第十一章 光的干涉和干涉系统

第十一章 光的干涉和干涉系统1． 双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光nm 0.5891=λ和nm 6.5892=λ，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多少？解：由题知两种波长光的条纹间距分别为961131589105891010D e m d λ---⨯⨯===⨯ 962231589.610589.61010D e m d λ---⨯⨯===⨯ ∴第十级亮纹间距()()65211010589.6589100.610e e m -∆=-=⨯-⨯=⨯2． 在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图11-17），发现屏上的条纹系统移动了0.5场面，试决定试件厚度。

解：设厚度为h ，则前后光程差为()1n h ∆=- ()1x dn h D∆⋅∴-=230.510100.580.5h --⨯⨯=21.7210h mm -=⨯3． 一个长30mm 的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。

继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25个条纹，已知照明光波波长nm 28.656=λ，空气折射率000276.10=n 。

试求注入气室内气体的折射率。

图11-47 习题2 图解：设气体折射率为n ，则光程差改变()0n n h ∆=- ()02525x d dn n h e D Dλ∆⋅∴-==⋅= 9025656.2810 1.000276 1.0008230.03m n n h λ-⨯⨯=+=+= 4． ** 垂直入射的平面波通过折射率为n 的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。

玻璃板的厚度沿着C 点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d ，问d 为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。

解：无突变时焦点光强为04I ，有突变时为02I ，设',.d D200'4cos 2xd I I I Dπλ== ()'104xd m m D λ⎛⎫∴∆==+≥ ⎪⎝⎭又()1n d ∆=-114d m n λ⎛⎫∴=+ ⎪-⎝⎭5． 若光波的波长为λ，波长宽度为λ∆，相应的频率和频率宽度记为ν和ν∆，证明λλνν∆=∆，对于nm 8.632=λ的氦氖激光，波长宽度nm 8102-⨯=∆λ，求频率宽度和相干长度。

解：c λν= λνλν∆∆∴=对于632.8cnm λνλ=⇒=C图11-1889841821010310 1.49810632.8632.810c Hz λλννλλλ---∆∆⨯⨯⨯⨯∴∆=⋅=⋅==⨯⨯⨯ 218417632.810210210L m λλ--⨯===⨯∆⨯6． 直径为0.1mm 的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm ，双孔必须与灯相距离多少？ 解：设钨灯波长为λ，则干涉孔径角bcλβ=又∵横向相干宽度为1d mm =∴孔、灯相距0.182dd bcl mβλ⋅=== 取550nm λ=7． 在等倾干涉实验中，若照明光波的波长nm 600=λ，平板的厚度mm h 2=，折射率5.1=n ，其下表面涂上某种高折射率介质（5.1>H n ），问（1）在反射光方向观察到的圆条纹中心是暗还是亮？（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少？（观察望远镜物镜的焦距为20cm ）（3）第10个亮环处的条纹间距是多少？ 解：（1）0H n n n <<，∴光在两板反射时均产生半波损失，对应的光程差为22 1.50.0020.006nh m ∆==⨯⨯=∴中心条纹的干涉级数为64061010600m λ∆⨯===为整数，所以中心为一亮纹（2）由中心向外，第N 个亮纹的角半径为N θ=100.067rad θ∴==半径为10100.06720013.4r f mm mm θ=⋅=⨯= （3）第十个亮纹处的条纹角间距为 31010 3.358102n rad hλθθ-∆==⨯ ∴间距为10100.67r f mm θ∆=⋅∆=8． 用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环且中心是暗斑。

然后移动反射镜1M ，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20环，此刻视场内只有10个暗环，试求（1）1M 移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板1G 不镀膜）；（2）1M 移动后第5个暗环的角半径。

解：（1）设移动前暗斑的干涉级次为0m ，则移动后中心级次为020m - 移动前边缘暗纹级次为020m -，对应角半径为1θ=移动后边缘暗纹级次为030m -，对应角半径2θ=()12211020.............................1h h θθ∴=⇒= 又∵()1210 (22)N h h h λλ∆=-== （条纹收缩，h 变小） 1220,10h h λλ== ∴1022h m λλλ+=040.5m =（2）移动后 252cos '2h m λθλ+=()210cos 20.552λλθλ⨯+=-3cos 4θ=∴角半径541.40.72rad θ=︒=9． 在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm 和n=1.5,望远镜的视场角为06，光的波长,450nm =λ问通过望远镜能够看到几个亮纹？ 解：设有N 个亮纹，中心级次34022 1.53101222102nh m λλλλ-+⨯⨯⨯+===⨯-12q ∴=最大角半径0.0524θ=12.68N ≤∴可看到12条亮纹10． 用等厚干涉条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达5cm 的范围内共有15个亮纹，玻璃楔板的折射率n=1.52,所用光波波长,600nm =λ求楔角。

