带电粒子在边界磁场中的运动

y
t 600 T 1 2m m
360 0 6 qB 3qB
R/2 •
B
·
x
O
qBr 2qBR
O•1 R
r 2R v
r
mm
qU 1 mv2 2
U 2qB2R2 m
600
r
O2
4、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向 为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的 O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上 之P点，如图所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间
解：先分析两者半径是否相同
a
·v ··· ···
····
····
r p 2mEk m
qB qB
q
r1 r2
再分析两者运动时间是否相同
m1 q2 m2 q1
1 2 1 41
t T 2m m m 2 2 qB qB q
t1 m1 q2 1 2 1 t2 m2 q1 4 1 2
2．在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ，电量为e，
速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直射入磁场，入射方向与Ｃ
Ｄ夹角θ，为了使电子能从磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应
满足的条件是：
C
E
Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ） Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ） Ｃ.v＞ eBd/msinθ Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为300,P到O的距离为
L,如图所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy
平面上磁场区域的半径R.
解: qvB m v2 r
L 3r
B mv 3mv
qr qL
300 y
P
L r
A
r
0 vR
R 2r cos300 3 L 3
BC
O4
v0
A
•
B
O3
O2 O1
T 2m k
qB
r mv v qB
半径越大，偏向角θ越小．
圆心角等于偏向角θ t T 2
3.在直角坐标系xOy中，有一半径为R的圆形磁场区域，磁感强 度为B，磁场方向垂直xOy平面指向纸内，该区域的圆心坐标为 （R，0）。如图所示，有一个质量为m、带电量为－q的离子， 由静止经匀强电场加速后从点（0，R/2）沿x轴正方向射入磁 场，离子从射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重 力影响。求： ⑴.离子在磁场区域经历的时间。⑵.加速电场 的加速电压。
m2v2 e2B2r2
Ｏ•
B
B
R
R m
2eBrmv
t v eB arctan(m2v2 e2B2r 2 )
M L
Ｏ＇
P N
5．一匀磁场,磁场方向垂直于xy平面,在xy平面上,磁场分布在
以O为中心的一个圆形区域内.一个质量为m、电荷量为q的带电
粒子,由原点O开始运动,初速为v,方向沿x正方向.后来,粒子经
BS
O点左右距离O点L的范围内有质子穿出．
M
O
N
B S
二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
Q
Q
B
v
v
v
S
圆心在磁场原边界上
S
圆心在过入射点跟边 界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速度 方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆运 动后从原边界飞出；
②速度增加为某临界值时， 粒子作部分圆周运动其 轨迹与另一边界相切；
M
a．已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和
P
-q
vv
出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，
两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心．
b．已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入 O
射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其
中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．
M
v P
v
⑵半径的计算 几何法求半径（勾股定理、三角函数） -q
d r(1 cos )
qvB m v2 r
． v θ O

B
D
F
思考：能从EF射出，求电子在磁 场中运动的最长时间是多长？
v eBr eB d
m m (1 cos )
t 2m ( )m 2 eB eB
3．如图所示，相互平行的直线M、N、P、Q间存在垂直于纸面 的匀强磁场。某带负电粒子由O点垂直于磁场方向射入，已知 粒子速率一定，射入时速度方向与OM间夹角的范围为0<θ<90º， 不计粒子的重力，则：
4、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸 面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad边中点O方向 垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300 、大小为v0的带 电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab边足够长，ad边 长为L，粒子的重力不计。求：粒子能从ab边上射出磁场的 v0大小范围。
5．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小孔S处 正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存 在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使 带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点射出，求正离子在 磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量 损失，不计粒子的重力。
N
MON
C.
D.
2R
R
O
O
M 2R
2R N
M 2R
2R N
解： 带电量为+q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个 方向,由小孔O射入磁场区域,由R=mv/qB,各个粒子在磁场中 运动的半径均相同, 在磁场中运动的轨迹圆圆心是在以O为 圆心、以R=mv/qB为半径的1/2圆弧上,如图虚线示:各粒子的 运动轨迹如图实线示:带电粒子可能经过的区域阴影部分如 图斜线示
带电粒子在电磁场中的运动
带电粒子在有界磁场中 的运动
带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动
带电粒子的垂直进入匀强磁场中，做匀速圆周运动
1. 洛仑兹力提供向心力
Bqv m v2 r
m 2r

m
4
T
2 2
r
m4 2 f
2r
mv
2. 轨道半径 r mv p 2mEk 1 2mU Bq Bq Bq B q
2m
qB

m
3qB
x R cos600 1 R 2
y R sin 600 3 R
x
2
13
P( R, R)
22
2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从磁场边缘A点
沿半径方向射人一束速率不同的质子，对这些质子在磁场中的
运动情况的分析中，正确的是：
A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长 B.运动时间越短的，其速率越大 C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短 D.所有质子在磁场中的运动时间都相等
③速度较大时粒子作部分 周运动后从另一边界飞 出
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点；
②速度增加为某临界 时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边 界相切；
③速度较大时粒子作 部分圆周运动后从 另一边界飞出
①速度较小时，作圆弧 运动后从原边界飞出；
②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周 运动其轨迹与另一边 界相切；
v
•
B
O
1.圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁场，磁感强 度为B，现有一电量为q、质量为m的正离子从a点沿圆形区域 的直径射入，设正离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹 角为600，求此离子在磁场区域内飞行的时间及射出的位置。
O’
y
v
y
P(x y)
v
Oo• x
B
t

