核反应堆物理分析 第2章

f (E E)dE dE
(1 )E
E E E
E
E f (E E)dE 1
2.1.3 平均对数能降
对数能降 u 定义为：
u ln E0 E
或 E=E0e-u
其中 E0为选定的参考能量，一般选 E0=2 MeV 或 E0=10
MeV。随中子能量的减小，中子的对数能降在增大，其
变化与能量相反。
稳态无限介质内的中子慢化方程为：
E
方t程(E的)解(便E是) 中子慢s化(E能谱)。(E) f (E E)dE S(E)
❖无吸收单核素无限介质情况
最简单的情况： 只含有一种核素的无吸收介质。 中子源 S(E0) 为均匀分布。我们只讨论慢化区（1 eV ~ 0.1 MeV） 内的弹性散射慢化问题，此区不包括由于裂变反应直接产生 中子源，这时散射在质心系内是各向同性。慢化方程可写为：
慢化时间/s
6.3×10-6 5.1×10-5 5.8×10-5 7.5×10-5 1.4×10-4
扩散时间/s
1.4×10-4 0.137 3.89×10-3 6.71×10-3 1.67×10-2
快中子自裂变产生到慢化成为热中子，直到最后被俘获的平均时间，称为 中子的平均寿命。
l ts td
Acosc 1 A2 2Acosc
1
sin c d c
2 3A
因而，尽管在质心系是各向同性的，但在实验室系确是
各向异性的，而且在实验室系中子散射后沿它原来运动
方向的概率较大。平均散射角余弦的大小表示了各向异
性的程度。在实验室系平均散射角余弦随着靶核质量数
的减小而增大，靶核的质量越小，中子散射后各向异性
v E
于是，中子由裂变能慢化到热能的慢化时间为
t Eth
s
E0
s dE v E
用平均值λs来替代λs(E)，对上式积分可得ts的估计值
ts 一般在10-4 到10-6秒量ts级。介2质中s [的热E1中th 子在自1E产0 生] 至
被俘获以前所经历的平均时间，称为扩散时间，热中子的 平均寿命。平均寿命为：
在实验室系碰撞前后中子能v1量2 之v比12 (为A：2 ( A2
Acos
1)2
c
1)
让
E 可得： E
v12 v12
A2
2Acosc
( A 1)2
1
A
12
A1
E
1 [(1 )
2
(1 ) cosc
]E
有以上结果可以看出：
（1）
碰撞前后中子能量没有损失。
c 0 时, E Em ax E
对于吸收截面满足1/vt规d 律(E的)介质，a v(有EΣ) a(E)v=aΣ(1Ea0v)0v
式中Σa0是当v0 =2200m/s 时的热中子宏观截面。上式表明
对于1/v介质热中子的平均寿td 命(E与) 中 子 a能10v量0 无关。
Table 2-2 几种慢化剂的慢化和扩散时间
慢化剂
H2O D2O Be BeO 石墨
我们可以求得在质心的速度VCM
设靶核静止，则VC在M碰撞(前m质1心M系) (中m中v1子和M靶V核1 )的速度为：
vc
v1 VCM
A A
1
v1
可以看出在质心系内，中V子c 与靶V核CM的总动A量1为1零v1：
A M m
pc
mvc
MVC
mM m M
v1
mM m M
v1
0
碰撞前后动量和动能守恒：
合物的平均对数能降。
（2-51）式就是无限无吸收介质内中子慢化能谱分布。
它表明无限无吸收介质内在慢化区内服从1/E分布或称之
为费米谱分布，我们常把它作为反应堆内中子能谱
的近似。
❖无限介质弱吸收情况 对于无限介质弱吸收情况，即Σa＜＜Σs ， 设在能
量间隔E 到 （E-dE）范围内，慢化密度由于中子被吸收 减小了dq，它等于在dE内被吸收的中子数，因此
✓ 中子源产生直接进入该能量间隔 的中子。用S（E）dE 表示， S（E）为中子源强分布函数。
✓ 中子与介质原子核的散射结果。
根据中子平衡的稳定条件，单位时间和体积内，散 射到能量微元dE内的中子数和源中子数之和应该等E于从
这个能量微元散射出去和被吸收的中子数总数d。E s (E)(E) f (E E)dE
1 2
0 cosc sincdc
0
这是预期结果，因为在质心系中中子散射是各向同性。
