武汉大学测量平差课件

令ai
=
(
∂fi ∂Xˆ 1
)
0
,
bi
=
(
∂fi ∂Xˆ 2
)0 ,⋯, ti
=
(
∂fi ∂Xˆ t
)0
li
=
f
i
(
X
0 1
,
X
0 2
⋯
X
0 t
)
−
Li
= L0i − Li
vi = ai xˆ1 + bi xˆ2 +⋯+ ti xˆt + li
五、水准网函数模型
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（一）水准网中选择参数的数量 有已知点，等于待定点的个数； 无已知点，等于点的总数减一（设定某一待定点的高程为零）。
=
Lˆ5
⎪ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ2 Lˆ4
⎫ ⎪⎪⎬⋯⋯
Xˆ 3
=
Lˆ5
⎪ ⎪⎭
但是不能选择以下的任一组未知数：
1
B 2
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ1 Lˆ2
⎫ ⎪⎪ ⎬
Xˆ 3
=
Lˆ3
⎪ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ3 Lˆ4
⎫ ⎪⎪ ⎬
Xˆ 3
=
Lˆ5
⎪ ⎪⎭
3
A
C
5
4
D
∵ Xˆ1 + Xˆ 2 − Xˆ 3 = 0, Xˆ 3 − Xˆ 4 − Xˆ 5 = 0
l = L − (BX 0 + d ) = L − L0
V = B xˆ− l
n1 nt t1 n1
间接平差随机模型：
D
nn
=
σ
2 0
Q
nn
=
σ
2 0
P −1
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按最小二乘原理，xˆ必须满足V T PV
=
min
的要求， 则有： Wuhan University
∂V T PV = V T P ∂V = V T PB = 0
（1）列误差方程
Xˆ
P
2
4
C 3
h1 h2 h3
+ + +
v1 v2 v3
= = =
Xˆ Xˆ Xˆ
− − −
HA HB HC
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
⇒
v1 v2 v3
= = =
Xˆ Xˆ Xˆ
− − −
HA HB HC
− − −
h1 h2 h3
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪
B
D
h4 + v4 = Xˆ − H D ⎪⎭ v4 = Xˆ − H D − h4 ⎪⎭
xˆ = 5.83(mm)
（4）计算改正数
V = B xˆ− l
v1 = 5.8mm，v2 = 2.8mm，v3 = −14.2mm，v4 = −0.2mm
（5）计算平差值
Lˆ = L +V，Xˆ = X 0 + xˆ
Lˆ1 = 3.526m，Lˆ2 = 5.674m，Lˆ3 = 4.804m，Lˆ4 = 3.768m
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量作为未 知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据实际需要或是 否便于计算而定。
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如果选取的t个参数中有下列函数关系
ϕ ( Xˆ1, Xˆ 2 ⋯ Xˆ t ) = 0
则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而 就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数，另 选取一个独立的参数代替。
⎢⎣an
b3 bn
⋯ ⋯
t2
⎥ ⎥
⋮⎥
tn
⎥ ⎦
⇒ [ pab]xˆ1
+ [ pbb]xˆ2 +⋯+ [ pbt]xˆt ⋯⋯
= [ pbl]⎪⎪ ⎬ ⎪
[ pat]xˆ1 + [ pbt]xˆ2 +⋯+ [ ptt]xˆt = [ ptl] ⎪⎭
例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 Wuhan University
量，得观测值及线路长度如下：
h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,HB=5.671m，
h3=+2.198m,S3=2km,HC=4.818m,h4=+3.234m,S4=1km,HD= 3.768m ，
A
试按间接平差法求P点的高差平差值。 1
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数
m，HB＝12.000 m，各段观测高差及距离见下表，P1、P2、P3
为待定点。试列出平差该水准网时的误差方程式。
高差 距离
高差 距离
序
序
（m） （km）
（m） （km）
1 2.359 2.0 5 8.23 2.0
1
P1
7
2
2 -0.363 2.0 6 -6.23 2.0
3 3.009 1.0 7 0.657 1.0
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B
试按间接平差法列出误差方程。
解：必要观测为3
设
Lˆ1 = Xˆ1, Lˆ4 = Xˆ 2, Lˆ6 = Xˆ 3