60 0 360 0
T

1 6
一．带电粒子在单直线边界磁场中的运动
①如果垂直磁场边界进入，粒子作半圆运动后垂直 原边界飞出；
②如果与磁场边界成夹角θ进入，仍以与磁场边界
夹角θ飞出（有两种轨迹，图中若两轨迹共弦，则
θ1＝θ2）。
v
． A
r
O
B
vr
M
P
B
2 2
v
θ
N
vθ
6．如图,在一水平放置的平板MN上方有匀强磁场,磁感应强度
[例2]如图所示，在正方形空腔的范围内，有方向垂直纸面向里的 匀强磁场．电子从孔A沿平行于ab边的方向，以各种不同的速率 射入磁场．现在比较两个电子的速率．其中一个打在bc边的中点 M，设其速率为V1；另一个从c孔穿出，设其速率为V2，则 V1:V2=___4：__5__
N
N
O
O
2、空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形 为其边界。一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的 方向从O点入射。这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质 量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不计 重力。下列说法正确的是 A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同 B． 入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同 C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同 D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定 越大
（1）.θ越大，粒子在磁场中运动的时间？ (2).θ越大，粒子在磁场中运动的路径？ (3)θ越大，粒子在磁场中运动轨迹的圆心到MN的距离？
M
P
θ v0
O
N
Q
四．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
圆心在
vB
过入射 点跟速
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
向心力公式求半径（R= mv/qB）
圆心确定后，寻找与半径和已知量相关的直角三角形， 利用几何知识，求解圆轨迹的半径。
带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性 较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、 圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中 的圆及解析几何知识 ．但只要准确地画出轨迹图， 并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与 轨道半径r、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏 转的角度或距离以及运动时间不太难。
2R
M
2R O R N
7．水平线MN的下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀
强磁场，在MN线上某点O的正下方与O点相距为L的质子源S,可
在纸面内1800范围内发射质量为m、电量为e、速度v=BeL/m的
质子，质子的重力不计，试说明在MN线上多大范围内有质子
穿出。
M
r
wk.baidu.com
mv

m
BeL m

L
O
N
eB eB
3. 周期 T 2r 2m
v Bq
只与B和带电粒子（q，m)有关，而 与v、r无关（回旋加速器）
4. 磁感应强度 B mv p 2mEk 1 2mU qr qr qr r q
5. 圆心、半径、运动时间的确定
O
利用v⊥R
v
⑴圆心的确定 利用弦的中垂线
两条切线夹角的平分线过圆心
的大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,许多质量为m,带电量为 +q的粒子,以相同的速率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O 射入磁场区域,不计重力,不计粒子间的相互影响.下列图中阴 影部分表示带电粒子可能经过的区域,其中R=mv/qB.哪个图是 正确的?
A
A.
2R B. 2R
B
O
O
M 2R R N
M R 2R
③速度较大时粒子作部 分圆周运动后从另一 边界飞出
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
1．如图所示，一质子和一α粒子从a点同时以相同的动 能沿垂直于磁场边界，垂直于磁场的方向射入磁场宽 度为d的有界磁场中，并都能从磁场的右边界射出则
A、质子和α粒子同时射出 B、质子和α粒子从同一位置射出 C、质子和α粒子不同时射出 D、质子和α粒子从不同位置射出

BD
t T
O
360
相同比荷的粒子在相同的 磁场中具有相同的周期。
3、穿过无限大双边界磁场： [例3]如图，磁场垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，磁场上下边 界间距为2L，左右无边界。有一正离子（m，q）以θ角从正中射 入磁场，若离子不从上边界射出磁场，求离子射入磁场时速度的范 围。
自己作图的时候，可以先作圆，后作边界。
M
L
v
A
Ｏ•
Ｏ
B
＇
B
P N
tan( ) r eBr
2 R mv

v
tan

2 tan( ) 2
1 tan2 (
)

2eBrmv m2v2 e2B2r2
2
O' P

(L

r) tan

2(L r)eBrmv m2v2 e2B2r2
A
R

2
arctan( 2eBrmv ) Ｏ1
d
c 度方向
垂直的
直线上
B
θv
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
矩形边界分析半径的两种常见思路
a
b
O
V0
d
c
a
●
O 300
●
600
θV
0
d
L 2

r1(1
sin
300
)
r1

L 3
v1

qBr1 m

qBL 3m
b r2 L
v2

qBr2 m

qBL m
qBL v qBL
3m
m
c
五．带电粒子在圆形边界磁场中的运动
O’
r
rrv
rv
2 2
v
O•
B
入射速度方向指向匀 强磁场区域圆的圆心， 刚出射时速度方向的 反向延长线必过该区 域圆的圆心．