三角函数章节检测
高一数学三角函数章节测试卷(含详解)
高一三角函数章节测试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ) A. π3B. −π3C. π6D. −π62. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为π4米，整个肩宽约为π8米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：√2≈1.414;√3≈1.732) ( )A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米3. 已知θ是第四象限角，M (1,m )为其终边上一点，且sinθ=√55m ，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ的值( ) A. 0B. 45C. 43D. 54. sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=( ) A. −12B. 12C. −√32D. √325. 终边为一、三象限角平分线的角的集合是( ) A. {α|α=2kπ+π4,k ∈Z} B. {α|α=kπ+π2,k ∈Z} C. {α|α=2kπ+π2,k ∈Z}D. {α|α=kπ+π4,k ∈Z}6. 已知4sin α−2cos α5cos α+3sin α=57，则sinα⋅cosα的值为( ) A. −103B. 103C. −310D. 3107. 设a =cos π12,b =sin 41π6,c =cos 7π4，则( )A. a >c >bB. c >b >aC. c >a >bD. b >c >a8. 为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点( )A. 向左平移π12个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 下列化简结果正确的是( ) A. cos22∘sin52∘−sin22∘cos52∘=12B. sin15∘sin30∘sin75∘=14C. cos15∘−sin15∘=√22D. tan24∘+tan36∘1−tan24∘tan36∘=√310. 对于函数f (x )=sinx +cosx ，下列说法正确的有( ) A. 2π是一个周期B. 关于(π2,0)对称 C. 在[0,π2]上的值域为[1,√2]D. 在[π4,π]上递增11. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法正确的是( )A. g(x)的最小正周期为2π3 B. g(x)在区间[π9,π3]上单调递增 C. g(x)的图象关于直线x =4π9对称 D. g(x)的图象关于点(π9,0)成中心对称12. 绍兴市柯桥区棠棣村是浙江省美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景．假设水轮半径为4米(如图所示)，水轮中心O 距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P 从水中浮现时(图中P 0)开始计时，则( )A. 点P 第一次达到最高点，需要20秒B. 当水轮转动155秒时，点P 距离水面2米C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P 距水面超过2米D. 点P 距离水面的高度ℎ(米)与t(秒)的函数解析式为ℎ=4sin (π30t −π6)+2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 函数f (x )=tan (πx −π4)的定义域为______．14. 要得到函数y =cos (x 2−π4)的图象，只需将y =sin x2的图象向左平移 个单位；15.1sin10∘−√3sin80∘的值为16. 已知cosα=13，且−π2<α<0，则cos (−α−π)sin (2π+α)tan (2π−α)sin (3π2−α)cos (π2+α)= ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. (本小题10分)已知sin x 2−2cos x2=0．(1)求tanx 的值；(2)求cos2xcos(5π4+x)sin(π+x)的值．18. (本小题12分)已知函数f(x)=sin (π4+x)sin (π4−x)+√3sin xcos x ．(1)求f(π6)的值；(2)在△ABC 中，若f(A2)=1，求sinB +sinC 的最大值．19. (本小题12分)设函数f(x)=√32cos x +12sin x +1．(1)求函数f(x)的值域和单调递增区间;(2)当f(α)=95，且π6<α<2π3时，求sin(2α+2π3)的值．20. (本小题12分)已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)，x ∈[0,π4]，求ℎ(x)的取值范围．21. (本小题12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x.(1)求函数y=f(x)周期及其单调递增区间;(2)当x∈[0,π2]时，求y=f(x)的最大值和最小值．22. (本小题12分)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为P(−45,35 )．(1)求cos(α+π4)和sin2α的值；(2)求的值．答案和解析1.解：将时钟拨快10分钟，则分针顺时针转过60°，∴将时钟拨快10分钟，分针转过的弧度数是−π3．故选B ．2.解：由题得：弓所在的弧长为：l =π4+π4+π8=5π8；所以其所对的圆心角α=5π854=π2；∴两手之间的距离d =2Rsin π4=√2×1.25≈1.768．故选B ．3.解：∵θ是第四象限角，M(1,m)为其终边上一点，则有m <0，∴|OM|=√1+m 2，则sin θ=√1+m2=√55m ，即m =−2，∴tanθ=−2，则2sinθ−cosθsinθ+cosθ=2tanθ−1tanθ+1=−4−1−1=5．故选D ． 4.解：sin15∘cos75∘−cos15∘sin105∘=sin15°cos75°−cos15°sin75°=sin (15°−75°)=−sin60°=−√32．故选C ．5.解：设角的终边在第一象限和第三象限角的平分线上的角为α，当角的终边在第一象限角的平分线上时，则α=2kπ+π4，k ∈Z ，当角的终边在第三象限角的平分线上时，则α=2kπ+5π4，k ∈Z ，综上，α=2kπ+π4，k ∈Z 或α=2kπ+5π4，k ∈Z ，即α=kπ+π4，k ∈Z ，终边在一、三象限角平分线的角的集合是：{α|α=kπ+π4,k ∈Z }．故选D ．6.解：由4sinα−2cosα5cosα+3sinα=57，得4tanα−25+3tanα=57，解得tanα=3，∴sinα⋅cosα=sinα⋅cosαsin 2α+cos 2α=tanα1+tan 2α=31+32=310．故选D ．7.解：b =sin41π6=sin(6π+5π6)=sin5π6=sinπ6=cosπ3,c =cos7π4=cosπ4，因为 π 2> π 3> π 4> π 12>0，且y =cos x 在(0,π2)是减函数，所以cosπ12>cosπ4>cosπ3，即a >c >b ．故选A ．8.因为y =4sinxcosx =2sin2x ，y =√3sin2x +cos2x =2sin (2x +π6)=2sin2(x +π12)，所以为了得到函数y =4sinxcosx ，x ∈R 的图象，只要把函数y =√3sin2x +cos2x ，x ∈R 图象上所有的点向右平移π12个单位长度即可，故选：B9.解：A 中，cos 22∘sin 52∘−sin 22∘cos 52∘=sin30°=12，则A 正确，B 中，sin15°sin30°sin75°=sin15°sin30°sin (90°−15°)=sin15°cos15°sin30°=12sin30°sin30°=18，则B 错误，C 中，cos 15∘−sin 15∘=√2cos(45°+15°)=√22，则C 正确；D 中，tan 24∘+tan 36∘1−tan 24∘tan 36∘=tan60°=√3，则D 正确．故选ACD ．10.解：因为函数f (x )=sinx +cosx =√2sin (x +π4)，故它的一个周期为2π，故A 正确；令x =π2，得f (x )=√2sin (π2+π4)=√2sin 3π4=1，所以函数f (x )不关于(π2,0)对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，π4≤x +π4≤3π4，所以√2×√22≤√2sin (x +π4)≤√2×1，即f (x )的值域为[1,√2]，故C 正确；当π4≤x ≤π时，π2≤x +π4≤5π4，所以函数f (x )在[π4,π]上单调递减，故D 不正确．11.解：根据函数的图象：周期12T =5π12−(−π12)=π2，解得T =π，故ω=2．由图可得A =2，当x =5π12时，f(5π12)=2sin(5π6+φ)=−2，即5π6+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，由于|φ|<π，所以φ=2π3，所以f(x)=2sin(2x +2π3)，函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到函数y =2sin(3x +2π3)的图象，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin(3x +π6)的图象， 故对于A ：函数g(x)的最小正周期为T =2π3，故A 正确；对于B ：由于x ∈[π9,π3]，所以3x +π6∈[π2,7π6]， 故函数g(x)在区间[π9,π3]上单调递减，故B 错误；对于C ：当x =4π9时，g(4π9)=2sin(4π3+π6)=−2， 故函数g(x)的图象关于直线x =4π9对称，故C 正确；对于D ：当x =π9时，g(π9)=2，故D 错误． 故选：AC ．12.解：设点P 距离水面的高度为ℎ(米)和t(秒)的函数解析式为ℎ=Asin(ωt +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π2)，由题意，ℎmax =6，ℎmin =−2，∴{A +B =6−A +B =−2，解得{A =4B =2，∵T =2πω=60，∴ω=2πT =π30，则ℎ=4sin(π30t +φ)+2．当t =0时，ℎ=0，∴4sinφ+2=0，则sinφ=−12，又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．ℎ=4sin(π30t −π6)+2，故D 正确；令ℎ=4sin(π30t −π6)+2=6，0⩽t ⩽60，∴sin(π30t −π6)=1，得t =20秒，故A 正确； 当t =155秒时，ℎ=4sin(π30×155−π6)+2=4sin5π+2=2，故B 正确； 4sin(π30×t −π6)+2>2，令0<π30×t −π6<π，解得5<t <35，故有30秒的时间，点P 距水面超过2米，故C 错误．故选：ABD ．13.解：由πx −π4≠π2+kπ，k ∈Z ，可得x ≠k +34,k ∈Z ，即定义域为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．故答案为{x|x ≠k +34,k ∈Z}．14.解：将函数y =sin x 2的图象上所有点向左平移π2个单位纵坐标不变，可得函数y =sin 12(x +π2)=sin(x 2+π4)=cos(π4−x 2)=cos(x 2−π4)的图象．故答案为： π2．15.解：原式=1sin10∘−√3cos10∘=cos10∘−√3sin10∘sin10∘cos10∘=4(12cos10∘−√32sin10∘)2sin10∘cos10∘=4cos(60∘+10∘)sin20∘=4cos70∘sin20∘=4sin20∘sin20∘=4，故答案为4．16.解：cos(−α−π)sin(2π+α)tan(2π−α)sin(3π2−α)cos(π2+α)=(−cosα)sinα(−tanα)(−cosα)(−sinα)=tanα，∵cosα=13，且−π2<α<0，∴sinα=−2√23，则原式=tanα=sinαcosα=−2√2．故答案为−2√2． 17.解：(1)∵f(x)=sin (π 4+x)sin (π 4−x)+√3sin xcos x=sin (π4+x)sin [π2−(π4+x)]+√3sinxcosx =sin (π4+x)cos (π4+x)+√3sinxcosx =12cos2x +√32sin2x =sin (2x +π6)，∴f (π6)=sin (2×π6+π6)=1． (2)由f (A2)=sin (A +π6)=1，而0<A <π，可得A +π6=π2，即A =π3， ∴sinB +sinC =sinB +sin (2π3−B)=32sinB +√32cosB =√3sin (B +π6)， ∵0<B <2π3，∴π6<B +π6<5π6，12<sin (B +π6)≤1，则√32<√3sin (B +π6)≤√3，故当B =π3时，sinB +sinC 取最大值，最大值为√3． 19.【答案】解：(1)由图象有A =√3，最小正周期T =43(7π12+π6)=π，所以ω=2πT=2，所以f(x)=√3sin(2x +φ)．由f (7π12)=−√3，得2·7π12+φ=3π2+2kπ，k ∈Z ，所以φ=π3+2kπ，k ∈Z ．又因为0<φ<2π，所以φ=π3.所以 f(x)=√3sin(2x +π3) ．(2)由(1)可知f(x)=√3sin (2x +π3)，ℎ(x)=f(x)⋅f(x −π6)=√3sin (2x +π3)×√3sin2x =3sin2x(12sin2x +√32cos2x)=32sin 22x +3√32sin2xcos2x =32·1−cos4x 2+3√34sin4x =32sin(4x −π6)+34．因为x ∈[0,π4]，所以4x −π6∈[−π6,5π6]，所以sin(4x −π6)∈[−12,1]，所以ℎ(x)的取值范围为[0,94]. 20.解：(1)因为f(x)=(sinx +cosx)2+2cos 2x =2+sin2x +cos2x =√2sin(2x +π4)+2所以f(x)=√2sin(2x +π4)+2；所以f(x)的最小正周期为2π2=π；令−π2+2kπ≤2x +π4≤π2+2kπ，k ∈Z ，所以−3π8+kπ≤x ≤π8+kπ，k ∈Z 所以f(x)的单调递增区间为[−3π8+kπ,π8+kπ]k ∈Z;(2)因为x ∈[0,π2]，所以2x +π4∈[π4,5π4]，所以sin(2x +π4)∈[−√22,1]所以f(x)∈[1,2+√2]，所以f(x)的最大值为2+√2，最小值为1．21.解：(1)由sin x 2−2cos x2=0，知cosx2≠0，∴tanx 2=2，∴tanx =2tan x21−tan 2x2=2×21−4=−43． (2)由(1)，知tanx =−43，∴cos2x cos(5π4+x)sin(π+x)=cos2x −cos(π4+x)(−sinx)=22(√22cos x−√22sin x)sin x=√22(cos x−sin x)sin x=√2×cos x+sin x sin x=√2×1+tan xtan x =√24． 22.解：(1)由题意，|OP|=1，则sinα=35，cosα=−45，∴cos(α+π4)=cosαcos π4−sinαsin π4=−45×√22−35×√22=−7√210，sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425．(2)由(1)知，tanα=sinαcosα=−34，则3sin (π−α)−2cos (−α)5cos (2π−α)+3sin α=3sinα−2cosα5cosα+3sinα=3tanα−25+3tanα=3×(−34)−25+3×(−34)=−1711．。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-附答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-附答案1. 与610°角终边相同的角表为 .2.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］.3.设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .4.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--•+•+--•+•+= .5. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.6.将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .7.函数y =|sin x |的一个单调增区间是8.函数f （x ）=sin x +2|sin x |，x ∈［0，2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .9.关于函数f (x )=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π433x ,有下列命题： ①其最小正周期为π32；②其图象由y =2sin3x 向左平移43个单位而得到； ③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）.10.若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 11.已知f (x )=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= .12.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期为 .13 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x )=(2)y =x x cos sin -= .14.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，则参数m 的取值范围为 .15.下面有五个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }. ②在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.③把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ④函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 .16.已知342sin ,cos 552m m m m πθθθπ--⎛⎫==<< ⎪++⎝⎭，则θcot =17.已知定义在[]4,3t t -上的奇函数当0>x 时，x x x f aa 1log log )(-=（其中01a <<），若m 满足()240f m m -≥，则实数m 的取值范围为18.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.参考答案1.与610°角终边相同的角表示为 .答案 k ·360°+250°(k ∈Z )2.某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t =0时，点A 与钟面上标12的点B 重合.将A 、B 两点间的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d = ,其中t ∈［0,60］. 答案 10sin 60t π 3.设0≤α＜2π,若sin α＞3cos α,则α的取值范围是 .答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,3ππ 4.化简:)2sin()2(sin )tan()2cos()cos()(sin 32πααπαππααππα--•+•+--•+•+= . 答案 15. ①在(0,2π)上递减； ②以2π为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.答案 y =-sin x6.将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .答案 y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 7.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 （写出一个即可）.答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,ππ8.函数f （x ）=sin x +2|sin x |，x ∈［0，2π］的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .答案 1＜k ＜39.关于函数f (x )=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-π433x ,有下列命题： ①其最小正周期为π32；②其图象由y =2sin3x 向左平移43个单位而得到；③在⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,12ππ上为单调递增函数，则其中真命题为 （写出你认为正确答案的序号）. 答案 ①③10.若动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为 . 答案 211.已知f (x )=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx (ω＞0),f ⎪⎭⎫ ⎝⎛6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛3π,且f (x )在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大值，则ω= .