数学建模练习答案

1．第6题

第1题

解释：非线性模型

待数据拟合的函数模型关于某些待定参数是非线性的，就称为非线性模型。

第2题

解释：线性模型

待数据拟合的函数模型关于全体待定参数都是线性的，就称为线性模型。

第10题

解释：数学模型

数学模型（Mathematical Model）是由数字、字母或者其他数学符号组成的，描述现实量规律的数学公式、图形或算法.

第11题

词解释：一阶差分方程

第3题

在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距车距离，车速越快，刹车距离越长. 请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？

案：

6．第5题

7．第13题

8．第14题

9．第6题

10．第9题

根据按揭贷款的等额本息还款法的算法：

每月利息=本月剩余本金×贷款月利率

每月本金=本月剩余本金-下月剩余本金

每月月供额=每月本金+每月利息

建立数学模型，并推出已知本金总额和按揭年数时月供额的计算公式.

11．第12题

请详细阐述正比例函数模型进行最小二乘数据拟合的原理。

12．第15题

13．第17题

根据按揭贷款的等额本金还款法的算法：

每月还本付息金额=每月本金+每月利息

每月本金=本金总额/还款月数

每月利息=（本金总额–累计已还本金）×月利率建立数学模型，并推出已知本金总额和按揭年数时月供额的计算公式.

14．第4题

写出以下公式：按照最小二乘法，由样本数据计算一元线性回归模型的回归系数的点估计.

15．第7题

MATLAB规定分号有哪些用途？

命令之后加一个分号“;”，MATLAB只执行命令，不显示结果，这样可以屏蔽掉不需要的显示。创建数值数组时，两行之间以分号或回车换行隔开。

16．第8题

什么是灵敏性分析？为什么需要做灵敏性分析？哪些参数需要做灵敏性分析？哪些参数不需

要做灵敏性分析？

灵敏性（sensitivity）是指当数学模型的某个参数改变时模型解答的变化程度，变化越大，模型解答对该参数的就越灵敏.

在建立数学模型解决实际问题的时候，人们自然期待模型解答对参数不算灵敏，因为在灵敏的情况下，一旦参数发生微小变化，模型的解答就会发生显著的变化，会给模型检验和模型应用带来困难. 但事实上，在科学技术各个领域广泛存在着灵敏性和临界值问题，在数学上很多数学模型也存在着灵敏性和临界值问题，当参数处于临界值附近时，模型解答会对参数高度灵敏. 人们对此非常关注又非常感兴趣. 所以不论建立什么样的数学模型，都需要仔细的做灵敏度分析.

在数学建模的实践中，没必要对所有参数都进行灵敏度分析，需要对哪些参数进行灵敏度分析要从实际意义出发考虑参数的不确定程度. 有些参数实际上是稳定的，其观测值是准确可靠的；另一些参数实际上经常变动，观测、估计或预测所得的参数值往往会包含不小的误差. 显然，前一种参数没有做灵敏度分析的必要，而后一种参数的不确定性会影响模型解答的可信性，所以灵敏度分析非常有必要.

17．第16题

请说明MATLAB的变量名、M文件名和函数名的命名规则。

MATLAB的变量名、函数名、程序文件名的命名规则为：必须以字母开头，可以有字母、数字和下划线（不能包含其他字符，例如中文字符），区分大小写字母；可以是任意长度，但是只有前63个字符是有效的；不能和任何MATLAB关键字同名；命名应该避免使用MATLAB 系统已经安装的函数名（包括特殊值），因为这样做会导致同名函数不能使用，直到以命令“clear 变量（函数、程序文件）名”清除该变量（函数、程序文件）名为止.

18．第18题

回答以下问题：

（1）什么是一级动力学反应？

（2）写出一级动力学反应的微分方程模型及满足初始条件的特解.

（3）什么是半衰期？

（4）为什么一级动力学反应的半衰期是一个与初始状态无关的常数？

19．第19题

什么是数学建模？数学建模有哪些步骤？请简述这些步骤。

数学建模（Mathematical Modeling）是建立数学模型解决实际问题的全过程，包括数学模型的建立、求解、分析和检验四大步骤.

（1）数学模型的建立，就是指从现实对象的信息提出数学问题，选择合适的数学方法，识别常量、自变量和因变量，引入适当的符号并采用适当的单位制，提出合理的简化假设，推导变量和常量所满足的数量关系，表述成数学模型.

（2）数学模型的求解，就是指运用所选择的数学方法求解数学模型.

（3）数学模型的分析，就是指对数学模型的解答进行数学分析，包括对结果的误差分析或统计分析，模型对数据的灵敏度分析，模型对假设的强健性分析.

（4）数学模型的检验，就是指把数学模型的解答解释成现实对象的解答，给出实际问题所需要的分析、预报、决策或控制的结果，检验现实对象的解答是否符合现实对象的信息（包括实际的现象、数据或计算机仿真），从而检验数学模型是否合理、是否适用. 如果检验的结果说明该数学模型不够合理、不适用于实际对象，首先要考虑最初从实际对象的信息提出的数学问题以及选择的数学方法是否适当，是否要重新提出数学问题、重新选择数学方法；其次要考虑在模型建立阶段所提出的简化假设是否合理，是否足够，通过修改假设，或补充假设，重新建模. 数学建模的过程往往需要经历反复和完善，直到满意.

数学建模取得满意的结果以后，可以根据实际对象的需要进一步应用所建立的数学模型来解决其它实际问题，这就是模型应用.

解释：最小二乘法

数模型和已知数据，按照使误差平方和达到最小值的目标进行数据拟合。

13题

解释：二阶差分方程

17题