也很有用的概念，它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门，让我们看到更广阔的世界。
我们可不能小瞧它呀，要好好去研究它，利用它，让它为我们的学习和生活带来更多的便利和惊喜！。
矩阵可交换问题及其在高等代数考研中的应用
( 详情请看文献 % 3 & ) " 即 它 们 之 间 存 在 着 同 构 的 关 系" 线 性变换的可交换对应着矩阵的可交换# 在每年的高等代 数考研试题的大题中"都会涉及有关矩阵(线性变换) 可交 换问题# 大致会从这几个方面来进行考察!($) 在求矩阵 的 , 次方幂时"可以观察矩阵的特点"将其拆分成两个可 交换的矩阵"再进行二项式展开# ())已知一个矩阵"求与 此矩阵可交换的矩阵是哪种类型的矩阵# (() 已知一个矩 阵"求与此矩阵可交换的所有矩阵# (3) 已知两个矩阵可 交换"求证对于二阶分块矩阵的行列式的计算方法类似二 阶数字矩阵的计算方法# (5)有关矩阵可交换问题而引出 的可同时三角化( 对角化) 问题# (0) 涉及线性变换下的 可交换问题# 下面通过对历年真题的研究"总结有关可交 换问题的考点#
科教论坛 !"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)$((%$'
科技风 @A@B 年 BB 月
矩阵可交换问题及其在高等代数考研中的应用
张 蓉4陈国华#
湖南人文科技学院!湖南娄底!B"J###
摘4要高等代数是数学专业的学生必学的科目同时也是考研数学的专业课 有关矩阵的内容在高等代数的教学 中有着举足轻重的地位 我们知道矩阵的乘法一般都不满足交换律但是在特定的条件下矩阵之间是可以交换的而数 学主要研究的就是这类特殊的东西 可交换问题是高等代数教学中的重点内容之一同时也是高等代数考研数学中的热 点之一 本文罗列出了一些矩阵线性变换可交换问题在高等代数考研数学中的应用希望对考研数学有一定的帮助
可交换矩阵
可交换矩阵
可交换矩阵是一种特殊的矩阵，它通过可交换元素以多种方式来排列，从而构成一个可交换矩阵。
它通常用来表示多种关系，比如权杖（即多对多）、网格或其他拓扑结构，以及其他可交换或智变律映射。
可交换矩阵由一组索引表示，它可以保证相同元素的位置可以发生变化，这样就可以将原有的元素重新排列，而不会破坏可交换矩阵的整体结构。
要求可交换矩阵元素满足以下性质：
1.具有排列的对称性。
即对于可交换矩阵中的任意两个元素，若其索引表示的行与列和相同，则两个元素可以交换。
2. 矩阵每行有一个定义了Y坐标的值，每一列有一个定义其X坐标的值。
各行和列坐标值无重复。
3. 要求可交换矩阵元素必须与集合中唯一可达的元素匹配，以使满足对称的排列规则。
因此，角点元素的可交换性必须大于其他元素，以保证可交换矩阵完整性。
可交换矩阵常用于网络发现，具体由以下步骤组成：
1）网络初始化：构造可交换矩阵，将网络图分成若干小块，每一小块都是一个索引值丰富的可交换矩阵。
2）网络发现：从可交换矩阵里选择一个可交换项，然后根据可交换规则进行变换，调整可交换矩阵的布局，最终可以得到满足一定规则的网络拓扑图。
3）网络表征：利用可交换矩阵表示网络结构，把不同的元素按其相对位置用二叉编码表示，以表达网络中存在的关联。
可交换矩阵本身也有多种应用场景。
它具有处理复杂拓扑图的能力，可以用来发现社区中的潜在关系。
通过将矩阵的位置调整，可以有效的提高聚类的准确率。
可交换矩阵还可以用来提取模式，这可以帮助人们识别复杂系统中的局部规律；可交换矩阵有助于理解复杂的连接结构；可交换矩阵还可以用来预测网络未来的分布。
交换矩阵
A
=
1 2
2 3
的可交换矩阵。
解：设矩阵
B
a c
b d
为
A
的可交换矩阵。则有
AB
BA.
AB
=
1 2
2a
3
c
b d
a 2c 2a 3c
b 2d 2b 3d
C
a b 1 2 a 2b 2a 3b
BA
c
d
2
3
c
2d
2c
3d
D
a 2 a 2b
dn1
d1n
。
dnn
显然有 C D 。 （3） AB 与 BA 均有意义，且二者阶数也相同但是最后具体的乘积方阵还是 不一样。
比如说：矩阵
A
=
2 1
1 1
，
B
=
1 1
2 2
。
AB
=
2 1
1 1 1 1
2 3 2 2
6 4
=
C
；
但是
BA
=
1 1
2 2 2 1
1 1
4 4
3 3
=
D
。显然
C
定理 6： ( A B)2 A2 2AB B2 ； 证明：充分性 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2
又 ( A B)2 A2 2AB B2 ， 从而 AB BA 2AB 即 AB BA； 必要性： 若 AB BA 则 ( A B)2 ( A B)( A B) A2 AB BA B2 A2 2AB B2 ， 必要性得证。 定理 7： (AB) AB ； 证明：充分性 由题知 (AB) AB ，又因为 (BA) AB ，
矩阵可交换性质
矩阵可交换的条件及其性质摘要：矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
本文通过对可交换矩阵理论的深入研究，对矩阵的可交换做了深入的探讨，归纳总结了矩阵可交换的条件及性质，给出了与已知矩阵可交换的矩阵的求法.关键词：矩阵；可交换；可交换矩阵The Conditions For The Commutation Of Matrix and SomePropertiesAbstract: Matrix in higher mathematics is a very important and widely used concept, is the coreof the linear algebra.This article through to exchange matrix theory research, the matrix interchange to do a further study and summarizes the matrix interchangeable condition and properties are given, and the known matrix can exchange the matrix is introduced.Key words:Matrix；Commutation；The Commutation Of Matrix目录1 引言........................................................................................................................................ - 1 -2 可交换矩阵的基本定义........................................................................................................ - 1 -3 矩阵可交换的条件................................................................................................................ - 1 -3.2 矩阵可交换的几个充要条件............................................................................................... - 3 -4 可交换矩阵的性质.................................................................................................................. -5 -5 与已知矩阵可交换的矩阵的求法........................................................................................ - 5 -5.1 定义法.......................................................................................................................... - 5 -6 结论（结束语）.................................................................................................................... - 9 -7 致谢...................................................................................................................................... - 10 - 参考文献.................................................................................................................................... - 10 -1 引言矩阵在高等代数以及线性代数中是一个重要的内容.本文从可交换矩阵的定义出发，通过对矩阵理论的深入研究，总结归纳了矩阵可交换的充分条件、充要条件以及可交换矩阵的一些性质及给出了求可交换矩阵的一些方法，对矩阵理论的研究具有重要的意义（文中的矩阵均指n阶实方阵）.2 可交换矩阵的基本定义一般说来，矩阵的乘法不适合交换律，即BAAB≠，这是由于在乘积中一方面要求第一个因子的列数等于第二个因子的行数，否则没有意义.所以当矩阵AB有意义时，矩阵BA未必有意义；另一方面，即使矩阵AB、BA都有意义时，它们的级数也未必相等.因为乘积的行数等于第一个因子的行数，列数等于第二个因子的列数.由此我们给出可交换矩阵这一特殊矩阵的定义.定义2.1[]1对于两个n阶方阵A,B，若BAAB=,则称方阵A与B是可交换的。
矩阵分析小论文-线性变换的可交换性
故 AB=BA
参考文献 [1] 史荣昌,魏丰.矩阵分析（第 3 版）[M].北京：北京理工大学出版社，2010 [2] 高明.线性变换及矩阵可交换的性质与应用[J].阴山学刊(自然科学版).2013(3)
x1 + λ1 x2 + + λ1n −1 xn = µ1 n −1 µ2 x + λ x + + λ2 xn = 考虑方程组 1 2 2 n −1 µn x1 + λn x2 + + λn xn =
1 λ1 λ1n −1 1 λ2 λ2 n −1 = ∏ (λi − λ j ) ≠ 0 该方程组的系数行列式 1≤ j ≤i ≤ n 1 λn λn n −1
4 应用
设 V 是数域 F 上的 n 线性空间， A,B 为 V 上的两个线性变换， A 在 F 上有 n 个互异的特征 值，则：1) AB=BA 的充要条件是 A 的特征向量都是 B 的特征向量；2) AB=BA 的充要条件是 B 是 ε , A , A 2 , , A n −1 的线性组合，其中 ε 为 V 的恒等变换。 证明：设 λ1 , λ2 , , λn 是 A 的 n 个互异的特征值， α1 , α 2 , , αn 是 A 的分别属于特征值
(a1ε +a2B + +an −1B n −1 )(αi )=A (αi )
