中位线的性质判定定理
1.6三角形中位线定理
课题
1.6中位线定理（第一课时三角形中位线）
课型
新授
教材简介：三角形中位线是三角形中重要的线段，三角形中位线定理是一个重要性质定理，它是前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识内容的应用和深化，对进一步学习非常有用，尤其是在判定两直线平行和论证线段倍分关系时常常用到。在三角形中位线定理的证明及应用中，处处渗透了化归思想，它是一种重要的思想方法，无论在今后的学习还是在科学研究中都有着重要的作用，它对拓展学生的思维有着积极的意义。
求证: OM = ON
课
后
延
伸
学
后
反
思
教学目标：1、经历三角形中位线的性质定理形成过程，掌握定理，并能利用它们解决相关问题。
2、通过命题的教学了解常用的辅助线的作法,并能灵活运用它们解题。
3、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力；
教学重难点：三角形中位线定理及应用；难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．
2、三角形中位线及三角形中位线定理
（1）．三角形中位线定义：叫做三角形的中位线。
（2）：三角形中位线定理。
课
内
探
究
创设情境：
如图，为了测量一个池塘的宽BC，在池塘一侧的平地上选一点A，再分别找出线段AB、AC的中点D、E，若测出DE的长，就可以求出池塘的宽BC，你知道这是为什么吗？
学习了三角形中位线就可以解决这个问题。
课堂小结：
今天你学到了什么？
还有什么困惑？
达标检测：
1、如图；三角形三条中位线组成的图形与原三角形有怎样的大小关系（面积和周长）？说说你的理由。
三角形中位线定理
A
D
E
O
B
C
（3）如图：如果AD= 1 AC，AE= 1 AB，
4
4
DE=2cm，那么BC= 8 cm。
A
DE
G
H
C
B
小结
1、三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
2、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半
作业：课时练P42 1.变式训练2 2.达标检测1—5
复习：平行四边形判定方法
(1) AB∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD，BC=AD (3) AO=OC, BO=OD
□ ABCD
(4) ∠BAD= ∠BCD ∠ABC=∠ADC (5) AB∥CD,AB=CD
A
D
O
B
C
平行四边形的判定方法分类
两组对边分别平行 边 两组对边分别相等
一组对边平行且相等
DE是△ABC的中位线
A E
思考：
D
C
B
F
1、一个三角形有几条中位线？
2、这三条中位线把三角形分成几个三角形？
三角形的中位线与三角形的中线有
什么区别？ A
A
D
E
B
CB
F
C
中位线是两条边中点的连线，而中线是一
个顶点和对边中点的连线。
三角形的中位线具有怎样的性质呢？
A
D
E
B
C
即DE与BC有什么样的 位置关系和数量关系？
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， ∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=___6_0_°.
A
A
三角形的中位线定理
１.三角形的中位线_______第三边,并 且______第三边的____________
E
C
2．如图：在△ABC中，DE是中 位线。
（1）若∠ADE=60°，则∠B= （2）若BC=8cm，则DE= cm. ;
B
D
（3）DE +BC=12cm,则BC=—— 3．若等腰△ABC的周长是 40cm,AB=AC=14cm,则中位线DE ＝———
4.如图,已知△ABC中, AB = 3㎝,BC=3.4 ㎝ AC=4㎝ 且D,E,F分别为 AB,BC,AC边的 中点,则△DEF的周长 A
是
㎝.
