1.7隐函数微分法

Fz (F,G)
Gz Fz
(x, z) (F,G)
,
Gz
(y, z)
Fy dz Gy dx Fy
Gy
Fx (F,G)
Gx ( y, x) Fz (F,G)
Gz
(y, z)
例1.求由方程组
z x2 y2
x
2
2
y2
3z2
20
所确定的隐函数的导数
解法1: (公式法)设F(x, y, z) x2 y2 z
定理1.7.3 设
(1)F(x, y, z),G(x, y, z)在含点(x0, y0, z0)的一个 开区域D上连续; (2) F , G在D上有连续的偏导数;
(3)F (x0 , y0, z0 ) G(x0, y0, z0 ) 0;
(4) (F,G) Fy ( y, z) Gy
Fz 0 Gz
解 令 u x y z, v xyz,
法 1
则 z f (u,v),
z f ( x y z, xyz) 把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
xy z ), x
z
整理得
fu yzfv ,
x 1 fu xyfv
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得
x
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
,
v x
y x
yx
y
u
v y
yu xv x2 y2 ,
x
将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
u y
xv x2
yu y2
,
v y
源自文库
xu x2
yv y2
.
例3.设函数z z(x, y)由方程组
x euv
y euv z uv
所确定,
求
0
f
u
(
x y
1)
fv ( xz
yz x), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得
1
y
fu
( z
1)
y fv ( xy xz z ),
整理得 y 1 fu xyfv . z fu xzfv
解法2 :由z f (x y z, xyz) 设F(x, y, z) z f (x y z, xyz)
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数u u( x, y)，
v v( x, y)，它们满足条件u0 u( x0 , y0 ) ,v0 v
( x0 , y0 )，并有
Fx Fv
u 1 (F ,G) Gx Gv , x J ( x,v) Fu Fv
dy Fx dx Fy
隐函数的求导公式
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导 数在x 0的值.
解 令 F(x, y) x2 y2 1 则 Fx 2x, Fy 2 y,
y
x y2
x y
1 y3
,
d2y dx2 x0 1.
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求dy . x dx
解 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
则
Fx ( x, y)
x x2
y y2 ,
Fy( x, y)
y x2
x y2 ,
dy Fx x y . dx Fy y x
z Fx , z Fy x Fz y Fz
例 3 设 x2 y2 z2 4z 0，求x2z2 .
解 令 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z,
则 Fx 2x, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
( y, x) Gy Gx 4 y 2x
dy 12xz 2x 6xz x dx 12 yz 4 y 6 yz 2 y
dz 4xy xy dx 12 yz 4 y 3yz y
解法2 : (用推导公式的方法 )
对方程组
z x2 x2 2 y2
y2 3z2
的两边 20
zz
则Fx
1， z
Fy
(
y) z
1 z
z Fx x Fz x
,
z
y
Fz ( y) ,
x z2
z y
( y)
z Fy
Fz
( z
y
2
)
,
z
(
y
)
z
x y ( y
)
,
z
z
于是x z y z z . x y
练习题
一、填空题:
1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则 x
定理1.7.1 (隐函数存在定理1)
如果二元函数F(x,y)满足
(1) F(x0,y0,)=0； (2) 在点(x0,y0)的某邻域内有连续的偏导数；
(3) Fy(x0,y0,) ≠0. 则方程F (x, y) 0在x0的某邻域内唯一确定了 一个具有连续导数的函数y f (x),它满足
y0 f (x0 )及F (x, f (x)) 0,且
1.7.1 由一个方程确定的隐函数的微分法
我们常常碰到一些多元 函数，其因变量和自变 量 的关系是以方程的形式 给出的。
例如在球面方程 x2 y2 z2 1 中,如果把x, y看作自变量，那么此方程在平面 区域D {(x, y) | x2 y2 1}上确定了两个连续 的二元函数
z 1 x2 y2.