由于 α1 , α 2 , , α n 是 V 的一组基 故 A = a1ε +a2B + +an −1B n −1 充分性 若 A = a1ε +a2B + +an −1B n −1 ，则
BA = α1B +a2B 2 + +an B n ， AB = α1B +a2B 2 + +an B n
矩阵可交换的条件及其性质
中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
矩阵可交换成立的条件与性质
毕业设计（论文）题目矩阵可交换成立的条件与性质学院理学院专业数学与应用数学年级 2008级班级 0814 姓名吴锦娜学号 2008530088 指导教师李伟职称副教授矩阵可交换成立的条件与性质[摘要］矩阵是高等数学中一个重要内容，在数学领域以及其他科学领域有着重大的理论意义．众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，BAAB ．但是,在某些特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律．可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用．本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质及应用，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵．[关键词］矩阵可交换条件性质应用The Conditions for The Commutation of Matrix and Its Some Properties［Abstract] Matrix， a important content in altitude－mathematics， has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science field。
As far as we have concerned，the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally，AB≠BA。
Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule。
The exchangeable matrix has many special properties and important effection。
论文：浅谈矩阵的可交换性3
浅谈矩阵的可交换性摘要：交换矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具,交换矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点,而在我们的大学学习中,交换矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究。
因此本文针对一般的矩阵可交换这一性质进行了深入研究，对一些特殊的矩阵如上三角矩阵、数量矩阵等给出了一些可交换性质的充分条件和必要条件。
关键字：矩阵交换矩阵上三角矩阵数量矩阵本文分二章第一章为引言,主要介绍了对于矩阵可交换性研究的选题背景和本文有关的一些定义和相关概念。
第二章主要参考一些特殊的公式和通过一些特殊的矩阵如对角矩阵、数量矩阵、上三角矩阵等的研究来对矩阵可交换性的充分条件、必要条件的探讨和总结以及矩阵可交换性的一些性质的探讨。
选题背景随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步,科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视,其应用范围已经渗透到各个学科领域计算机的日益普及,使得矩阵理论与应用越来越受到数学学者、工程技术人员和科技人员的关注，矩阵理论不仅仅是一们重要的数学理论,而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用,还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景，由于利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时,具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点。
因此研究矩阵的可交换性对我的后继学习有极大的帮助。
研究现状及本文所做的工作目前,对于交换矩阵性质的研究主要是围绕交换矩阵的基本性质进行的,重点是交换矩阵的运算性质、交换矩阵的继承性质以及交换矩阵的有关性质。
本文的主要工作是把交换矩阵的性质进行分类并进行相应的总结参考资料【1】高丽一类上三角形矩阵可交换的充要条件。
滨州师范学院学报，2000，16（4）31-33【2】阎家灏赵锡英可交换矩阵兰州工业高等专科学校学报，2002，9（3）：51-54【3】曾梅兰。
可交换矩阵浅析
= a22 ， b11 = b22 ，所以 AB = BA 。
′ −1 −1 A′B′ = ⎡( A − kE ) B ⎤′ ⎡( A − kE ) A⎤ = B′ ( A − kE )′ A′ [ ( A − kE )′] = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −1 −1 B′( A2 − kA)′ [ ( A − kE )′] = B′ [ ( A − kE ) A]′ [ ( A − kE )′] = B′A′ = ( AB)′ 。
[3]
ai ≠ a j (i ≠ j ) ，
B = ( bij ) n×n (i, j = 1, 2,L , n) ，因 AB = BA ，得到元素 ai ·bij = bij ·a j = a j ·bij ， ai - a j ) bij = 0， ai ≠ a j ， ( 因
199
2009 年
αβ
( A − β E )( B − α E ) = E ， 故 依 定 理 2.1 ⑥ 得 ： 1 ( B − α E )
αβ
性质 4.2 与主对角线上的元素互不相等的 n 阶对角阵 A 可交换
( A − β E ) = E ，于是 BA − α A − β B + αβ E = αβ E ，故 BA = α A +
两边取转置得 AB = BA 。或由 A−1 B −1 = ⎡( A − kE ) B ⎤ ⎣ ⎦
−1
−1
−1
⎡( A − kE )−1 A⎤ = B −1 ( A − kE )−1 A−1 ( A − kE ) = B ( A − kA) ⎣ ⎦
−1
2
aij ) n×n 中元素满足 aij =0， ≠ j ， i
定义 1.3 在 n 阶对角阵 A 中， a11 若
可交换的矩阵
块． 此时，A = PJ（ 0，k0） P －1，由上面的过程易知 A* = An－1．
矩阵是研究有限维代数的一个有力工具． 本文研究矩阵代数中一个小知识点—可交换的矩阵． 但 是对矩阵 A 与 B 来说若有 AB = BA，则称 A 与 B 可交换．可交换的阵必为同阶方阵． 关于可交换阵，最常 见的结论是数量阵与同阶方阵都可交换，还有就是任一方阵都与其多项式可交换． 由于 AA* = A* A = | A | I，故 A* 与 A 可交换． 另外，当矩阵 A 可逆时，A －1 与 A 可交换． 本文证明方阵的伴随阵也是其多项 式． 一般地，与 A 可交换的阵并不一定是 A 的多项式． 本文还刻画了与其可交换的阵一定是其多项式的 矩阵．
=
（ － λ1） k1… （ － λs） ks
＊
＊
＊
（
－
λ1）
k1… （
－
λs）
ks
，
于
是，
（
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（
J（
0，k0 ）
）
J
（ 0，k0 ） k0－1 = B4 ．
因此令 g（ λ）
= （
－
λ1）
bk0 k1… （
－
λs）
ks f（ λ） λk0－1 ，则 A*
f（ A） = An + a1An－1 + … + an－1A + anI = 0， 故 A（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I） = － an I，于是 A －1 = － an－1（ An－1 + a1 An－2 + … + an－1 I） ．
矩阵可交换的条件及其性质
中文摘要特殊矩阵在矩阵分析和矩阵计算中占有十分重要的地位，它们在计算数学、应用数学、经济学、物理学等方面都有着广泛的应用，对特殊矩阵的研究取得的实质性的进展，都将会对计算数学的发展起着重要的推动作用.随着矩阵应用程度的不断加深，矩阵的可交换性越来越被学者和技术人员所重视.矩阵的可交换性不仅在矩阵计算中起着重要作用，而且在卫星通讯等等许多领域也有着直接的应用.关键词：矩阵交换矩阵可交换特殊矩阵上三角矩阵数量矩阵ABSTRACTSpecial matrices play an important role in matrix analysis and matrix computation and have wide applications in computational mathematics, economics,physics,biology,applied mathematics and etc.Great progress obtained in the researchers on special matrices will give improvements in computational mathematics.With the applications of matrices are more and more abroad,the commutativity of matrix is more and more recognition by scholar and technology worker.The commutativity of matrix not only plays an important part in the matrix computation,but also in the secondary planet, communication and other fields.Keywords:the commutant of matrix,mathematics,exchangeable,special matrices,upper triangle matrices,scalar matrices矩阵的可交换性在各类矩阵的运算中应用十分重要，特别是在现在这种信息时代，在卫星通讯、网络安全方面、解码器以及电路系统镇定性问题、路由交换处理器等等都有着不可替代的作用.本文主要介绍了矩阵的可交换性质和可交换条件的研究以及矩阵交换的相关概念和基本定义.对矩阵可交换的基本定理和一些优美性质进行了叙述和总结，以及对一些特殊的矩阵例如数量矩阵、上三角矩阵等等，满足可交换条件的矩阵进行了探究.在高等代数及线性代数的教学中，矩阵是一个重要的教学内容。
正交矩阵交换律
正交矩阵交换律正交矩阵交换律是线性代数中一个重要的性质，它在许多领域中都有广泛的应用。
正交矩阵是一种特殊的方阵，它的转置矩阵等于它的逆矩阵。
交换律是指两个矩阵相乘的顺序可以交换，即 AB = BA。
在正交矩阵中，交换律具有特殊的性质，本文将从几个方面来介绍正交矩阵交换律的应用。
正交矩阵交换律在几何变换中有重要的应用。