在实验室系中中子每次碰撞平均散射角余弦为：
0 cos1 0 cos1 f (1 )d1
由于中子在实验室系和质心系中有对应关系，因此
f (1 )d1 f (c )dc
由（2-16）和（2-19）可得
0
1 2
0
在和弱无吸吸收收情情d况况q，下即相同Σq(，a＜E这＜)样Σ上s q我式(们变E近为似认d为Eφ) (E)基本a上(E)dE
将上式从E 到 E0积分，同时利用q(E0)=S0， 有
dq a dE
q s E
q( E )
S0
exp(
E0 E
a dE)
s E
根据逃脱共振俘获概率p（E）的定义，有
0
E s (r, E) f (E E) (r, E)dE
q（r，E）应等于E´ ＞ E 的所有能量中子慢化到E以下的 中子数目的总和，也就是对E´ 的积分，即
0
将散q射(函r,数E用) （2-E2d1E）表E示，s并(r对, E上式) 积f (分E可 得：E) (r, E)dE
q(r, E)
(E) S0 s E
❖无吸收混合物无限介质情况 对于混合物Σs(E)=Niσsi ，其中Ni为混合物中i元素的
核子数。这时，慢化方程（2-42）对于混合物介质变为
这则里上式i表的示渐混进合解物为的（组sE分(≤E，α)如E果0 ）所i 有EE元0 素N(1截i面si都i ()等EE于)常dE数，
E≦αE0时可以证明它的渐进解的形式为
t (E) (E)
E
s
(E) (E)dE
E (1 )E
(E) C
E
为了确定常数C，把（2-44）代入（2-41）
这里ξ q是(E平)均对1数C能降EE。 因s而(E在E渐2进E情)d况E下 ，C慢化s 能1 谱1为：
ln
C
s
对情无况吸，收单纯能氢源介，质q(E上)=式S便0 ，是上慢式(化E变方)为程的q严(格Es E解) 。对无吸收
E2
使中子能量由2 MeV慢化到0.0253 eV时分别所需要的与H核、
石墨核以及235U核的平均碰撞次数为:
H 1
因此
C 0.158
U 0.0084
Nc,H 18 Nc,C 115 Nc,U 2164
2.1.4 平均散射角余弦
在质心系中中子每次碰撞平均散射角余弦为：
c
0 cosc f (c )dc
p(E) q(E) exp( E0 a (E) dE)
S0
E s E
2.3 均匀介质中的共振吸收
当中子能量慢化到100 keV以下中能区，反应堆内的很多 重要的材料如U， Pu， Th 等多表现出强烈的共振吸收 特征，具有很高并且很密集的共振峰。在慢化过程中必 然有一部分中子被共振吸收。共振吸收对反应堆内的链 式反应过程有非常重要的影响。
（向前运动）的概率就越大。
2.1.5 慢化剂的选择
反应堆中要求慢化剂具有较大宏观散射截面Σs和平均对 数能降ξ 。通常把乘积ξΣs叫做慢化剂的慢化能力。 我们还要求慢化剂有较小的吸收截面，定义ξΣs / Σa 叫做慢化比。
慢化剂
H2O D2O Be 石墨
慢化能力 ξΣs /m-1
1.53×10-2 1.77×10-3 1.6×10-3 6.3×10-4
选择轻核元素作为慢化剂。
为了获得实验室系和质心散射角之间的关系，由图2-2：
v1 cos1 VCM vc cosc
c os1
VCM
vc cosc
v1
1 Acosc v1
A 1 v1
利用（2-13）A式c代os替ccosθ1c ， 可得到实验室系中散射角和 碰撞前后中A2子能2量A的c关o系sc 1
E
a dE
E
s (r, E) (r, E)dE
E
E百度文库
(1 )E
定能量慢E化的密慢度化q（率r。，EEE）给s (出r了, Er处)中 (子r被, E慢)化(并1E通过给)EE定 dE
下面讨论无限介质内慢化方程。对 于无限大介质，中子通量密度只与 能量有关，与坐标r无关。
散射到能量E附近dE能量间隔内的 中子由两部分组成：
ξ平均i 为对中数子能与降i种为元素(碰E撞)的平均对数1能降。q定(义E混) 合物的
Ni sii E
（2-50）
N i sii
i
s
中子通量密度的慢化能谱分布可表示为：
(E) q(E)