答案 314 12.函数y =|sin x |cos x -1的最小正周期为 .答案 2π13 求下列函数的定义域：（1）y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.解 （1）要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0.∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-2π+2k π＜x ＜2π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1∴OM 只能在x 轴的正半轴上∴其定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ. （2）要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如图所示.在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为4π，45π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ. 方法二 利用三角函数线如图MN 为正弦线，OM 为余弦线要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM则4π≤x ≤45π（在［0，2π］内）. ∴定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ≥0 将x -4π视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4π≤π+2k π 解得2k π+4π≤x ≤45π+2k π,k ∈Z . 所以定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ. 14.已知x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ，若方程m cos x -1=cos x +m 有解，则参数m 的取值范围为 . 解 由m cos x -1=cos x +m 得cos x =11-+m m ,作出函数y =cos x 的图象（如图所示） 由图象可得21≤11-+m m ≤1,解得m ≤-3. 15.下面有五个命题：①终边在y 轴上的角的集合是{α|α=2πk ,k ∈Z }.②在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ③把函数y =3sin(2x +3π)的图象向右平移6π得到y =3sin2x 的图象. ④函数y =sin(x -2π)在［0,π］上是减函数. 其中，真命题的编号是 .18.是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a cos x +85a -23在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，说明理由.解 y =1-cos 2x +a cos x +85a -23 =218542cos 22-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a a x 当0≤x ≤2π时，0≤cos x ≤1 若2a ＞1,即a ＞2,则当cos x =1时 y max =a +a 85-23=1,∴a =1320＜2(舍去). 若0≤2a ≤1，即0≤a ≤2,则当cos x =2a 时 y max =218542-+a a =1,∴a =23或a =-4(舍去). 若2a ＜0,即a ＜0时,则当cos x =0时 y max =2185-a =1,∴a =512＞0(舍去). 综上所述,存在a =23符合题设.。
第一章三角函数测试题（含参考答案）
第一章三角函数测试题第一章三角函数测试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．sin 330°等于（等于（ ））A ．32- B ．12- C ．12D ．322．已知点(tan ,cos )P a a 在第三象限，则角a 的终边在（的终边在（ ））A.A.第一象限第一象限第一象限B. B.第二象限第二象限第二象限C. C. C.第三象限第三象限第三象限D. D.第四象限第四象限第四象限3．若1cos()2p a +=-，322p a p <<，则sin(2)p a -等于（等于（ ））A.32- B.32C. 12D. 32±4．已知函数)2tan(j +=x y 的图象过点)0,12(p ，则j 可以是（可以是（ ））A ．6p-B ．6pC ．12p-D ．12p5．把函数sin ()y x x =ÎR 的图象上所有的点向左平行移动3p 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数（，得到的图象所表示的函数（ ））A ．sin 23y x x p æö=-Îç÷èøR ，B B．．sin 26x y x p æö=+Îç÷èøR ， C ．sin 23y x x p æö=+Îç÷èøR ，D ．sin 23y x x 2p æö=+Îç÷èøR ， 6．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（，则这个圆心角所对的弧长是（ ））A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin7．设0a <，角a 的终边经过点(3,4)P a a -，那么sin 2cos a a +的值等于（的值等于（ ））A.25B. 25-C.15D. 15-8．下列不等式中，正确的是（．下列不等式中，正确的是（ ））A ．tan513tan413p p < B B．．sin)7cos(5pp->C ．sin(π－1)<sin1oD D．．cos )52cos(57pp -<9. 9. 函数函数)62sin(p+-=x y 的单调递减区间是（的单调递减区间是（ ））A ．)](23,26[Z k k k Î++-p pp pB ．)](265,26[Z k k k Î++p p p pC ．)](3,6[Z k k k Î++-p p p p D D．．)](65,6[Z k k k Î++p p p pp p)22_ .p3÷öπ)18. (18. (本小题本小题12分)已知1tan 3a =-求下列各式的值求下列各式的值. .（1）3cos 5sin sin cos a a a a +-（2）22sin 2sin cos 3cos a a a a +-19. (19. (本小题本小题12分)化简化简(1))－()＋(－)＋＋()＋()－(－)＋＋(－a a a a a a °°°°180cos cos 180tan 360tan sin 180sin(2)111(sin )(cos )(tan )sin cos tan a a a aaa--+2020．．(本小题12分) 已知1sin cos 5a a +=（0a p <<）求：（1）sin cos a a（2）sin cos a a -p 2p p ùú2,33-úp p参考答案参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） BBBAC BADCD BA二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）1313．．52- 14 14．．}2422,33a p p a p p ì+<<+Îíî 15 15．．3216 16．①③．．①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤..）1717．． (1) (1)图略图略图略 （（ 2 2））max2=，},8pp ì=+Îíî18. 18. （（1）1- （（2）165-19. 19. （（1） －1 1 （（2）1 2020．． (1) 1225- (2)7521. 21. （（1）()2sin(2)6p =+ （（2）1,3éùëû22. 22. 解：解：22()sin (cos 1)coscos1=+-=-++-，（（1） 令令cos =，2,33p p éùÎ-êúëû，1[,1]2\Î- 则则2()1=-++-，对称轴为2=，当当124£，即12£时，在1=时，()有最小值为0，此时0=当当124³，即12³时，在12=-时，()有最小值为3342-，此时23p =.（2）当1=时，2()coscos =-+令cos=，2()=-+，对称轴为12=，当当12£时，5[2,2]3p p p p Î++（Î），此时cos=单调递增，所以单调递增，所以()单调递增；单调递增；当当12³时，[2,2]3p p p Î+（Î），此时cos=单调递减，所以单调递减，所以()单调递增单调递增. .。
第一章三角函数章末检测(A)(有详细答案)(可编辑修改word版)
3 6 ．－ ＋ D. 24 4 2 2 4 4 第一章 三角函数(A ) (时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．sin 600°＋tan 240°的值是( )3 A. － 23B. 2 1 1 C＋ 2 22. 已知点 P (sin 3π，cos 3π)落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)，则 θ 的值为()π A.4 4 3π B. 4 4 5πC. 47π D. 4 3. 已知 tan α＝3，α∈(π，3π)，则 cos α 的值是( )4 24 4 4 3 A. ±5 B. C ．－ D.5 54 3π5 sin α＋cos α 4．已知 sin(2π－α)＝ ，α∈( ，2π)，则 － 等于( )5 2 sin α 1 1 cos αA.7 B ．－7C ．－7D ．7 π5. 已知函数 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线 x ＝8对称，则 φ 可能取值是()π A.2 π B ．－4π C.4 3πD. 4 6. 若点 P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内 α 的取值范围是( )A.(π，3π)∪(π，5π)B.(π π)∪(π， )5π，C.(π，3π)∪(5π，3π)D.(π，3π)∪(3π，π)7. 已知 a 是实数，则函数 f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是()8. 为了得到函数 y ＝sin (2x －π)的图象，可以将函数 y ＝cos 2x 的图象()πA. 向右平移6个单位长度πB. 向右平移3个单位长度πC. 向左平移6个单位长度32 4 4 4 2 4πD. 向左平移3个单位长度π9. 电流强度 I (安)随时间 t (秒)变化的函数 I ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<2)的图象如右图所1示，则当 t ＝ 秒时，电流强度是( )100A ．－5 AB ．5AC ．5 3 AD ．10 A 10. 已知函数 y ＝2sin(ωx ＋θ)(0<θ<π)为偶函数，其图象与直线 y ＝2 的某两个交点横坐标为 x 1 、 x 2，若|x 2－x 1|的最小值为 π，则( )π 1 πA ．ω＝2，θ＝2B ．ω＝ ，θ＝ 2 2 1 π πC ．ω＝ ，θ＝D ．ω＝2，θ＝2 4 4π 4π11. 设 ω>0，函数 y ＝sin(ωx ＋3)＋2 的图象向右平移 3个单位后与原图象重合，则 ω 的最小值是( ) 2 A.3 4 B.3 3C.2D ．3 4π12. 如果函数 y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点( 3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )π A.6 π B.4 π C.3 π D.2题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13. 已知一扇形的弧所对的圆心角为 54°，半径 r ＝20 cm ，则扇形的周长为 ．114. 方程 sin πx ＝ x 的解的个数是 ．47π15. 已知函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则 f (12)＝ .πx16. 已知函数 y ＝sin 3在区间[0，t ]上至少取得 2 次最大值，则正整数 t 的最小值是．三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17．(10 分)求函数 y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的 x 的值．3 22 518．(12 分)已知函数 y ＝a cos (2x ＋π)＋3，x ∈[0，π]的最大值为 4，求实数 a 的值．π19. (12 分)如右图所示，函数 y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤2)的图象与 y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为 π.(1) 求 θ 和 ω 的值；π3 (2) 已知点 A (2，0)，点 P 是该函数图象上一点，点 Q (x 0，y 0)是 PA 的中点，当 y 0＝ 2，x 0∈[π2，π]时，求 x 0 的值．sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)20．(12 分)已知 α 是第三象限角，f (α)＝ .tan (－α)·sin (－π－α)(1) 化简 f (α)；(2) 若 cos (α－3π)＝1，求 f (α)的值；(3)若 α＝－1 860°，求 f (α)的值．23 12221．(12 分)在已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A > 0，ω > 0，0 < φ < π)的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π，且图象上一个最低点为 M (2π，－2).2 3(1) 求 f (x )的解析式；(2) 当 x ∈[ π ，π]时，求 f (x )的值域．π22．(12 分)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0 且 ω>0,0<φ<2)的部分图象，如图所示．(1) 求函数 f (x )的解析式；(2) 若方程 f (x )＝a 在(0，5π)上有两个不同的实根，试求 a 的取值范围．1．B 2.D 3.C第一章 三角函数(A )答案4 4 3π 34．A [sin(2π－α)＝－sin α＝ ，∴sin α＝－ . 又 α∈( ，2π)，∴cos α＝ .5 5 2 58 44 2 4 sin α＋cos α 1 ∴ － ＝ ，故选 A.]sin α cos α 75．C [检验 f (π)＝sin (π＋φ)是否取到最值即可．] 6．B [sin α－cos α>0 且 tan α>0，∴α∈(π，π)或 α∈(π，5π).]7．D [当 a ＝0 时 f (x )＝1，C 符合，当 0<|a |<1 时 T >2π，且最小值为正数，A 符合， 当|a |>1 时 T <2π，B 符合． 排除 A 、B 、C ，故选 D.]8．B [y ＝sin (2x －π)＝cos [π－(2x －π)]＝cos (2π－2x )＝cos (2x －2π)＝cos2(x －π).] 6 2 6 3 3 3 T 4 1 19．A [由图象知 A ＝10， ＝ － ＝ ，1 2π2 300 300 100∴T ＝ ，∴ω＝ ＝100π.50 T∴I ＝10sin(100πt ＋φ)． 1( ，10)为五点中的第二个点， 3001 π∴100π× ＋φ＝ .300 2 π π ∴φ＝6.∴I ＝10sin(100πt ＋6)，1当 t ＝秒时，I ＝－5 A ，故选 A.]100π10．A [∵y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，∴θ＝2.∵图象与直线 y ＝2 的两个交点横坐标为 x 1，x 2， |x 2－x 1|min ＝π，即 T min ＝π， 2π∴ ω＝π，ω＝2，故选 A.] 4 411．C [由函数向右平移 π 个单位后与原图象重合，得 π 是此函数周期的整数倍．又 ω>0，3 32π 4 3 3 ∴ ω ·k ＝ π，∴ω＝ k (k ∈Z )，∴ωmin ＝ .] 3 2 24π 4π12．A [∵y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点( 3 ，0)中心对称，即 3cos(2× 3＋φ)＝0，8π π∴ 3 ＋φ＝2＋k π，k ∈Z . 13π π∴φ＝－ 6 ＋k π.∴当 k ＝2 时，|φ|有最小值6.]13．(6π＋40) cm3π解析 ∵圆心角 α＝54°＝10，∴l ＝|α|·r ＝6π.∴周长为(6π＋40) cm. 14．71解析 在同一坐标系中作出 y ＝sin πx 与 y ＝ x 的图象观察易知两函数图象有 7 个交点，所4以方程有 7 个解． 15．02 23 3 2 1 3 5π π 2π解析 方法一 由图可知， T ＝ － ＝π，即 T ＝ ，2 4 4 32π∴ω＝ T ＝3.∴y ＝2sin(3x ＋φ)，π 3π将(4，0)代入上式 sin( 4 ＋φ)＝0. 3π 3π ∴ 4 ＋φ＝k π，k ∈Z ，则 φ＝k π－ 4 . 7π 7π 3π∴f (12)＝2sin( 4 ＋k π－ 4)＝0.3 5π π 2π方法二 由图可知， T ＝ － ＝π，即 T ＝ .2 4 43 T 7π π π π又由正弦图象性质可知，若 f (x 0)＝f (x 0＋2)＝0，∴f (12)＝f ( ＋ )＝f (4)＝0.4 316．8 解析5TT ＝6，则 4 ≤t ，15∴t ≥ 2，∴t min ＝8.17．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x ＝4sin 2x －4sin x －1 ＝4(sin x －1)2－2，令 t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，∴y ＝4(t － )2－2 (－1≤t ≤1)．1 π 5π∴当 t ＝ ，即 x ＝ ＋2k π 或 x ＝ ＋2k π(k ∈Z )时，2 6 6y min ＝－2；3π当 t ＝－1，即 x ＝ 2 ＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.18．解 ∵x ∈[0，π]，∴2x ＋π∈[π，4π]，2 3 3 3∴－1≤cos (2x ＋π)≤1. 当 a >0，cos (2x ＋π)＝1时，y 取得最大值 1a ＋3，3 2 21∴ a ＋3＝4，∴a ＝2. 2当 a <0，cos (2x ＋π)＝－1 时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数 a 的值为 2 或－1.319．解 (1)将 x ＝0，y ＝ 3代入函数 y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得 cos θ＝ 2，π π因为 0≤θ≤2，所以 θ＝6.2π 2π由已知 T ＝π，且 ω>0，得 ω＝ T ＝ π＝ 2.2 6 52 653 3 6 2 2 2 5 5 6 3π(2)因为点 A (2，0)，Q (x 0，y 0)是 PA 的中点，3 πy 0＝ 2 ，所以点 P 的坐标为(2x 0－2， 3)．π π又因为点 P 在 y ＝2cos(2x ＋6)的图象上，且2≤x 0≤π，5π 3 7π 5π 19π所以 cos(4x 0－ 6 )＝ 2 ，且 6 ≤4x 0－ 6 ≤ 6 ，5π 11π 5π 13π 2π 3π从而得 4x 0－ 6 ＝ 6 ，或 4x 0－ 6 ＝ 6 ，即 x 0＝ 3 ，或 x 0＝ 4.sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)] －sin α·cos α·tan α20．解 (1)f (α)＝ －tan α[－sin (π＋α)] ＝ －tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos (α－3π)＝cos (3π－α)＝－sin α，又 cos (α－3π)＝1，∴sin α＝－1. 又 α 是第三象限角，∴cos α＝－ 1－sin 2α＝－ ，∴f (α)＝－ .1(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝ .221．解 (1)由最低点为 M (2π，－2)得 A ＝2.π由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为2，T π 2π 2π 得 ＝ ， 即 T ＝π，∴ω＝ ＝ ＝2. 2 2 T π由点 M (2π，－2)在图象上得 2sin (2 × 2π＋φ)＝－2，3 3即 sin (4π＋φ)＝－1， 4π π故 3 ＋φ＝2k π－2(k ∈Z )， 11π∴φ＝2k π－ 6 (k ∈Z )．又 φ∈(0，π)，∴φ＝π，2 6故 f (x )＝2sin (2x ＋π).(2)∵x ∈[ π ，π]，∴2x ＋π∈[π，7π]，12 2 π π 6 3 6 π当 2x ＋ ＝ ，即 x ＝ 时，f (x )取得最大值 2；6 2 6 π 7π π当 2x ＋6＝ 6 ，即 x ＝2时，f (x )取得最小值－1，故 f (x )的值域为[－1,2]． 22．解 (1)由图象易知函数 f (x )的周期为T ＝4×(7π－2π)＝2π，A ＝1，所以 ω＝1.3 3 3 3 π π方法一 由图可知此函数的图象是由 y ＝sin x 的图象向左平移3个单位得到的，故 φ＝3，所以函数解析式为 f (x )＝sin (x ＋π).方法二 由图象知 f (x )过点(－π，0)，则 sin (－π＋φ)＝0，∴－π＋φ＝k π，k ∈Z .3 3 3π∴φ＝k π＋3，k ∈Z ，又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π，2 3 ∴f (x )＝sin (x ＋π).(2)方程 f (x )＝a 在(0，5π)上有两个不同的实根等价于 y ＝f (x )与 y ＝a 的图象在(0，5π)上有两个交点，在图中作 y ＝a 的图象，如图为函数 f (x )＝sin (x ＋π)在(0，5π)上的图象，当 x ＝0 时，f (x )＝3 3 3 5π3 2，当 x ＝ 3 时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈( 2，1)∪(－1,0)．。