L 2L3
C
A L1 L4 L5
L6
Xˆ
0 1
=
L1
=
48�17′01′′,
Xˆ
0 2
=
L4
=
48�35′12′′,
Xˆ
0 3
=
L6
=
56� 01′ 49′′
⎪ ⎪
⇒
Βιβλιοθήκη Baidu
v3
= xˆ1 v4
+ =
xˆ2 xˆ2
+ +
xˆ3 0
−
8⎪⎪ ⎬ ⎪
v5 = xˆ2 + xˆ3 − 6
⎪ ⎪
v6 = xˆ3 + 0 ⎪⎭
E
四、非线性误差方程线性化
非线性方程
vi = fi ( Xˆ1, Xˆ 2 ⋯ Xˆ t ) − Li
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(i = 1,2,⋯n)
第七章 间接平差
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重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以 及精度评定等内容。
难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误 差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。
要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理并 能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程，以 及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单位 权中误差和参数函数中误差。
值。
Xˆ i
=
X
0 i
+
xˆi
参数的近似值一旦取定，不能再变动；
误差方程中常数项是有效数字较少的一个小的数值，为计 算方便，应该用观测值相应的小单位表示。
例 在测站A上对B,C,D,E四个方向观测了六个角度
L1 = 48�17′01′′, L2 = 96�52′19′′, L3 = 152�54′10′′, L4 = 48�35′12′′, L5 = 104�37′07′′, L6 = 56�01′49′′
=
⎢⎢1⎥⎥
xˆ
−
⎢ ⎢
3
⎥ ⎥
⎢v3 ⎥ ⎢1⎥ ⎢20⎥
⎢⎣v4
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
⎢ ⎣
6
⎥ ⎦
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（2）组成法方程：
取1km的观测高差为单位权观测，则可得：
⎡1
⎤
⎢ P=⎢
0.5
⎥ ⎥
⎢
0.5 ⎥
⎢ ⎣
1⎥⎦
⎡1
⎤ ⎡1⎤
⎢
Nbb = BT PB = [1
1
1
1] ⎢
⎢
0.5 0.5
⎥ ⎥
⎢⎢1⎥⎥
=
3
⎥ ⎢1⎥
⎢ ⎣
1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎡1
⎤⎡ 0 ⎤
⎢
W = BT Pl = [1 1 1 1] ⎢
0.5
⎥ ⎥
⎢ ⎢
3
⎥ ⎥
= 17.5
⎢
0.5 ⎥ ⎢20⎥
⎢ ⎣
1⎥⎦
⎢ ⎣
6
⎥ ⎦
法方程
3xˆ −17.5 = 0
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（3）解法方程：
（3） （4）
2
⇒
Lˆ1
=
Xˆ 1
−
P2
HA
（6）
Lˆ2 + H A − Xˆ 2 = 0
（5） ⇒ Lˆ2 = Xˆ 2 − H A （7）
(6) 代入(1)变化后得：
Lˆ4 = Lˆ1 − H A + H B = Xˆ1 − 2H A + H B （8）
(6)、(7)代入(2)变化后得：
Lˆ3 = Lˆ1 − Lˆ2 = Xˆ1 − Xˆ 2
(8)、(9)代入(3)变化后得：
Lˆ5 = Lˆ3 + Lˆ4 = 2 Xˆ1 − Xˆ 2 − 2H A + HB
（9） （10）
间接平差函数模型：Lˆ = F ( Xˆ )
n1
t1
Lˆ = B Xˆ + d
n1 nt t1 n1
Xˆ = X 0 + xˆ
L +V = B( X 0 + xˆ) + d
∴ xˆ
=
N
W −1
BB
= (BT PB)−1 BT Pl
Lˆ = L +V，Xˆ = X 0 + xˆ
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当P为对角阵时，则有纯量形式：
⎡a1 b1 ⋯ t1 ⎤ [ paa]xˆ1 + [ pab]xˆ2 +⋯ + [ pat]xˆt = [ pal]⎫
B
=
⎢⎢a2 ⎢⋮
⇒ BT PV = 0
∂xˆ
∂xˆ
V = B xˆ− l l = L − (BX 0 + d )
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ− BT P l = 0
令 NBB
tt
=
BT PB，W t1
=
BT Pl
则： NBB xˆ −W = 0
－－间接平差的法方程
Xˆ 2
=
Lˆ
⎬ 4 ⎪⎭
∵ Xˆ1 + Xˆ 2 − ∠BAC = 0
L6 C
L1 D L5
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三、平差值方程的列出
如果误差方程中常数项的有效数字位数较多时，则由它们
