第九章变化的电磁场

第十三章 电磁感应 电磁场

9—1铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为t π100sin 100.85

-⨯=Φ(Wb)，求在s t 2

100.1-⨯=时，线圈中的感应电动势。

解 由于线圈有N 匝相同回路，线圈中的感应电动势等于各匝回路的感应电动势的代数和，在此情况下，法拉第电磁感应定律通常写成dt

d dt d N

ψ

ε-

=Φ-=，其中φψN ＝叫做磁通链数。 线圈中总的感应电动势dt

d N

Φ-=ε=（2.51V ）cos(100πs -1

)t ， 当t=0.02s 时，ε =2.51V 。 9—2 如图所示，用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆．使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转，整个电路的电阻为R ，求感应电流的表达式和最大值。

解 由题意知，穿过图示闭合回路中面积为S=1

2

πr 2的半圆形导线部分的磁通量在不断变化，在任意

时刻这部分磁通量Φ(t)=BScos θ，所以必须找出θ=θ(t)的关系式．

为此，设图示位置为导线在初始时刻(即=0)的位置，顺时针方向为回路正向，此时半圆形导线平面

的法线与B 之间的夹角θ=0，经历时间t 后,θ=2πf t ．将上述关系代人dt

d Φ

-=ε，求得回路在任意

时刻的电动势ε (t)，再用欧姆定律求得相应的感应电流I(t)，进而求得最大值I m .另外，由于本题磁场

不随时间变化，只是半圆形导线在旋转，因此产生的电动势是动生电动势，所以也可以在线圈处于任何

位置时用公式ε=⎰⨯l

)B (

υ来求解。

根据分析，由于磁场是均匀的，故任意时刻穿过回路的磁通量

为 ft B r BScon t ππθφ2cos 2

12

=

=）（ 根据法拉第电磁感应定律，有 ft fB r dt

d ππε2sin 22=Φ

-=

因此回路中的感应电流为 )(t I =R

ε =R fB

r 22πft π2sin

感应电流的最大值为 )(m I R

fB

r 22π

9—3 有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向反的电流，且电流均以

dI

dt

变化率增长。如果有一边长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。求线圈中的感应电动势。

解 用法拉第电磁感应定律dt d Φ

-=ε来求解．由于回路处在非均匀磁场，磁通量需用Φ=⎰⋅S S d B 计

算(其中B

为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度召1B 与召2B

之和)．

为了积分的需要，建立如图9—3所示的坐标系．由于B 仅与x 有关，即)(x B B =,，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x 工，所以，总磁通量可通过线积分求得(若取面元d S ：d x d y ，则上述积分实际上为二重积

分)．本题在工程技术中为互感现象，也可用公式dt

dI

M M -=ε

求解．

解1 穿过面元d S 的磁通量

=⋅+⋅=⋅=ΦS d B S d B S d B d 21dx d x Id )(20+πμdx x

Id

πμ20-dx 因此穿过线圈的磁通量为 Φ=dx x Id dx d x Id d d d d d ⎰⎰⎰-+=Φ20

202)(2πμπμ=4

3ln 20πμId

图13—3

图9—3

再由法拉第电磁感应定律，有 ε =dt

d Φ-

=(43ln 20πμd )dt dI

解2 当两长直导线有电流I 通过时，穿过线圈的磁通量为Φ=4

3

ln 20πμId ，线圈与两长直导线间的互感为 43ln 20πμφd I M =

,当电流以dt

dI

变化时，线圈中的互感电动势为 ε =dt

dI M -=(43ln 20πμd )dt dI

9—4 如图所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率υ

水平向右平动时，求导线中感应电动势君的大小，哪一端电势较高?

解 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由ε =dt

d Φ

-

求解外(必须设法构造一个闭合回路)，还可直接用公式⎰⋅

⨯=l

l d B

)(υε求解．在用后一种方法求解时，应注意下列几个问题：

1．式中l d B

⋅⨯)(υ为导体上任一导线元dl 上的动生电动势εd ，积分表示对导线上所有

的导线元产生的电动势求和．

2．需建立一个适当的坐标系(尽可能利用其对称性)，在导体上任意位置处取导线元l d

，写出l d

处的υ

与B

的表达式，

并需明确两个角度，即l d

处的

υ

与B 的夹角，以及矢量

(υ

×B )与l d 间的夹角．在一般情况下，上述各量可能是l d 所在位置的函数．

3．矢量(υ

×B )的方向就是导线中电势升高的方向．

解1 如图9—4 (b)所示，假想半圆聪导线OP 在宽为2R 的静止∑形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O 或端点P 距∑形导轨左侧距离为x ，则

B R Rx ⎪⎭

⎫

⎝⎛+=Φ2212π，B R dt dx RB dt d υε22-=-=Φ-=

由于静止的正形导轨上的电动势为零，则B R υε2-=．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP 段

来说端点P 的电势较高．

解2 建立如图9—4 (c)所示的坐标系，在导体上任意处取导体元dl ，则

θθυθυυεRd B dl B l d B d cos cos 90sin )(==⋅⨯=

，⎰⎰-===22

2cos ππυθθυεεB R d BR d

由矢量(B

⨯υ)的指向可知，端点P 的电势较高．

解3 连接OP 使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量Φ=BS=常数．由法拉第电磁感应定律dt

d Φ-

=ε可知，0=ε，PO P

O εεε+= ，B R PO P O υεε2=-= 。 由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法．

9—5 长为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，以角速率ω绕通过支点,垂直铜棒的轴转动。设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。

解 首先应分清棒两端的电势差与棒上的动生电动势不是一个概念，它们之间的关系如同电源的路端电压与电源电动势之间的关系．在开路情况中，两者大小相等，方向相反(电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向)．

可直接用积分法求解棒上的电动势，此时积分上下限应为r L -和r -另外，可将整个棒的电动势看作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图9—5 (b)所示．而OA ε和OB ε则可以直接利用结果解．

解1 如图13—8(a)所示，在棒上距点O 为l 处取导体元l d

，则

图9—4