第五章三角函数单元测试卷及参考答案
第五章 三角函数单元测试卷一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分） 1．已知角α的终边经过点(,3)P x -，且3tan 4α=-，则cos α=（ ） A ．35±B ．45±C ．45-D ．452．已知3cos 4x =，则cos2x =( ) A ．14-B ．14C ．18-D ．183．如果函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点（43π，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π4．已知函数()sin 3f x x x =，则在下列区间使函数()f x 单调递减的是（ ）A ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5．若,αβ为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，则sin β等于（ ） A ．1665B ．5665C ．865D ．47656．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期是2πB ．()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．直线1712x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴7．已知7sin 6πα⎛⎫+=⎪⎝⎭2cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=（ ） A ．23-B ．13-C ．23D ．138．将函数()2sin 2cos 2cos sin sin 22f x x x ππθθθθ⎛⎫=+--<< ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x ，()g x 的图象都经过点P ⎛ ⎝⎭，则ϕ的值可以是（ ） A ．53πB ．56π C ．2π D ．6π 二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分） 9．设函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，给出下列命题，不正确的是（ ）． A ．()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．把()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到一个偶函数的图象D ．()f x 的最小正周期为π，且在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( ) A ．是偶函数 B ．在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．最大值为2 D ．其图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 11．如图是函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将sin ()y x x R =∈的图象上所有的点（ ）．A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的12，纵坐标不变C ．把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变12．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将函数()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为πC ．函数()g x 的图像的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z三、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 14．函数()f x =sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭cos x 的最小值为_________．15．已知1sin 34πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．已知函数()tan(),(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的相邻两个对称中心距离为32π，且()f π=，将其上所有点的再向右平移3π个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的13，得()g x 的图像，则()g x 的表达式为_______四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知1tan 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值．18.已知函数()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭．（1）求函数()f x 的最小值和最大值及相应自变量x 的集合； （2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）画出函数()y f x =区间[]0,π内的图象．19.已知()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的函数()()()22sin 2g x f x k x =-+在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围．20．一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O 距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为x 轴，以过点O 且与水面垂直的直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P 距离水面的高度h （单位：米）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P 距水面的高度超过2米？21.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和()0,2x +π-.若将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象关于原点对称. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()10y f kx k =+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()1f kx m +=恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤⎪⎝⎭的图象如图所示.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =. （i ）求函数()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值； （ii ）若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在()()0,n n N π+∈内恰有2015个零点，求m 、n 的值.参考答案： 一、单选题 1．【答案】D【解析】角α的终边经过点(),3P x -，由3tan 4α=-，可得334x -=-，所以4x =. 所以4cos 5α==.故选D.2．【答案】D【解析】由3cos 4x =得2231cos 22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选D ．. 3．【答案】A【解析】∵函数y ＝3cos （2x +φ）的图象关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称. ∴4232k ππϕπ⋅+=+∴13()6πϕπ=-∈k k Z 当2k =时，有min ||6πϕ=.故选：A. 4．【答案】C【解析】依题意，函数()2sin(3)3f x x π=-，令3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得52211,183318k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 上先增后减，在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增，在5,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 在,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 上先增后减.故选C . 5．【答案】A【解析】由角的关系可知根据同角三角函数关系式，可得()312cos ,sin 513ααβ=+= ()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦ ()()sin cos cos sin αβααβα=+-+ 12354135135=⨯-⨯ 1665=所以选A 6．【答案】C【解析】由图可知，2A =，该三角函数的最小正周期7233T πππ=-=，故A 项正确； 所以21Tπω==，则()2sin()f x x ϕ=+. 因为563f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎝ ⎝⎭⎭⎪，所以该函数的一条对称轴为5736212x πππ+==， 将7,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入2sin()y x ϕ=+，则72()122k k ππϕπ+=+∈Z ，解得2()12k k πϕπ=-+∈Z ，故()2sin 22sin 1212f x x k x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令22()2122k x k k πππππ--+∈Z ，得5722()1212k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 令1k =，则1931,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故函数()f x 在1931,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.故B 项正确； 令322()2122k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得71922()1212k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， 令1k =-，175,1212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ 故函数()f x 在175,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.故C 项错误； 令()122x k k πππ-=+∈Z ，得7()12x k k ππ=+∈Z ，令2k =-，1712x π=-故直线1712x π=-是()f x 的一条对称轴.故D 项正确.故选C. 7．【答案】B【解析】由题意7sin sin sin 666πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以2cos 2cos 2cos 2cos 23336ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 2212sin 121633πα⎛⎛⎫=+-=⨯--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭． 故选B ． 8．【答案】B 【解析】易得()()2sin 2cos 2cos sin sin sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x x x θθθθθθ=+-=+=+.因为函数()f x 的图象过点P ⎛ ⎝⎭,22ππθ-<<,所以代入函数解析式得3πθ=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.根据题意,得()()sin 23g x x πϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦,又因为()g x 的图象也经过点P ⎛ ⎝⎭,所以代入得sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭将53πϕ=、56π、2π或6π代入sin 23πϕ⎛⎫-=⎪⎝⎭只有56π成立. 故选B. 二、多选题 9．【答案】ABD【解析】因为sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以A 不正确； 因为sin 1122f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以B 不正确；因为函数()f x 的最小正周期为π，但sin 112226f f πππ⎛⎫⎛⎫==>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 不正确；把函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度，得到函数sin 2sin 2cos21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，函数cos 2y x =为偶函数，所以C 正确． 故选：ABD. 10．【答案】AD【解析】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .选项A ：()2))()f x x x f x -=-== ，它是偶函数，正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，错误；选项C ：()2f x x =，错误；选项D ：函数的对称中心为(,0)24k ππ+ ，k Z ∈，当0k =，图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 错误. 故选：AD 11．【答案】AC【解析】由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），sin y x =向左平移3π，得sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．然后各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故A 正确．sin y x =各点的横坐标缩短到原来的12，得sin 2y x =．然后向左平移6π个单位，得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故C 正确．故选：AC 12．【答案】BD 【解析】由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈，即2,Z 3k k πϕπ=-∈.||2ϕπ<，∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x x x x R . ∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数，故A 错误； ∴()g x 的最小正周期22T ππ==，故B 正确. 令2,32x k k πππ+=+∈Z ，解得,122k x k ππ=+∈Z .则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k ππ=+∈Z .故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.故D 正确. 故选：BD.三、填空题 13．【答案】二【解析】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0， 则角α的终边在第二象限，故答案为二． 14．【答案】34-【解析】由函数()211sin()cos (sin cos )cos cos cos 62222f x x x x x x x x x π=-=-=-1112(1cos 2)sin(2)44264x x x π=-+=--， 当sin(2)16x π-=-时，即,6x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值34-. 15．【答案】14【解析】因为1sin()34πα+=，则1cos()sin(())sin()62634ππππααα-=--=+=． 16．【答案】2()tan()9g x x π=+. 【解析】由题意，函数()tan()f x x ωϕ=+的相邻两个对称中心距离为1322w ππ⋅=，解得13w =，且()f π=，即tan()3πϕ+=，因为02πϕ<<，解得3πϕ=，所以1()tan()33f x x π=+，将()f x 图象上的点向右平移3π个单位，可得112()tan[()]tan()33339f x x x πππ=-+=+， 再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，可得2()tan()9f x x π=+的图象， 即函数()g x 的解析式为2()tan()9f x x π=+. 故答案为：2()tan()9f x x π=+. 四、解答题17．【答案】（Ⅰ）1tan =-3α；（Ⅱ）15-19.【解析】解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得；（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． 18.【答案】（1，取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 最小值为，取得最小值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭； （2）3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（3）图象见解析． 【解析】（1）()f x ，当2242x k πππ-=+，即38x k ππ=+时，等号成立， ∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭()f x 的最小值为，当2242x k πππ-=-+，即8x k ππ=-+时，等号成立，∴()f x 取得最大值时相应x 的集合为,8x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭（2）由222242k x k πππππ-+≤-≤+求得388k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间是3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（3）列表：()f x 图像如图所示：19．【答案】（1）()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）14k k ⎧⎪<≤⎨⎪⎩或12k ⎫=-⎬⎭． 【解析】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令3222232k x k πππππ+++，k Z ∈，解得71212k xk ππππ++，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）知，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()g x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有零点等价于()()2sin 2f x k x =+在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一根，∴可得2sin 2sin 23k x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1sin 22cos 226x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭设()cos 26h x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 根据函数()h x 在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象， ∵2y k =与()y h x =有唯一交点，∴实数k 应满足1222k -<≤或21k =- ∴144k -<≤或12k =-．