C
D
E
F
B
5、如下图：在Rt △ ABC中， ∠A=90°,D、E、F分别是各边 中点, AB=6cm，AC=8cm，则 △DEF的周长= cm。 B D A F
C
四边形BCFD是平行四边形吗? 为什么？
A
四边形BCFD是平行四边形
E F
D
B
C
如图，点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点，
求证：DE∥BC且DE= BC
证明：延长DE到点F，使EF=DE，
A
连接FC,DC,AF. ∵AE=EC
E F
∴四边形ADCF是平行四边形， ∴CF∥DA ∴CF∥BD
C
B
F
证明：连结AC ∵ AE=EB、CF=FB, (三角形中位线定理)
1 ∴EF∥AC，EF= 2 AC 1 同理： HG∥AC，HG= AC 2
∴EF ∥HG，且EF=HG
∴四边形EFGH是平行四边形
A
(2)观察图形中的DE与BC,你能猜测DE 与 BC 位置关系吗？
苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理 知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF ，∵AH 是△ABC 的高∴△ABH 、△ACH 是直角三角形，∵点D 、点F 是斜边AB 、AC 中点，∴DH=DA ，HF=AF ，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3． 【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积． 【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ， 在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3． 在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92． 【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。
人教版初中数学八年级下册 三角形的中位线定理-全国获奖
平行四边形的判定（三）一、 教学目标：1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．二、 重点、难点1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．三、教学过程（一）课堂引入1、平行四边形的判定2、创设情境想一想为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地上选一点A,再分别找出线段AB ，AC 的中点D 、E ，若测出DE 的长，就能求出池塘BC 的长，你知道为什么吗 3、通过本节课的学习-------三角形的中位线，就可以解决这个问题（二）探究新知1、什么叫三角形的中位线画图归纳：连结三角形两边的中点的线段叫三角形的中位线2、想一想：一个三角形有几条中位线怎么画。
3、画出三角形的中线，中位线与中线有什么区别三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线4、观察猜想：三角形的中位线与第三边有什么关系5、证明猜想:分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，由△ADE ≌△CFE ，可得AD ∥FC ，且AD=FC ，因此有BD ∥FC ，BD=FC ，所以四边形BCFD 是平行四边形．所以DF ∥BC ，DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． （也可以过点C 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、CD 和AF ，又AE=EC ，所以四边形ADCF 是平行四边形．所以AD ∥FC ，且AD=FC ．因为AD=BD ，所以BD ∥FC ，且BD=FC ．所以四边形ADCF 是平行四边形．所以DF ∥BC ，且DF=BC ，因为DE=21DF ，所以DE ∥BC 且DE=21BC ． 方法3：如图（3），过点E 作AB 的平行线与过点A 作BC 的平行线交于点G6、归纳三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行与第三边，并且等于第三边的一半几何语言： ∵DE 是△ABC 的中位线（或AD=BD,AE=CE 3）∴DE ∥BC,DE= 21 BC 适用范围：（1）证平行关系 （2）证两线段的倍半关系7、引入问题中若DE=30米，则BC=若DE 也测量不出呢8、知识拓展：1三角形三条中位线把三角形分成的四个三角形全等2三角形三条中位线所构成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一（3）图中有三个平行四边形9、练习一1如图1：在△ABC 中，DE 是中位线（1）若∠CDE=60°， 则∠B= 度，为什么？（2）若AB=8cm ， 则DE= cm ，为什么2如图2：在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，则△DEF 的周长= cm（三）运用新知例1 如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG ．求证：四边形DEFG 是平行四边形；练习二 如图，D 、 E 、F 分别是△ABC 三边中点， AH ⊥BC 于H求证：DF=EH例2 已知：如图（1），在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．分析：因为已知点E 、F 、G 、H 分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH 的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC 或BD ，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：连结AC （图（2）），△DAG 中，∵ AH=HD ，CG=GD ，∴ HG ∥AC ，HG=21AC （三角形中位线性质）． 同理EF ∥AC ，EF=21AC ． ∴ HG ∥EF ，且HG=EF ．∴ 四边形EFGH 是平行四边形．此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．练习三 如图，已知△ABC 是锐角三角形，分别以AB 、AC 为边向外侧作两个等边三角形△ABM 和△CAN ，D 、E 、F 分别是MB ，BC ，CN 的中点，连结DE 、FE ，求证：DE=EF ．•例3 已知：如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC=BD ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，EF 分别交BD 、AC 于点G 、H求证：OG=OH四课堂小结1这节课学习了什么1三角形的中位线的定义2三角形中位线性质定理2三角形中位线定理应用⑴定理为证明平行关系提供了新的工具⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍或 一半提供了一个新的途径3方法点拨：在处理问题时,要求同时出现三角形及中位线1有中点要想中位线，发现中位线2有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形构造中位线3有三角形而无中位线,要连结两边中点构造中位线4由已知中点得到中位线没有用，另取中点构造中位线五布置作业1课本50页第5题2 长江全能学案43-44页。
直角三角形中线、中位线的性质PPT课件
1 求证：CD = AB 2
证明：延长CD到E使DE=CD， 连结AE、BE. ∵AD = BD ， DE =CD ∴四边形ACBE是平行四边形 又∵∠ACB = 90° ∴ □ACBE是矩形 ∴CE = AB（ ?
A
D
E
C
B
） AB
1 由于CD= 2
CE
1 所以CD = 2
简单应用
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
A
E
F
B
C
2
THANK
YOU
SUCCESS
•
三角形中位线定理：
有何作用？
三角形的中位线平行于三角形的第三 边，且等于第三边的一半。
A
D
E
符号语言： ∵DE是△ABC的中位线， （ ∵AD=BD, AE=CE )
B
C
1 ∴DE∥BC且DE= BC 2
这个定理提供了证明线段平行以及 线段成倍分关系的根据.
