曲线F(x,y)=0的切线与法线方程
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Santa II, p.163
曲线 F(x, y)=0 的切线和法线
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
Santa II, p.163
隐函数的导数的一个应用就是求曲线 F(x, y)=0 的切线和法线方程。 的切线和法线方程。 这里我们给出曲线F(x, y)=0 的切线和 这里我们给出曲线 法线方程的一般形式。 法线方程的一般形式。 它们很类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面 和法线方程。 和法线方程。
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.163
1 切线斜率 k切 = y ′(0) = − e
1 =e 法线斜率 k法 = − y′(0)
1 切线方程： 切线方程： y − 1 = − ( x − 0) e
法线方程： 法线方程：
四川大学数学学院 徐小湛
x y = − +1 e
即
Fx ( x0 , y0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y − y0 ) = 0
点法式
四川大学数学学院 徐小湛
类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面方程
2 April 2012
Santa II, p.163
处的法线斜率： 曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的法线斜率：
2 April 2012
Santa II, p.163
例 求曲线 e + xy − e = 0 在点 (0,1)处的
y
切线方程和法线方程。
解 令 F ( x, y ) = e + xy − e
y
则
Fx = y
Fy = e + x
y
Fx (0,1) 1 =− 得 y ′(0) = − Fy (0,1) e
k=
Fy ( x0 , y0 ) Fx ( x0 , y0 ) ( x − x0 )
法线： 法线： y − y0 =
Fy ( x0 , y0 )
Fx ( x0 , y0 )
即
四川大学数学学院
x − x0 y − y0 = Fx ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 )
徐小湛
对称式
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y) = 0 的切向量与法向量 切向量
s = {− Fy , Fx }
法向量
n = {Fx , Fy } = ∇F
( x0 , y0 )
F ( x, y ) = 0
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
徐小湛
2 April 2012
Fx dy F ( x, y ) = 0 ⇒ =− dx Fy
Fx 切向量： − } {1, Fy 或 {− Fy , Fx }
Santa II, p.163
法向量： {1,
Fy
பைடு நூலகம்
Fx 或 {Fx , Fy } = n
}
( x0 , y0 )
F ( x, y ) = 0
y = ex + 1
2 April 2012
y − 1 = e( x − 0)
Santa II, p.163
y = ex + 1
e + xy = e
y
x y = − +1 e
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
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曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
四川大学数学学院
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徐小湛
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处的切线斜率： 曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的切线斜率：
Fx ( x0 , y0 ) 由隐函数的导数公式） （由隐函数的导数公式） y′( x0 ) = − Fy ( x0 , y0 )
Fx ( x0 , y0 ) ( x − x0 ) 切线方程： 切线方程： y − y0 = − Fy ( x0 , y0 )
曲线 F(x, y)=0 的切线和法线
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
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隐函数的导数的一个应用就是求曲线 F(x, y)=0 的切线和法线方程。 的切线和法线方程。 这里我们给出曲线F(x, y)=0 的切线和 这里我们给出曲线 法线方程的一般形式。 法线方程的一般形式。 它们很类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面 和法线方程。 和法线方程。
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
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1 切线斜率 k切 = y ′(0) = − e
1 =e 法线斜率 k法 = − y′(0)
1 切线方程： 切线方程： y − 1 = − ( x − 0) e
法线方程： 法线方程：
四川大学数学学院 徐小湛
x y = − +1 e
即
Fx ( x0 , y0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y − y0 ) = 0
点法式
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类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面方程
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处的法线斜率： 曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的法线斜率：
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例 求曲线 e + xy − e = 0 在点 (0,1)处的
y
切线方程和法线方程。
解 令 F ( x, y ) = e + xy − e
y
则
Fx = y
Fy = e + x
y
Fx (0,1) 1 =− 得 y ′(0) = − Fy (0,1) e
k=
Fy ( x0 , y0 ) Fx ( x0 , y0 ) ( x − x0 )
法线： 法线： y − y0 =
Fy ( x0 , y0 )
Fx ( x0 , y0 )
即
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x − x0 y − y0 = Fx ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 )
徐小湛
对称式
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
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曲线 F(x, y) = 0 的切向量与法向量 切向量
s = {− Fy , Fx }
法向量
n = {Fx , Fy } = ∇F
( x0 , y0 )
F ( x, y ) = 0
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
徐小湛
2 April 2012
Fx dy F ( x, y ) = 0 ⇒ =− dx Fy
Fx 切向量： − } {1, Fy 或 {− Fy , Fx }
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法向量： {1,
Fy
பைடு நூலகம்
Fx 或 {Fx , Fy } = n
}
( x0 , y0 )
F ( x, y ) = 0
y = ex + 1
2 April 2012
y − 1 = e( x − 0)
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y = ex + 1
e + xy = e
y
x y = − +1 e
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徐小湛
2 April 2012
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曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
四川大学数学学院
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处的切线斜率： 曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的切线斜率：
Fx ( x0 , y0 ) 由隐函数的导数公式） （由隐函数的导数公式） y′( x0 ) = − Fy ( x0 , y0 )
Fx ( x0 , y0 ) ( x − x0 ) 切线方程： 切线方程： y − y0 = − Fy ( x0 , y0 )