故实数k 的取值范围1{|4k k<或1}2k =-．20．【答案】（1）()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 【解析】（1）设水轮上圆心O 正右侧点为A ，y 轴与水面交点为B ，如图所示：设()sin h a t b ωϕ=++，由1OB =，2OP =，可得03BOP π∠=，所以06AOP π∠=.2a ∴=，1b =，6πϕ=-，由题意可知，函数2sin 16h t πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期为3T =，223T ππω∴==， 所以点P 距离水面的高度h 关于时间t 的函数为()22sin 1036t h t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭；（2）由22sin 1236t h ππ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，得21sin 362t ππ⎛⎫->⎪⎝⎭， 令[]0,3t ∈，则211,3666t ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由256366t ππππ<-<，解得1322<<t ，又31122-=， 所以在水轮转动的任意一圈内，有1s 时间点P 距水面的高度超过2米. 21．【答案】（1）()2sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）)1,3 【解析】（1）由题意可知函数()f x 的周期2T π=，且2A =，所以21Tπω==，故()()2sin f x x ϕ=+.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数2sin 3y x ϕπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称，所以()3k k ϕπ+=π∈Z ，即()3k k ϕπ=π-∈Z . 又2πϕ<，所以3πϕ=-，故()2sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）得函数()12sin 13y f kx kx π⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其周期为23π， 又0k >，所以2323k π==π.令33t x π=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 若sin t s =在2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上有两个不同的解，则s ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以当)1,3m ∈时，方程()1f kx m +=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的解，即实数m的取值范围是)1,3.22．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）（i ）34；（ii ）1m =-，1343n =. 【解析】（1）由图象可得1A =，最小正周期721212T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则22T πω==，由77sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以523k πϕπ=-+，k Z ∈，又2πϕ≤，则易求得3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈， 所以单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.（2）（i ）由题意得()sin g x x =，()()sin sin 23x h x f g x x x π⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112cos 2444x x =-+ 11sin 2264x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以()()2x h x f g x ⎛⎫=⎪⎝⎭的最大值为34； （ii ）令()0F x =，可得22sin sin 10x m x --=，令[]sin 1,1t x =∈-， 得2210t mt --=，易知>0∆，方程必有两个不同的实数根1t 、2t ， 由1212t t =-，则1t 、2t 异号， ①当11t >且210t -<<或者101t <<且21t <-时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去；②当101t <<且0201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()0,n π均有偶数个根，不合题意，舍去； ③当11t =且212t =-，当()0,2x π∈时，1sin x t =，只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 1x m x --在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程1sin x t =在区间()1342,1343ππ上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1343,1344ππ上两个根，因此，不合题意，舍去；④当11t =-时，则212t =，当()0,2x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x m x --=在()0,2x π∈上有三个根，由于201536712=⨯+，则方程22sin sin 10x m x --=在()0,1342π上有2013个根，由于方程2sin x t =在区间()1342,1343ππ上有两个根，方程1sin x t =在区间()1343,1344ππ上有一个根，此时，满足题意；因此，1343n =，21121022m ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得1m =-，综上，1m =-，1343n =.。
2023-2024学年宁夏固原市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年宁夏固原市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知函数 ，( )在区间 上是增函数，且在区间 上恰好取得一次最大值1，则 的取值范围是（ ）A .B .C .D .4cm5cm6cm7cm2. 已知一扇形的周长为20 ，当这个扇形的面积最大时，半径 的值为（ ）A .B .C .D .86423. 已知扇形OAB的圆心角为 ，其面积是2cm 2则该扇形的周长是（ ）cm。
A .B .C .D . 4. 已知 为锐角，且 ， ，则 （ ）A .B .C .D .向左平移向右平移向右平移向左平移5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A .B .C .D .6. 半径为2的扇形面积为 ，则扇形的圆心角为（ ）A .B .C .D .函数在 上单调递增函数的图像关于直线 对称当 时，函数的最小值为要得到函数 的图像，只需要将的图像向右平移 个单位7. 已知函数的最大值为，其图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，且的图像关于点对称，则下列判断正确的是（ ）A .B .C .D .8. 的值为（ ）A .B .C .D .－9. 的值等于（ ）A .B .C .D .正切函数在整个定义域上是增函数正切函数会在某一区间内是减函数函数的周期为 10. 下列说法正确的是（ ）A . B .C . D .点是 图象的一个对称中心的最小正周期是在区间上的最大值为 在区间 上是减函数11. 已知函数 ，下列说法正确的是（ ）A .B .C .D .250 cm 260 cm 295 cm 305 cm12. 在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示，将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD)有15 cm，跨接了6个坐位的宽度(AB)，每个座位宽度为43 cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）．A .B .C .D .13. 已知sinθ= ， θ∈（﹣ ， ），则sin（π﹣θ）sin（π﹣θ）的值为14. 给出下列四个命题：①函数 是奇函数；②若角C是 的一个内角，且 ，则 是钝角三角形；③已知 是第四象限角，则 ；④已知函数 ( )在区间 单调递增，则 .其中正确命题的序号是 .15. 若 ， 则 .16. 计算： ．17. 如图，已知一块足球场地的球门宽米，底线上有一点 ， 且长米．现有球员带球沿垂直于底线的线路向底线直线运球，假设球员射门时足球运动线路均为直线．(1) 当球员运动到距离点为米的点时，求该球员射门角度的正切值；(2) 若该球员将球直接带到点 ， 然后选择沿其左后方向（即）的线路将球回传给点处的队友．已知长米，若该队友沿着线路向点直线运球，并计划在线路上选择某个位置进行射门，求的长度多大时，射门角度最大．18. 已知函数f（x）=2 ﹣3（ω＞0）(1) 若 是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；(2) 若g（x）=f（3x）在 上是增函数，求ω的最大值．19. 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函数 的图像.2013年1月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为 ；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下 .（Ⅰ）请推理荆门地区该时段的温度函数的表达式；（Ⅱ）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于 ，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该送电吗？20. 已知函数 为偶函数，且函数的y=f（x）图象相邻的两条对称轴间的距离为 ．(1) 求 的值；(2) 将y=f（x）的图象向右平移 个单位后，再将所得的图象上个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g （x）的图象，求y=g（x）的单调区间，并求其在 上的最值．21. 已知函数f（x）=Asin（ωx+θ）（ A＞0，ω＞0，|θ|＜ ）的最小正周期为π，且图象上有一个最低点为M（，﹣3）．(1) 求f（x）的解析式；(2) 求函数f（x）在[0，π]的单调递增区间．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.20.(1)(2)(1)(2)。
《第五章三角函数》章节复习及单元检测试卷
《第五章 三角函数》章节复习及单元检测试卷《第五章 三角函数》知识梳理1. 知识系统整合2. 规律方法收藏1．在任意角和弧度制的学习中，要区分开角的各种定义，如：锐角一定是第一象限角，而第一象限角不全是锐角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2k π＋30°，k ∈Z ，这种表示法不正确．2．任意角的三角函数，首先要考虑定义域，其次要深刻认识三角函数符号的含义，sin α＝ry≠sin×α；诱导公式的记忆要结合三角函数的定义去记忆．3．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1及ααcos sin ＝tan α，必须牢记这两个基本关系式，并能应用它们进行三角函数的求值、化简、证明，在应用中，注意掌握解题的技巧，能灵活运用公式．在应用平方关系求某个角的另一个三角函数值时，要注意根式前面的符号的确定．4．三角函数的诱导公式诱导公式一至六不仅要正确、熟练地掌握其记忆的诀窍，更要能灵活地运用． (1)－α角的三角函数是把负角转化为正角；(2)2k π＋α(k ∈Z)角的三角函数是化任意角为[0,2π)内的角； (3)2π±α，π±α，23π±α，2π－α角的三角函数是化非锐角为锐角； (4)化负为正→化大为小→化为锐角； (5)记忆规律：奇变偶同，象限定号． 5．正弦函数、余弦函数的图象与性质(1)五点法作图是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握，作图时自变量要用弧度制，作出的图象要正规．(2)奇偶性、单调性、最值、周期是三角函数的重要性质，f (x ＋T )＝f (x )应强调的是自变量x 本身加常数才是周期，如f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是f (2x )的周期．解答三角函数的单调性的题目一定要注意复合函数单调性法则，更要注意定义域．6．使用本章公式时，应注意公式的正用、逆用以及变形应用．如两角和与差的正切公式tan(α±β)＝βαβαtan tan 1tan tan ±，其变形公式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)应用广泛；公式cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α的变形公式：1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝22cos 1α+，sin 2α＝22cos 1α-常用来升幂或降幂． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)主要掌握由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的平移、伸缩等变换．注意各种变换对图象的影响，注意各物理量的意义，A，ω，φ与各种变换的关系．8．三角函数的应用(1)根据图象建立解析式；(2)根据解析式作出图象；(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型；(4)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数模拟．在建立三角函数模型的时候，要注意从数据的周而复始的特点以及数据变化趋势两个方面来考虑．3 学科思想培优一、三角函数变形的常见方法在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．在本章所涉及的变形中，常用的变形方法有切化弦、弦化切和“1”的代换．1．切化弦当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形．【典例1】求证：sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）=1sinα+1cosα．【解析】证明：右边＝sinα（1+tanα）+cosα（1+1tanα）＝sinα+sin 2αcosα+cosα+cos2αsinα＝sinα+1−cos 2αcosα+cosα+1−sin2αsinα=1sinα+1cosα=左边，得证．2．弦化切已知tanα的值，求关于sinα，cosα的齐次分式(sinα，cosα的次数相同)的值，可将求值式变为关于tanα的代数式，此方法亦称为“弦化切”．【典例2】已知tan 2α=，求下列代数式的值．（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）22111sin sin cos cos 432αααα++．【解析】（1）4sin 2cos 4tan 242265cos 3sin 3tan 532511αααααα--⨯-===++⨯+．（2）22111sin sin cos cos 432αααα++2222111sin sin cos cos 432sin cos αααααα++=+ 22111tan tan 432tan 1ααα++=+ 222111224321⨯+⨯+=+1330= 【典例3】已知2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈（−3π2，﹣π），求：（1）tan α； （2）2sinα−3cosα4sinα−9cosα．【解析】∵2cos 2α+3cos αsin α﹣3sin 2α＝1，α∈（−3π2，﹣π），∴cos 2α+3cos αsin α﹣4sin 2α＝0，∴1+3tan α﹣4tan 2α＝0， 解得tan α＝1（舍）或tan α=−14．∴tan α=−14． （2）2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9 =2×(−14)−34×(−14)−9=−7203．“1”的代换在三角函数中，有时会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式，常见的代换方法：1＝sin 2α＋cos 2α等．【典例4】已知tan 2α＝2tan 2β+1，求证：sin 2β＝2sin 2α﹣1． 【解答】∴tan 2α＝2tan 2β+1， tan 2α+1＝2（tan 2β+1）即sin 2α+cos 2αcos 2α=2sin 2β+cos 2βcos 2β，可得：1cos 2α=2cos 2β 可得：cos 2β＝2cos 2α ∴1﹣sin 2β＝2（1﹣sin 2α） 即sin 2β＝2sin 2α﹣1，得证． 二、求三角函数值域与最值的常见类型求三角函数的值域或最值主要依据是利用三角函数的图象或三角函数的有界性，这就要求我们必须掌握好三角函数的图象和性质．1．形如y ＝a sin x ＋b (a ≠0)型的函数求解形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x ，cos x ≤1)求解，注意对a 正、负的讨论．【典例5】已知y ＝a sin x +b 的最大值为3，最小值为﹣1，求a ，b 的值． 【解答】解：∵y ＝αsin x +b 的最大值为3，最小值为﹣1， ∴当a ＞0时，{a +b =3−a +b =−1，解得a ＝2，b ＝1；当a ＜0时，{−a +b =3a +b =−1，解得a ＝﹣2，b ＝1．∴a ＝±2，b ＝1．【典例6】已知函数y ＝3﹣4cos （2x +π3），x ∈[−π3，π6]，求该函数的最大值，最小值及相应的x 值．【解析】函数y ＝3﹣4cos （2x +π3），由于x ∈[−π3，π6]， 所以：−π≤2x +π3≤2π3当x ＝0时，函数y min ＝﹣1当x ＝﹣π时，函数y max＝72．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型的函数求解形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (或y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c )，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x (或cos x )，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x (或cos x )的有界性．【典例7】求函数y ＝sin 2x +2cos x (π3≤x ≤2π3)的最大值和最小值．【解析】函数的解析式：y ＝sin 2x +2cos x ＝﹣cos 2x +2cos x +1， ∵π3≤x ≤2π3，∴−12≤cosx ≤12， 结合复合型二次函数的性质可得： 二次函数开口向下，对称轴为cos x ＝1，则函数的最小值为：−(−12)2+2×(−12)+1=−14； 则函数的最大值为：−(12)2+2×12+1=74． 三、三角函数的化简在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果应为：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．【典例8】化简求值： （1）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒；（2）4cos70tan 20︒+︒.【解析】（1）sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒︒︒-︒︒()()sin 158sin8cos15cos 158sin8sin15︒︒-︒+︒︒=-︒-︒︒sin15cos8cos15cos8︒︒︒=︒()tan 4530=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒1=2=（2）4cos70tan 20︒+︒4cos70cos 20sin 20cos 20︒︒︒+=︒4sin 20cos 20sin 20cos 20︒︒+=︒︒2sin 40sin 20cos 20︒︒+=︒()2cos50sin 5030cos 20︒+︒-︒=︒350cos5022cos 20︒+︒=︒()5060cos 20+︒︒=︒=四、三角函数求值三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式．(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角．当然在这个过程中要注意角的范围．(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．【典例9】已知cos α()312513cos ，αβ=-=，且0＜β＜α2π＜，（1）求tan2α的值； （2）求cos β．