组成的法方程常数项的数字位数也就较多，这给后续的计算增
加了困难。此时，为了简化计算工作，必须引进来知数的近似
第一节 间接平差原理
一、基础方程及其解
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以P1、P2点平差后的高程为参数:Xˆ1, Xˆ 2
Lˆ1 − Lˆ4 − H A + H B = 0 （1）
1
P1
4 B
Lˆ1 − Lˆ2 + Lˆ3 = 0
（2） A
3
5
Lˆ3 + Lˆ4 − Lˆ5 = 0 Lˆ1 + H A − Xˆ1 = 0
Xˆ = 6.996 + 5.8 /1000 = 7.002m
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二、按间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题选取t个独立量作为参数； 2. 将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于 非线性函数线性化，列出误差方程； 3. 组成法方程；
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ；
取参数的近似值 X 0 = H A + h1 = 6.996m
Xˆ = X 0 + xˆ = H A + h1 + xˆ = 6.996 + xˆ
得误差方程为：
v1 = xˆ ⎫
v2
=
xˆ
−3
⎪ ⎪
v3 = xˆ − 20⎪⎬
v4 = xˆ − 6 ⎪⎭
⎡v1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 0 ⎤
⇒
⎢⎢v2
⎥ ⎥
vi
=
fi ( Xˆ1, Xˆ 2 ⋯ Xˆ t ) =
f
i
(
X
0
1
+
xˆ1,
X
0
2
+
xˆ2
⋯
X
0 t
+
xˆt ) − Li
用级数展开并去掉高次项得：
vi
=
fi
(
X
0 1
,
X
0 2
⋯
X
0 t
)
+
(
∂fi ∂Xˆ 1
)0
xˆ1
+
(
∂fi ∂Xˆ 2
)0
xˆ2
+
⋯
+
(
∂fi ∂Xˆ t
)0
xˆt
− Li
5. 计算参数的平差值，求出观测量的平差值。
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。 一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择
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参数选择的原则：足数 独立 最简
（二）参数选择的方法
选择待定点的平差后高程作为参数。 （三）水准网误差方程的一般形式
设已j,k点的平差后高程为参数
hˆi = Xˆ k − Xˆ j
Xˆ k
=
X
o k
+
xˆk ,
Xˆ
j
=
X
o j
+
xˆ j
则vi = −xˆ j + xˆk + li
j
其中li
=
−X
0 j
+
X
0 k
− hi
k hi
例 有水准网如图。A，B为已知水淮点，且有HWuAh＝an 1Un0iv.e0rs0it0y
D
L1 + v1 = Xˆ1 L2 + v2 = Xˆ1 + Xˆ 2
⎫ ⎪ ⎪
L3
+
v3 = Xˆ1 L4 + v4
+ =
Xˆ 2 Xˆ 2
+
Xˆ
3
⎪⎪ ⎬ ⎪
L5 + v5 = Xˆ 2 + Xˆ 3 L6 + v6 = Xˆ 3
⎪ ⎪ ⎪⎭
v1 = xˆ1 + 0 ⎫
v2 = xˆ1 + xˆ2 − 6
⎫h5
⎪ ⎪
h3
+
v3
=
Xˆ 3
A
6
5
B
P2
4 -1.012 1.0 8 5.211 1.0
8
解：t=3,选择P1、P2、P3的平差后高程为参数
4
Xˆ1 , Xˆ 2 , Xˆ 3。
3
P3
Xˆ 10
=
HA
+
h1
= 12.359m, Xˆ
h1 +
可以列出8个误差方程 h2 +
0
2v1
v2
=
= =
XˆH1 −AH+A
H B − Xˆ1
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例如 教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量 作为未知数。
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ1 Lˆ2
⎫ ⎪⎪ ⎬
Xˆ 3
=
Lˆ4
⎪ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ1 Lˆ2
⎫ ⎪⎪ ⎬
Xˆ 3
=
Lˆ5
⎪ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= =
Lˆ1 Lˆ4
⎫ ⎪⎪ ⎬
Xˆ 3
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例如 图中可以选择以下几组量作为未知数。
B
Xˆ1 = Lˆ1 ⎫⎪
Xˆ 2
=
Lˆ
2
⎬ ⎪⎭
Xˆ 1 Xˆ 2
= Lˆ1 = Lˆ 4
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
Xˆ1 = Lˆ2 Xˆ 2 = Lˆ 6
⎫⎪⎬⋯⋯ ⎪⎭
A L2
L3
但是不能选择以下的一组未知数：
L4
Xˆ1 = Lˆ2 ⎫⎪