A
1 DE // BC =2
O
E
DE // GF
∴四边形DGFE是□
=
B
G
F
C
1、证明平行的定理有哪些？
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行 平行于同一直线、垂直于同一直线的两直线平行 平行四边形（矩形、菱形、正方形）的对边平行 三角形的中位线平行第三边
2、证明线段二倍关系定理有哪些？
30度所对直角边是斜边的一半 三角形的中位线等于第三边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1、探索并掌握“直角三角形斜边上的中线性质定理” 2．理解中位线概念，明确中线与中位线的 区别与联系； 3、探索并掌握“三角形的中位线定理” 4、进一步理解转化思想（线段的倍分 要转化为相等问题来解决）.
三角形中位线定理应用
三角形中位线定理应用I]\~?、t\:□江苏徐勇三角形中位线定理是初中数学中的重要定理,在解决数学问题中有着广泛的应用.一、证明两角相等例1如图1,已知四边形ABCD中,AB=CD,M、N分别是AD、BC的中点，延长BA、NM、CD分别交于点E、F,试证明厶BEN=ANFC.【分析】构造三角形的中位线,根据中位线性质得到平行线,将要说明具有相等关系的两个角用同一三角形中的两角替代，并说明该三角形是等腰三角形.证明:连结,取的中点连接MH、NH.根据三角形中位线的性质，有：MH/IAB,MH=y AB,NH//DC,NH=^DC图1所以厶BEN=/JIMN,厶NFC=ZJINM,又由AB=CD,可得MH=NH,所以ZJIMN=ZJ1NM,故Z.BEN=ANFC.【点评】本题的辅助线具有很强的技巧，先把四边形分成两三角形，再构造中位线,像这样利用过渡线段作中位线的方法常常见到,希望引起重视•二、证明两线段相等例2如图2,已知。
是AABC的边BC的中点，E、F是AC边上的两点，且AB=CE、AF=EF,DF的延长线交BA的延长线于G,求证:AF=AG.【分析】由D、F分别是的中点，联想到三角形的中位线定理，为此可连结BE并取其中点连接图2则在44BE和4BCE中均可应用中位线定理，并把等线段AB=CE转化到AHDF中，问题可迎刃而解.证明:如图2,连结BE,并取中点H,连接HD、HF,则HD/ICE,E.HD=*CE,HF//AB,且H F=^AB■:AB=CE,FH=HD,A2=Z3.又•••HFI/BC,HD//AC,:.Zl=Z2,Z3=Z5=Z4,Zl=A4,AF=AG.【点评】题设中具有线段中点的条件时,常设法构造三角形,以便能够利用三角形中位线定理解决问题.三、证明线段的倍分关系例3已知:如图3,AE为正方形4BCD中ABAC的平分线,血分别交BD、BC于点F、E,AC、BD相交于点0.求证:OF=舟CE.【分析】由正方形ABCD知，点。
人教版八年级下册三角形的中位线定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2、三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
二、思想方法方面：倍长短线，转化思想．
平行四边形的判定 （3）
----三角形的中位线定理
温故知新
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
平
边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
行 四
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
边
形
角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
的
判
定
对角线 对角线 互相平分 的四边形是平行四边形
情景导入
如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点
5
F6
∴DF＝ 1 BC=5cm
2
同理：EF＝
1
AB=6cmB源自36 CDE＝ 12 AC=3cm
E 10
∴三角形DEF2的周长=DF+EF+DE=14cm。 你有何
发现？
5：如图，△ABC中，D是AB上一点，且
AD=AC ， AE⊥CD于E，F是CB的中点。
求证：BD=2EF
证明：
C
A D A C ， A E C D C E D E （ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 ）
F是CB的中点
EF
∴CF BF
∵CE=DE,CF=BF
EF1BD,即BD2EFA
2
B D
6、如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点， 中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想。
AF与DE互相平分 理由如下： 证明：连接DF
∵ E,F分别是AC、BC的中点 ∴EF∥AB, EF=½ AB ∵ D是AB中点 ∴AD =½ AB; ∴ EF∥AD, EF=AD ∴四边形ADFE平行四边形
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21． 法2：如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ，有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系？AC图⑴：⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC 的顶点A 运动到直线BC 上时,中位线DE 也运动到BC 上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
中考数学专题复习学案 三角形中位线 (含答案)
