随机过程总复习

注意：分母不等于0
2、条件期望的定义
离散型 连续型
E( X |Y y j ) xi P( X xi | Y y j ) i1
其中
P(X
xi
|Y
yj
)
P(X xi ,Y P(Y yj )
yj
)
E(X |Y y)
x f ( x | y)dx
其中 f ( x | y) 条件概率密度
（n) (0) E[ X n ]
3．和的矩母函数
定理1 设相互独立的随机变量 X1，X2， ，Xr 的
矩母函数分别为 1(t ) ，2 (t ) ，…，r (t ) ，
则其和 Y X1 X2 Xr 的矩母函数为
Y (t) 1(t) 2(t) …r (t)
两个相互独立的随机变量之和的矩母函数等于它 们的矩母函数之积.
练习: 设二维随机向量（X，Y）的联合概率密度为
e x 0 y x 1
f (x, y) 0
其它
求1) f X ( x), fY ( y); 2) fY X ( y x);
3)E[Y X ];
4)讨论X ,Y的独立性.
解：
fX (x)
f ( x, y)dy
x exdy
0
xex , 0 x 1
y fY X ( y x)dy
X (0,1)
x y 1dy x 0x 2
2
4) f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y) 所以X ,Y 不独立.
练习:对于随机变量X和Y，满足条件 E( X ) 2, E(Y ) 10,
2 则有 E[E(X Y )]
结论 : (1)若X是随机变量,则E( X ) X , a.s.
当X为连续型随机变量，
则
E(Y ) E[g(X)]
g(x) f (x)dx
2.方差
称随机变量 [X E(X )]2 的期望 为X的方差，即
var(X ) D( X ) E[( X E( X ))2]
计算方差时通常用下列关系式：
var(X ) D(X ) E[X 2][E(X )]2
|
X
xi )
P（X xi ,Y P（X xi )
yj)
pij pi•
为在条件 X xi 下，随机变量Y的条件分布律。
连续型
f (x, y) f (x | y)
fY ( y)
称为在条件Y y 下，随机变量X的条件分布律 。
同样
f ( y | x) f (x, y)
fX (x)
称为在条件X x 下，随机变量Y的条件分布律。
Y X1 X2 Xr 的特征函数为
Y (t) 1(t ) 2 (t ) … r (t )
两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于它 们的特征函数之积.
练习:设随机变量X的概率密度函数为
p(
x)
1 2
x
0 x2
0 其它
试求X的矩母函数。
解： (t) E[etX ] 2 etx 1 xdx
(2)若X与相互独立,则EX EX , a.s.
练习:若随机变量X和Y相互独立，满足条件
2 E( X ) 2, E(Y ) 10, 则有 E[X Y ]
四、特征函数
特征函数
设X为随机变量，称复随机变量 e itX
的数学期望 X (t) E[e itX ]
为X的特征函数，其中t是实数。
还可写成 X (t) E[costX] iE[sintX]
特征函数与分布函数相互唯一确定。
性质 则和
设相互独立的随机变量 X1，X 2， ，X r的
特征函数分别为 1(t )， 2 (t ) ，…， r (t )
3、全数学期望公式
E(X |Y ) 是随机变量Y的函数，当 Y y 时取值E(X |Y y)
因而它也是随机变量。
定理 离散型
对一切随机变量X和Y，有
E(X) E[E(X |Y )]
E( X ) E( X | Y y j )P(Y y j ) j1
连续型 E( X ) E( X | Y y) fY ( y)dy
fY ( y)
f ( x, y)dx
1 exdx
y
e y e1 , 0 y 1
2) fY X ( y x)
f
XY ( x, y) fX (x)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x 0
0 y x1 其它
条件分布是均匀分布,均值为中点x . 2
3)当0 x 1时,
E[Y X x]
E[Y X ] X
k0
(eit )k
k！
e eeit e (eit 1)
条件分布函数与条件期望
1、条件分布函数的定义
离散型 若P（Y y j ) 0 ，则称
P（X
xi
|Y
yj)
P（X xi ,Y P（Y yj )
yj)
pij p• j
为在条件 Y y j 下，随机变量X的条件分布律 。
同样
P（Y
yj
计算协方差时通常用下列关系式：
Cov( X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y )
三、矩母函数
1．定义 称 e tX的数学期望 (t ) E[etX ]
为X的矩母函数
2．原点矩 利用矩母函数可求得X的各阶矩，即对
的求法
(t)逐次求导并计算在 t 0 点的值：
(t) E[ XetX ] （n)(t) E[X netX ]
3．性质
（1） E(C ) C D(C) 0
E(CX ) CE(X ) D(CX ) C 2D( X )
n
n
（2） E( X i ) E( X i )
i 1
i 1
（3） 若X和Y相互独立，则
E( XY ) E( X )E(Y )
二、协方差
Cov(X ,Y ) E[(X E(X ))(Y E(Y ))]
第一章复习内容
一、期望和方差
1．期望 设离散型随机变量X的分布律为
P( X xk ) pk k 1,2,
则
E( X ) xk pk
k 1
设连续型随机变量X的概率密度为 f ( x) ，
则
E( X )
xf ( x)dx
函数期望 Y g(X )
当 X为离散型随机变量
则 E(Y ) E[g(X )] g(xk ) pk k 1
0
2
1 [ xetx
2
2 etxdx]
2t
00
1 [2e2t 1 (e2t 1)]
2t
t
(2te2t e2t 1)
2t 2
练习
解
设随机变量X服从参数为 的泊松分布，
求X的特征函数。
由P（于X k） k！k e k 0,1, 2...
所以
X (t ) e itk k0
k
k！e
e