正交矩阵可以表示旋转、镜像和反射等几何变换。
当两个正交矩阵相乘时，它们表示的几何变换可以按照不同的顺序进行。
例如，设矩阵 A 表示绕某一轴的旋转变换，矩阵 B 表示绕另一轴的旋转变换，则 AB 表示先进行A 变换，再进行 B 变换，而 BA 则表示先进行 B 变换，再进行 A 变换。
正交矩阵交换律保证了这两种顺序的变换结果是相同的，即旋转的顺序可以交换而不改变最终的变换结果。
正交矩阵交换律在物理学中也有广泛的应用。
正交矩阵可以表示坐标系的变换，而坐标系的变换在物理学中是非常常见的。
例如，我们可以用正交矩阵将一个物体的坐标从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
当两个正交矩阵相乘时，它们表示的坐标系变换可以按照不同的顺序进行。
正交矩阵交换律保证了不同顺序的坐标系变换结果是相同的，即坐标系的变换顺序可以交换而不改变最终的结果。
正交矩阵交换律还在信号处理中有重要的应用。
信号处理中的离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）都可以通过正交矩阵来表示。
当多个信号进行混合时，可以使用正交矩阵将它们分离开来。
正交矩阵交换律保证了信号混合的顺序可以交换而不改变最终的分离结果。
这在语音识别、图像处理和通信系统等领域中都有重要的应用。
正交矩阵交换律还在密码学中有一些应用。
密码学中的置换和代换都可以用正交矩阵来表示。
当多个加密操作进行组合时，正交矩阵交换律保证了不同顺序的加密操作结果是相同的，即加密操作的顺序可以交换而不改变最终的加密结果。
这在对称密码算法中起到了一定的作用。
正交矩阵交换律在几何变换、物理学、信号处理和密码学等领域中都有广泛的应用。
可交换矩阵的性质与矩阵可交换的条件
本科毕业论文题目：可交换矩阵的性质及矩阵可交换的条件学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级 5 班姓名：***指导教师：张红玉职称：副教授完成日期： 2011 年 5 月 20 日可交换矩阵的性质及矩阵可交换的条件摘要:矩阵是贯穿高等代数的核心,本文从交换矩阵的定义出发,通过对矩阵理论的深入研究，对可交换矩阵做了深入的探讨，归纳总结了可交换矩阵的一些性质，矩阵可交换的充分条件、充要条件,求一个矩阵的可交换矩阵的方法,及其在线性代数解题中的应用,并对这些内容进行了举例论证.关键词:矩阵; 可交换; 可交换矩阵;运算性质目录1引言 (1)2 可交换矩阵的性质 (4)3 矩阵可交换的条件 (8)3.1 矩阵可交换的充分条件 (8)3.2 矩阵可交换的充要条件 (10)4 可交换矩阵的求法 (12)5 例题论证 (15)参考文献 (19)1引言在高等代数以及线性代数的中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩阵AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB 、BA 矩阵都有意义时它们也未必相等.或者说,在一般情况下,矩阵BA AB ≠,但是在某些特殊情况下,矩阵的乘法也是满足交换律的,从而研究矩阵AB 与BA 的关系具有重要的意义.我们知道若对n 阶实方阵A 、B ,如果满足BA AB =,则称A ,B 可交换.可交换矩阵有许多良好的性质,研究矩阵可交换的条件及可交换矩阵的一些性质对矩阵理论的研究具有重要的意义 2 可交换矩阵的性质性质2.1[]1 设A 与B 可交换矩阵,若A 与B 均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵.证明 因BA AB =,又E A =2,E B =2,()E E E E B A AB ==⋅==2222所以AB 也为对合矩阵.性质2.2 设A 与B 可交换矩阵,若A 与B 均为幂等矩阵,则AB ,AB B A -+也为幂等矩阵.证明 因BA AB =,又E A =2,E B =2,()AB B A AB ==222, 故AB 也是幂等矩阵,有:()()ABB A AB AB AB AB B A BABB A AB AB B A AB B A -+=--+++=--+++=-+222222222222性质2.3[]2 若A ,B 可交换,且A 是可逆的,则1-A ,B 也是可交换阵. 证明 因BA AB =,A 可逆,1-A 存在,故AB A BA A 11--=, BA A B 1-=, ()B A A BA A BA 1111----== , 即1-A ,B 可交换.性质2.4 若A ,B 可交换,且A 是正交矩阵,则A ',B 也可交换.证明 因BA AB =,A 是正交阵,故B EB AB A BA A =='=',()B A A BA A A B '=''=', 即A ',B 交换.性质2.5 设A 与B 可交换矩阵,若A 、B 均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵.证明 因BA AB =,E A k = ,E B k = ,()E E B A AB k k k===2,可证得.性质2.6 设A 与B 可交换,若A 、B 均为幂零矩阵,则AB 也为幂零矩阵. 证明 因BA AB =, 0=k A ,0=k B ,()0==k k kB A AB ,即AB 为幂零矩阵.性质2.7 若A 与B 可交换,则以下结论成立： (1)()k k kB A AB =,A B AB m m =其中k ,m 分别为正整数;(2)=-m m B A ()()121---+++-m m m B B A A B A()()B A B B A A m m m ++++=---121 ;(3)()∑=-=+mk k k m kmmB AC B A 0. 证明 (1)由已知BA AB =,可得()k k kB A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,A B BA BB B BAB B ABB AB m m ===== . (2)、(3)可由数学归纳法证得.性质2.8 型如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211a a aA 且2211a a =的二阶上三角阵的可交换阵仍是二阶上三角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2212110b b b B 且2211b b =,其中()2,1,1,==j i b a ij ij 为任意实数. 证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2222221212111111111211221211000b a b a b a b a b b b a a aAB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2222221212111111221211221211000a b a b a b a b a a a b b bBA 又2211a a =,2211b b = , 所以BA AB =.性质2.9 型如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=332322131211a a a a a a A 且332211a a a ==三阶上三角矩阵的可交换矩阵仍是三阶上三角矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=33232213121100b b b b b b B ,且23122312331211,b b a a b b b ===其中()3,2,1,2,1,==j i b a ij ij 为任意实数.证明⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3333332323222222331323121311221212111111332322131211332322131211000000000b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b a a a a a a AB⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333333232322222233132312131122121211111133232213121133232213121100000000a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a a b b b b b b BA又332211a a a ==,332211b b b ==且23122312a b b a = 故BA AB =.性质2.10[]3 与型如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a x kx a A 二阶方阵可交换的矩阵为二阶方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b y ky b B ,其中y x k b a ,,,,为任意实数. 证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ab kxy ay bx kbx kay kxy ab b y ky b a x kx a AB , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba kxy bx ay kay kbx kxy ba a x kx a b y ky b BA 故BA AB =.性质2.11 型如⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b x b x b A 0000三阶方阵的可交换阵为三阶方阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000000k k B ,其中k x b ,,为任意实数. 证明⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000000000000000bx kx bk k k b x b x b AB , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000000000000000bk kx bx b k b x b k k BA . 故BA AB =性质2.12[]4 如A 与B 可交换,则在复数域上A 、B 至少有一个公共的特征向量.证明 设V 是复数于上n 维线性空间,,,,21n ααα 是V 的一组基,()V ϕτδ∈,,使()()()()()A n n ααααδαδαδ,,,,,,2121 =, ()()()()()B n n αααατατατ,,,,,,2121 =由于BA AB =,因此τδδτ=.所以,在复数域上,δ必有特征值λ并存在非令向量α使得()λααδ=0 故()()λααδαδ==0,又()αλατ0=,所以α为δ与τ的公共的特征向量.复数域上的特征向量为α,α在n ααα,,,21 下的向量组()n k k k ,,,21 是A 与B 的公共的特征向量.性质2.13[]5 设A ,B 是n 阶复矩阵,BA AB =,则存在一个n 阶可逆矩阵P ,使得AP P 1-与BP P 1-同为上三角矩阵.