统计学二项分布习题

(一)单项选择题

1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（ ）

A ．样本患病率p =X /n 服从

B （n , π）

B ．n 人中患高血压的人数X 服从B （n , π）

C ．患病人数与样本患病率均不服从B （n , π）

D ．患病人数与样本患病率均服从B （n , π）

答案：B

[评析] 本题考点：二项分布概念的理解。

二项分布中所指的随机变量X 代表n 次试验中出现某种结果的次数，具体到本题目就是指抽查的n 个人中患高血压的人数，因此答案为B 。

2．二项分布近似正态分布的条件是（ ）

A ．n 较大且π接近0

B ．n 较大且π接近1

C ．n 较大且π接近0或1

D ．n 较大且π接近0.5

答案： D

[评析] 本题考点：二项分布的正态近似特性。

从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π, )1(ππ-n ）

。π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。

3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（ ）

A ．正态分布 B. 对称分布

C ．Poisson 分布 D. 二项分布

答案：C

[评析] 本题考点：Poisson 分布的特性。

Poisson 分布P （μ）的参数只有一个，即μ。它的均数和方差均等于μ，这一点大家需要牢记。

4. 测得某地区井水中细菌含量为10000／L,据此估计该地区每毫升井水中细菌平均含

量的95%可信区间为（ ）

A ．1000096.110000± B. 1096.110±

C ．1000

1000096.110± D. 1000096.110± 答案：C

[评析]本题考点：Poisson 分布的正态近似性。

当X 较大（一般大于50）时，Poisson 分布近似正态分布，按照正态分布资料的计算公式计算该地区井水中平均每升细菌含量的95%可信区间，再除以1000即得平均每毫升井水中细菌的平均含量（设1000

X Y =，有1000100001000==X Y S S ）。 （二） 是非题

从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X 代表所取出球中的红色球数，则X 服从二项分布B （10，0.5）。（ ）

答案：正确。

[评析] 本题考点：二项分布的定义。

二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。所以，此题目所述情况满足以上三个条件，X 服从二项分布B （10，0.5）。

（三）计算题

炮击命中目标的概率为0.2，共发射了14发炮弹。已知至少要两发炮弹命中目标才能摧毁之，试求摧毁目标的概率。

答案：0.802

[评析] 本题的考点：二项分布概率函数的理解和应用能力。

摧毁目标的概率即有两发或两发以上炮弹命中目标的概率，此概率又等于1减去只有一发命中或无一命中的概率之差。根据二项分布的概率函数计算如下：

[]

[]802.0154.0044.01)2.01(2.0)()2.01(111311411412=+-=-⨯⨯+--=-=≤≥X X P P

四、习 题

（一）名词解释

1．二项分布 2. Poisson 分布

3. Bernoulli 试验

（二） 单项选择题：

1. X 1、X 2分别服从二项分布B （n 1，p 1）、B （n 2，p 2），且X 1、X 2相互独立，若要X = X 1＋X 2也服从二项分布，则需满足下列条件（ ）。

A ．X 1=X 2 B. n 1=n 2

C ．p 1=p 2 D. n 1p 1=n 2p 2

2. 二项分布B （n ，p ）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（ ）。

A ．n=50 B. p=0.5

C ．np=1 D. p=1

3. Poisson 分布P （μ）满足下列何种条件时近似正态分布N （μ，

μ）（ ）。 A ．μ相当大 B.

μ=1 C ．μ=0 D. μ=0.5

4. 已知某高校学生近视眼的患病率为50%，从该高校随机挑选3名学生，其中2人患近视眼的概率为（ ）。

A ．0.125 B. 0.375

C ．0.25 D. 0.5

5. 某自然保护区狮子的平均密度为每平方公里100只，随机抽查其中一平方公里范围内狮子的数量，若进行100次这样的抽查，其中的95次所得数据应在以下范围内（ ）。

A ．5～195

B ．80.4～119.6

C ．95～105

D ．74.2～125.8

（三）简答题

1．服从二项分布及Poisson 分布的条件分别是什么？

2．二项分布、Poisson 分布分别在何种条件下近似正态分布？

3．在何种情况下，可以用率的标准误S p 描述率的抽样误差？

（四）计算题

1. 已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。该地区成人乙肝表面抗原阳性率是否高于全国平均水平？

2. 对甲、乙两种降压药进行临床疗效评价，将某时间段内入院的高血压病人随机分为两组，每组均为100人。甲药治疗组80位患者有效，乙药治疗组50位患者有效，两种降压药有效率有无差别？

3. 某放射性物质发生脉冲频率为100／克／小时，已知某矿区矿石中该放射性物质的含量为4克／千克，今又测得另一矿区同种矿石每千克发生脉冲频率为1000／小时，问两个矿区矿石中该放射性物质的含量是否相等？

4. 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率。

五、习题答题要点

（一）名词解释

1. 二项分布：若一个随机变量X ，它的可能取值是0,1,…,n ，且相应的取值概率为

k n k n k k X P --==)

1()()(ππ 则称此随机变量X 服从以n 、π为参数的二项分布（Binomial Distribution ），记为 X ～B （n ,π）。

2. Poisson 分布：若离散型随机变量X 的取值为0,1,…,n ，且相应的取值概率为

μμ-==e k k X P k

!)(（μ>0）

则称随机变量X 服从以μ为参数的Poisson 分布（Poisson Distribution ），记为X ～P （μ）。

3. Bernoulli 试验：将感兴趣的事件A 出现的试验结果称为“成功”，事件A 不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验（Bernoulli Test ）。

（二）单项选择题

1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

（三）问答题

1.二项分布成立的条件：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。Poisson 分布成立的条件：①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。

2. 二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π, )1(ππ-n ）

。 Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P （μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。

3. 当率P 所来自的样本近似服从正态分布时，即n 较大，P 不接近0也不接近1时，可以用率的标准误S p 描述率的抽样误差。