【解直角三角形】专题复习(知识点+考点+测试)[1]

《解直角三角形》专题复习

一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：【∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°】

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2

1AB 】 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：【∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=21

AB=BD=AD 】

4、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 几何表示：【在Rt △ABC 中∵∠ACB=90° ∴222c b a =+】

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：【∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ∙=2

AB AD AC ∙=2 AB BD BC ∙=2】

6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ∙=∙）

由上图可得：AB ∙CD=AC ∙BC

二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°

c a

sin =∠=斜边的对边A A

c b

cos =∠=斜边的邻边A A

b a

tan =∠∠=的邻边的对边A A A

a

b cot =∠∠=的对边的邻边A A A

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数

锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，cot α≥0.

三、锐角三角函数之间的关系

（1）平方关系(同一锐角的正弦和余弦值的平方和等于1) 1cos sin 22=+A A

（2）倒数关系（互为余角的两个角，它们的切函数互为倒数） tanA ∙tan(90°—A)=1； cotA ∙cot(90°—A)=1； （3）弦切关系

tanA=A A

cos sin cotA=A

A sin cos

（4）互余关系(互为余角的两个角，它们相反函数名的值相等) sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—

A)

C B

. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）

（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 五、 解直角三角形

在Rt △中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三

角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1、边边关系：222a b c +

= 2、角角关系：∠A+∠B=90°

3、边角关系：即四种锐角三角函数

sin c A ，b

六、对实际问题的处理

（1）俯、仰角. （2）方位角、象限角.

（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）.

七、有关公式

（1）1sin 2S ab C ∆==1sin 2bc A =1

sin 2

ac B

（2）Rt △面积公式：11

22

S ab ch ==

（3）结论：直角三角形斜边上的高ab h c

= （4）测底部不可到达物体的高度

在Rt △ABP 中，BP=xcot α 在Rt △AQB 中，BQ=xcot β BQ —BP=a ， 即xcot β-xcot α=a ． B 西 α

h l i B P Q x 2

2B

C

A

αtan l h i ==α

βcot -cot a x =

八、基本图形（组合型）

翻折 平移

九、解直角三角形的知识的应用问题： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题．

(3)计算坝体或边路的坡度等问题

十、解题思路与数学思想方法

图形、条件 单个直角三角形 直接求解 实际问题 数学问题 抽象转化 不是直角三角形 直角三角形 方程求解

常用数学思想方法：转化、方程、数形结合、分类、应用

【聚焦中考考点】

1、锐角三角函数的定义

辅助线构造

2、特殊角三角函数值

3、解直角三角形的应用

【解直角三角形】经典测试题

（1——10题每题5分，11——12每题10分，13——16每题20分，共150分） 1、在△ABC 中，若2

2cos =

A ，3tan =

B ，则这个三角形一定是（ ）

A. 锐角三角形

B. 直角三角形

C. 钝角三角形

D. 等腰三角形 2、sin65°与cos26°之间的关系为（ ）

A. sin65°< cos26°

B. sin65°> cos26°

C. sin65°= cos26°

D. sin65°+ cos26°=1 3、如图1所示，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）

A. 7米

B. 9米

C. 12米

D. 15米

4、如图2，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交

角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）

A. αsin 1

B. α

cos 1

C. αsin

D. 1

图1