【解析】（1）∵cos α()312513cos ，αβ=-=，且0＜β＜α2π＜，∴sin α45==，tan α43sin cos αα==，∴tan2α222417tan tan αα==-．（2）∵cos （α﹣β）1213=，0＜β＜α2π＜，∴sin （α﹣β）513==，cos β＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cos αcos （α﹣β）+sin αsin （α﹣β）312455651351365=⨯+⨯=． 五、三角恒等证明三角恒等式的证明，就是应用三角公式，通过适当的恒等变换，消除三角恒等式两端结构上的差异，这些差异有以下几方面：①角的差异；②三角函数名称的差异；③三角函数式结构形式上的差异．针对上面的差异，选择合适的方法进行等价转化．【典例10】求证：tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα+=-.【解析】 ∵右边＝()()22222tan sin tan tan cos tan sin tan sin tan sin tan sin ααααααααααααα--=--()()22tan 1cos tan sin tan sin αααααα-=-()22tan sin tan sin tan sin αααααα=-tan sin tan sin αααα=-＝左边，∴原等式成立. 六、三角函数的图象三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．【典例11】如图，是函数y ＝A sin （ωx +φ）+k （A ＞0，ω＞0）的一段图象．（1）求此函数解析式；（2）分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？【解答】解：（1）由图象知A =−12−（﹣1）=12，k =−12+(−32)2=−1，T ＝2×（2π3−π6）＝π，∴ω=2πT=2，∴y =12sin （2x +φ）﹣1．再由五点法作图可得 当x =π6时，2×π6+φ=π2， ∴φ=π6，∴所求函数解析式为y =12sin （2x +π6）﹣1． （2）把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin （x +π6）；然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin （2x +π6）； 再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 12得到y =12sin （2x +π6）；最后把函数y =12sin （2x +π6）的图象向下平移1个单位，得到y =12sin （2x +π6）﹣1的图象．七、三角函数的性质1．三角函数的性质，重点应掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，在此基础上，掌握函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)及y ＝A tan(ωx ＋φ)的相关性质．2．该热点是三角函数的重中之重，考查的形式也不唯一，主、客观题均有体现，在难度上较前两热点有所增加，主观题以中档题为主，知识间的联系相对加大．【典例12】已知函数f（x）＝log a cos（2x−π3）（其中a＞0，且a≠1）．（1）求它的定义域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期．【解答】（1）解cos(2x−π3)＞0得，−π2+2kπ＜2x−π3＜π2+2kπ，k∈Z；∴−π12+kπ＜x＜5π12+kπ，k∈Z；∴f（x）的定义域为(−π12+kπ，5π12+kπ)，k∈Z；（2）设t=cos(2x−π3)，g（t）＝log a t；解−π2+2kπ＜2x−π3≤0+2kπ得，−π12+kπ＜x≤π6+kπ，k∈Z；解0+2kπ＜2x−π3＜π2+2kπ得，π6+kπ＜x＜5π12+kπ，k∈Z；∴t=cos(2x−π3)在(−π12+kπ，π6+kπ]上单调递增，在(π6+kπ，5π12+kπ)上单调递减；①若a＞1，则g（t）为增函数；∴f（x）的单调增区间为(−π12+kπ，π6+kπ]，k∈Z，单调减区间为(π6+kπ，5π12+kπ)，k∈Z；②若0＜a＜1，则g（t）为减函数；∴f（x）的单调递增区间为(π6+kπ，5π12+kπ)，k∈Z，单调减区间为(−π12+kπ，π6+kπ]，k∈Z；（3）f（x）的定义域不关于原点对称，∴为非奇非偶函数；（4）y=cos(2x−π3)为周期函数，周期为π；∴f（x）为周期函数，周期为π．《第五章 三角函数》单元检测试卷（一）基础卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若1sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．78B ．78-C ．34 D ．34-【答案】B 【解析】设4βπα=+，则1sin 4β=，4παβ=-，故27sin 2sin 2cos 22sin 148παβββ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2．若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（ ）．A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，且与b 无关C ．与a 无关，且与b 有关D ．与a 无关，且与b 无关【答案】B【解析】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin [0,1]t x =∈，则()()22211[0,1]24a ah t t at b t b t ⎛⎫=-+++=--+++∈ ⎪⎝⎭，则M 、m 分别为()h t 在[0,1]t ∈上的最大值与最小值，由二次函数的性质可得最大值M 与最小值m 的差M m -的值与a 有关，但与b 无关.故选：B ．3．函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则ω=( )A ．πB ．23π C ．712π D ．3π【答案】B【解析】将()0,1代入函数解析式，可得：12cos ϕ=，又(),0ϕπ∈-，解得：3πϕ=-；将()2,2-代入函数解析式，可得：cos 213πω⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得：()2 3k k Z πωπ=+∈ , 由图可知:22πω>,即ωπ<,当0k =时，23πω=，故选：B. 4．已知θ是第二象限角，且1cos 22θ=-，那么2θ的值是（ ）A ．1B ．1- C．2D．2-【答案】C【解析】θ是第二象限角，即22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，422k k πθπππ+<<+，2θ在第一、三象限，又1cos022θ=-<，∴2θ是第三象限角，∴sin22θ==-，2=cos sin22222θθθθ-===故选：C．5．函数()cos26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,]π上的零点个数为（）A．0 B．3 C．1 D．2【答案】D【解析】令()cos206f x xπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得2()62x k k Zπππ+=+∈，即()62kx k Zππ=+∈.∵[0,]xπ∈，∴0k=，6xπ=；1k=，23xπ=.故选D.6．如果1|cos|5θ=，532πθπ<<，那么sin2θ的值为（）A．BC．D【答案】C【解析】由532πθπ<<可知θ是第二象限角，1cos5θ∴=-，53422πθπ<<，2θ∴为第三象限角，sin2θ∴==.故选：C 7．已知函数()()2sin210()6f x xπωω=-->在区间,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增，则ω的最大值是（）A ．12B ．32C ．23D ．43【答案】D 【解析】令22,2,622x k k k Z πππωππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，又函数在,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单增，故有26626222k k k Z ππππωπωπππ-+⎪⎧-≥⎪⎪∈⎨⎪-≤⎩+，，解得212,443k k Z k ωω≥-+⎧⎪∈⎨≤+⎪⎩，又0>ω，当0k =时ω取到最大值43故选：D8．已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（ ）A ．13B ．14C ．112D ．112-【答案】C【解析】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =， 因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=.故选：C二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)1．下列结论正确的是（ ）A ．76π-是第三象限角 B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角 【答案】BC 【解析】选项A ：76π-终边与56π相同，为第二象限角，所以A 不正确；选项B ：设扇形的半径为,,33r r r ππ=∴=，扇形面积为13322ππ⨯⨯=，所以B 正确；选项C ：角α的终边过点()3,4P -，根据三角函数定义，3cos 5α=-，所以C正确；选项D ：角α为锐角时，0<<,02πααπ<<，所以D 不正确，故选:BC2．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 D ．()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12- 【答案】ACD【解析】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故选：ACD3．关于函数()sin cos f x x x =+()x R ∈，如下结论中正确的是（ ）． A ．函数()f x 的周期是2πB ．函数()f x 的值域是⎡⎣C ．函数()f x 的图象关于直线x π=对称D ．函数()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增【答案】ACD【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+， ∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()f x 是周期为2π的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x π∈时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，此时3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 42x π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x ∈，又()f x 的周期是2π，∴x ∈R 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x πππ-=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x π=对称，C 正确；D ．由B 知[0,]2x π∈时，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]4x π∈时，[,]442x πππ+∈，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2π的周期函数，因此()f x 在3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图象可以看作是在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上的图象向右平移2π单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ．4．下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A ．πsin(3x +） B ．πsin(2)3x - C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选：BC.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数()sin cos f x ax ax =的最小正周期是π，则实数a =________ 【答案】±1【解析】1()sin cos =sin 22f x ax ax ax =，周期22T a ππ==，解得1a =±.故答案为：±114．已知角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，则3cos(2)2πα+=__________. 【答案】2425-【解析】因为角α的终边与单位圆交于点(3455，-)，所以43sin ,cos 55αα==-，所以4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以324cos(2)sin 2225παα+==-， 故答案为：2425-15．若sin 5cos αα=，则tan α=____________. 【答案】5【解析】由已知得sin tan 5cos ααα==.故答案为：5. 16．已知α为锐角，3cos(),65πα+=则cos()3πα-=_______.【答案】45【解析】∵3cos(),65πα+=且2663πππα<+<，∴)in(4s 65πα+=；∵()()326πππαα-=-+，∴4cos()cos[()]sin()32665ππππααα-=-+=+=.故答案为：45.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（1）已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，求3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求()sin 501︒︒+的值；（4）已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？【解析】（1）用诱导公式化简等式可得sin (sin )()cos sin tan f αααααα-⨯-==，代入3πα=可得1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故答案为12. （2）原式可化为：2222224sin 3sin cos 5cos 4sin 3sin cos 5cos sin cos αααααααααα----=+ 224tan 3tan 5tan 1ααα--=+， 把tan 2α=代入，则原式44325141⨯-⨯-==+.故答案为1．（3）()()sin 1030cos10sin501sin50sin50cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒+++=⋅=⋅cos40sin 40sin801cos102cos102︒︒︒︒︒===故答案为12. （4）令6x πα=-，则6x πα=-22sin sin sin 3632x x ππππα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3sin cos 25x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭.解题中应注意角与角之间的关系.18．已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象关于直线94x =对称，且()f x 在[0,2]上为单调函数.（1）求ω；（2）当210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求sin cos x x ωω+的取值范围. 【解析】（1）因为函数()sin f x x ω=的图像关于直线94x =对称． 则9()42k k Z πωπ=+∈，所以42()9k k Z ππω+=∈． 又()f x 在[0]2，上为单调函数，所以022πω<⨯，即04πω<，当20,9k πω==满足题意，当1k -或1,k ω不满足题意．故29πω=．（2）设()sin cos g x x x ωω=+，则()4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由（1）得2()94g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则25,9446x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以21sin ,1942x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故()2g x ∈⎣．所以sin cos x x ωω+取值范围是2⎣． 19．已知函数()()(2sin 03)x x f πωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数()g x 的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若24A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且4b c +=，求ABC 周长l 的取值范围.【解析】（1）周期2T ππω==，2ω=，()2sin(2)3f x x π=+.将()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到2sin )]12sin 22)1[3(6x y x ππ++=-=+.所以()2sin 21g x x =+.（2）2sin 22()14A A g =+=，1sin 22A =.因为022A π<<，所以26A π=，3A π=. 22222cos()31633a b c bc b c bc bc π=+-=+-=-.因为2()44b c bc +≤=，所以04bc <≤.所以416316bc ≤-<，即2416a ≤<，24a ≤<. 所以[6,8)l a b c =++∈.20．已知函数cos 2(0)6y a b x b π⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为12-. （1）求a ，b 的值；（2）求函数()4sin 3g x a bx π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值，并求出对应的x 的集合.【解析】（1）由题知cos 2[1,1]6x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∵0b >，∴0b -<.∴max min3,21,2y b a y b a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-+=-⎪⎩∴1,21.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （2）由（1）知()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵sin [1,1]3x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()[2,2]g x ∈-.∴()g x 的最小值为2-，此时sin 13x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由ππ2π32x k -=+()k Z ∈，求得对应的x 的集合为52,Z 6x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭.21．函数()()sin f x x ωϕ=+(02πϕ<<，0>ω)的部分图像如图所示（1）求ω，ϕ及图中0x 的值;（2）设()()cos g x f x x π=-，求函数()g x 在区间12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值【解析】（1）由题图得()102f =，∴1sin 2ϕ= ∵02πϕ<<，∴6π=ϕ 又77sin 0666f πω⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴766k πωπ-+=，得1677k ωππ=-,k Z ∈又12732,264ππωω⋅<<⋅，得6372πωπ<<， ωπ∴=；又()00sin 16f x x ππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，且0706x -<<，∴062x πππ+=-，得023x =-，综上所述: ωπ=，6π=ϕ，023x =-；（2）()()cos sin cos 6g x f x x x xππππ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭sin coscos sincos 66x x x πππππ=+-1cos sin 26x x x ππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∵12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，∴132663x ππππ-≤-≤-， 所以当362x πππ-=-时，()max 1g x =;当263x πππ-=-，()min g x =.22．