（2-51）
它和单核素的慢化能谱分布（2-46） 一s样E，只是ξ用混
合物平均对数能降 来代替。（2-50）可以用来计算混
§第二章《中子慢化和慢化能谱 》
➢ 反应堆内裂变中子的平均能量为2 MeV。 ➢ 由于中子散射碰撞而降低速度的过程成为慢化过程。 ➢ 热堆内，弹性散射对慢化过程起主要作用。 ➢ 在慢化过程，热堆内中子密度按能量具有稳定的分布，
称之为中子慢化能谱
2.1中子的弹性散射过程
2.1.1 弹性散射时能量的变化
2.2 无限均匀介质内中子的慢化能谱
慢化密度：它的定义为在r处每秒每单位体积内慢化到能 量E以下的中子数， 用q（r，E）表示。
r处能量为E´的中子每秒发生散射的次数为： Σs(r, E´)φ(r, E´)，
而散射函数f(E´→E) 表示能量为E´的中子散射后能量变 为E的概率，因而在r处每秒每单位体积内能量为E´的中 子慢化到能量E以下的中子数为
cos1
1 [(A 1) 2
E ( A 1) E
E] E
2.1.2 散射后中子能量的分布
中子的能量变化与散射角度之间有对应 关系，根据碰撞后中子散射角分布的 概率可以求得碰撞后中子能量的分布 概率。 我们有关系式：
f (E E)dE f (c )dc (2-18)
实验和理论计算（量子力学）表明，对一般的轻元素， 当能量E 小于几个MeV时，在质心系内中子的散射是各 向同性的，即碰撞后中子在任一立体角内出现的概率相 等。
慢化比 ξΣs / Σa
70 2100 150 170
2.1.6 中子的平均寿命
在无限介质中，裂变中子慢化到热中子所需要的平均时
间称为慢化时间。中子在时间dt内与原子核发生的碰
撞数为
n v dt s (E)
在dt时间里对数能降的增量等于nξ,即
du v dt s (E)
或
dt s (E) dE
（2）
一次c 碰1撞80中 中时子, E的 最大能Em量 in损失为Em in E
（3）中子在一次碰撞中损失的最大能量与靶核的质量有关E。max (1 )E
A=1，则 α=0，E´min=0，即中子与氢碰撞后能量全部 损失掉。
A=235，则 α=0.983，E´min=0.02E，即中子与235U碰撞 后能量最大损失约为碰撞前中子能量的2%。所以应该
一次碰撞后对数能降的增加量为：
u u u ln E0 ln E0 ln E
E
E
E
由（2-14）式可知，一次碰撞最大的对数能降为
umax
ln 1
在研究中子的慢化过程时，有一个常用的量，就是每次 碰撞中子能量的自然对数的平均变化值，叫做平均对数能降
ln E ln E ln E u
1 2
mv
c
2
1 2
MVc2
1 2
mvc2
1 2
M Vc2
由此我们可以解mv得c ： MVc 0
由小此不可变以，看只v出是c 在运质动A心的A系方1里向v，发1 碰生撞了前变后化中。V子c和靶A核1的1速v度1 大
在实验室系里，碰撞后中子的速度为： 由余弦定律可得：
v1
vc
VCM
将已知各量代入可得： v12 VC2M vc2 2vcVCM cos c
在这种情况下，一个中子被散射到立体角dΩc内的概率：
因而积分可f 得(c )dc
d c
4
1
4
2
0 sin c (d2-1c9d)
由（2-13）式微分可得
f
(c )dc
1 2
sin
c
d
c
(2-20)
由（2-19）、（2-20）和d（ c2-18）可得2 dE E(1 )sinc
散射后能量是均匀分布的，与碰撞后能量无关。并且
上一部分讨论的是中子在介质具有弱吸收下的慢化过 程，这一部分我们将讨论中子在有强共振吸收下的慢 化过程。
2.3.1 均匀介质中的有效共振积分及逃脱共振俘获概率
在质心系内各向同性的情况下：
E
E
积分后可得(：ln E ln E) f (E E)dE
E ln E
dE
E
E E (1 )E
当 A > 10
1
1
ln
1
( A 1)2 2A
ln
A 1 A1
2 A
2
3
如用Nc 表示中子从能量E1 慢化到能量E2平均碰撞次数，则
E
ln
Nc
ln E1 ln E2