证明 对A ,B 的阶数n 作数学归纳法.当1=n 时,结论显然成立. 假设结论对于1-n 阶矩阵也成立.当A ,B 的阶数为n 时,由于BA AB =,A ,B 至少有一个公共的特征向量()0≠αα,设αλα1=A ,αμα1=B ,将α扩充为 n C 的一组基n ααα,,,21 (均为列向量). 设()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*==112121210,,,,,,,,A A A A A n n n λααααααααα (1)()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡*==112121210,,,,,,,,B B B B B n n n μααααααααα(2)由BA AB =得:⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=⎥⎦⎤⎢⎣⎡*⎥⎦⎤⎢⎣⎡*111111110000A B B A λμμλ, 于是,由归纳法，假设,存在1-n 阶可逆矩阵Q 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡*=-n Q A Q λλ0211 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡*=-n Q B Q μμ0211 令()n P ααα ,,21=,由(1) 、(2) 两式,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡*=-1110A AP P λ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡*-1110B BP P μ 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q P G 001,则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡*=-n AG G λλ021 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡*=-n BG G μμ021 . 3 矩阵可交换的条件 3.1 矩阵可交换的充分条件定理3.1.1(1) 设A , B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换; (2) 设A , B 至少有一个为单位矩阵, 则A ,B 可交换; (3) 设A ,B 至少有一个为数量矩阵, 则A ,B 可交换; (4) 设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换; (5) 设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换; (6) 设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换; (7) 设A 可逆,则A 与1-A 可交换; (8) 设E AB =,则A ,B 可交换 证明(1) 对任意矩阵A ,均有:OA AO =,O 表示零矩阵; (2) 对任意矩阵A ,均有:EA AE =,E 表示单位矩阵; (3) 对任意矩阵A ,均有:()()A kE kE A =,k 为任意实数; (4) ,(5)显然成立[]2; (6) E A A A AA ==**; (7) E A A AA ==--11;(8) E AB =时,A ,B 均可逆, 且互为逆矩阵 定理3.1.2(1) 设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数,则A ,B 可交换; (2) 设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换 证明(1) 由B A AB βα+=可得()()E E B E A αβαβ=--即()()E E B E A =--αβαβ1,故依定理3.1.1()8得()()E E A E B =--αααβ1,于是E E B A BA αβαββα=+--,所以AB B A BA =+=βα;(2) 由E AB A m =+α得()E B A A m =+-α1,故依定理3.1.1()8得()E B Am =+-α1,于是E BA A m =+α,所以可得BA AB =定理3.1.3(1) 设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则A ,B 可交换;(2) 设A ,B 均可逆, 若对任意实数k , 均有()B kE A A -=,则A ,B 可交 换[]2证明(1) 若O AB =,由A 可逆得()()O AB A B A A B ===--11, 从而O BA =,故BA AB =;若AB A =,同理可得()()E AB A B A A B ===--11,故BA AB =;若BA A =,则()()E A BA AA B B ===--11,故BA AB =(2) 因A ,B 均可逆, 故由()B kE A A -=得kE A -可逆, 且()A kE A B 1--=,则()[]()[]()()()()()()()'=''=-'-'''=-''-'''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-''-'='-'-=''----AB A B kE A kE A A B kE A A k A A B kE A A kE A B AkE A B kE A B A 1111两边取转置可得BA AB =.或由()[]()[]()()()()()[]()111112111111111--------------=--=--=--=--=A B kE A A kE A B kE A kEA B kE A A kE A B A kE A B kE A B A两边取逆可得BA AB =. 3.2 矩阵可交换的充要条件定理3.2.1：下列均是A ,B 可交换的充要条件:(1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=-22; (2)()222B AB A B A +±=±; (3)()B A AB ''='; (4)()***=B A AB ;证明 (1) 由()()22B BA AB A B A B A -+-=-+,及()()22B BA AB A B A B A --+=+-可证得;(2) 由()222B BA AB A B A +±±=±可证得;(3) 分别由BA AB =,()B A AB ''='两边取转置可证得;(4) 分别由BA AB =,()***=B A AB 两边取伴随可证得.定理3.2.2 可逆矩阵A ,B 可交换的充要条件是()111---=B A AB .证明 分别由BA AB =,()111---=B A AB 两边取逆可证得定理3.2.3( 1) 设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;(2) 设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵证明(1) 设A ,B 均为对称矩阵, 由定理3.2.1(3) ,()AB B A AB =''=',因此AB 为对称矩阵;若A ,B 均为反对称矩阵,则()()()AB B A B A AB =--=''='因此AB 也为对称矩阵.仿(1)可证(2)定理3.2.4[]6 设A ,B 均为对称正定矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称正定矩阵.证明 充分性由定理3.2.3(1)可得,下面证明必要性 因,A B 为对称正定矩阵,故有可逆矩阵P ,Q ,使P P A '=,Q Q B '=于是Q Q P P AB ''=,()()'''=-Q P Q P ABP P 1所以ABP P 1-为对称正定矩阵, 其特征值全为正数.而AB 与ABP P 1-相似, 从而AB 的特征值也全为正数,因此AB 为对称正定矩阵定理3.2.5 1-=PCP A ,1-=PDP B ,则A 与B 可交换的充分必要条件是C 、D 可交换.证明 因BA AB =,1-=PCP A ,1-=PDP B ,得1-=PAP C ,1-=PBP D ,()()()()DC P BA P P AB P PBP PAP CD ====----1111,所以C 、D 可交换.另一方面,DC CD =,()()()BA P DC P CDP P DP P CP P AB ====----1111, 所以C 、D 可交换. 4 可交换矩阵的求法定理4.1 若()n a a a diag A ,,,21 =,j i a a =,其中()n j i ,,2,1, =则A 与任意方阵可交换;定理4.2 若()n a a a diag A ,,,21 =,j i a a ≠,其中()n j i ,,2,1, =则A 可交换的矩阵一定是对角矩阵;定理4.3[]7 一般地,对于任意方阵()n n n n ij F a A ⨯⨯∈=,可化为Jordan 标准型i i PP n J J J A *⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=21~ 其中⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i iii J λλλλ100000000010000记作=()()i i P p i H E +λ ()i P E 为i P 阶单位方阵,()()n i H ii i P P P ,,2,10100000000010000=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=* 即存在可逆矩阵U ,使1~-=U A U A ,这样A 和与A 可交换的矩阵A X 应满足 A X AX A A =,即11~~--=U A U X X U A U A A把等式两边同时左乘1-U ,右乘U 得到：A U X U U X U A A A ~~11--=,则U X U A 1-与A ~可交换的矩阵,记作U X U X A A1~-= AX ~可由以下定理得到 定理 设u i Jardon P J u II J J J A ,,2,121~ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=块，阶为 则矩阵方程A X X A AA ~~~~=的一般解A X ~有以下结构：把A X ~写成分块矩阵u u A X X *=)(~αβ其中αβX 为βαP P *矩阵块若 (1)βαλλ=,则αβX 为零阶矩阵若（2）βαλλ≠,则αβX 为任意的上三角形矩阵证明 把AX ~写成于准对角型矩阵A ~相应的分块矩阵 u u AX X *=)(~αβ 其中αβX 为βαP P *矩阵块则按照分块矩阵的乘法规则,方程A X X A A A~~~~= 可表示成2u 个矩阵方程：()[]()()[]ββααβαβαβαλλP P P P HE X X H E+=+,u ,,2,1, =βα设()ααH H P =,()ββH HP =即[]()βαβαβααββαλλH X X H X -=- (1)u ,,2,1, =βα可能出现两种情况当βαλλ≠时,将等式(1)两边同乘以()αβλλ-,而在等式右边将()αβαβλλX - 用ααβαβαH X X H -代入,重复这一步骤1-r 次得到以下关系式()()∑-=-τβαβσαταβταβλλH X H X 1 …………… (2) 又()()0==βαβαP P H H (3)在（2）式中取1-+≥βαP P r ,则(2)式右端的和式中每一个项至少满足一下关系式的一个ασP ≥,βτP ≥∴由(3)有0=σαH 或0=τβH 又βαλλ≠0=∴αβX当βαλλ=时,(1)式变为ααβαβαH X X H = …………… (4) 设()βαζαβP P iK X *=,则方程(4)与一下方程同解：1,,1-+=K i K i ζζ其中αP i ,2,1= βP k ,2,1=即αβX 中,位于与对角线平等的每一条线上的元素彼此相等,且012132=======-βαααζζζζζP P P P i i(Ⅰ)当βαP P =时()()ααβαβαβαβαβαβαβααP P P T C C C C C C X =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--记作0211其中()11,,,-ααβαβαβP C C C 为任意参数 (Ⅱ) 当αP <βP 时：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αβααβP T P P X 0(Ⅲ) 当αP >βP 时:βαβαβP P P T X ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0αβX 中任意参数的个数等于数αP 与βP 中较小的一个.5 例题论证例1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=λλ0a A 其中R a ∈λ,,求可交换矩阵B . 解 由性质2.9,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01211x x B ,其中()2,1,1==j i x ij 为任意实数. 例2 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ0010a k A 其中R k a ∈λ,,,求可交换矩阵B . 解 由性质2.10⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11131211x x kx x B 其中()3,2,1,1==j i x ij 为任意实数.例3 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010001100A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='001100010A ,求所有与A 可交换的矩阵,及所有与A '可交换的矩阵.解 设与A 可交换的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321321c c c b b b a a a B ()3,2,1,,=∈i R c b a i i i ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321321321321321321010001100b b b a a a c c c c c c b b b a a a AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=132132132321321321010001100c c c b b b a a a c c c b b b a a a BA 由BA AB =,得21a c =,32a c =,13a c =,21b a =,32b a =,13b a =,21c b =,32c b =,13c b =, 故所求⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=132213321a a a a a a a a a B同样可以求得与A '可交换矩阵也是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=132213321a a a a a a a a a B 例4 (1)设矩阵为()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵,其中j i ≠时,()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则A ,B 可交换的充要条件是B 为对角矩阵(2) 设()r r E a E a E a diag A ,,,2211 =为准对角矩阵,其中ji ≠时,()r j i a a j i ,,2,1, =≠,i E 是i n 阶单位矩阵,n n ri i =∑=1,则A ,B 可交换的充要 条件是B 为准对角矩阵证明 (1) 若A ,B 均为对角矩阵,则由定理2.1 (4)知A ,B 可交换; 若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换, j i ≠时()n j i a a j i ,,2,1, =≠设()n n ij b B ⨯=,()n n ij C AB ⨯=,()n n ij d BA ⨯=,∵A 为对角矩阵, ∴ij i ij b a c =,ij j ij b a d =. 由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得()0=-ij j ib a a而j i ≠时,()n j i a a j i ,,2,1,0 =≠-,故()n j i j i b ij ,,2,1,,,0 =≠=,∴B 为对角矩阵 仿(1) 不难证明(2)例5 已知10阶方阵A 的Jordan 标准型为()2122211111111110010010001000~λλλλλλλλλλλλ≠⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=A 即存在U 可逆,使1~-=U A U A则A 的初等因子为()()()()2223141,,,λλλλλλλλ----设与A ~可交换的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211~X X X X X X X X X X X X X X X X X A其中ij X 为矩阵块,AX ~的分块方法与A ~相同,则 21λλ≠04241323124231413========∴X X X X X X X X其他4443343322211211,,,,,,,X X X X X X X X 使不为零的上三角形矩阵; 又()41λλ-与()41λλ-的最大公因式为()41λλ-所以11X 有4个非零参数.同理()41λλ-与()31λλ-的最大公因式的次数为3,所以12X 和21X 都有3个非零参数以此类推,可将AX ~表示成⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z w r t s r m h p m o k h qp m l k h a e b a f e c b a g f e dc b a X A00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000~ 其中啊z w t s r q p m l k h g f e d c b a ,,,,,,,,,,,,,,,,,为非零参数,则与A 可交换的矩阵1~-=U A U X A由以上求法可以看出,如果n 阶方阵A 的特征艮没有重根,则与A 可交换的矩阵只有数量矩阵和零矩阵例6 设A ,B 是n 阶复矩阵,其中A 是幂零矩阵而且BA AB =,求证B B A =+.证明 由于BA AB =, 由性质2.13 , 存在n 阶可逆矩阵P ,使得AP P 1-与BP P 1-同为上三角矩阵,又A 是幂零矩阵,故其特征值全为零.于是,有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*=-00001 AP P ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡*=-n BP P λλλ0211从而,()n P B A P B A λλλ 211=+=+-, n P B P B λλλ 211)==-. 故B B A =+.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].2版.北京：高等教育出版社，1999.[2] 杨子胥.高等代数习题解[M].济南：山东科技出版社，2001.[3] 阎家灏, 赵锡英.可交换矩阵[J].兰州工业高等专科学校学报.2002[4]布合力且木·阿不都热合木.论可交换矩阵的一些性质[J].和田师范专科学校学报.2008[5] 曾梅兰.线性变换及阵矩可交换的性质与应用[J]. 孝感学院学报.2006[6] 戴立辉等.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质[J].华东地质学院学报.2002[7] 姜景莲.可交换矩阵的性质与求法[J].南平师专学报.2003[8] 金辉.矩阵可交换的充要条件[J].沈阳师范大学学报.2005[9] Kailath T. Linear Systems .Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 2001[10] C. A. Roveda, R. M. Schmid. Upper bound on the dimension of minimal realnatlons of hnear time-lnvanant systems .IEEE Transactions on Automatic Control.1998Commutative Matrix Nature and the Matrix CanExchanged ConditionsAbstract:Matrix is perforative Advanced Algebra core, this article based on the definition, switching matrix by the deep research in the theory of matrices, made a in-depth exchange of matrix, and summarized the discusses some properties of exchange of matrix, the matrix can exchange sufficient conditions are derived, asked for a matrix, the exchange of matrix method and the application in linear algebra problem solving, and the content of these for example demonstrated.Key words:matrix; commutative matrix; operation properties。
(整理)可交换矩阵成立的条件和性质.