已知(),0,αβπ∈，并且()7sin 52παπβ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，()()απβ-=+，求,αβ的值.【解析】()7sin 5sin 2παπβαβ⎛⎫-=+∴= ⎪⎝⎭()()3cos απβαβ-=+=平方相加得2221sin 3cos 2cos ,cos 22αααα+=∴==±因为()0,απ∈，所以3,44ππα=当4πα=时，cos (0,)26πββπβ=∈∴=当34πα=时，5cos (0,)26πββπβ=-∈∴=因此4πα=，6πβ=或34πα=，56πβ=《第五章 三角函数》单元检测试卷（二）能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．角–2α=弧度，则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】角–2α=弧度，2(,)2ππ-∈--，∴α在第三象限，故选:C .2．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( )A ．135平方米B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米【答案】B【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.故选：B.3．如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．D ．【答案】C【解析】由题意得(1,P ，它与原点的距离为2，∴sin 2α=-.故选：C.4．设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =，因为ππ124>>， AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C5．定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数cos2()sin 2x f x x =的图像向左平移m (0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．3π B ．23π C ．43π D ．73π 【答案】C【解析】12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =化为()3sincos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.6．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ）A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B【解析】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B.7．设函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，则ϕ的值为( )A ．6π-B ．3π C ．6πD ．3π-【答案】C【解析】由题意，求函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，令3x k ϕπ+=，解得()3k x k Z πϕ-=∈函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 令232x m ππωπ+=+，解得6()m x Z ππωω-=∈， 因为函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，所以3,6πωϕ==，故选：C.8．函数2()3sin cos 444x x x f x m=+，若对于任意的233x ππ-≤≤有()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.A ．m ≥B ．32m ≥-C ．m ≥D ．32m ≥【解析】2()3sin cos 444x x x f x m=+-+3sin 1cos 22222x x m ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭26x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,333266x x πππππ-≤≤∴-≤-≤，()f x ∴最小值33022m m -+≥∴≥二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =- D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD【解析】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+，即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=， 即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确.故选：CD 10．（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称 B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同 C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称 D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同【解析】对于A ，sin y x =是偶函数，而sin y x =为奇函数，故sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故A 错误；对于B ，()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===，即其图象相同，故B 正确； 对于C ，当0x <时，()sin sin x y x =-=，即两图象相同，故C 错误； 对于D ，()cos cos y x x =-=，故这两个函数图象相同，故D 正确，故选BD. 11．定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ）A ．sin 4β= B ．1cos()4πβ+= C ．tan β=D ．tan 5β=【答案】AC【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=，若2παβ+=，则2πβα=-.A 中，sin sin cos 24πβαα⎛⎫=-==± ⎪⎝⎭A 符合条件；B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=- ⎪⎝⎭，故B 不符合条件；C 中，tan β=sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin β=，故C 符合条件；D 中，tan β=，即sin ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以sin 4β=±，故D 不符合条件.故选：AC. 12．对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z 时，0()f x <≤【答案】CD【解析】函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨>⎩的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象，可得当52244k x k ππππ++，k Z ∈时，()cos f x x =， 当592244k x k ππππ+<+，k Z ∈时，()sin f x x =， 可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x 的最大值为()4f π=可得20()2f x <，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________. 【答案】{2,0,2}-【解析】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈， 当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=； 当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=； 当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-； 当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=； 综上所述：值域为{2,0,2}-.14．若函数2sin 4=++y x x 的最小值为1，则实数a =__________. 【答案】5【解析】2sin 4)4y x x x ϕ=++=++，其中tan 2ϕ=，且ϕ终边过点．所以min 41y ==，解得5a =．15．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），且()()13f f αβ==（αβ≠），则αβ+=______.【答案】76π【解析】解法一：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()11sin 2sin 20,3332f f ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（αβ≠），不妨假设αβ<，则52,36a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1322,36ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，5,6122πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，13,612ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,43ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，511,612ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，135,124ππαβ⎛⎫∴+∈⎪⎝⎭. 再根据sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222232cos sin 22παβαβ++-=()2cos sin 03παβαβ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭cos 03παβ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，32ππαβ∴++=，或332ππαβ++=，则6παβ+=（舍去）或76παβ+=， 解法二：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()13f f αβ==（αβ≠）， 则由正弦函数的图象的对称性可得：3222332πππαβ+++=⋅，即76παβ+=， 16．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.【答案】23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=. (1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值. 【解析】（1）∵1sin cos 5x x +=. ∴112sinxcosx 25+=，即12sinxcosx 25=- ()2sin cos sin 1tan 1sinx cosx sinx x x x sinx x cosx+⋅+=++，()12sinxcosx 25sinxcosx cosx sinx sinx cosx+===-+ （2）由（1）知12sinxcosx 25=-＜0，又22x ππ-<<∴cosx 0sinx 0＞，＜，∴7sin cos 5x x -===-18．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值及取到最大值时的集合； （3）把()f x 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．【解析】（1）由函数的图象可得33234444A T πππω==⨯=-，，解得25ω=．再根据五点法作图可得2254，πϕπ⨯+=∈k k Z ，由2πϕ<，则令0k =2310510，（）．ππϕ⎛⎫∴=-∴=- ⎪⎝⎭f x sin x （2）令222,25102k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，求得3552k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为[3[5,5],.2k k k Z ππππ-+∈ 函数的最大值为3，此时，225102x k πππ-=+，即352x k k Z ππ=+∈，，即f x （）的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈. （3）设把()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由()2251052ππ+-=+x m x ，求得32π=m ， 把函数()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移32π个单位，可得223sin 3cos 525π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭y x x 的图象．19．已知函数()()2032f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域.从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【解析】由于()232f x cos xsin x πωω⎛⎫=-+⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 22sin 21,123x x x πωωω⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于66x ππ-≤≤，22033x ππ-≤-≤， 所以()[]1,0f x ∈-，即()f x 的值域为[]1,0-.20．已知函数()22sin cos cos x x x x x f =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f α=πcos 43α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【解析】（1）()22sin cos cos x x x x x f =-+cos22x x =-+12sin 2cos 222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴πT =. （2）∵()f α=π2sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πsin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2πππ23cos 4cos 2212sin 2136655ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.21．已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R .（1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围； （2）若函数3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【解析】（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()2sin 22424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 22cos 2222222x x x x ⎫⎫=+--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x = 即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数 由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π. 22．某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？ 【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭．（2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立.∴上述设计方案是不会超出班级预算．。
三角函数单元测试题
三角函数单元测试题测试题答案如下：1. 计算下列各式的值：a) sin(30°) = 0.5b) cos(45°) = 0.707c) tan(60°) = 1.7322. 判断下列各式的真假：a) sin(45°) = cos(45°) Trueb) cos(180°) = -1 Truec) tan(90°) = undefined True3. 将下列各式化简为最简形式：a) sin²(α) + cos²(α) = 1b) tan²(α) + 1 = sec²(α)c) 1 + cot²(α) = csc²(α)4. 求解下列各式中的未知数：a) sin(θ) = 0.5 → θ = 30° or 150° + n*360°b) cos(x) = -0.866 → x = 150° or 210° + n*360°c) tan(φ) = 1 → φ = 45° + n*180°5. 根据给定的三角函数值，求解下列各式中的未知数：a) sin(α) = -0.5 → α = 210° or 330° + n*360°b) cos(β) = 0.866 → β = 30° or 330° + n*360°c) tan(γ) = -1.732 → γ = 240° + n*180°6. 利用三角函数的相互关系求解下列各式：a) sin(θ) = cos(θ - 90°)b) cos(θ) = sin(90° - θ)c) tan(θ) = cot(θ - 90°)7. 根据给定的三角函数值，求解下列各式中的未知数：a) sin(θ) = 0.866, θ∈[0°, 180°] → θ = 60°b) cos(θ) = -0.5, θ∈[180°, 360°] → θ = 240°c) tan(θ) = -1, θ∈[180°, 360°] → θ = 225°8. 根据给定的三角函数值，求解下列各式中的未知数：a) sin(θ) = -0.707, θ∈[0°, 360°] → θ = 225° or 315°b) cos(θ) = -0.866, θ∈[0°, 360°] → θ = 150° or 210°c) tan(θ) = 1, θ∈[0°, 360°] → θ = 45° or 225°9. 求解下列各式中的未知数：a) s in(2x) = 0.5 → x = 15° or 75° + n*180°b) cos(2x) = -0.866 → x = 150° or 210° + n*180°c) tan(2x) = -1.732 → x = 150° + n*180°10. 根据给定的三角函数关系，求解下列各式中的未知数：a) sin(2α) = sin(120°) → 2α = 120° + n*360° → α = 60° + n*180°b) cos(2β) = cos(240°) → 2β = 240° + n*360° → β = 120° + n*180°c) tan(2γ) = tan(60°) → 2γ = 60° + n*180° → γ = 30° + n*90°以上就是三角函数单元测试题的答案，希望能够帮助你更好地理解和应用三角函数的知识。
2023最新人教版高中数学必修一第五章《三角函数》单元测试(附答案解析)
试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
【解析】运用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可化简求解.．
【详解】 cos
150
cos150 cos(1800 300 ) cos 300
3， 2
故选：C．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，正确解题的关键是熟练应 用诱导公式以及熟记特殊角三角函数值. 2．A
答案第 2 页，共 12 页
【详解】 f (x) sin x cos
2
sin( x
π 4
)
，因为
x
a
,
b
，所以
x
π 4
a
π 4
,
b
π 4
，因
为 1
2
sin( x
π 4
)
2 ，所以
2 2
sin( x
π 4
)
1.
正弦函数
y
sin
x
在一个周期
π 2
,
3π 2
内，要满足上式，则
x
π 4
π 4
f
x
sin x
的图象过点
1 3
,1
，若
f
x 在2, a 内有
5
个
零点，则 a 的取值范围为______.
四、解答题
17．在① sin
6 3
，②
tan 2
2 tan 4 0 这两个条件中任选一个，补充到下面的
问题中，并解答.
已知角 a 是第一象限角，且___________.
