行程问题--相遇问题

知识框架

数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是行程问题。相遇问题是行程问题中的一种。

在公务员考试中，相遇问题虽然是考核心公式的应用，但基本不是直接代入核心公式就可以解题，但总的来说其只有以下两种情况，每种情况有2种变化。同学只要牢牢把握这两种情况，就能轻松搞定初等行程问题。

核心点拨

1、题型简介

相遇问题是行程问题的典型应用题，研究“相向运动”的问题，反映的是两个量或者多个物体所走的路程、速度和时间的关系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等变量，求相遇时间或者已知时间，速度，求路程等这类题型。

2、核心知识

速度和×相遇时间=相遇路程；

相遇路程÷相遇时间=速度和；

相遇路程÷速度和=相遇时间。

（1）直线相遇问题

当相遇问题发生在直线路程上时，甲的路程+乙的路程=总路程；

（2）环线相遇问题

当相遇问题发生在环形路程上时，甲的路程+乙的路程=环形周长。

3.核心知识使用详解

解答相遇问题时，一般需要借助于列方程法进行求解。

对于复杂的相遇问题，正确画出行程图、找准突破口往往是解题的关键。

一般而言，单个量的往返问题，一般以时间关系为突破口；

两个量的往返问题，一般以路程为突破口。

夯实基础

1.直线相遇问题

例1：(2008．江苏C类)

两列对开的列车相遇，第一列车的速度为12米/秒，第二列车的速度为14米/秒，第二列车上的一旅客发现第一列车从旁边开过的时间为5秒，则第一列车的车长为多少米？

A. 60

B. 75

C. 80

D. 130

【答案】

D

【解析】

[题钥]

“第二列车上的一旅客发现第一列车从旁边开过的时间为5秒，”可得到：旅客与第一列车的相对速度=第一列车和第二列车的相对速度=两车速度和。

[解析]

第二列车通过第一列车的路程：

假设第一列车静止，为一段静止的路程，

由题可知：第二列车通过第一列车的路程=第一列车的长；

第二列车通过第一列车的时间：

由题可知，第二列车通过第一列车的时间为5秒；

两车速度和：

两车相向而行，相对速度=两车速度和=12+14=28米／秒；

第一列车的车长：

第一列车的长=第二列车通过第一列车的路程

=速度和×相遇时间

=(12+14)×5=130米。

因此，选D。

例2：(2010．江西)

甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则A、B两地相距多少千米？

A. 10

B. 12

C. 18

D. 15

【答案】

D

【解析】

[题钥]

“甲从A地，乙从B地同时以均匀的速度相向而行，”由速度×时间=路程可知，当时间相同时，甲乙的速度比（是一定值）等于甲乙所走的路程比。

[解析]

根据题意，设A、B两地相距为x千米，

第一次相遇甲所走的路程：6千米；

第一次相遇乙所走的路程：（x-6）千米；

第二次相遇甲所走的路程：（2x-3）千米；

第二次相遇乙所走的路程：（x+3）千米；

两地相距的距离：

两次相遇过程中甲乙同时以匀速行走，故

即

解得x=15。

因此，选D。

2.环线相遇问题

例3：

如图，外圆圆周长80厘米，阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A、B点同时爬行。甲蚂蚁从A 点出发，沿“逗号”四周逆时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少厘米？

A. 25

B. 50

C. 75

D. 100

【答案】

C

【解析】

[题钥]

“甲蚂蚁从A点出发，沿逗号四周逆时针爬行,”“乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，”甲蚂蚁先要走过A、B点之间“逗号”曲线才有可能与乙蚂蚁相遇。

A、B点之间“逗号”曲线距离=两个半圆的半周长，设大圆半径为R，小圆半径为r。

两个半圆的半周长=大圆的半周长+小圆的半周长=πR +πr=π（R +r）=π×AB=外圆半周长

[解析]

甲蚂蚁走过的A、B点之间“逗号”曲线距离：

据图形可知，外圆的直径等于两个内圆直径之和，所以，A、B点之间“逗号”曲线的距离等于外国半圆的距离，为80÷2=40厘米；

两只蚂蚁走过的相遇路程：

两只蚂蚁相向而行，分析可得，相遇时路程应该在圆的右侧外圆上面，所以相遇时，两只蚂蚁走过的总路程为40+80=120厘米；

两只蚂蚁走过的速度和：

速度和=甲蚂蚁速度+乙蚂蚁速度=3+5=8厘米/秒；

两只蚂蚁走过的相遇时间：

相遇时间=相遇路程÷速度和=120÷8=15秒；

相遇时，甲蚂蚁走过的路程：

路程=速度×时间=3×15=45厘米；

相遇时，乙蚂蚁走过的路程：

路程=速度×时间=5×15=75厘米；

因此，选C。

进阶训练

1.直线相遇问题

例4：(2009．黑龙江)

甲、乙、丙三辆车的时速分别为60公里、50公里和40公里，甲从A地、乙和丙从B地同时出发相向而行，途中甲遇到乙后15分钟又遇到丙，问A、B两地相距多少公里？

A. 150公里

B. 250公里

C. 275公里

D. 325公里

【答案】

C

【解析】

[题钥]

根据“途中甲遇到乙后15分钟又遇到丙”可知，甲乙走完全程所用的时间比甲丙要少15分钟，即1/4小时。

[解析]

根据题意，设A．B两地的距离为S。

甲乙相遇时速度和：

60+50=110公里/时；

甲丙相遇时速度和：