内蒙古财经大学本科学年论文可交换矩阵成立的条件与性质作者：系别：专业：年级：学号：指导教师：导师职称：指导教师评语：该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完成。
在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完成论文初稿的书写，书写基本符合规范。
但对参考书目及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的理解及总结。
成绩：中指导教师：内容提要矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，AB≠.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多BA特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.关键字：矩阵可交换条件性质上三角矩阵AbstractMatrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule underAB≠. Whereas, in some certain the normal condition, that is to say, normally, BAconditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.Key Words：matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix目录引言 (1)一可交换矩阵及相关定义 (1)(一)矩阵 (1)(二)可交换矩阵 (3)二可交换矩阵成立的条件与性质 (3)(一)可交换矩阵成立的条件 (3)(二)相关结论 (5)(三)可交换矩阵的性质 (7)三几类常用的可交换矩阵 (7)四可交换矩阵的应用 (8)五总结 (10)参考文献 (10)致谢 (10)可交换矩阵成立的条件与性质引 言随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.一、可交换矩阵及相关定义㈠矩阵1、矩阵的定义由m n ⨯个数ij a ()n j m i ,,2,1,,,2,1 ==排成的m 行n 列的数表⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ()1 称为m 行n 列矩阵，简称n m ⨯矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为()ij a A =或n m A ⨯．这里的ij a 表示位于A 的第i 行第j 列的元素.n m ⨯称为矩阵的阶数.矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为0的矩阵称为零矩阵，记为O .两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.2、矩阵的运算()1加减法设()()n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==,为同型矩阵，则()nm ij ij b a B A ⨯+=+ ()2 这里若设B -为B 的负矩阵，即()n m ij b B ⨯-=-，则可以定义减法运算()n m ij ij b a B A ⨯-=-()3 ()2数与矩阵的乘积设()R k a A n m ij ∈=⨯,为实数，则kA 称为矩阵A 的数乘，且()n m ij ka kA ⨯=()4 即给A 的每个元素均乘以数k .()3矩阵的乘积设()()n ij m ij b B a A ⨯⨯==55,，则()n m ij c C AB ⨯==()5 称c 为矩阵A 与矩阵B 的乘积.其中()n j m i b a b a b a c j i j i j i ij ,,2,1;,,2,1552211 ==+++=即C 的第i 行第j 列元素为A 的第i 行各元素与B 的第j 列各元素对应相乘再相加.注意：只有当A 的行数与B 的列数相等时，A 与B 才能相乘．()4对称矩阵在一个n 阶方阵A 中，若元素满足如下性质：1,0,-<<=n j i A A ji ij()6 则称A 为对称矩阵.()5反对称矩阵设A 是一个n 阶方阵，如果A A T -=()7则称A 为反对称矩阵.㈡可交换矩阵一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：1.AB 有意义时，BA 不一定有意义.2.AB 与BA 均有意义时，可能它们的阶数不相等.3.AB 与BA 均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现BA AB ≠.因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵B A ,满足：BA AB = ()8则称矩阵A 和B 是可交换的.二、矩阵可交换成立的条件与性质若BA AB =成立，则称方阵A 与B 为可交换矩阵.设()01111a x a x a x a x f m m m m ++++=-- ()9 系数m a a a ,,,10 均为数域P 中的交换数，A 为P 上的一个n 阶方阵，记()E a A a A a A a a f m m m m 0111++++=--容易看出：任何方阵A 都与其伴随矩阵*A 是可交换的，且二者的乘积为n AI ;对于任何方阵A ，()I a A a A a x f p P P +++=- 110与()I b A b A b A g q q q +++=- 110可交换.(一) 可交换矩阵成立的条件定理1[1] 设n 阶方阵B A ,满足条件AB B A =+.则B A ,可交换.证明 由条件AB B A =+,[]I e e diag n = ,1，变形可得)()(A I B I A AB B I A I -+-=-+-=-))((I B I A ---=即I I B I A =--))((，所以I A -为可逆矩阵，其逆矩阵为I B -，有I I A I B I B I A =--=--))(())(( 即I A B BA I B A AB +--=+--，从而可得BA AB =.定理2[3] 设B A ,均为对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵. 证明 设B A ,均为对称矩阵，由于BA AB =，故()AB BA A B AB T T T=== 所以AB 是对称的.反之，由于()AB AB T =，所以()BA A B AB AB T T T===，因此，B A ,可交换.推论 设A 为n 阶对称矩阵，则T A A ,都可交换.定理3[3] 设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.证明 设A A T -=，B B T -=,由于BA AB =,所以()()AB BA A B AB T T T -=-== ()10 所以AB 为反对称矩阵.反之，若AB 为反对称矩阵,则()11从而BA AB =.定理4[3] 设B A ,均为反对称矩阵，则B A ,可交换的充要条件是AB 为对称矩阵． 证明 因B A ,均为反对称矩阵，故有A A T -=，B B T -=，又因为B A ,可交换，故有BA AB =成立.从而()()()BA AB A B A B AB T T T==--== ()12 反之，若AB 为对称矩阵，则 ()()()AB BA A B A B AB AB T T T ==--=== ()13所以B A ,是可交换矩阵.定理５[3] 若B A ,为同阶可逆矩阵，则B A ,可交换的充要条件是11,--B A 可交换. 证明 因BA AB =,故有()14即1-A 与1-B 是可交换的.反之，因1-A ，1-B 可交换，故有()15 两边求逆得到BA AB =.推论 可逆矩阵B A ,可交换的充要条件是()111---=A B AB .定理6[3] 若B A ,为n 阶方阵，则AB 可交换的条件是()T T TB A AB = 证明 如果BA AB =，那么()()T T TT B A BA AB == 反之，若()T T T A B AB =，则()()TT T T BA A B AB ==，即BA AB =. ()()()BA A B AB AB T T T -===-()()111111------===B A BA AB A B ()()111111------===AB A B B A BA定理7[5] 矩阵A 能与一切n 阶矩阵可交换的充分必要条件是A 为数量矩阵.证明 若A 与一切n 阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知A 必为一对角线矩阵.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n d d d A ..21 取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0..00.....0....0..001..11B 代入条件BA AB =,得n d d d === 21，所以A 是一个数量矩阵.反之，设aI A =,B 为任意n 阶矩阵，则()()()BA Ia B a BI Ba aB B aI AB ====== ()16引理1 (1)0=A 时（即A 为零矩阵时），与A 可交换得矩阵B 可以是任意的与A 同价的B 矩阵.(2)A 的幂矩阵总是与A 可交换.定理8[ 7 ] 与A 可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于1-n 次的多项式矩阵. 定理9[ 7 ] 一个矩阵A 化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与A 可交换的矩阵其充要条件为B 可化为A 的1-n 次多项式.定理10[7] 下列均是A ,B 可交换的充要条件:(1)()()()()B A B A B A B A B A +-=-+=-(2)()'''B A AB = 定理11[5] 可逆矩阵A , B 可交换的充要条件是：()B A AB ⨯=．定理12[7] (1)设A ,B 均为(反) 对称矩阵, 则A ,B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵．(2)设A ,B 有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则A ,B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.