数列的极限经典习题
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Chap1 数列的极限
1. 设()01,2,
n x n >=及lim n n x a →∞
=,用N ε-语言, 证明
: n =.
证
0n x >, 0a ∴≥.
(1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞
=,
下证0n =.
0ε∀>, 则存在0N >, 当n N >时, 200n n x x ε<=-<.
ε<,
0ε<.
0n ∴=.
(2) 当0a >时, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时
, n x a -<.
ε=
<
<
.
n ∴=
综上两方面 ,即证.
2. 已知lim n n x a →∞
=, 用N ε-语言, 证明
: n =
证 (1) 当0a =时, 那么lim 0n n x →∞
=, 0ε∀>, 存在0N >, 当n N >时, 2
n x ε<;
ε<,
此即0n ==.
(2) 当0a ≠时,
因为
2
2
2
2
2
33
04
4
+=+
≥>.
令2
3
4
M =
,
lim n n x a →∞
=, 则对0ε∀>,存在0N >, 当n N >时,有
n x a M ε-<.
2
2
n x a
-=
1
n x a M M M
εε-≤
<
⋅=
n ∴=
3. (算术平均收敛公式)设lim n n x a →∞
=.令12n
n x x x n
ξ+++=
, 求证:lim n n a ξ→∞=.
证法1 由施笃兹公式
12lim lim
n
n n n x x x n
ξ→∞
→∞+++=
()()
()
12121lim
1n n n x x x x x x n n -→∞
++
+-++
+=--
lim n n x a →∞
==.
证法 2 由lim n n x a →∞
= , 则0ε∀>, 存在10N >, 使当1n N >时, 有
2
n x a ε
-<. ①
(
)
1112111
n
N N n x x x a x a x a x a x a n
n
+++
+-≤
-++-+-+
+-
令111N c x a x a =-++-, 那么
1212
n
x x x n N c a n
n n ε++
+--≤
+⋅ . ②
存在20N >, 使当2n N >时, 有
2
c n ε
<. 再令{}12max ,N N N =, 故当n N >时, 由①,②有
1212
222
n
x x x n N a n
n ε
εεε
ε++
+--<
+
⋅<+=.
12lim lim
n
n n n x x x a n
ξ→∞
→∞++
∴==.
4. (几何平均收敛公式)设()01,2,
n x n >=. 且lim n n x a →∞
=. 证明: n a =.
证
lim n n x a →∞
=, limln ln n n x a →∞
∴=.
再由算术平均收敛公式可知
()121
ln ln ln ln lim n x x x a n
n n e
e a ++→∞
∴===.
5. 证明: 1n =, 其中1a >.
证 令1
1n a α-= ,则0α>, 依伯努利不等式, 有
()()
1
1111n n
a n n a αα=+≥+=+-,
即
1
1
1n a a n
--≤
.
1
11n a ε=-≤,只要
1a n ε-<.所以,有1a n ε->.取1a N ε-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
,则当n N >时, 就有
1
a n
ε-<,
1ε<. 6. 证明: 若lim n n a a →∞
=, 则lim n n a a →∞
=. 当且仅当a 为何值时逆命题也成立.
证 由题设 lim n n a a →∞
=, 知0ε∀>,0N ∃>, 当n N >时, 皆有
n a a ε-<.
从而当n N >时总有
n n a a a a ε-≤-<,
所以
lim n n a a →∞
=.
当且仅当0a =时,逆命题也成立.
7. 设a R ∈, 且1a >,用N ε-语言, 证明: lim
0n
n n
a →∞=. 证 当2n ≥时, 有
()()()()()22
21121111n n n n n a n n a n a a =<=----+-⎡⎤⎣⎦
(由二项展开式得) 要使
()()
2
2
11n a ε<-- ,
只需
()
2
2
11n a ε>
+-.
即若取 ()2
2
21N a ε⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
, 则当n N >时, 就有
()()
22
11n n a n n a ε<<--, 所以lim
0n
n n a →∞=. 数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
,1a >,a R ∈是无穷小序列. 8. 利用单调有界性证明: 设10x a =≥, 10y b =≥,
且1n x +=,