二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)

练习求函数y=x2+2x+3 在x[-2,2]时的 最值？
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
2.(1)若 f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，则 f(m＋1)的
值( B )
A．正数
B．负数
C．非负数
D．与 m 有关
19
(2)已知 2x2≤3x，则函数 f(x)＝x2＋x＋1 的最大值为___4_____．
,
5
6
],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
10
5
Βιβλιοθήκη Baidu
x=
5 2
时有最大值
f (5) 2
1 3 4
2 x=1
1
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈yy[== xx–22 222，∙∙xx 033 ]，求函数f(x)的最值；
10 2
4
当 k ＜1 ＜ k+2 时 即-1 ＜k ＜1时 f(x)min=f(1)=- 4
当5 f(k)>f(k+10 2)时， 15
即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3 当f(k) ≤f(k+2)时，
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
x=1
2
13
-2
2
2 4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3y = x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
2∙例x 3 1、已知函数f(x)=
2∙x 3
10
10
x2 –2x
–8
3
10
8
（1）8 x∈[–2，0]（2）8 x∈[ 2，4 （] 3）x6 ∈[
y1=0 x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例:8 求函数yy == x28x2∙x2-3 2x-3在x∈[k,k+210 ]时
8
的最6 值
6
8
6
6
4
4
4
2 x=1
k+2
15
k
5
x=1
2
k
10
5
15
k+2
5
10
10
x=1
2
k k+2
5
15
5
4
2 x=1
10 5
(3)已知函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在 x∈[0,1]时有最大值 2，
求 a 的值．
(4)已知函数 f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2 在区间[0,1]内有一个最
大值－5，求 a 的值．
思考：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:
y = x2 2∙x 3
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3.
10
（1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值8 ；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线x=1
由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时15有最小值f(010)=-3
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
例1、已知函数f(x)=
x2 –2x
–
3.
10
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值；8
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1
5
0
5
-2
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈yy ==[xx22
–2，0 2∙x 3 2∙x 3
]，求函数f(x)的最10 值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2]
，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f ( 1) 13
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8 8
10
6
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
当k+2≤1即k ≤-1时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5
10
15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
x=1
2
k k+2
10
82
64
4 6
x=1
2 8
k k+2
二次函数在闭区间上的最值问题
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
2
（4）若x∈[
12, 2
3 2]，求函数f(x)的最值；
y = x2 2∙x 3
者是最大值，较小者是最小值.
考点二 二次函数的图象与性质(高频考点)
已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围，使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2，其对称轴为 x＝1， 所以 f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37. (2)对称轴为 x＝－a，当－a≤－5 或－a≥5 时， f(x)在[－5,5]上单调．所以 a≥5 或 a≤－5. 故满足条件的实数 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
8
10 10
10 10
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上 上的最值或值域的一般方法是：
（1）检查x0=

b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
1 2
,
5 2
]（4）x6 ∈[
1 2
,
3] 2
6
6
4
4
4
x=1
2
0
10
-2
2
55
4
2 x=1
10 15
2
5
10
10
4 15
2
2 x=1
1
5
2
2
5
10 2
2
1 -2
5
15 2
x=1
3 2
10
4
4
4 4
6
思考6 ：通过以上几6 题，你发现二次6 函数在区间[m，n]
8
上的8 最值通常在哪8 里取到？