解：9560010 5.9100.0522 1.5215rad ne λα--⨯==⨯⨯⨯ 11． 土11-50所示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。

证明λN r R 2=，N 和r 分别表示第N 个暗纹和对应的暗纹半径。

λ为照明光波波长，R 为球面 曲率半径。

证明：在O 点空气层厚度为0，此处为一暗斑，设第N 暗斑半径为N r ，由图()22222N r R R h Rh h =--=-Rh 22N r Rh ∴≈又∵第N 暗纹对应空气层 ()22122h N λλ+=+2N h λ=h图11-50 习题12图2r R N λ∴=12． 试根据干涉条纹清晰度的条件（对应于光源中心和边缘点，观察点的光程差∆δ必须小于4λ），证明在楔板表面观察等厚条纹时，光源的许可角度为p θ='1n hn λ，其中h 是观察点处楔板厚度，n 和'n 是板内外折射率。

证明：如图，扩展光源12s s 照明契板W ，张角为2θ，设中心点0s 发出的光线在两表面反射交于P ，则P 点光程差为12nh ∆=（h 为对应厚度），若板极薄时，由1s 发出的光以角1θ入射也交于P 点附近，光程差222cos nh θ∆=（2θ为折射角）222222cos 212sin 2122nh nh nh θθθ⎛⎫⎛⎫∴∆==-≈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由干涉条纹许可清晰度条件，对于10,s s 在P 点光程差小于4λ21224nh λθ∴∆-∆=≤1'4n nh n θλ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴许可角度12θ≤证毕。

13． 在图11-51中，长度为10cm 的柱面透镜一端与平面玻璃相接触。

另一端与平面玻璃相间隔0.1mm ，透镜的曲率半径为1m 。

问：（1）在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样？（2）在透镜长度方向及于之垂直的方向上，由接触点向外计算，第N 个暗条纹到接触点的距离是多少？设照明广博波长nm 500=λ。

高0.1mm图11-51 习题14图解：（1）沿轴方向为平行条纹，沿半径方向为间距增加的圆条纹，如图（2）∵接触点光程差为2λ∴为暗纹 沿轴方向，第N 个暗纹有2h N λ=⋅∴距离93500100.252210hN Nd Nmm λθθ--⨯====⨯沿半径方向N r ===14． 假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为1λ和2λ的两个单色光波，1λ=2λ+λ∆，且<<∆λ1λ，这样，当平面镜M 1移动时，干涉条纹呈周期性地消失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程差的变化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜M 1移动的距离∆h ；（3）对于钠灯，设1λ=589.0nm 和2λ=589.6nm 均为单色光，求∆h 的值。

解：（1）当1λ的亮纹与2λ的 亮纹重合时，太欧文可见度最好，1λ与2λ的亮暗纹重合时条纹消失，此时光程差相当于1λ的整数倍和2λ的半整数倍（反之亦然），即11212'()2h m m λλ∆=+∆==+式中假设2cos 1θ=，'∆为附加光程差（未镀膜时为2λ） ∴()21211212'2'2'............12h h h m m λλλλλ+∆+∆+∆-+=-=⋅∆ 当1M 移动时干涉差增加1，所以()211212()'1............................22h h m m λλλ+∆+∆-++=⋅∆（1）（2）式相减，得到122h λλλ∆=∆ （2） 0.289h mm ∆=15． 图11-52是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D 1和D 2是两个长度为10cm 的真空气室，端面分别与光束II I 和垂直。

在观察到单色光照明（λ=589.3nm ）产生的干涉条纹后，缓慢向气室D 2充氧气，最后发现条纹移动了92个，（1）计算氧气的折射率；（2）若测量条纹精度为101条纹，求折射率的测量精度。

解：（1）条纹移动92个，相当于光程差变化92λ∆=设氧气折射率为n 氧， ()210.192n λ∴-⨯=氧 n 氧=1.000271（2）若条纹测量误差为N ∆，周围折射率误差有9720.1589.310 2.9510220.1l n N N n l λλ--∆=∆⋅∆⋅⨯⨯∆===⨯⨯ 16． 红宝石激光棒两端面平行差为10''，将其置于泰曼干涉仪的一支光路中，光波的波长为632.8nm,棒放入前，仪器调整为无干涉条纹，问应该看到间距多大的条纹？设红宝石棒的折射率n=1.76.解：契角为α，光经激光棒后偏转()21n α-∴两光波产生的条纹间距为()8.621e mm n λα==-17． 将一个波长稍小于nm 600的光波与一个波长为nm 600的光波在F-P 干涉上比较，当F-P 干涉仪两镜面间距改变mm 5.1时，两光波的条纹就重合一次，试求未知光图11-52 习题16图波的波长。