中考复习之三角形中位线定义：：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半二、常见的题型题型一:求线段的长例1、已知：如图，E、D、F分别为AB、BC、CA的中点.（1）若AC=10cm，则DE= 5 cm. （2）若EF=6cm，则CB= 12 cm.（3）若AB=10，AC=12，BC=8，则△DEF的周长 15练习：1.已知△ABC的周长为50cm，中位线DE=8cm，中位线EF=10cm，则另一条中位线DF的长是（）A.5cmB. 7cmC. 9cmD. 10cm【答案】B3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C的度数为（）A.50°B. 60°C. 70°D. 80°【答案】C3.如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB、BC、CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（）A. 10B. 20C. 30D. 40【答案】B4.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=8，则HE等于（）A. 20B. 16C. 12D. 8 【答案】D题型二：证明线段的倍分问题例1.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,BE=CF.(1)求证: △BDE ≌△CDF;(2)当∠B=60°时,G 、H 分别是AB 、AD 的中点,求证:GH=14AB证明：(1)∵AB=AC ∴∠ B=∠ C ∵AD 为中线，∴BD=CD 又∵EB=FC ∴△BDE ≌△CDF(2)∵AB=AC ∴△ABC 为等腰三角形，又∵∠B=60°，∴△ABC 为等边三角形 ∴BC=AB ∵G 、H 分别是AB 、AD 的中点 ∴GH=21BD=14BC 又∵BC=AB 所以GH=41AB. 练习：如图,在△ABC 中,AB=AC,延长AB 到D,使BD=AB,E 为AB 中点,连结CE 、CD ， 求证：CD=2EC证明：延长CE 使EF=CE=1/2CF 即 CF=2CE ∵∠AEC=∠BEF E 是AB 中点，即AE=BE CE=EF∴△ACE ≌△BFE(SAS) ∴BF=AC ∠FBE=∠A ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB∵∠FBC=∠FBE+∠ABC=∠A+∠ABC ∠DBC=∠A+∠ACB ∴∠FBC=∠DBC∵BD=BA∴BF=BD∵BC=BC∠FBC=∠DBC∴△BCF≌△BCD(SAS)∴CF=CD∴CD=2CE题型三：常规辅助线的添加一：利用角平分线+垂直，构造等腰三角形如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【解析】1）证明：在△ABN和△ADN中，∵12AN ANANB AND ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．1.如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=8，MN=3，则AC的长是（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B2.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．2 C． 3 D．7【答案】A3.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为（）cm．【答案】3如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A.3 B.5 C.2.5 D.1.5【答案】D二：取中点构造中位线如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，20,110,,,CBD BDA E F P ∠=︒∠=︒分别是AB 、CD 、BD 的中点，探索PF 与EF 的数量关系.证明：连接PE ，20,11090CBD BDA EPF ∠=︒∠=︒⇒∠=︒，易得EF =.三：借助平行四边形的性质1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是线段AO ，BO 的中点．若AC+BD=24cm ，△OAB 的周长是18cm ，则EF 的长为________cm ．【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6厘米，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=1/2AB=3厘米．题型三借助平行四边形的性质边AB、BC的中点，G、H为AC的两个三等分点，连接EG、例3.如图，（1）E,F为ABCFH，并延长交于D，连接AD、CD.求证：四边形ABCD是平行四边形.【答案】如图，E、F分别为△ABC的边AB、BC的中点，G、H是AC上的三等分点。
8.4中位线定理
随堂练习
′
已知:如图,A,B两地被池塘隔 开,在没有任何测量工具的情 况下,有通过学习方法估测出 了A,B两地之间的距离:先在 AB外选一点C,然后步测出 AC,BC的中点M,N,并测出MN 的长,由此他就知道了A,B间的 距离.你能说出其中的道理吗?
A
M
C B
N
三角形中位线性质
1 ∴DE∥BC, DE BC . 2 这个定理提供了证明线段平行,和线 段成倍分关系的根据.
证明后的结论,以后可以直接运用.
想一想
你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗?
连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形?
A
四个全等的三角形. 请你设法验证.
D E
连接三角形两边中点的线段 B 叫做三角形的中位线. 猜一猜,三角形中位线有什么性质?
F
C
引入新知 定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 已知:如图,DE是△ABC的中位线. 1 求证:DE∥BC, DE 2 BC . 分析:要证明线段的倍分关系,可将DE加倍后证明与BC相等. A 从而转化为证明平行四边形的对边的关系 于是可作辅助线,利用全等三角形来 证明相应的边相等. D E 证明:如图,延长DE至F, 使EF=DE,连接CF. B C ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, ∴△ADE≌△CFE(SAS). (一组对边平等且相等的四 边形是平行四边形.) NhomakorabeaC
D
C D C
Q
N
证明后的结论,以后可以直接运用.
平行四边形判定
定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. A D ∵AB=CD,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形 B C 定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD,AB=CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理:对角线互相平分的四边形是平行四边形. A D ∵AO=CO,BO=DO, O ∴四边形ABCD是平行四边形.