(1)求 tan 的值；
S1 S2
2
1 2
可求得
2023-2024学年湖北省潜江市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试-12-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省潜江市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试(12) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分） 1. 若 ，且 ，则 （ ）A .B .C .D .2. 已知 ，则 的大小关系是（ ）A .B .C .D .第一象限的角一定是正角三角形的内角不是锐角就是钝角锐角小于90 终边相同的角相等3. 下列说法正确的是（ ）A .B .C .D .4. 下列角中，与角 终边相同的角是（ ）A .B .C .D .横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）A .B .C .D .6. 已知 ， ， 则（ ）．A .B .C .D .2,-21,-31,-12,-17. 函数y=2cosx-1的最大值、最小值分别是( ）A .B .C .D .第一象限第二象限第一象限或第三象限第三象限或第四象限8. 若 且 ，则 的终边在（ ）A .B .C .D .1－19. 已知角 的终边过点 ，则 的值是（ ）A .B .C .D .10. 与角终边相同的角是（ ）A .B .C .D .或或11. 若 ， 都是锐角，且 ， ， 则（ ）A .B .C .D .12. 已知 ，则 （ ）A .B .C .D .13. 扇形AOB的周长为8cm，若这个扇形的面积为3cm 2 ， 则圆心角的大小为14. ．15. 已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10cm，则扇形的面积是 cm 2 ．16. 60°化为弧度角等于得分17. 已知函数的部分图象如图所示.(1) 求的解析式；(2) 把图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ， 再向左平移个单位长度，向下平移1个单位长度，得到的图象，求的单调区间.18. 已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0， ]，m∈R．(1) 设t=sinx+cosx，x∈[0， ]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；(2) 若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0， ]恒成立，求实数m的取值范围；(3) 若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0， ]上有实数根，求实数m的取值范围．19. 已知函数 .(1) 求函数 的最小值及 取到最小值时自变量x的集合；(2) 指出函数y＝ 的图象可以由函数y＝sinx的图象经过哪些变换得到；(3) 当x∈[0，m]时，函数y＝f(x)的值域为 ，求实数m的取值范围．20. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）的图象与y轴的交点为（0， ），它的一个对称中心是M （ ，0），点M与最近的一条对称轴的距离是 ．(1) 求此函数的解析式；(2) 求此函数取得最大值时x的取值集合；(3) 当x∈（0，π）时，求此函数的单调递增区间．21. 已知函数 .(1) 求 的最小正周期；(2) 求 的单调增区间；(3) 若 ，求 的值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.(1)(2)(3)20.(1)(2)(3)21.(1)(2)(3)第 11 页 共 11 页。
三角函数》单元测试卷含答案
三角函数》单元测试卷含答案三角函数》单元测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（。
）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.集合M={x|x=kπ/2±π/4，k∈Z}与N={x|x=kπ/4，k∈Z}之间的关系是（。
）A.M∩NB.M∪NC.M＝ND.M∩N=∅3.若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（。
）A.60°B.－60°C.30°D.－30°4.已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4)1711°，其中在第一象限的角是（。
）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5.设a＞0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于（。
）A.5/21B.－1/55C.－5/13D.－2/56.若cos(π＋α)＝－3/22，π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于（。
）A.－2/3B.3/2C.－2/5D.3/47.若是第四象限角，则απ－α是（。
）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（。
）A.2B.2sin1C.2cos1D.sin29.如果sinx＋cosx＝4/3，且π/4＜x＜π/2，那么cotx的值是（。
）A.－3/4B.－4/3或－3/4C.－4/3D.3/4或－3/410.若实数x满足log2x＝2＋sinθ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于（。
）A.2x－9B.9－2xC.11D.9二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.tan300°＋cot765°的值是_____________.12.若sinα＋cosα=2，则sinαcosα的值是_____________.13.不等式（lg20)2cosx＞1，(x∈(0，π))的解集为_____________.14.若θ满足cosθ＞－1/2，则角θ的取值集合是_____________.15.若cos130°＝a，则tan50°＝_____________.16.已知f(x)=sin2x+cosx，则f(π/6)为_____________.sinα＝√(1-cos^2α)＝√(1-(2x^2/(x^2+5^2)))＝√((25-x^2)/(x^2+25))，tanα＝sinα/cosα＝(25-x^2)/(2x)。
北师大版数学八年级上第一章三角函数单元检测题含答案
北师大版数学八年级上第一章三角函数单
元检测题含答案
一、选择题
1. 下面那个角不是锐角？
A. 40°
B. 75°
C. 120°
D. 160°
答案：D
2. 在一个三角形中，如果一个角是直角，则其余两个角的和是多少度？
A. 45°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
答案：C
二、填空题
1. 在单位圆上，角θ对应的弧长为$\frac{\pi}{6}$，则$\sinθ$的值是\_\_\_\_\_\_\_。
答案：0.5
2. 若$\cosθ = -0.8$，则角θ的终边位于哪个象限？
答案：第二象限
三、解答题
1. 已知直角三角形的一条直角边的长度为5cm，斜边的长度为13cm，求另一个直角边的长度。
答案：12cm
2. 已知$\sinθ = \frac{3}{5}$，求$\cosθ$和$\tanθ$的值。
答案：$\cosθ = \frac{4}{5}$，$\tanθ = \frac{3}{4}$
四、计算题
1. $\sin30° + \cos45°$的值等于\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$
2. $\sin(30° + 45°)$的值等于\_\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
以上是北师大版数学八年级上第一章三角函数单元检测题的内容和答案。
希望对你有帮助！。
高中数学复习题_三角函数章节测试题及答案
三角函数章节测试题一、选择题1． 已知sinθ＝53，sin2θ＜0，则tanθ等于 （ ）A ．－43B ．43 C ．－43或43 D ．542． 若20π<<x ，则2x 与3sinx 的大小关系是 （ ）A ．x x sin 32>B ．x x sin 32<C ．x x sin 32=D ．与x 的取值有关3． 已知α、β均为锐角，若P ：sinα<sin(α＋β)，q ：α＋β<2π，则P 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4． 函数y ＝sinx·｜cotx ｜(0<x<π)的大致图象是 （ ）A B C D 5． 若f(sinx)＝3－cos2x ，则f(cosx)＝（ ） A ．3－cos2x B ．3－sin2x C ．3＋cos2x D ．3＋sin2x 6． 设a>0，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x xax x f ，下列结论正确的是 （ ）A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 7． 函数f(x)＝x xcos 2cos 1-（ ）A ．在[0，2π]、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递减 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤ ⎝⎛23ππ，上递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ,2、⎥⎦⎤⎝⎛ππ223，上递减 C ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ，2、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223，上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛23ππ， 上递减D ．在⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,ππ、⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ2,23上递增，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π，、⎥⎦⎤⎝⎛ππ,2上递减 8． y ＝sin(x －12π)·cos(x －12π)，正确的是 （ ）A ．T ＝2π，对称中心为(12π，0)B ．T ＝π，对称中心为(12π，0) C ．T ＝2π，对称中心为(6π，0) D ．T ＝π，对称中心为(6π，0) 9． 把曲线y cosx ＋2y －1＝0先沿x 轴向右平移2π，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程为xxxx（ ）A ．(1－y)sinx ＋2y －3＝0B ．(y －1)sinx ＋2y －3＝0C ．(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝0D ．－(y ＋1)sinx ＋2y ＋1＝010．已知，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0＜θ＜π) 其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若| x 1－x 2|的最小值为π，则 （ ） A ．ω＝2，θ＝2π B ．ω＝21，θ＝2πC ．ω＝21，θ＝4π D ．ω＝2，θ＝4π二、填空题11．f (x)＝A sin(ωx ＋ϕ)(A>0, ω>0)的部分如图，则f (1) ＋f (2)＋…＋f (11)＝ .12．已sin(4π－x)＝53，则sin2x 的值为 。
2023-2024学年浙江省丽水市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省丽水市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试(3) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）曲线向左平移个单位长度得到曲线曲线向右平移个单位长度得到曲线曲线与曲线关于轴对称曲线与曲线关于轴对称1. 已知函数 ， ， 下列说法正确的是（ ）A .B .C .D .2. 函数 的定义域是（ ）A .B .C .D .﹣ ﹣ 3. 设 ＜α＜π，若sin（α+ ）= ，则cos（ +α）=（ ）A .B .C .D .f（x）的图象过（0，）4. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期为π，则（ ）A .f（x）在[ ， ]上是减函数f（x）的一个对称中心是（ ， 0）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=2sinωx的图象B .C .D .[﹣ ， + ]（k∈Z）（﹣ ，+ ）（k∈Z）（kπ+，kπ+ ）（k∈Z）[kπ﹣，kπ+ ]（k∈Z） 5. 函数f（x）=tan（2x﹣ ）的单调递增区间是（ ）A .B .C .D .第一象限第二象限第三象限第四象限6. 点A（sin2017°，cos2017°）在直角坐标平面上位于（ ）A .B .C .D .7. 已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点 ， 若， 则的值为（ ）．A .B .C .D .8. 我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于 两点，且 ，则 =（ ）A . B . C . D .9. 若 ，则 （ ）．A .B .C .D .10. 若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于原点对称，则 最小时， （）A .B .C .D .11. 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 （弦×矢+矢 ），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是（ ）A .B .C .D .12. 将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则 （ ）A .B .C .D .13. 设0＜θ＜ ， =（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥ ， 则tanθ=14. 将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象关于 轴对称，则 的最小值为 .15. ，且 ，则 的值是 .16. 以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为2π，则该勒洛三角形的面积是 .阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 已知函数(1) 将函数 化简成 的形式，并指出 的最小正周期、振幅、初相和单调递增区间；(2) 求函数 在区间 上的最小值和最大值.18. 已知 ， 是方程 的两根.(1) 求实数m的值；(2) 求 的值；(3) 求 的值.19. 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心O距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．（Ⅰ）求f（t）的单调减区间；（Ⅱ）求证：f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．20. 已知 .求(1) 的值；(2) 的值．21. 计算：(1) ；(2) 已知 ，求 的值答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)21.(1)(2)。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-含答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-含答案1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 3,4 象限角.2.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 3 （填序号）. ①-3 ②3或31③-31 ④-3或-313.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号为 负号 .4.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α=34; （2）)2(cos )2(sin 33a a ++-ππ= 2722-5. 已知函数f (x )=1cos 21cos 3cos 2224-+-x x x 的定义域为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,42ππ值域为 ]0,1[- ，奇偶性为 偶 .6.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 0 .7.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍.8.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 ]65,3[ππ .10.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin +cos =;③若、是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形. 其中命题正确的是 1，4 （填序号）.11 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式为 .12.方程x e ＋x=2的根所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,2)13.设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ,若对任意的),0(+∞∈x ,都有11)log )((21=+x x f f ,则方程xx f 2)(=解的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．014.已知函数()x f 为R 上的奇函数，当时αα23αβ)322sin(3π-=x y 0>x )cos 3cos 2cos (21)(ααα++++=x x x f(),若对任意实数,则实数的取值范围是（ ）A ．B ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．D ．15.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相； （4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.16、已知定义域R 的函数的奇函数.（1）求；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围.ππα-≤≤,(()x f x f x ∈-R 都有≤恒成立α2ππ,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦abx f x x ++-=+122)(的值b a ,R t ∈0)2()2(22<-+-k t f t t f参考答案1.已知cos θ·tan θ＜0,那么角θ是第 象限角. 答案 三或四2.已知θ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ且sin θ+cos θ=a ，其中a ∈(0，1），则关于tan θ的值，以下四个答案中，可能正确的是 （填序号）. ①-3 ②3或31③-31④-3或-31答案 ③3.设θ为第三象限角，试判断2cos2sin θθ的符号为 . 解 ∵θ为第三象限角∴2k π+π＜θ＜2k π+(k ∈Z )k +(k ∈Z ). 当k -2n (n ∈Z )时，2n +ππθπ43222+<<n此时在第二象限. ∴sin2θ＞0,kos 2θ＜0. 因此＜0. 当k =2n +1(n ∈Z )时(2n +1)π+2π＜2θ＜(2n +1)π+43π(n ∈Z ) 即2n π+23π＜2θ＜2n π+47π(n ∈Z )此时2θ在第四象限. ∴sin2θ＜0,cos2θ＞0,因此2cos2sin θθ＜0 综上可知：2cos2sin θθ＜0. 4.已知sin(π-α)-cos(π+α)=⎪⎭⎫⎝⎛<<παπ232.求下列各式的值： （1）sin α-cos α= ;（2）)2(cos )2(sin 33a a ++-ππ=5.已知函数f (x )=1cos 21cos 3cos 2224-+-x x x ,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.解 由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k π+2π解得x ≠42ππ+k （k ∈Z ）. 所以f (x ）的定义域为2cos2sin θθ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈k k x x x ,42ππ且,. 又f （x )= x x x 2cos 1cos 3cos 224+-=xx x 2cos 1cos )1cos 2(22--=cos 2x -1=-sin 2x .又定义域关于原点对称，∴f （x ）是偶函数. 显然-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42ππ+k ,k ∈Z . ∴-sin 2x ≠-21. 所以原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<--<≤-021211|y y y 或.6.函数f (x )=tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y =4π所得线段长为4π,则f （4π）的值是 . 答案 07.为了得到函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+63πx ，x ∈R 的图象，只需把函数y =2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向 平移单位，再把所有各点的横坐标变为原来的 倍. 答案 左6π3 8.函数y =2sin （6π-2x ）(x ∈［0，π］)为增函数的区间是 . 答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ 9.函数f (x )=lg(sin2x +3cos2x -1)的定义域是 . 答案 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z ∈+<<-k k x k x ,412|ππππ 10.给出下列命题：①函数y =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+232πx 是奇函数；②存在实数α,使得sin α+cos α=23;③若α、β是第一象限角且α＜β,则tan α＜tan β; ④x =8π是函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+452πx 的一条对称轴方程；⑤函数y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π成中心对称图形. 其中命题正确的是 （填序号）. 答案 ①④11 如图为y =A sin （ωx +ϕ）的图象的一段，求其解析式. 解 方法一 以N 为第一个零点Z R则A=-3，T =2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ=π ∴ω=2，此时解析式为y =-3sin （2x +ϕ）.∵点N ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π，∴-6π×2+ϕ=0，∴ϕ=3π所求解析式为y =-3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx .①方法二 由图象知A =3以M ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π为第一个零点，P ⎪⎭⎫⎝⎛0,65π为第二个零点. 列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+•=+•πϕπωϕπω6503 解之得⎪⎩⎪⎨⎧-==322πϕω. ∴所求解析式为y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx .15.已知函数y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y =sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； （3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 解 （1）列表：描点、连线,如图所示：（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y =sin x 的图象上所有点向右平移4π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx 的图象；再把y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-4πx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-421πx 的图象.方法二 “先伸缩，后平移”先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到y =sin 21x 的图象；再把y =sin21x 图象上所有的点向右平移2π个单位 得到y =sin 21(x -2π)=sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-42πx 的图象，最后将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y =3sin ⎪⎭⎫⎝⎛-421πx 的图象.（3）周期T =ωπ2=212π=4π，振幅A =3，初相是-. (4)令=+k (k ∈Z ) 得x =2k +(k ∈Z ),此为对称轴方程. 令x -=k (k ∈Z )得x =+2k (k ∈Z ). 对称中心为(k ∈Z ).4π421π-x 2πππ23π214ππ2ππ⎪⎭⎫⎝⎛+0,22ππk。
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案