dy ___________________________. dx 2、设z x y z ,则
z ___________________________, x z ___________________________. y 二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z,
定理1.7.2 (隐函数存在定理2)
如果三元函数F(x,y,z)满足 (1) F(x0,y0,z0)=0； (2) 在点(x0,y0,z0)的某邻域内有连续的偏导数；
(3) Fz(x0,y0,z0) ≠0. 则方程F (x, y, z) 0在(x0, y0 )的某邻域内唯一 确定了一个具有连续导数的函数z f (x, y), 它满足z0 f (x0, y0 )及F (x, y, f (x, y)) 0,且
例 2 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u ，u ，v 和v . x y x y
解1 直接代入公式；
解2 运用公式推导的方法，
将所给方程的两边对 x求导并移项
x y
u x u
y x
v x v
u ,
v
x x
x J
y x2 y2,
yx
在J 0的条件下，
u y
Fv
x x 2x
Gv
y y
Fu v Gu x Fu
Gu
Fx
x1
Gx y 0 1 ,
Fv
xx
2x
Gv
y y
同理可得 u 1 , v 1 y 2 y y 2 y
则得:
z u v v u ln x x x x 2x
z u v v u ln y
y y y
2y
三、小结
称上式为雅可比行列式
则
(1)存在 0和定义在 (x0 , x0 )上
惟一的一组连续函数
y z
y ( x), z(x),
使得
F(x, y(x), z(x)) 0 G(x, y(x), z(x)) 0, x
(2) y, z在上有连续的导数,且
Fx dy Gx dx Fy
Gy
Fx Fy y Fz z 0 Gx Gy y Gz z 0
Fy Gy
y y
Fz z Fx Gz z Gx
若 Fy Gy
Fz 0, Gz
由克莱姆法则 ,知
Fx Fz
Fy Fx
dy Gx Gz , dz Gy Gx
dx
Fy Fz dx
Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
一般地，设有方程
F(x1, x2, xn, y) 0
(1)
如果存在一个n元函数y f (x1, x2, xn )使得
F(x1, x2, xn, f (x1, x2, xn )) 0
则称y f (x1, x2 , xn )是由方程(1)所确定的
隐函数。
我们现在利用偏导数给出方程F(x,y)=0存 在一个隐函数的条件及隐函数的导数公式.
某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且
F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0,G( x0 , y0 , u0 ,v0 )
0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比
式）
F F
J
(F ,G) (u, v )
u G
v G
u v
在点P( x0 , y0 , u0 ,v0 )不等于零，则方程组 F ( x, y,u,v) 0、 G( x, y,u,v) 0
z x
,
z y
解: z u v v u, x x x
z u v v u y y y
要先求出 u , v , u , v x x y y
设F (x, y,u, v) euv x
G(x, y,u, v) euv y
Fx u Gx x Fu
Gu
Fv
1 x
Gv 0 y 1 ,
可得: Fx ( f1 f2 yz), Fy ( f1 f2 xz),
Fz 1 ( f1 f2 xy),
z Fx f1 f2 yz ; x Fz 1 ( f1 f2 xy)
x Fy f1 f2 xz ; y Fx f1 f2 yz
y Fz 1 ( f1 f2 xy) .
Gu Gv
v 1 (F,G) Fu Fx Fu Fv x J (u, x) Gu Gx Gu Gv u 1 (F,G) Fy Fv Fu Fv , y J ( y, v) Gy Gv Gu Gv v 1 (F,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
2.
考虑方程组
F ( x, G(x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
当它满足一定的条件时,可确定两个函数
u u(x, y),v v(x, y)
欲求 u , u , v , v x y x y
定理 1.7.4(隐函数存在定理 2) 设
F ( x, y, u,v)、G( x, y, u,v)在点 P( x0 , y0 , u0 ,v0 )的
G(x, y, z) x2 2 y2 3z2 20
(F,G) (y, z)
Fy Gy
Fz
2y
Gz 4 y
1 12yz 4y 0
6z
(F , G) Fx
Fz 2x
1 12xz 2x
(x, z) Gx Gz 2x 6z
(F,G) Fy
Fx 2 y
2x 4xy 8xy 4xy
隐函数的求导法则（分以下几种情况）
(1) F ( x, y) 0
(2) F( x, y, z) 0
(3)
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
思考题
已知 x ( y)，其中 为可微函数，
zz 求 x z y z ?
x y
思考题解答
记F(x, y, z) x ( y),
z Fy
f1 f2 xz
二、方程组的情形
1.
考虑方程组
F ( x, G(x,
y, y,
z) z)
0 0
当它满足一定的条件时,可确定两个函数
y y(x), z z(x)
欲求 dy , dz dx dx
利用隐函数求导的方法 , 对方程组
F (x, y(x), z(x)) 0 G(x, y(x), z(x)) 0 的两边对 x求导,得
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2
z)2 (2 z)3
x2
.
例 4 设z f ( x y z, xyz)，求z ，x ，y . x y z
思路：把z 看成x, y 的函数对x 求偏导数得z ， x
把x 看成z, y 的函数对y 求偏导数得x ， y
把 y 看成x, z 的函数对z 求偏导数得y . z
F(0,1) 0, Fy (0,1) 2 0,
依定理知方程 x 2 y2 1 0在点(0,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x 0 时 y 1的 函数 y f ( x)．
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x ,
dx Fy
y
dy 0,
dx x0
d2y dx 2
y xy y2
对x求导, 得
2x 2 y yx zx 0 2x 4 yyx 6zzx 0
当 2y 1 12yz 4y 0时,由克莱姆法则有 4y 6z
2x 1 dy 2x 6z 6xz x , dx 12yz 4 y 6 yz 2 y
2y 2x
dz 4y
2x
xy
dx 12yz 4y 3yz y