三角形的中位线与反证法核心考点讲八年级数学下学期考试满分全攻略浙教版解析版
第11讲三角形的中位线与反证法（核心考点讲与练）一．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE＝BC．二．反证法（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．一．三角形中位线定理（共8小题）1．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，D、E分别是AC、AB 的中点，则DE的长是（）A．6.5B．6C．5.5D．【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形中位线定理求出DE．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则BC＝＝＝12，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE＝BC＝6，故选：B．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．2．（2021春•武安市期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．2【分析】连接DN、DB，根据勾股定理求出BD，根据三角形中位线定理得到EF＝DN，结合图形解答即可．【解答】解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．3．（2021春•温州期末）如图，为测量BC两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE．测得DE的长为6米，则B，C两地相距（）A．9米B．10米C．11米D．12米【分析】根据三角形中位线定理即可求出BC．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∴BC＝2DE＝2×6＝12（米），故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．（2021秋•丽水期末）如图①是公园跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，点C为横板AB的中点．小明和小聪去玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高（如图②）．（1）求立柱OC的高度；（2）小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答．【分析】（1）根据三角形中位线定理求出OC；（2）根据AD的长度求出OC的长度，得到答案．【解答】解：（1）由题意得：OC∥AD，∵点C为AB的中点，∴OC为△ABD的中位线，∴OC＝AD，∵AD＝1米，∴OC＝米；（2）要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．当AD＝1.25米时，OC＝0.625米，所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱OC的高度要升高为0.625米．【点评】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5．（2021春•北仑区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E、F 分别是边CD和AB的中点，若∠PEF＝30°，则下列说法错误的是（）A．PE＝PF B．∠EPF＝120°C．AD+BC＞2EF D．AB+DC＞2DB【分析】根据三角形中位线定理及AD＝BC推出PF＝PE，可判断A；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可判断B；根据三角形三边关系可判断C．【解答】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故选项A不合题意；故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝30°，∴∠PEF＝∠PFE＝30°，∴∠EPF＝180°﹣∠PEF﹣∠PFE＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故选项B不符合题意；∵PF＝BC，PE＝AD，PE+PF＞EF，∴BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，故选项C不符合题意；无法证明AB+CD＞DB，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形中位线定理推出PE＝PF是解决问题的关键．6．（2021春•鄞州区期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，点M是对角线AC 的中点，点N是AD边的中点，连结BM，MN，若BM＝3MN，则线段CD的长是（）A．B．3C．D．5【分析】首先由勾股定理求得AC的长度，结合直角三角形斜边上中线的性质得到BM＝AC，三角形中位线定理得到CD＝2MN．【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，则由勾股定理知，AC＝＝＝10．∵点N是AD边的中点，∴BM＝AC＝5．∵BM＝3MN，∴MN＝BM＝．∵点M是对角线AC的中点，点N是AD边的中点，∴MN是△ACD的中位线．∵CD＝2MN＝2×＝．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．7．（2021•梓潼县模拟）如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN 于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（）A．12B．11C．10D．9【分析】延长BN交AC于D，证明△ANB≌△AND，根据全等三角形的性质、三角形中位线定理计算即可．【解答】解：如图，延长BN交AC于D，在△ANB和△AND中，，∴△ANB≌△AND（ASA），∴AD＝AB＝8，BN＝ND，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴MN是△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，故选：A．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD 的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．二．反证法（共6小题）9．（2021秋•平阳县期中）用反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设（）A．三个角都小于60°B．三个角都大于60°C．三个角都大于或等于60°D．有两个角大于60°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明三角形至少有一个角不大于60°，应假设三个角都大于60°，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•乐清市期末）用反证法证明命题“如果a∥b，c∥b，那么a∥c”时，应假设（）A．a⊥c B．c不平行b C．a不平行b D．a不平行c【分析】反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，即结论的反面成立．【解答】解：用反证法证明命题“如果a∥b，b∥c，那么a∥c”时，应假设a不平行于c．故选：D．【点评】本题考查了反证法的知识，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．11．（2021春•南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（）A．a＜0B．a≠0C．a≥0D．a≤0【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．【解答】解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，故选：D．