(二)相关结论定理13[7] 设A ,B 是可交换矩阵，则以下结论成立：(1)()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()2222B AB A B A ++=+ (3)()2222B AB A B A +-=-(4)()A B AB A B AB m m K K K==,，其中m k ,分别为正整数 ()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A(5)()k k m m k k m mB AC B A -=∑=+0 证明 (1)因为()()22B BA AB A B A B A --+=-+()()22B BA AB A B A B A -+-=-+由已知BA AB =，可得()()()()B A B A B A B A B A -+=+-=-22(2)()()()222B BA AB A B A B A B A +++=++=+ 由已知BA AB =，可得()2222B AB A B A ++=+同理可得： ()2222B AB A B A +-=-(3)由已知BA AB =,可得 ()k k k B A B AB AA AB AABB AB ABAB AB ==== ,A B BA BB B BAB B ABB AB m m =====(4)运用数学归纳法①当2=m 时，由（1）等式成立，即()()B A B A B A +-=-22②假设1-=k m 时，等式成立，即有()()23211-----+++-=-k k k k k B B A A B A B A ③当k m =时，由已知BA AB =，有()()A B B A B A B A B A k k k k k k 1111----+-+-=-()()()A B B A B A B B A A B A k k k k k 12232-----+-++++-= A B B A B A B A B B A B A A k k k k k k k 1133322221------+-----+++= 由性质有11--=k k AB A B ，11--=k k BA B A因此，上式可转化为：A B B A B A B B A B A A B A k k k k k k k k k 1122221-----+----+++=- k k k k k k k k B A B A BA AB B A B A A ----++++=------ 332211221B -()()121---+++-=k k k B B A A B A()()()B A B B A B A B A A k k k -++-+-=---121即证得()()121---+++-=-m m m m m B B A A B A B A 同理可证得()()B A B B A A B A m m m m m -+++=----121 (5)对m 用数学归纳法同（4）即可得证.(三) 可交换矩阵的性质高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.性质1[2] 设A ,B 可交换,则有:(1)BA AB =,AB BA =,其中m ,k 都是正整数(2)()()A B f B Af =,其中()B f 是B 的多项式,即A 与B 的多项式可交换(3)()()()()B A B AB A B AB A B A B A -++=++-=-?？(4)()k m mk k m mB AC B A 10-=∑=+ 性质2[4](矩阵二项式定理) 设B A ,可交换,则有：(1)若B A ,均为对合矩阵,则AB 也为对合矩阵(2)若B A ,均为幂等矩阵,则AB B A AB -+,也为幂等矩阵(3)若B A ,均为幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵(4)若B A ,均为幂零矩阵,则B A AB +,均为幂零矩阵.三、几类常用的可交换矩阵假设以下矩阵均为n 阶实方阵，定理14[7] （1）设B A ,至少有一个为零矩阵,则B A ,可交换(2)设B A ,至少有一个为单位矩阵, 则B A ,可交换(3)设B A ,至少有一个为数量矩阵,则B A ,可交换(4)设B A ,均为对角矩阵,则B A ,可交换(5)设B A ,均为准对角矩阵,则B A ,可交换(6)设*A 是A 的伴随矩阵,则*A 与A 可交换(7)设A 可逆,则A 与A 可交换(8)设E AB =,则B A ,可交换.定理15[7] (1)设B A AB βα+=,其中βα,为非零实数,则B A ,可交换(2)设E AB Am =+α ,其中m 为正整数,α为非零实数,则B A ,可交换.定理16[7] (1)设A 可逆,若O AB =或AB A =或BA A =,则B A ,可交换(2)设B A ,均可逆,若对任意实数ｋ,均有()B kE A A -=,则B A ,可交换.四、可交换矩阵的应用例1 设A 与所有的n 阶矩阵均可交换，证明A 一定是数量矩阵.证明 记()n n ij a ⨯，用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的n n ⨯矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，因此必与ij E 可交换.由A E AE ij ij =,得()n j i a a jj ii ,,2,1, ==及()n j i j i a ij ,,2,1,,0 =≠=.故A 是数量矩阵.例2 与任意一个n 阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？解 不妨设B 为可逆矩阵，由于BA AB =，所以对于任意可逆阵B 都有A AB B =-1即A 的任意线性变换仍是A 自己，这样的矩阵只能是KI ．例3 如果矩阵A 与所有的n 阶矩阵可交换，则A 一定是数量矩阵，即aE A =． 证明 记ij A 用ij E 将第i 行第j 列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因A 与任何矩阵均可交换，所以必与E 可交换.由A E AE ij ij =得ij ji a a = （n j i ,3,2,1== 及0=ij a i 不等于j ）故A 是数量矩阵．例4 若矩阵21,A A 都与B 可交换，则2121,A A LA KA +也都与B 可交换.解 由已知11BA B A =，22BA B A =，那么()()21212121LA KA B BLA BKA B LA B KA B LA KA +=+=+=+()()()()2121212121A A B A B A BA A B A A B A A ====．例5 A 与B 可交换（即BA AB =)的充分必要条件是AB 为对称矩阵（即()AB AB T =）．解 题目根本就是错的，A 取单位阵，B 取任意非对称阵，那么AB 非对称但BA AB =．一定要加一个条件A 和B 本身都是对称阵才有结论.若BA AB =，则()()AB B A BA AB T T TT ===.反之，若()AB AB T =，则 BA A B AB T T ==．例6 设A ,B 为乘积可交换的n 阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在n 阶可逆矩阵P ,使得都为对角矩阵.证明 在V 中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为B A ,,且A ,B 与对角形相似.例7 所有与A 可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.解 一般地,由于交换性问题,乘法公式对于n 阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的n 阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如()⇔+±=±2222B AB A B A A 和B 可交换.()()⇔-=-+22B A B A B A A 和B 可交换.A 和B 可交换⇒(不是⇔!)有二项公式.例8 (1)设矩阵()n a a a diag A ,,,21 =为对角矩阵，其中j i ≠时，()n j i a a j i ,,2,1, =≠,则B A ,可交换的充要条件是B 为对角矩阵.若B A ,均为对角矩阵则，B A ,可交换．若B 与()n a a a diag A ,,,21 =可交换，i 不等于j 时，j i a a ≠，（n j i ,2,1,=），证明 设()()()n n ij n n ij n n ij d BA C AB b B ⨯⨯⨯===,,，因为A 为对角矩阵，故()n j i b a d b a c ij j ij ij i ij ,,2,1,, ===由BA AB =,即()n j i d c ij ij ,,2,1, ==得()0=-ij j i b a a而j i ≠时，(),,,2,1,0n j i a a j i =≠⋅故()n j i j i b ij ,,2,1,,0 =≠=所以B 为对角矩阵．五、总结本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．参考文献[1].北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社.2007:181-186.[2].戴立辉，《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002(04)[3].阎家灏，赵锡英，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报2002(03)[4].戴笠辉、颜七笙， 《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)[5].李瑞娟、张厚超 ，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C 的显式解及其应用》， 2002 致谢本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.。
可交换矩阵的性质及应用_孟献青
１ 性质
性质 １ 设矩阵 A，B 可交换，且
λn
n
1
n n
n
n
n n n
λ1
n n n
n
n
A＝
n n
……
n n
n
n
n n
λ
1n n
n
n
n
n
n n
λ
， n
n
则
bn
n n
1
n
n
n
n
B
＝
n n
n
n
n
n
n
n
n
b2 b3 … b1 b2 …
…… b1
bn
n
n n
bn
n－1
n n
n
n
n
n
bn
2
n n
n
b1
。 n
λ I ≠
≠ ≠
1 n1
≠
≠
≠
T－1AT＝
≠ ≠ ≠
≠
≠
≠
≠
≠≠
≠
λ2In2
…
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
≠
λI ≠
s
ns
≠≠ ≠
收稿日期：2012－12－12
基金项目：山西省高等学校科技研究开发项目[20121015]
作者简介：孟献青（1979－），女，山西怀仁人，硕士，讲师，研究方向：图论与高等数学。
组基，在此基下 A，B 对应的线性变换 A，B 的矩
阵分别为
2 2 2 2 λ α
μβ
A1 ＝ 0 Α2 B1 ＝ 0 B2 ，
可交换矩阵的性质及应用
可交换矩阵的性质及应用
孟献青;张英;乔世东
【期刊名称】《山西大同大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2013(029)002
【摘要】如果矩阵的乘积满足交换律,则称矩阵是可交换的.文章研究了可交换矩阵的性质,并给出了可交换矩阵的一些应用.