人教版高一上学期数学必修一《第五章三角函数》章节检测卷-带答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限.3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = .4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .5.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2) [][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .9.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜ 2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 .10. 某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .12.函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008).参考答案1.已知θ2sin )21(＜1,则θ所在象限为第 象限.答案 一或三2.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第 象限. 答案 二3.已知sin θ=a a+-11,cos θ=aa +-113,若θ是第二象限角，则cot a = . 解 ∵θ是第二象限角，∴sin θ＞0,cos θ＜0∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=<-<+-=<0113cos 1111sin 0a a a a θθ，解得0＜a ＜31.又∵sin 2θ+cos 2θ=1∴11131122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a a解得a =91或a =1(舍去），故实数a 的值为91.4.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值为 .答案 25.如果cos α=51,且α是第四象限的角,那么cos ⎪⎭⎫⎝⎛+2πα= .答案562 6.已知cos(π+α)=-21,且α是第四象限角，计算： (1)sin(2π-α)= ; (2)[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++ (n ∈Z )= .解 ∵cos(π+α)=-21,∴-cos α=-21,cos α=21又∵α是第四象限角，∴sin α=-23cos 12-=-α. （1）sin(2π-α)=sin ［2π+(-α)］ =sin(-α)=-sin α=23. （2）[][])2cos()2sin()12(sin )12(sin παπαπαπαn n n n -•++-+++=)2cos()2sin()2sin()2sin(απαπαππαππ+-•++--+++n n n n=αααπαπcos sin )sin()sin(•+-++=αααπαcos sin )sin(sin •---=αααcos sin sin 2•-=αcos 2-=-4.7.化简：αααα6644sin cos 1sin cos 1----= .解 方法一 原式=αααααααα6632244222sin cos )sin (cos sin cos )sin (cos --+--+=32)sin (cos sin cos 3sin cos 2222222=+•αααααα. 方法二 原式=ααααααα6422422sin )cos cos 1)(cos 1(sin )cos 1)(cos 1(-++--+-8.已知函数f (x )=2sin ωx (ω＞0)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,3ππ上的最小值是-2，则ω的最小值等于 .答案 239.函数y =A sin(ωx +ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为 . 答案 y =-4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48ππx10.某三角函数图象的一部分如下图所示，则该三角函数为 .答案 y =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx11.若函数f (x )=2sin(ϕω+x )对任意x 都有f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 6π=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 6π，则f ⎪⎭⎫⎝⎛6π= .答案 -2或212.求函数y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的单调减区间为 .解 方法一 y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π化成y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx .1分∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ) ∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx 的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k π+2π≤x -4π≤2k π+23π（k ∈Z ) 即2k π+43π≤x ≤2k π+47π（k ∈Z ) 2k π-2π≤x -4π≤2k π+2π（k ∈Z )即2k π-4π≤x ≤2k π+43π（k ∈Z ).∴函数y=2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π的单调递减区间、单调递增区间分别为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-432,42ππππk k （k ∈Z ) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++472,432ππππk k （k ∈Z ).方法二 y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π可看作是由y =2sin u 与u =x -4π复合而成的.又∵u =x -4π为减函数∴由2k π-2π≤u ≤2k π+2π（k ∈Z ) -2k π-4π≤x ≤-2k π+43π (k ∈Z ). 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递减区间. 由2k π+2π≤u ≤2k π+23π(k ∈Z ) 即2k π+2π≤4π-x ≤2k π+23π (k ∈Z )得 -2k π-45π≤x ≤-2k π-4π(k ∈Z ) 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z )为y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间.综上可知：y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡----42,452ππππk k （k ∈Z ）； 递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---432,42ππππk k （k ∈Z ）.13.求f (x )=)2cos(21x --π的定义域和值域.解 由函数1-2cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-k k x k x ,42452|ππππ. 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=22时，y min =0; 当sin x =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-x 2π=-1时，y max =21+.所以函数的值域为［0，21+］.Z14.已知函数y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到.解 （1）y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的振幅A =2,周期T =22π=π 初相ϕ=3π. （2）令X =2x +3π,则y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx =2sin X .列表，并描点画出图象：（3）方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移3π个单位，得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象，再把y =sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πx 的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象，最后把y =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y =2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y =sin2x 的图象； 再将y =sin2x 的图象向左平移6π个单位； 得到y =sin2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx =sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx 的图象；再将y =sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y =2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象.15.已知函数f (x )=2A - 2A cos(2ωx +2ϕ) (A ＞0, ω＞0,0＜ϕ＜2π),且y =f (x )的最大值为2，其图象相邻 两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）.（1）求ϕ;(2)计算f (1)+f (2)+…+f (2 008). 解 （1）∵y =2A - 2Acos(2ωx +2ϕ) 且y =f (x )的最大值为2，A ＞0 ∴2A +2A=2,A =2. 又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2,ω＞0 ∴21⎪⎭⎫ ⎝⎛ωπ22=2, ω=4π.∴f (x )= 22-22cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ22x =1-cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22x .∵y =f (x )过(1,2)点，∴cos ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ22=-1.ϕπ22+=2k π+π,k ∈Z .∴ϕ=k π+4π,k ∈Z . 又∵0＜ϕ＜2π，∴ϕ=4π.(2)∵ϕ=4π,∴f (x )=1-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22ππx =1+sin x 2π.∴f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=2+1+0+1=4.又∵y =f (x )的周期为4，2 008=4×502∴f （1）+f （2）+…+f （2 008）=4×502=2 008.。
2023-2024学年甘肃省金昌市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试-20-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年甘肃省金昌市高一上学期数学人教A版-三角函数-章节测试(20)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）-44-331. 已知角 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，且 ．若角 的终边上有一点，则 的值为（ ）A .B .C .D .--2. cos240°的值是（ ）A .B .C .D .3. 若角 是 的三个内角，则下列等式一定成立的是（ ）A .B .C .D .向右平移个长度单位向左平移个长度单位向右平移个长度单位向左平移个长度单位4. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只需将g（x）=sin2x的图象（ ）A . B . C . D .5. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）函数的最小正周期为 函数的值域为 函数的图象关于直线 对称函数 的图象向左平移个单位得到函数的图象A .B .C .D .6. 函数和 都递减的区间是（ ）A .B .C .D .7. 的一条对称轴是（ ）A .B .C .D .奇函数且图象关于点 对称偶函数且图象关于点 对称奇函数且图象关于直线 对称偶函数且图象关于点 对称8. 当 时，函数取得最小值，则函数 是（ ）A .B .C .D .9. 将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移 个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）的最小正周期不可能是（ ）A .B .C .D .[kπ+，kπ+π][kπ﹣π，kπ+][2kπ+，2kπ+π][2kπ﹣π，2kπ+]10. 函数y=cos（﹣2x）的单调递减区间是（以下k∈Z）（ ）A .B .C .D .11. 若， ，，则 ､､ 的大小关系为（ ）A .B .C .D .第一象限角一定不是负角 是第四象限角钝角一定是第二象限角终边与始边均相同的角一定相等12. 下列说法中正确的是（ ）A . B .C . D .13. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为 ， 则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为 cm.14. 已知 ， ， ，则 15. 设一扇形的周长为 ， 圆心角为 ， 则该扇形的面积为 ．16. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则扇形的面积为 ．阅卷人得分三、解答题（共6题，共70分）17. 已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ．(1) 求 ， ， 的值；(2) 求 的值．18. 已知 ， 且为第二象限角.(1) 求的值；(2) 求的值19. 在①函数 的图象关于原点对称；②函数 的图象关于直线对称；这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知函数 ， 的图象相邻两条对称轴的距离为，(1) 求函数 的解析式；(2) 求函数 在 上的取值范围.20. 已知函数 和函数 （ ）.(1) 判断函数 在 的单调性，并用定义法证明；(2) 若对于任意 总存在 ，使得 成立，求 的取值范围.21. 已知 ，其中 是第三象限角.(1) 化简 ；(2) 若 ，求 ， .答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
三角函数章节检测试卷
三角函数章节检测试卷班级 姓名 座位号一、选择题（每小题5分，共计60分）1．已知角θ的终边过点43-（，），则cos()πθ-=（ ） A ．54 B ． 54-C ．53 D ．53-2．函数sin cos 2,([0,])2y x x x π=++∈的最小值是（ ）A.2－2 B.2＋2C.3D.1 3．函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程是 （ ）A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．45π=x4．设00sin 14cos14a =+，00sin 16cos16b =+，62c =，则,,a b c 大小关系（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）a c b <<5．已知tan α＝－，则的值是 （ ）A. B.C. D.6．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若，则x 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．7．若函数()()2f x sin x ωϕ=+()0ω≠的图象关于直线6x π=对称，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．3C ．2-D ．2或2-5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭()1f x ≥5±51±5151-αααcos sin sin 2+218．若)0,2(,21)sin(πααπ-∈=+，则αtan 等于( )A . 21-B .23- C .3- D . 33-9．tan 2tan 3tan 4⋅⋅的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 10．函数2sin 2y x =是（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ． 周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数11．已知1cot 2α=，则sin cos 2sin cos αααα-+的值为（ ）A ．15B ．16C ．14-D ．1-12．函数),0(),32sin(3)(πϕϕπ∈++=x x f 满足)()(x f x f =，则ϕ的值为（ ）A.6πB.3πC.12π D.32π二、填空题（每小题5分，共计20分）13． 函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ( ϕ>0)个单位,得到的图象恰好关于是6x π=对称,则ϕ的最小值是 14．函数的单调增区间__________________．15．给出下列命题：① 函数)23sin(x y +=π是偶函数；②函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴方程为8x π=；③对于任意实数x ，有,0)(',0)(',0),()(),()(>>>=--=-x g x f x x g x g x f x f 时且 则);(')(',0x g x f x ><时 ④若对,R x ∈∀函数f （x ）满足)()2(x f x f -=+，则4是该函数的一个周期。
三角函数章节习题附答案
必修4三角函数单元测试题（一）一、选择题1、若sin cos 0θθθ>，则在（ ）A 、第一、二象限B 、第一、三象限C 、第一、四象限D 、第二、四象限2、若13sin()=,-)22A A ππ+-则cos （的值是（ ）A 、12-B 、12C 、 32D 、32- 3、给出的下列函数中在2ππ（，）上是增函数的是（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin 2y x =D 、cos 2y x = 4、要得到sin(2)3y x π=-的图象，只要将sin 2y x =的图象（ ）A 、向左平移3π B 、向右平移3π C 、向左平移6π D 、向右平移6π5、若θ是第四象限的角，则-2πθ是（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限6、已知函数[]3cos 02y x π=在，的图象和直线3y =围成一个封闭的平面图形，这个封闭图形的面积是( )A 、4πB 、6πC 、9D 、67、下列关于函数2()log cos()f x x π=-的说法中正确的是（ ） A 、是偶函数，但不是周期函数 B 、是周期函数，但不是偶函数 C 、是偶函数，也是周期函数 D 、不是偶函数，也不是周期函数 8、函数()sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）A 、关于点03π（，）对称 B 、关于点04π（，）对称C 、关于直线3x π=对称 D 、关于直线4x π=对称9、三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ） A .sin A >cos B B. sin A <cos B C. sin A =cos B D. sin A 与cos B 大小不确定10、把函数y ＝sin(2x ＋3π)的图像上各点的横坐标变为原来的31，再把所得图像向右平移8π，则 所 得 图 像 的 周 期 和 初 相 分 别 为 （ ） A.3π，4π B. 3π，1213π C.3π，125π- D.3π，512π二、填空题11、函数33sin(2),,334y x x πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦的值域是 12、已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.13、若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 14、已知函数(=sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ+>><）的图象如图所示，则其解析式 是2-2-45101511π125π11-221三、解答题15、已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )23sin()2cos()2cos()23sin(2απαπαπαππα-⋅--⋅+⋅--的值.16求函数y=-x 2cos +x cos 3+45(x ∈[0,2π) )的最大值及最小值，并写出x 取何值时函数有最大值和最小值。
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第二十八章锐角三角函数单元检测
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝
3
4
，则sin A 等于( )． A.43 B.34 C.53 D.35
2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )
A ．c sin A ＝a
B ．b cos B ＝c
C ．a tan A ＝b
D ．c tan B ＝b
3在△ABC 中，(tan A －3)2＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
22－cos B ＝0，则∠C 的度数为( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
4、如图 ，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC ＝6米，∠ACB ＝52°，则拉线AC 的长为( )
A.6sin52°米
B.6tan52°米 C ．6cos52°米 D.6cos52°
米
5、如图 ，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是( ) A.23 B.32 C.2 1313 D.3 1313
6、轮船航行到C 处时，观测到小岛B 的方向是北偏西65°，那么同时从B 处观测到轮船的方向是( ) A ．南偏西65° B ．东偏西65° C ．南偏东65° D ．西偏东65°
7、小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m ，则他升高了( )．
A ．2005m
B ．500 m
C ．5003m
D ．1 000 m 8、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，若AC ＝2 3， AB ＝4 2，则tan ∠BCD 的值为( )
A.2
B.153
C.155
D.3
3
9、直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10、如下图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8，现将△ABC 如下图那样折叠，使点A 与B 点重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE ＝( )
A.247
B.73
C.724
D.13
姓名：__________ 班级：__________ 成绩：__________
二、填空题(每小题4分，共24分)
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5 2，b＝5 6，则∠A＝________.
2、如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cos B＝4
5，则AC＝________.
3、如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB＝________.
4、长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了__________ m.
5、如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值为__________．
6、等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．
三、解答题：
19计算题：（每题3分，共12分）
（1）sin245°＋tan 60°cos 30°－tan 45°；(2) ()424
60
sin
45
cos
2
2+
-
；（3）（4）
20、(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A的平分线AD ＝163 3
.
(1)求∠B的度数；
(2)求边AB与BC的长．
21、（8分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟30m的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到处，这时气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求气球的升空点与着火点的距离（结果保留根号）.
B
C A 东
西45°
60°
22、（8分）如图所示，某校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离(B ，F ，C 在一条直线上)．
(1)求教学楼AB 的高度；
(2)学校要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离(结果保留整数；参考数
据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈2
5
)．
附加题:（10分）
如图所示，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C ＝30°.折叠纸片使BC 经过点D .点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF ＝CF ＝8. (1)求∠BDF 的度数；(2)求AB 的长．。