【点评】考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”12．（2017秋•庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≥PC．把△ABP绕点A逆时针旋转，使B与C重合，∵PB≥PC，PB＝CD，∴CD≥PC，∴∠CPD≥∠CDP，又∵AP＝AD，∴∠APD＝∠ADP，∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，又∵∠APB＝∠ADC，∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，∴PB≥PC不成立，综上所述，得：PB＜PC．【点评】此题主要考查了反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．13．（2015春•萧山区期末）证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【分析】利用反证法的步骤，首先假设原命题错误，进而得出与三角形内角和定理矛盾，从而证明原命题正确．【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，则∠A+∠B+∠C＜180°，这与三角形内角和定理矛盾，故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．【点评】此题主要考查了反证法，正确把握反证法的证明步骤是解题关键．14．（2013春•滨江区期中）用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°∴∠A+∠B+∠C＞180°这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形的三内角和为180°相矛盾．∴假设不成立，∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．【点评】本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．题组A 基础过关练一．选择题（共11小题）1．（2021•太谷区校级开学）如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：7【分析】连接DE，连接并延长EP交BC于点F，利用DE是△ABC中位线，求出FC＝BC，再用PQ是△EFC中位线，PQ＝CF，即可求得答案．【解答】解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），分层提分∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．【点评】此题考查学生对三角形中位线定理的理解与掌握，连接DE，连接并延长EP交BC于点F，求出△DEP≌△BFP，FC＝BC，是解答此题的关键．2．（2021春•上城区校级期末）用反证法证明“a＞b”时应假设（）A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≤b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立即可．【解答】解：用反证法证明“a＞b”时第一步应假设：a≤b．故选：D．【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．3．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝3，则BF的长为（）A．4B．2C．3D．4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB＝90°，AD＝DB，DF＝3，∴AB＝2DF＝6，∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝3，∴BF＝＝＝3．故选：C．【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．（2021春•上城区期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设（）A．∠B≥90°B．∠B＞90°C．∠B＜90°D．AB≠AC【分析】直接利用反证法的第一步分析得出答案．【解答】解：用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°．”第一步应先假设∠B≥90°．故选：A．【点评】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5．（2018春•永嘉县期末）用反证法证明“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a ∥b”．时，第一步应先假设（）A．a不平行于b B．c不平行于b C．a不垂直于c D．b不垂直于c【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．【解答】解：原命题“同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，用反证法时应假设结论不成立，即假设a与b不平行（或a与b相交）．故选：A．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．6．（2021•南岗区校级模拟）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AE＝BE，BF＝CF，连接EF，AD＝3，CD＝1，则EF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，根据勾股定理得到AC＝＝，由三角形的中位线的性质定理即可得到结论．【解答】解：连接AC，∵∠ADC＝90°，AD＝3，CD＝1，∴AC＝＝，∵AE＝BE，BF＝CF，∴EF＝AC＝，故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021春•婺城区校级期末）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为（）A．2.5B．1.5C．4D．5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，∴DF＝AB＝2.5，∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝4，∴EF＝4﹣2.5＝1.5，故选：B．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．8．（2020春•鄞州区期中）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．C．D．【分析】证明△AGF≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AG＝AC＝3，GF＝FC，求出GB，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵AD是∠BAC平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）∴AG＝AC＝3，GF＝FC，∴GB＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF是△CGB的中位线，∴EF＝GB＝，故选：C．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．（2021春•温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”时，应假设（）A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可．【解答】解：用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b，若∠A＞∠B，则a＞b”，第一步应假设a≤b，故选：B．【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．10．