【总页数】3页(P6-8)
【作者】孟献青;张英;乔世东
【作者单位】山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009;山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009
【正文语种】中文
【中图分类】R742.1
【相关文献】
1.可交换矩阵空间上矩阵函数的一些性质 [J], 马翠云
2.线性变换及矩阵可交换的性质与应用 [J], 曾梅兰
3.矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质 [J], 戴立辉;颜七笙;刘龙章
4.与矩阵A可交换的全体矩阵的性质 [J], 丁晓业;李红菊;何健
5.可交换矩阵和反可交换矩阵的几个性质 [J], 贾经纬; 唐俊
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015届学士学位毕业论文矩阵可交换性的应用学号：11404111姓名：郭冬冬班级：数学1101指导教师：闫慧凰专业：数学与应用数学系别：数学系完成时间：2014年4月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文《矩阵可交换性的应用》是我个人在导师闫慧凰指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。
所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
签名：日期：指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过论文的全部内容，并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。
指导教师签名：时间摘要矩阵在高等数学中是一个极重要且应用广泛的概念，是线性代数的核心。
而且在一些重要领域也用到了矩阵的计算，像应用数学、计算数学、经济学、数学物理、卫星通信等等，许多工作人员在大量计算这些矩阵时发现了一些对于特殊矩阵成立的公式和规律，本文将用这些规律来叙述一些特殊矩阵（可交换矩阵）的应用。
关键词：矩阵；可交换目录1.绪论 (1)2.基础知识 (1)2.1 矩阵相关概念 (1)2.2 线性变换相关概念 (2)3.矩阵可交换的应用 (3)3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系 (3)3.2上三角矩阵可交换的应用 (4)矩阵可交换性的应用11404111 郭冬冬 数学与应用数学指导教师 闫慧凰1.绪论随着社会经济的发展，数学显得格外重要，在生产、生活中都或多或少的涉及到了数学，所以数学是每个人必须学会的，而对于一些技术分子则不仅仅是掌握基本的数学知识，而且要对数学中的一些比较高深的内容进行进一步的了解，之后对其进行应用，像从事计算科学、无线电技术和卫星通信领域工作的人都涉及到了矩阵的可交换方面的知识。
通常情况下，若A B 和都是m 阶矩阵，像22=B ⨯-（A+B ）(A-B)A是不成立的，但如果已知A B 和可交换，那么上述这个公式就是成立的。
像这样的公式还有很多在可交换矩阵的条件下是成立的，如k k k AB A B =（）等等，当然，有时候在解决一些问题的时候会将线性变换与矩阵结合起来，这样两者之间就可以转化，将问题简单化。
文献[9]就主要介绍了线性变换和矩阵之间的转化问题，文献[3]和文献[4]主要是对矩阵可交换的性质进行了探究。
本文第一部分主要介绍了矩阵可交换性的相关概念，第二部分讲了矩阵可交换在一些方面的应用，主要有线性变换与矩阵的转化、上三角矩阵可交换的计算等。
2.基础知识2.1 矩阵相关概念定义2.1.1 设矩阵A B 和，如果有=AB BA ，则称矩阵A B 与可交换。
定义2.1.2 在m 阶方阵B 中，倘若其中的元素=0,1,2,,ij b i j j m ≠=，，则称B 为m 阶对角矩阵，记为1100mm b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭定义2.1.3 如果一个m m ⨯矩阵其主对角线上的元素全是1，其余的元素全是0，即1001m m⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则称其为m 级单位矩阵，记为m E 或简写为E 。
显然有 sm m sm A E A =s sm sm E A A =定义2.1.4 矩阵1111m s sm ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵=ij sm A （a ）与数k 的数量乘积，记为kA ，换句话说，即用数k 乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上k 。
定义2.1.5 设A =，所谓A 的转置就是指矩阵=A '，显然s m ⨯矩阵的转置是m s ⨯矩阵。
定义2.1.6 m 级方阵A 称为可逆的，若有m 级方阵B ，使得=AB BA E =，这里E 是m 级单位矩阵。
定义 2.1.7 设ij X 是矩阵A =中元素ij x 的代数余子式，矩阵*X =称为X 的伴随矩阵。
2.2 线性变换相关概念定义2.2.1 设V 是线性空间，σ和τ是V 上的线性变换，若=σττσ成立，则称线性变换σ和τ是可交换的。
定义2.2.2 设V 是数域P 上的m 维线性空间，()L V 是V 上的所有线性变换的集合，12m ααα，，是的一组基，即=V 12(,)m L ααα，记为1212(,,)=(,,)m m B σαααααα，().m m L V B P σ⨯∈∈ ① 在①式所设下，令:()f L V P →，且()f σ= B , ().m m L V B P σ⨯∈∈,则()m m f L V P ⨯是到的同构映射，因此()m m L V P ⨯≅3.矩阵可交换的应用3.1线性变换与矩阵（可交换）之间的联系设V 是数域P 上的m 维线性空间，由定义2.2.2我们得到了()m m L V P ⨯≅，如此便建立了数域上的m 维线性空间V 的线性变换与数域P 上的m m ⨯矩阵的关系，它们是相互唯一确定的。
解决上述中线性变换的问题就可以借助矩阵σ，这样有限维空间上的线性变换问题就可以转化为m m P ⨯中矩阵的问题了，反过来，m m P ⨯中矩阵的问题就可以转化为有限维空间上的线性变换问题。
在同构的前提下，()L V 中的线性变换的很多性质转化为矩阵语言同样成立，反之，也成立。
定理3.1.1 设V 是复数域P 上的m 维线性空间，στ和 是V 的线性变换，且=σττσ，（1） σ的每一个特征子空间都是τ的不变子空间；（2） σ与τ至少有一个公共的特征向量。
证明：（1）设b V 是的σ特种子空间，其中b 是σ的特征值，则对于b V ς∀∈，有()b σςς=，从而(())=()=()=(())()()b b στςστττσττσςτςτς==，故()b V τς∈，即σ的每一特征子空间都是τ的不变子空间。
（2）b V 是τ的不变子空间，则在复数域上，τ必有特征值η，并存在非零向量,(),()()b V b ςτςηςτςηςσςς∈===使故又，所以，ς是σ与τ的公共特征向量。
接下来，我们利用这个定理来证明两个题。
例1：设X Y 、是m 阶复矩阵，且X 的m 个特征值12,,m μμμ两两互异，XY YX =。
证明：Y 是个对角矩阵。
证明：设X 和Y 是m 维复空间V 的线性变换σ和τ在某组基下的矩阵，由已知可得12,,m μμμ是m 个两两互异的特征值，从而存在i ζ使得(),1,2,,i i i i m σζμζ==，其中12,,,m ζζζ线性无关，所以12,,,m ζζζ是V 的一组基，则=()i V L ζ是τ的一维不变子空间的直和.又因为XY YX =，所以=σττσ，根据定理得()i L ζ是τ的不变子空间，其中1,2,i m =，则有()(),1,2,,i i L i m τζζ∈=，即τ有m 个线性无关的特征向量12,,,m ζζζ，则τ可以对角化，所以Y 可以对角化，因此Y 是个对角矩阵。
例2：σ和τ是m 维:线性空间V 的线性变换，证明：若σ的m 个特征值两两互异，则=σττσ的充要条件是σ的特征向量也是τ的特征向量。
证明：设12,,m μμμ是σ的全部特征值，且,()j i i j μμ≠≠，属于i μ的特征向量为(1,2,,)i i m α=。
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以12,,m ααα是V 的一个基。
必要性：设=σττσ，且σ和τ在基i α下的矩阵分别为X Y 、，则12112212(,,)(,,,)(,,)m m m m X σαααμαμαμαααα==，其中12X=(,,,)m diag μμμ。
因为=σττσ，所以XY YX =，由于与对角元素彼此不同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵，所以12=(,,,)m diag τηηη，这时从1212(,,)(,,)m m Y ταααααα=得到(1,2,,)i i i i m ταηα==。
充分性：若σ的特征向量也是τ的特征向量，则12121(,,)(,,)(,,)m m m diag σααααααμμ=12121(,,)(,,)(,,)m m m diag τααααααηη=，。
于是，σ与τ在基12,,m ααα下的矩阵X 与Y 可交换，12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)m m m m diag diag diag diag μμμηηηηηημμμ=即XY YX =，因此=σττσ。
3.2上三角矩阵可交换的应用首先，给出几个简单的定理，然后由这几个简单定理来推出一个比较复杂的性质，最后利用结论来解决矩阵方面的习题。
定理3.2.1 型如1112110x x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶上三角矩阵的可交换矩阵仍然是二阶上三角阵1112110y y Y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,(1,1,2)ij ij x y i ==为任意实数。
定理3.2.2 型如111213112311000x x x X x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三阶上三角矩阵的可交换矩阵仍然是三阶上三角矩阵111213112311000y y y Y y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（且12122323x y x y =）其中,(1,1,2)ij ij x y i j ==为任意实数。
定理3.2.3 型如0000x a X x a x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的三阶方阵的可交换矩阵仍然是三阶方阵0000000y Y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中,,a x y 为任意实数。
下面给出矩阵X =的上三角矩阵，再给出一个引理： 引理：与m 阶方阵Q =的可交换矩阵型如上述矩阵X = 根据以上引理，来证明一下如下定理。
定理3.2.4 m 阶方阵P 能与m 阶方阵X =可交换⇔P 是型如方阵X 的m 阶方阵。
证明：必要性：设方阵P 能与m 阶方阵X 可交换，那么与Q =也可交换，由引理可知P 是型如方阵X 的m 阶方阵。
充分性：设=P ，R =中,(1,2,,)i i k r i m =是任意实数，通过矩阵的乘法比较PR RP 和，得出=PR RP 。
接下来，应用以上定理来证明以下的题目。