高数课件 11.4隐函数微分法

yz x ), y
整理得 x fu xzfv ,
y
fu yzfv
续例4. 注意：z f ( x y z, xyz)
求 y z
:
把
y 看成 x,
z 的函数，即
z f ( x y( x, z) z, xy( x, z)z)
方程两边对z求导：
1
f
u
(
y z
1)
fv ( xy
xz y), z
两边对y求导：
这里，x,y都是自变量
Fy ( x,
y,
z)
Fz ( x,
y,
z)
z y
0
z Fy ( x, y, z) y Fz ( x, y, z)
隐函数的求导公式
这里，x,y都是自变量
例3. 设x2 y2 z2 4z 0,求 z , z x y
解一：令 F ( x, y, z) x2 y2 z2 4z,
隐函数的求导公式
这里，x, y都是自变量
dy
例1.已知方程 x2 y2 1 确定函数 y y( x)，求 dx x0
解： 令 F ( x, y) x2 y2 1
y1
dy Fx 2x x , dx Fy 2 y y
(x,y都是自变量)
dy 0 dx x0
y1
比较：方程两边对x求导： dy 2x x , dx 2 y y
Fx Fv
u Gx Gv 1 (F ,G)
x Fu Fv
J (x,v)
Gu Gv
Fu Fx
v Gu Gx 1 (F ,G)
x Fu Fv
J (u, x)
Gu Gv
方程
组
两
边
对y求
偏
导
：
Fy
G
y
Fu Gu
u y u y
Fv Gv
v y v y
0 0
即
Fu
u y
Fv
则 Fx 2x, Fy 2 y, Fz 2z 4,
z Fx x , x Fz 2 z
z Fy y , y Fz 2 z
解二：方程两边分别对x和y求导：
设2x 2z z 4 z 0, 2y 2z z 4 z 0
x x
y y
例4.设z f ( x y z, xyz)，求 z ，x ，y . x y z
11.4 隐函数的求导公式
11.4.1 由一个方程确定的隐函数 11.4.2 由方程组确定的隐函数
11.4.1 由一个方程确定的隐函数
1. F ( x, y) 0 确定函数 y y( x)
两边对x求导：
Fx ( x, y) Fy ( x, y) y 0
F
x y
x
y Fx ( x, y) Fy(x, y)
y),
v
v(
x,
y)
求 u , u , v , v . x y x y
解
：
方程
组两
边对x求
偏导
：
Fx Gx
Fu Gu
u x u x
Fv Gv
v x v x
0 0
即
Fu
u x
Fv
v x
பைடு நூலகம்
Fx
Gu
u x
Gv
v x
Gx
线性方程组
用消元法或克兰姆法则可解出 u , v . x x
若 J (F ,G) Fu Fv 0, (u,v) Gu Gv
z Fx fu yzfv , x Fz 1 fu xyfv
x y
Fy Fx
fu fu
xzfv yzf v
,
y Fz 1 fu xyfv .
z Fy
fu xzfv
1.4.2 方程组的情形
由
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
确定的函数u
u(
x,
如果线性方程组（方程个数=未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1 x1 an2 x2 ann xn bn a11 a12 a1n
的系数行列式不等于零，即 D
a21 a22 a2n
分析：从所求偏导判断自变量。
求 z ，说明z z( x, y)； 求 x ，说明x x( y, z)；
x
y
求 y ，说明y y( x, z) z
解一：令 u x y z, v xyz, 则 z f (u,v),
把z看作x，y的函数，方程两边对x求导：
z x
f
u
(1
z x
)
fv ( yz
v y
Fy
Gu
u y
Gv
v y
G y
若 J (F ,G) Fu Fv 0, (u,v) Gu Gv
Fy Fv
u G y Gv 1 (F ,G)
y Fu Fv
J ( y,v)
Gu Gv
Fu Fy
v Gu Gy 1 (F ,G)
y Fu Fv
J (u, y)
Gu Gv
克兰姆法则
dy Fx x y . dx Fy y x
2. F ( x, y, z) 0 确定函数 z z( x, y)
x
两边对x求导： z
Fx ( x, y, z) Fz ( x, y, z) x 0
Fy z
x y
z Fx ( x, y, z)
隐函数的求导公式
x Fz ( x, y, z)
xy z ), x
整理得 z fu yzfv , x 1 fu xyfv
续例4. 注意：z f ( x y z, xyz)
求 x : 把 x看成z, y的函数，即
y
z f ( x( y, z) y z, x( y, z) yz)
方程两边对y求导：
0
fu
(x y
1)
fv ( xz
0
an1 an2 ann
那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以 表为
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
x3
D2 D
, , xn
Dn D
.
其中Dj 是把系数行列式 D 中第 j 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式，即
dy 0
dx x0 y1
2x 2 y dy 0 dx
（x是自变量 y是x的函数）
例2. 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解： 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y ,
x
则Fx ( x,
y)
x x2
y y2
,
y x Fy( x, y) x2 y2 ,
整理得 y 1 fu xyfv .
z
fu xzfv
续例4. 注意：z f ( x y z, xyz)
解二：令F ( x, y, z) f ( x y z, xyz) z
u x y z, v xyz
则 Fx fu fv yz, Fy fu fv zx,
Fz fu fv xy 1