（2021春•杭州期末）用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设（）A．四边形的四个角都是直角B．四边形的四个角都是锐角C．四边形的四个角都是钝角D．四边形的四个角都是钝角或直角【分析】根据四边形中至少有一个角是钝角或直角的反面是四边形的四个角都是锐角解答即可．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，可先假设四边形的四个角都是锐角，故选：B．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．11．（2021春•成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45°B．有一个锐角小于45°C．有一个锐角大于45°D．两锐角都小于45°【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，故选：A．【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．二．填空题（共6小题）12．（2021春•永嘉县校级期末）用反证法证明命题“如果a＞b，那么”时，假设的内容是＜或＝．【分析】用反证法证明数学命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设它的否定“＜或＝”．【解答】解：由于命题“＞”的否定为“或”，故用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，应假设＜或＝，故答案为：＜或＝．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“＞”的否定为“＜或＝”，是解题的关键．13．（2021春•饶平县校级期末）如图，△ABC中，三条中位线围成的△DEF的周长是15cm，则△ABC的周长是30cm．【分析】根据三角形的周长公式、三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵△DEF的周长是15，∴DE+DF+EF＝15，∵DE、DF、EF分别是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，AC＝2DF，AB＝2EF，∴△ABC的周长＝BC+AC+AB＝2（DE+DF+EF）＝30（cm），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．（2021春•红寺堡区期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝3厘米．【分析】根据平行四边形的性质可知OA＝AC，OB＝BD，结合AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC、BD的中点，∵AC+BD＝24厘米，∴OB+0A＝12厘米，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝18﹣12＝6厘米，∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴AB＝2EF，∴EF＝6÷2＝3厘米，故答案为：3．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大．15．（2020春•衢州期末）如图，为测得B，C两地的距离，小明在池塘外取点A，得到线段AB，AC，并取AB，AC的中点D，E，连结DE，测得DE＝15米，则BC＝30米．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝30（米），故答案为：30．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．16．（2021春•灞桥区校级月考）用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步这个三角形是等腰三角形．【分析】假设命题的结论不成立，推出矛盾即可．【解答】解：用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是假设这个三角形是等腰三角形．故答案为这个三角形是等腰三角形．【点评】本题考查反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．17．（2021•罗湖区校级模拟）如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为38．【分析】利用ASA定理证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BE＝BA，AN＝NE，同理得到CD＝CA，AM＝MD，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．三．解答题（共5小题）18．（2012春•杭州期中）在△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝1．求证：∠A≠30°．【分析】首先假设结论不成立，即∠A＝30°，利用勾股定理逆定理得出∠C＝90°，进而得出矛盾，从而得出结论成立，即∠A≠30°．【解答】证明：假设结论不成立，即∠A＝30°，∵，∴△ABC是Rt△，且∠C＝90°，∵∠A＝30°，∴，这与BC＝1矛盾，∴假设不成立，∴结论成立，即∠A≠30°．【点评】此题主要考查了反证法的证明，利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．19．（2009春•杭州校级期中）用反证法证明：两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以l1与l2不平行．【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1∥l2，根据平行线的性质，可得∠1+∠2＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2不平行．【解答】证明：假设l1∥l2，则∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设_不成立．所以结论成立，l1与l2不平行．【点评】反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．20．（2019春•拱墅区期末）如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是1上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中不会随点P的移动而变化的是①③④【分析】根据三角形中位线定理判断①；根据P是1上一动点判断②；根据相似三角形的性质判断③；根据三角形中位线定理判断④，结合图形判断⑤．【解答】解：①∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，即线段MN的长不会随点P的移动而变化；②PA、PB随点P的移动而变化，∴△PAB的周长随点P的移动而变化；③∵l∥AB，点A，B为定点，∴△PMN的面积为定值，∵点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN＝AB，MN∥AB，∴△PMN∽△PAB，∴△PMN的面积＝×△PMN的面积，则△PMN的面积不会随点P的移动而变化；④∵MN∥AB，∴直线MN，AB之间的距离不会随点P的移动而变化；⑤∠APB的大小随点P的移动而变化；故答案为：①③④．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．21．（2013秋•江山市校级月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝DC，E、F分别为AD与BC的中点，连接EF与BA的延长线相交于N，与CD的延长线相交于M．求证：∠BNF＝∠CMF．【分析】连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK，则EK、FK分别是△ACD和△ABC的中位线，根据平行线的性质定理即可证明．【解答】证明：连接AC，取AC的中点K，连接EK，FK∵AE＝ED，AK＝KC∴EK∥DC，．同理FK∥AB，∴．