圆周运动专题复习临界问题
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例1、在山东卫视的《全运向前冲》 节目中，有一个“大转盘”的关卡。 如图所示，一圆盘正在绕一通过它中
心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀
速转动，在圆盘上有一名质量为m的 闯关者（可是为质点）到转轴的距离 为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因 素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静 摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关 者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转 动角速度的取值范围。
任务 :
1、掌握处理圆周运动的基本思路 和方法；
2、掌握圆周运动中极值临界问题 的临界条件，会用临界条件处理 实际问题。
3、牛顿第二定律在曲线运动中的具体应用
特点： 角 线速速度度、、周向期心、加速频率度不、变向，心力的大小不变，
方向时刻改变；
匀速
性质：变速运动；非匀变速曲线运动；
圆周运动 条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水
平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，
AC和BC为抗拉能力相同的两根细线， C端固定在转轴
OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，
当转轴的角速度逐渐增大时
()
A．AC先断
B．BC先断
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题1：给小球多大的水平初速度， 才能使绳在小球运动过程中始终 绷紧？
【解答】 在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况： (1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动。
(2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完 整的圆周运动。
思考 当2 ： g ＜ v rA ＜5g 时 ， r
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方 向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它 们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B 与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍， （g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
C．两线同时断
D．不能确定哪根线先断
解析 A
2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的 小球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹 角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条 件，两绳子始终张紧？
A
B
30°
L
45°
C ω
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点 各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点， 且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴， 以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为 _______牛，绳CD的张力为_______牛。
3、脱离与不脱离的临界问题
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一 起做匀速圆周运动，细线长为L，求：
（1）当 g / l 时
37°
绳子的拉力；
（2）当 2g/l时
绳子的拉力；
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转 动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
思考：要使小球做完整的圆周运动， 在最低点的速度有什么要求？
vB B
由机械能守恒可的：
o
mg2rmvA 2 mvB2 22
L A
v gr vA 当VB取得最小值时，即： B
v VA取得最小值即： A 5gr
结论：要使小球做完整的圆 周运动，在最低点的速度
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O 点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm ＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的 角速度ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
vA
5gr
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固
定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 图3-5 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
二、竖直平面内的圆周圆周运动的 几种常见模型及其做圆周运动的临界 条件，会用临界条件处理实际问题。
2、体会牛顿运动定律在曲线运动中 的具体应用
模型1 ：绳球模型
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的
质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
v0 B
o
L A
试分析： 当小球在最高点B的 速度为v0 时，绳的拉力与速度 的关系？
vA
v2 mg
T
o
最高点：T mg mv02 L
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
v1 T 0,v0 gL
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？ 当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到） 最高点、刚好能做完整的圆周运动；
当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。
小球将做什么运动？
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最低点的速度至少为多少？
2 5(m/ s)
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
圆
且指向圆心。
周
向心力就是物体作圆周运动的合外力。
运
动
合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速
非匀速 度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。
圆周运动 当速率增大时，合外力与速度方向的夹角
为锐角；反之，为钝角。
一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题
心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀
速转动，在圆盘上有一名质量为m的 闯关者（可是为质点）到转轴的距离 为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因 素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静 摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关 者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转 动角速度的取值范围。
任务 :
1、掌握处理圆周运动的基本思路 和方法；
2、掌握圆周运动中极值临界问题 的临界条件，会用临界条件处理 实际问题。
3、牛顿第二定律在曲线运动中的具体应用
特点： 角 线速速度度、、周向期心、加速频率度不、变向，心力的大小不变，
方向时刻改变；
匀速
性质：变速运动；非匀变速曲线运动；
圆周运动 条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，
（2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
8．如图所示，OO′为竖直轴，MN为固定在OO′上的水
平光滑杆，有两个质量相同的金属球A、B套在水平杆上，
AC和BC为抗拉能力相同的两根细线， C端固定在转轴
OO′上．当绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2∶1，
当转轴的角速度逐渐增大时
()
A．AC先断
B．BC先断
D.小球过最高点时速度大小为 gL
变型题1：给小球多大的水平初速度， 才能使绳在小球运动过程中始终 绷紧？
【解答】 在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况： (1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动。
(2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完 整的圆周运动。
思考 当2 ： g ＜ v rA ＜5g 时 ， r
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方 向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它 们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B 与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍， （g=10m/s2）求：
（1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；
C．两线同时断
D．不能确定哪根线先断
解析 A
2、绳子中的临界问题
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的 小球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹 角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条 件，两绳子始终张紧？
A
B
30°
L
45°
C ω
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点 各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点， 且BDCD，ABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴， 以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为 _______牛，绳CD的张力为_______牛。
3、脱离与不脱离的临界问题
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一 起做匀速圆周运动，细线长为L，求：
（1）当 g / l 时
37°
绳子的拉力；
（2）当 2g/l时
绳子的拉力；
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的 铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转 动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
思考：要使小球做完整的圆周运动， 在最低点的速度有什么要求？
vB B
由机械能守恒可的：
o
mg2rmvA 2 mvB2 22
L A
v gr vA 当VB取得最小值时，即： B
v VA取得最小值即： A 5gr
结论：要使小球做完整的圆 周运动，在最低点的速度
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物 体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光 滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O 点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm ＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的 角速度ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
vA
5gr
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固
定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初
速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好
过最高点，则下列说法中正确的是：（ D ）
A.小球过最高点时速度为零
B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m
v
2 0
C.小球过最高点时绳对小的拉力mg L
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 图3-5 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
二、竖直平面内的圆周圆周运动的 几种常见模型及其做圆周运动的临界 条件，会用临界条件处理实际问题。
2、体会牛顿运动定律在曲线运动中 的具体应用
模型1 ：绳球模型
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的
质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
v0 B
o
L A
试分析： 当小球在最高点B的 速度为v0 时，绳的拉力与速度 的关系？
vA
v2 mg
T
o
最高点：T mg mv02 L
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
v1 T 0,v0 gL
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？ 当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到） 最高点、刚好能做完整的圆周运动；
当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。
小球将做什么运动？
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳 拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m， 现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则 小球在最低点的速度至少为多少？
2 5(m/ s)
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
圆
且指向圆心。
周
向心力就是物体作圆周运动的合外力。
运
动
合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速
非匀速 度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。
圆周运动 当速率增大时，合外力与速度方向的夹角
为锐角；反之，为钝角。
一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题