∴∠FEK＝∠EFK∵EK∥DC∴∠CMF＝∠FEK∵FK∥AB∴∠BNF＝∠EFK∴∠BNF＝∠CMF【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确作出辅助线是关键．22．（2021春•仙居县期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）【分析】根据题意画出图形，写出已知、求证，延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，证明四边形ADCF是平行四边形，进而得到四边形BDFC是平行四边形，根据平行四边形的在、性质定理证明即可．【解答】解：已知：如图，点D、E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE，求证：DE∥BC，DE＝BC，证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接FC、DC、AF，∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF∥AD，CF＝AD，∴CF∥BD，CF＝BD，∴四边形BDFC是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∵DE＝DF，∴DE∥BC，DE＝BC．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，正确作出辅助性是解题的关键．题组B 能力提升练一．选择题（共6小题）1．（2021•宁波一模）如图，D，E分别是AB，AC上的中点，F是DE上的一点，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，则EF的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故选：A．【点评】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．2．（2021•奉化区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD ＝6．M是BD的中点，则CM的长为（）A．B．2C．D．3【分析】延长BC到E使BE＝AD，则四边形ACED是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM＝DE＝AB，根据跟勾股定理得到AB＝＝＝5，于是得到结论．【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，则四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3，AD＝6，∴C是BE的中点，∵M是BD的中点，∴CM＝DE＝AB，∵AC⊥BC，∴AB＝＝＝5，∴CM＝，解法二：延长CM交AD于T．。
中位线课件
反证法
假设中位线定理不成立， 通过逻辑推理得出矛盾， 从而证明中位线定理的正 确性。
平行四边形法
利用平行四边形的性质， 结合已知条件推导出中位 线定理。
中位线定理的推广
三角形中位线定理的推广
在三角形中，若一条边上的中点与对边 的两个端点连成线段，则这两条线段的 长度相等。
VS
多边形中位线定理的推广
中位线定理是几何学中的重要定 理之一，它揭示了三角形中位线 与第三边的关系，为解决几何问 题提供了重要的思路和方法。
02 中位线的判定定理
三角形中位线定理
总结词
三角形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了三角形中位线的性质和 判定方法。
详细描述
三角形中位线定理指出，在一个三角形中，中位线是一条连接顶点与对边中点的 线段，且这条线段平行于第三边，并且长度为第三边的一半。这个定理可以通过 多种方式证明，其中最常用的是通过相似三角形和全等三角形来证明。
数学基础
中位线定理是几何学中的基础定 理之一，对于理解几何形状的性 质和解决几何问题具有重要意义
。
应用广泛
中位线定理在各个领域都有广泛的 应用，如建筑、工程、艺术、科学 等，是解决实际问题的重要工具。
培养逻辑思维
学习中位线定理有助于培养人的逻 辑思维和推理能力，提高解决问题 的能力。
中位线定理的学习方法与技巧
总结词
梯形中位线定理是几何学中的基本定理之一，它描述了梯形 中位线的性质和判定方法。
详细描述
梯形中位线定理指出，在梯形中，如果一条线段连接两个相 对边的中点，则这条线段平行于上底和下底，并且长度为上 底和下底的一半之和。这个定理可以通过相似三角形和全等 三角形来证明。
平行线中位线定理
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
小议三角形中位线定理的几种证明方法
小议三角形中位线定理的几种证明方法三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习三角形有关知识非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到，也为下一节梯形的中位线定理的证明作好充分的理论上的准备。
对这一定理的证明有多种方法，现介绍几种。
之所以要介绍这几种方法，是因为：第一，证明定理是帮助学生掌握知识体系的重要环节；第二，这个定理的证明综合运用了前面已学过的平行线、全等三角形、平行四边形、中心对称等重要知识，又提示了某些辅助线的添置方法；第三，证题时，强化了思维过程的教学，培养了求异思维，有益于开发学生的智力。
同时，启发学生用不同的方法来证明三角形中位线定理，还可以培养学生发散性思维。
下面就介绍三角形中位线定理的几种证明方法：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
已知：如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点求证：⑴DE∥BC⑵DE=BC证明方法1：∵点D、E分别是AB、AC的中点，∴AD=BDAE=CE∴==∵∠DAE=∠BAC∴△ADE～△ABC∴∠ADE=∠ABC ==∴DE∥BCDE=BC[小结]利用相似三角形的判定和性质，有时会收到异想不到的效果。
证明方法2：延长DE至F，使EF=DE，连接CF∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF∴△ADE≌△CEF∴AD=CF，∠ADE=∠CFE，∵AD=BD，∴CF=BD∵∠ADE=∠CFE∴AB∥CF∴CF=BD，CF∥BD∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF=BC，DF∥BC∵DE=EF=DF,∴DE=BC，DE∥BC[小结] 用延长相等线段的方法构造全等三角形，利用全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质。
证明方法3：（同第二种方法的图）过点C作CF∥AB，与DE的延长线相交于点F∵CF∥AB，∴∠ADE=∠CFE∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF=AD∵AD=BD，∴CF=BD，∵CF∥BD，∴四边形BCFD是平行四边形（以下证法与方法2相同）[小结] 作平行线的方法构造全等三角形，利用全等三角形、平行四边形的判定和性质。
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中位线的性质判定定理
中位线的性质判定定理，也称坐标平面上凸多边形的中位线性质判定定理，是一种判
定凸多边形中位线的性质的学说。
该定理是由美国数学家卡斯洛·威登于1959年提出的。
他指出，若凸多边形不具备某种特殊特征，那么在该多边形的内三角形中，它的中位线方
向和面积的性质完全取决于多边形的边界角度和边长。
具体来说，威登定理认为，若多边形不具备某种特殊特征，则它的内三角形中：
①中位线的方向是由内三角形的外角部分于多边形的边界构成的角度决定的；②中位
线的长度完全取决于内三角形的边来构成的三边的长度；③中位线的面积完全取决于下列
公式：S=a2b2−[(a2+b2−c2)/2]2，其中S是三角形的面积，a、b、c分别是该三角形的三
条边的长度。
三角形中位线性质判定定理主要用于凸多边形在坐标平面上的分析研究。
它可以帮助
人们快速判断凸多边形内三角形的面积大小，从而加快分析凸多边形相关结构的速度和效率。
因此，该定理对于几何学及数学分析研究具有广泛的应用，是平面几何研究的基本定
理之一。